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高二数学直线与圆的位置关系(学生版)



直线、圆的位置关系
一、兴趣导入(Topic-in):
.弟弟上历史课的时候,老师问他: “路易十四是谁?” 他答: “路易十四不就是路易十加路易四吗! ” 老师听后没好气地说道: “你怎么不说是路易七乘路易二呢?” 哪知道弟弟不假思索便说: “老师,从数学上来说,路易七乘路易二应是路易平方十四,因此 你错了。 ” 弄得老师哭笑不得。

、学前测试(Testing):
1.(人教 A 版教材习题改编)已知圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是 ( ). B.相交但直线不过圆心 D.相离

A.相切 C.相交过圆心

2.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为( A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0

).

B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0

3.(2011· 安徽)若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为( A.-1 B.1 C.3 D.-3

).

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1

4.(2012· 东北三校联考)圆 O1:x2+y2-2x=0 和圆 O2:x2+y2-4y=0 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

).

5.(2012· 沈阳月考)直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2=8 相交于 A、B 两点,则|AB|=________.

三、知识讲解(Teaching):
1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种:相离、相切、相交. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: Δ>0?相交; ? 判别式 Δ=0?相切; 2 → (1)代数法:Δ= ― b― -4ac? ?Δ<0?相离. (2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系: d<r?相交,d=r?相切,d>r?相离.

2.圆与圆的位置关系的判定
2 设⊙C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r1 (r1>0), 2 ⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 (r2>0),则有:

|C1C2|>r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相离; |C1C2|=r1+r2?⊙C1 与⊙C2 外切; |r1-r2|<|C1C2|<r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相交; |C1C2|=|r1-r2|(r1≠r2)?⊙C1 与⊙C2 内切; |C1C2|<|r1-r2|?⊙C1 与⊙C2 内含.

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2

一条规律 过圆外一点 M 可以作两条直线与圆相切,其直线方程可用待定系数法,再利用圆心到切线的 距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可. 一个指导 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,“代数法”与“几何法”是从 不同的方面和思路来判断的,“代数法”侧重于“数”,更多倾向于“坐标”与“方程”; 而“几何法”则侧重于“形”,利用了图形的性质.解题时应根据具体条件选取合适的方法. 两种方法 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用根与系数关系及弦长公式 |AB|= 1+k2|xA-xB| = ?1+k2?[?xA+xB?2-4xAxB]. 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.

四、强化练习(Training)
考向一 直线与圆的位置关系的判定及应用 【例 1】?(2011· 东莞模拟)若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有公共点,则直线 l 斜 率的取值范围为( A.[- 3, 3] ? 3 3? C.?- , ? 3? ? 3 ). B.(- 3, 3) ? 3 3? D.?- , ? 3? ? 3

【训练 1】 (2011· 江西)若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个不同的 交点,则实数 m 的取值范围是( ).
3

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? 3 3? A.?- , ? 3 3 ? ? ? 3 3? C.?- , ? 3? ? 3

? 3 ? ? 3? B.?- ,0?∪?0, ? 3 3 ? ? ? ? ? ? 3? ? 3 D.?-∞,- ?∪? ,+∞? 3? ?3 ? ?

考向二

圆与圆的位置关系的判定及应用

【例 2】 ?若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3, 则 a=________.

【训练 2】 (2011· 济南模拟)两个圆:C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅有( A.1 条 ). C.3 条 D.4 条

B.2 条

考向三

直线与圆的综合问题

【例 3】?(2012· 福州调研)已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别 切⊙M 于 A,B 两点.
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4 2 (1)若|AB|= 3 ,求|MQ|、Q 点的坐标以及直线 MQ 的方程; (2)求证:直线 AB 恒过定点.

【训练 3】 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.

难点突破 20——高考中与圆交汇问题的求解 从近两年新课标高考试题可以看出高考对圆的要求大大提高了,因此也就成了高考命题的一 个新热点.由于圆的特有性质,使其具有很强的交汇性,在高考中圆可以直接或间接地综合
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出现在许多问题之中,复习备考时值得重视. 一、圆与集合的交汇
? ? ? ? ?m 【示例】? (2011· 江苏) A=??x,y?? 2 ≤?x-2?2+y2≤m2,x,y∈R?, ? ? ? ? ?

B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}.若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围是________.

二、圆与概率的交汇 【示例】? (2011· 湖南)已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________; (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________.

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