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6.第6讲 一次方程(组)及应用



第一部分 数与代数
第二章 方程与不等式 第6讲 一次方程(组)及应用

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⊙考纲要求⊙ 1.能够根据具体问题中的数量关系列出方程. 2.会解一元一次方程、简单的二元一次方程组. ⊙命题趋势⊙ 2007—2011 年广东省中考题型及分值统计 年份 试题类型 知识点 分值 2007 2008 2009 2010 2011

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1. 近五年广东省命题地区的考试均没有单纯考查本讲内容的 题目出现,但一元一次方程和二元一次方程组是函数与方程 部分的基础,单独考查其解法比较少见,常结合一次函数和 一元一次不等式进行考查. 2.二元一次方程组是考查的重点,列方程(组)解应用题应 特别注意.

★考点梳理★ 1.一元一次方程的有关概念 (1)只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的整式方程,叫 一元一次方程.其一般形式是 为常数,且

(2)使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.一元一 次方程的解又叫做方程的根. 2.一元一次方程的解法 (1)解法依据是等式的基本性质, 性质 1:若 性质 2: 若 ( ,则 , 则 ) ; 若 , 则

(2)解法步骤一般是:①去分母;②去括号;③移项; ④合并同类项;⑤未知数的系数化为 1. 3.方程的应用 (1)解应用题的步骤:①审清题意;②找等量关系;③设未知数; ④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.

(2)解应用题的常见题型: (1)工作(或工程)问题:工作量=工作效率×工作时间; (2)利息问题:利息=本金×利率×期数; 本息和=本金+利息; (3)行程问题:路程=速度×时间; 其中,相遇问题: ( )

追及问题:同地异时:前者走的路程=追者走的路程 异地同时:前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程 (4)航行问题: (+ -)

(5)利润问题: 利润=卖价-进价;利润率= (6)数字问题: 两位数= 10 × 十位数字 + 个位数字. 三位数= 100×百位数字+10×十位数字+个位数字. (7)年龄问题:大小两个年龄差不变. (8)等积变形问题:变形前后的面积(或体积)相等. (9)增长率问题:增长后的量=基础量×(1 + 增长率). ×100%. (进价)

4.二元一次方程组

(1)二元一次方程组的定义:形如 程组. (2)二元一次方程组的解法 ①代入法解二元一次方程组的一般步骤

都是二元一次方

a.从方程组中任选一个方程, 将方程中的一个未知数用含有另一 个未知数的代数式表示出来; b.将这个代数式代入 含有 一个未知数 另一个方程 ,消去一个未知数,得到

的一元一次方程;

c.解这个一元一次方程,求出一个未知数的值; d.将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中, 求出 另一个未知数的值,从而得到方程组的解.

②加减法解二元一次方程组的一般步骤 a.方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反 数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使它们中同一个未知 数的系数 相等 或 互为相反数 相减 ; 或 相加 ,消去一

b.把两个方程的两边分别

个未知数,得到一个一元一次方程; c.解这个一元一次方程; d.将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程,求出另 一个未知数,从而得到方程组的解.

★课堂精讲★ 考点 1.一元一次方程及应用 【例 1】 (2011 广东湛江) 若 x ? 2 是关于 x 的方程 2x ? 3m ?1 ? 0 的解,则 m 的值为 .
分析:使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的 解.将方程的解代入方程可得关于 m 的一元一次方程,从 而可求出 m 的值. 解答:根据题意得:4+3m﹣1=0 解得:m=﹣1, 故填﹣1.

【例 2】 (2011 茂名)某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗 共 2 000 只进行饲养, 已知甲种小鸡苗每只 2 元, 乙种小鸡 苗每只 3 元.若购买这批小鸡苗共用了 4 500 元,求甲、乙 两种小鸡苗各购买了多少只?
分析:利用这批鸡苗的总费用为等量关系列出一元一次方程 后解之即可; 解: 设购买甲种小鸡苗 x 只,那么乙种小鸡苗为(200只.根据题意列方程,得 2 x ? 3(2000 ? x) ? 4500 , 解这个方程得: x ? 1500 (只) , 即:购买甲种小鸡苗 1500 只,乙种小鸡苗 500 只.

x)

2000 ? x ? 2000 ? 1500 ? 500 (只) ,

随堂演练: 1.解方程:

解:原方程可转化为: (2x-x+1)/2= (6-x-2)/3

去分母得:3(x+1)=2(4-x) 解得:x=1.

2. (2011 广东模拟)在商品市场经常可以听到小贩的叫嚷声 和顾客的讨价还价声:“10 元一个的玩具赛车打八折,快来 买啊!”“能不能再便宜 2 元?”如果小贩真的让利(便宜)2 元卖了,他还能获利 20%,根据下列公式求一个玩具赛车进 价是多少元? (公式: 利润 ? 进价 ? 利润率 ? 销售价 ? 打折数 ? 让利数 ? 进价 )

解:设进价是

x 元.依题意,得

x ? 20% ? 10 ? 0.8 ? 2 ? x ,
解得

x ? 5 (元) .

考点 2.二元一次方程组及应用 【例 3】 (2011 珠海)方程组 的解为 .

分析:此题考查的知识点是解二元一次方程组,解题的关键 是运用加减消元法解二元一次方程组.由已知未知数 y 的系 数的绝对值相等,因此为了不出差错,选用加法较好. 解答: ,①+②得:3x=9,x=3, ,

把 x=3 代入第一个方程得:y=3,即 故答案为: .

【例 4】 (2011 湖南常德)某城市规定:出租车起步价允许行驶的 最远路程为 3 千米, 超过 3 千米的部分按每千米另收费. 甲说: “我 乘这种出租车走了 11 千米,付了 17 元” ;乙说: “我乘这种出租 车走了 23 千米,付了 35 元” .请你算一算这种出租车的起步价是 多少元?以及超过 3 千米后,每千米的车费是多少元?
分析:此题主要考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是弄清题 意.首先根据题意设出未知数,找出其中的相等关系:①出租车走了 11 千米,付了 17 元②出租车走了 23 千米,付了 35 元,列出方程组, 解出得到答案. 解答:设这种出租车的起步价是 x 元,超过 3 千米后每千米收费 y 元,

? ? x ? ?11 ? 3? y ? 17 ? 根据题得 ? ? x ? ? 23 ? 3? y ? 35

? x?5 , 解得? ? y ? 1.5

所以这种出租车的起步价是 5 元,超过 3 千米后每千米收费 1.5 元

随堂演练:
?4x - 3y ? 11 ? 1. (2011 永州)解方程组: ?2x ? y ? 13 ① ②

解:①+②× 3,得 10x=50, 解得 x=5,把 x=5 代入②, 得 2× 5+y=13,解得 y=3.
?x ? 5 ? 于是,得方程组的解为 ? y ? 3 .

2. (2011 河源)为了鼓励城区居民节约用水,某市规定用水收费 标准如下:每户每月的用水量不超过 20 度时(1 度=1 米 ),水费 为 a 元/度;超过 20 度时,不超过部分仍为 a 元/度,超过部分 为 b 元/度.已知某用户四月份用水 15 度,交水费 22.5 元,五 月份用水 30 度,交水费 50 元. (1)求 a,b 的值; (2)若估计该用户六月份的水费支出不少于 60 元,但不超过 90 元,求该用户六月份的用水量 x 的取值范围.
3

解: (1)依题意列式:15a = 22.5 20a +10b = 50 a=1.5, b= 2 (2)列式: 60 < 20a +(x-20)b < 90 解不等式组得 35<x<50.



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