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3.2空间向量解决距离问题


向量法求空间距离

新课讲解
一、两点距离

根据两向量数量积的性质和坐标运算,
? 2 2 2 ? ?2 a ? x ? y ? z 利用公式 a ? a 或

? (其中 a ? ( x, y, z ) ) ,可将两点距离问题
转化为求向量模长问题

新课讲解
二、点线距离
1.借助直线的向量表达形式假设出 垂线段向量的坐标, 2.结合线线垂直求出垂线段向量坐标 3.运用垂线段向量坐标求出其模长即点线距

B

G

C

A

新课讲解 三、点面距
一般方法:
利用定义先作出过 这个点到平面的垂 线段,再计算这个 垂线段的长度。

P
d

?

O

还可以用等积法求距离.

1.向量法求点到平面的距离

d ? d ?| AP | sin? sin ? ? ??? AP ??? ? ? | AP ? n | ? ? sin ? ? ??? AP ? n

P

? n

d
O

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n

?
A ?

? ??? ? 其中 AP 为斜向量, n 为法向量。

2、直线到平面的距离

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n
A ?

l

P
d
O

? n

? ??? ? 其中 AP 为斜向量, n 为法向量。

3、平面到平面的距离

? n
P

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n

?
d
A ?

O

4、异面直线的距离

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n

? n
a
b
P

??? ? AP ? ?

? ? ? n 是与 a, b 都垂直的向量

n?

?

A

四种距离的统一向量形式:

??? ? ? 直线到平面的距离: | AP ? n | d ? ? 平面到平面的距离: n
异面直线的距离:

点到平面的距离:

题型一:求两点距
例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以

顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角
都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的 长与棱长有什么关系?
D1 A1 D
A
B1

C1

分析

C

图1

B

题型一:求两点距
例1
如图, 正方形 ABCD 和 ABEF 的边 长都是 1,且它们所在平面互相垂直,点 M 在 AC 上,点 N 在 BF 上.若 CM= 2 BN= ,求 MN 的长. 2

[思路探索] 考虑到所给图形易建坐标系,所以可用向量法求 解,即求|MN|.





法一

建立如图所示的空间直角坐

标系. 则 A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1) 2 ∵ CM= BN= , 2 且四边形 ABCD、 ABEF 为正方形,
1 1 1 1 ∴M( ,0, ),N( , ,0), 2 2 2 2 1 1 ∴MN=(0, ,- ), 2 2 ∴|MN|=





1 1 2 2 0+ + = ,即 MN= . 4 4 2 2







方法总结

规律方法 求两点间的距离的向量法主要是坐 标法(易建系的)和基向量法(各基向量的模和 夹角已知或可求),利用向量模的定义求解.

ABβ 【变式1】 如图所示,在120°的二面角α 中,AC?α,BD?β且AC⊥AB,BD⊥AB,
垂足分别为A、B,已知AC=AB=BD=6,

试求线段CD的长.
解 ∵ AC⊥ AB, BD⊥ AB,∴CA·AB= 0,BD·AB= 0,









又∵二面角 α ABβ 的平面角为 120°, ∴〈CA,BD〉= 60°, → → → 2 ∴ CD = |CD| = (CA+AB+ BD)
2 2







→ =CA +AB + BD + 2(CA·AB+CA· BD+BD·AB)
2

→2

→2









= 3× 62+ 2× 62× cos 60°= 144,∴ CD= 12.

题型二:求点线距
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求下列问题: (1) 求C到直线AE的距离; z

D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

y

x

B

题型三:求点面距
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求下列问题: (2) 求B1到面A1BE的距离; z

D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

y

x

B

???? ? ???? ? 1 2)A1 E =(-1, ,0),A1 B =(0,1,-1)设n ? ( x, y, z )为面A1BE的法向量, 2 则 ? ???? ? 1 ? ? n ? A E ? 0, ? x ? y ? 0, ? ? 1 z 2 ? ? ? ???? ? ?n ? A1 B ? 0, ? ? y ? z ? 0, E
取x=1,得平面A1 BE的 ? A1 一个法向量 n ? (1, 2, 2) ???? ? 选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 ? ? 0,1,0 ? , ???? ? ? D A1B1 ? n 2 得B1到面A1BE的距离为d ? ? ? 3 A n
? y ? 2 x, 即? ? z ? 2 x,

D1

C1

B1
C
B

y

x

题型三:求点面距
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求下列问题: (3) 求D1C到面A1BE的距离;z

D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

y

x

B

题型三:求点面距
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求下列问题: (4) 求面A1DB与面D1CB1的距离;

z

D1
A1

C1

B1
D
C

A

y

x

B

题型三:求点面距
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求下列问题: (5) 求异面直线D1B与A1E的距离.

z

D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

y

x

B

解:5)以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴, DD1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系D ? xyz,如图所示 1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 z ???? ? ? ???? ? 1 ? ? A1 E ? ? ?1, , 0 ? , D1B ? ?1,1, ?1? 2 ????? ? E ? ? ???? ? D1 C1 设 n ? ( x, y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量, ? ???? ? 1 ? A1 则? B1 n ? A E ? 0, ? x ? y ? 0, ? ? 1 ? 2 ? ? ? ???? ? ?n ? D1 B ? 0, ? ? x ? y ? z ? 0, ? D ? y ? 2 x, C 即? 取 x=1,得其中一个 n ? (1, 2, 3) ? z ? 3x, ????? ? B 选 A1 E 与 BD1的两点向量为 D1 A1 ? ?1, 0, 0 ? , A ???? ? ? ? D1 A1 ? n 14 得A1E与BD1的距离 d ? ? ? 14 n

y

x

课堂练习
1.已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面 ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的中点, (1)求点B到平面GEF的距离。 z G (2)求GF与BC的距离
x
F D C

A

E

B

y

课堂练习
2.在三棱锥S-ABC中,ABC 是边长为4的正三角形, 平面SAC垂直平面ABC,SA=SC= 2 3 , M、N分别
为AB、SB的中点

(1)证明:AC ? SB; (2)求二面角N ? CM ? B 的正弦值大小; (3)求点B到平面CMN的距离.
A x

S

z

N
C O M y B


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