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广东省2012届高三全真模拟卷数学理14


广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 14

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1、函数 y = lg(1 ? x ) 的定义域为 A,函数 y = ( ) x 的值域为 B,则 A ∩ B = ( A .

1 3



(0,1)

B.

1 ( ,1) 3

C. φ

D. R

2、 复数

i3 的模等于( 1+ i 1 2



A .

B.

2 2

C.

2

D.

3.若函数y = f (x) 的图象和 y = sin(x + ( ) A. cos( x +

π π ) 的图象关于点 P( ,0) 对称则 f (x) 的表达式是 4 4
)
C. ? cos( x +

π
4

)

B. ? cos( x ?

π
4

π
4

)

D. cos( x ?

π
4

)

4、在实数数列 {a n } 中,已知 a1 = 0 ,| a2 |=| a1 ? 1 | ,| a3 |=| a 2 ? 1 | ,…,| a n |=| a n ?1 ? 1 | , 则 a1 + a 2 + a 3 + a 4 的最大值为( A. 0 B.
2

) C. 2 D. 4 ) .

,且 P{2<x <4 } =0.3,则 P{x <0=( 5.设随机变量 X ~ N(2,8 ) A.0.8 B.0.2 C.0.5

D.0.4 )

6.已知关于 x 的不等式 | x ? 2 | +3 ? x < m 的解集为非空集合,则实数 m 的取值范围是( A. m < 1 B. m ≤ 1 C. m > 1 D. m ≥ 1

7. 已知 F1 、F2 是椭圆 C :

→ → x2 y 2 + 2 = 1 的左右焦点,P 是 C 上一点, | PF1 | ? | PF2 |= 4b 2 , 3 a2 b

则 C 的离心率的取值范围是( A. (0, ] 8.以下三个命题: ①关于 x 的不等式



1 2

B. (0,

3 ] 2

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

1 2

1 ≥ 1 的解为 (?∞,1] x

②曲线 y = 2 sin 2 x 与直线 x = 0 , = x

3π 1 及 x 轴围成的图形面积为 s1 , 曲线 y = 4 ? x2 4 π

与直线 x = 0 , x = 2 及 x 轴围成的图形面积为 s2 ,则 s1 + s2 = 2 ③直线 x ? 3 y = 0 总在函数 y = ln x 图像的上方 其中真命题的个数是( B. A. 0 ) C. 2 D. 3

非选择题( 第二部分 非选择题(共 110 分)
填空题: 小题, 小题, 二、填空题: 本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 必做题( (一)必做题(9~13 题) 9、如右图程序框图,输出 s= (用数值作答) 10、一个几何体的三侧图如右图所示, 这个几何体的体积为
1 1 1.5



4

正侧图

侧侧图

1 俯侧图

第10题

11、把函数 y = sin x ( x ∈ R )的图象上所有点向左平行移动

π
个单位长度,再把所得图

12

象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 12. ( 3 x ?

1 x

)15 二项展开式中,第__________项是常数项.

13、已知函数 f ( x) = ?

?(3 ? a) x ? 3 (x ≤ 6) ?a
x ?6

(x>6)

an = f ( n), n ∈ N ? ,{an } 是递增数列,则实数

a 的取值范围是
A

考生只能从中选做一题) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(14~ 14.《几何证明选讲》选做题) ( 如图,⊙ O 和⊙ O' 都经过点 A 和点 B, PQ 切⊙ O 于点 P,交⊙ O' 于 Q、M,交 AB 的延长线于 N, NM = 1 , MQ = 3 ,则 PN =
Q O' M B N P O

15.《坐标系与参数方程》选做题) ( 极坐标系下,圆 ρ = 2 cos(θ +

π

) 上的点与直线 ρ sin(θ + ) = 2 上的点的最大距离是 2 4

π

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a = (cos α , sin α ) , b = (cos β ,sin β ) , 且 | a ? b |= (I)求 cos(α ? β ) 的值;?

uu r

ur

r r

2 5. 5

5 (II)若 ? π < β < 0 < α < π ,且 sin β = ? ,求 sin α 的值. 13 2 2

17. (本小题满分 12 分) 现有一游戏装置如图,小球从最上方入口处投入,每次遇到黑色障碍物,等 可能地向左,右两边落下。 游戏规则为:若小球最终落入 A 槽,得 10 张奖票;若落入 B 槽,得 5 张奖 票;若落入 C 槽,得重投一次的机会,但投球的总次数不超过 3 次。 (1) 求投球一次,小球落入 B 槽的概率; (2) 设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量 ξ ,求 ξ 的分布列及数学期 望。

18. (本小题满分 14 分) 如图所示,在矩形 ABCD 中, AB = 4, AD = 2, E是CD 的中点,O 为 AE 的中点,以 AE 为折痕将△ADE 向上折起,使 D 到 P 点位置,且 PC = PB . (Ⅰ)求证: PO ⊥ 面ABCE ; (Ⅱ)求二面角 E-AP-B 的余弦值.

19. (本小题满分 14 分) 某旅游用品商店经销某种深圳大运会记念品, 每件产品的成本为 3 元, 并且每件产品需 向税务部门上交 a 元( 3 ≤ a ≤ 6 )的税收,预计当每件产品的售价为 x 元( 11 ≤ x ≤ 16 ) 时,一年的销售量为 (18 ? x) 2 万件.

(Ⅰ)求该商店一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,该商店一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q (a ) .

20. (本小题满分 14 分) 如图,弧 ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心, 且 OD ⊥ AB ,Q 为线段 OD 的中点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 B 的直线与曲线 C 交于 M、N 两点,与 OD 所在直线交于 E 点,若

uuuu r uuur uuur uuu r EM = λ1 MB, EN = λ2 NB, 求证 : λ1 + λ2 为定值。

21. (本小题满分 14 分)
2 (Ⅰ)设数列{ a n }满足 a1 = 1, a n +1 = a n + 5, n = 1,2,3,L, 证明对所有的 n ≥ 1 ,有

(i) an +1 > 4an + 1 ;

(ii) ii)

1 1 1 1 + +L+ < . 1 + 3a1 1 + 3a2 1 + 3an 3

2 (Ⅱ)设数列{ a n }满足 a1 = 1, an+1 > a n + 5, n = 1,2,3, L.

证明对所有的 n > 2011 ,有 an + 2011 > a

2

n ? 2011 .

参考答案 参考答案
1.A 9. 2. B 3. B 91 ; 4. C 5、B 6.C 7. D 8. A

10. 9 ;

11. y = sin( x +

1 2

π
12

) ;

12. 7;

13. (

15 , 3) ; 7

3 2 +1 2 r2 r r r2 4 r r 2 16.解: (I)∵ | a ? b |= b 5 ,∴ a ? 2a ? + b = , 5 5 uu r ur 又 a = (cos α , sin α ) , b = (cos β ,sin β ) ,? r 2 r2 ∴ a = b = 1, 4 ∴ 1 ? 2(cos α cos β + sin α sin β ) + 1 = 5 2 ∴ 2 ? 2 cos(α ? β ) = 5 3 ∴ cos(α ? β ) = 5
14. 2 ; 15. (II)∵ ? π < β < 0 < α < π ,∴ 0 < α ? β < π ,又由(1)得 cos(α ? β ) = , 5 2 2

…3 分

…6 分

3

5 12 4 又 sin β = ? , ? π < β < 0 ∴ cos β = …9 分 13 2 13 5 ∴ sin α = sin[(α ? β ) + β ] = sin(α ? β ) cos β + cos(α ? β ) sin β = 4 × 12 + 3 × (? 5 ) = 33
∴ sin(α ? β ) =
5 13 5
13 65

…12 分 17. 解: (1)由题意可知投一次小球,落入 B 槽的概率为 ( ) 2 + ( ) 2 =

1 ……………3 分 2 1 1 1 1 1 (2)落入 A 槽的概率为 ( ) 2 = ,落入 B 槽的概率为 ,落入 C 槽的概率为 ( ) 2 = 2 4 2 2 4
…4 分

1 2

1 2

ξ 可取 0,5,10……………5 分
1 ?1? ,……6 分 p (ξ = 0) = ? ? = ? 4 ? 64
2 3

1 1 1 1 ?1? 21 ,……8 分 p (ξ = 5) = + ? + ? ? ? = 2 2 4 2 ? 4 ? 32

2

1 1 1 1 ?1? 21 ……10 分 p (ξ = 10) = + ? + ? ? ? = 4 4 4 4 ?4? 64

ξ
p

0

5
21 32

10
21 64
……12 分

1 64 1 21 21 105 Eξ = 0 × + 5 × + 10 × = 64 32 64 16

18. 解: (1) PA = PE, OA = OE ∴ PO ⊥ AE ……1 分

取 BC 的中点 F, OF, ∴OF∥AB, 连 PF, ∴OF⊥BC 因为 PB=PC ∴BC⊥PF, 所以 BC⊥面 POF …3 分 从而 BC⊥PO …………5 分, 又 BC 与 PO 相交,可得 PO⊥面 ABCE………7 分 (2)作 OG∥BC 交 AB 于 G,∴OG⊥OF 如图,建立直角坐 uuuu ruuur uuu r 标系 [O; OG ,OF , OP], A(1,-1,0) ,B(1,3,0) ,C (-1,3,0) ,P(0,0, 2 )
uuur uuu r uuu r AC = ( ?2, 4, 0), AP = (?1,1, 2), AB = (0, 4, 0) …9 分 r 设平面 PAB 的法向量为 n1 = ( x, y, z ),
r uuu r r ? ? n ? AP = ? x + y + 2 z = 0 ? n1 = ( 2, 0,1) r ? r uuu ? n ? AB = 4 y = 0 ?

r 同理平面 PAE 的法向量为 n 2 = (1,1, 0), ……………………12 分

cos p E ? AP ? B f =

n1 ? n2 3 = | n1 | ? | n2 | 3
3 …………………14 分 3

二面角 E-AP-B 的余弦值为

(Ⅰ) 商店一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为:L = ( x ? 3 ? a )(18 ? x) 2 , 19. 解: ………4 分 x ∈ [11, 16] .(无定义域扣 1 分) (Ⅱ) L = ( x ? 3 ? a )(18 ? x) 2 = x(18 ? x) 2 ? (3 + a )(18 ? x) 2

L′( x) = (18 ? x)2 ? 2 x(18 ? x) + 2(3 + a )(18 ? x) = (18 ? x )(24 + 2a ? 3 x ) . 2 令 L ′ = 0 得 x = 8 + a 或 x = 18 (不合题意,舍去). ………6 分 3 2 2 ∵ 3 ≤ a ≤ 6 ,∴ 10 ≤ 8 + a ≤ 12 .在 x = 8 + a 两侧 L ′(x ) 的值由正变负. 3 3 2 9 所 以 ( 1 ) 当 10 ≤ 8 + a < 11 , 即 3 ≤ a < 时 , Lmax = L (11) = 49(8 ? a ) = 49(8 ? a ) . 3 2
(2)当 11 ≤ 8 + a ≤ 12 即

9 ≤ a ≤ 6 时, 2 2 2 2 1 Lmax = L(8+ a) = (8+ a ?3?a)[18?(8+ a)]2 = 4(5? a)3 , 3 3 3 3 9 ? 3≤ a ≤ ?49(8 ? a ), ? 2 所以 Q (a ) = ? . 9 ?4(5 ? 1 a )3 , ≤a≤6 ? 3 2 ?


2 3

………13

答:若 3 ≤ a <

9 , 则 当 每 件 售 价 为 11 元 时 , 商 店 一 年 的 利 润 L 最 大 , 最 大 值 2 9 2 Q ( a) = 49(8 ? a ) (万元);若 ≤ a ≤ 6 ,则当每件售价为 (8 + a ) 元时,商店一年的利润 2 3 1 ……14 L 最大,最大值 Q ( a) = 4(5 ? a )3 (万元). 3



20. 解: (Ⅰ)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点,建立平面直角坐标系, ∵动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. 且点 Q 在曲线 C 上, ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 + 12 = 2 5 >|AB|=4. ∴曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a, 短半轴为 b, 半焦距为 c, 则 2a=2 5 , ∴a= 5 , c=2, b=1. ∴曲线 C 的方程为 ………………………3 分

x2 2 +y =1 5

…………………………………………6 分

证明: (Ⅱ)设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) , 又易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内, 故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. ∵ EM = λ1 MB , ∴ ( x1 , y1 ? y0 ) = λ1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) . ∴ x1 =

uuuu r

uuur

y0 2λ1 , y1 = . 1 + λ1 1 + λ1

…………………………………………8 分

将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: (

y 1 2λ1 2 ) + ( 0 )2 = 1, 5 1 + λ1 1 + λ1
2

去分母整理,得 λ1 + 10λ1 + 5 ? 5 y 0 = 0 . ………………………………………10 分
2

同理,由 EN = λ2 NB 可得: λ2 + 10λ2 + 5 ? 5 y 0 = 0 . ………………………12 分
2 2

uuur

uuu r



λ1 , λ 2 是方程 x 2 + 10 x + 5 ? 5 y 0 2 = 0 的两个根, ∴ λ1 + λ2 = ?10 .………14 分

21. 证明: (Ⅰ)由数学归纳法知, an > 0 ,
2 2 Q an +1 = an + 5 = a n + 4 + 1 > 2 2 an + 1 ,∴ an +1 > 4an + 1 2 2 对 k ≥ 2 ,有 a k = a k ?1 + 5 = a k ?1 + 4 + 1 > 4 a k ?1 + 1 > 4( 4a k ? 2 + 1) + 1 > LL

……2 分

∴ ak > 4 k ?1 a1 + 4 k ? 2 + L + 4 + 1 =
∴ 1 1 < k 。 1 + 3ak 4

4k ? 1 , 3
……5 分

对所有的 n ≥ 1 ,有

1 1 ≤ n 1 + 3an 4



1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +L+ ≤ + 2 + LL + n = (1 ? n ) < , 1 + 3a1 1 + 3a2 1 + 3an 4 4 4 3 4 3 1 1 1 1 + +L+ < . 1 + 3a1 1 + 3a2 1 + 3an 3
2 n ? 2011
2 ( n > 2011) ,只需证 an + 2011 > an ( n > 2011) ,



……8 分

(Ⅱ)欲证 an + 2011 > a

2 Q an +1 > an + 5, n = 1,2,3,L , 2 ∴ an + 2011 > an + 2010 + 5, 2 an + 2010 > an + 2009 + 5,

2 an + 2009 > an + 2008 + 5,

LL
2 an +1 > an + 5, 2 2 2 2 ∴ an + 2011 + a2010 + L + an +1 > an + 2010 + an + 2009 + L + an +1 + an + 5 × 2011,

1 1 1 2 2 2 ∴ an + 2011 > (an + 2010 ? a N + 2010 + ) + (an + 2009 ? an + 2009 + ) + L + (an +1 ? an +1 + ) 4 4 4 1 2 ? × 2010 + an + 5 × 2011, 4
2010 1 1 2 2 ∴ an + 2011 > ∑ (an + i ? ) 2 + (5 × 2011 ? × 2010) + an > an , 2 4 i =1

故 an + 2011 > a

2

n ? 2011

(n > 2011) .

……14 分



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