9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

3.2空间向量解决距离问题



向量法求空间距离

新课讲解
一、两点距离

根据两向量数量积的性质和坐标运算,
? 2 2 2 ? ?2 a ? x ? y ? z 利用公式 a ? a 或

? (其中 a ? ( x, y, z ) ) ,可将两点距离问题
转化为求向量模长问题

新课讲解

r />二、点线距离
1.借助直线的向量表达形式假设出 垂线段向量的坐标, 2.结合线线垂直求出垂线段向量坐标 3.运用垂线段向量坐标求出其模长即点线距

B

G

C

A

新课讲解 三、点面距
一般方法:
利用定义先作出过 这个点到平面的垂 线段,再计算这个 垂线段的长度。

P
d

?

O

还可以用等积法求距离.

1.向量法求点到平面的距离

d ? d ?| AP | sin? sin ? ? ??? AP ??? ? ? | AP ? n | ? ? sin ? ? ??? AP ? n

P

? n

d
O

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n

?
A ?

? ??? ? 其中 AP 为斜向量, n 为法向量。

2、直线到平面的距离

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n
A ?

l

P
d
O

? n

? ??? ? 其中 AP 为斜向量, n 为法向量。

3、平面到平面的距离

? n
P

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n

?
d
A ?

O

4、异面直线的距离

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n

? n
a
b
P

??? ? AP ? ?

? ? ? n 是与 a, b 都垂直的向量

n?

?

A

四种距离的统一向量形式:

??? ? ? 直线到平面的距离: | AP ? n | d ? ? 平面到平面的距离: n
异面直线的距离:

点到平面的距离:

题型一:求两点距
例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以

顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角
都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的 长与棱长有什么关系?
D1 A1 D
A
B1

C1

分析

C

图1

B

题型一:求两点距
例1
如图, 正方形 ABCD 和 ABEF 的边 长都是 1,且它们所在平面互相垂直,点 M 在 AC 上,点 N 在 BF 上.若 CM= 2 BN= ,求 MN 的长. 2

[思路探索] 考虑到所给图形易建坐标系,所以可用向量法求 解,即求|MN|.





法一

建立如图所示的空间直角坐

标系. 则 A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1) 2 ∵ CM= BN= , 2 且四边形 ABCD、 ABEF 为正方形,
1 1 1 1 ∴M( ,0, ),N( , ,0), 2 2 2 2 1 1 ∴MN=(0, ,- ), 2 2 ∴|MN|=





1 1 2 2 0+ + = ,即 MN= . 4 4 2 2







方法总结

规律方法 求两点间的距离的向量法主要是坐 标法(易建系的)和基向量法(各基向量的模和 夹角已知或可求),利用向量模的定义求解.

ABβ 【变式1】 如图所示,在120°的二面角α 中,AC?α,BD?β且AC⊥AB,BD⊥AB,
垂足分别为A、B,已知AC=AB=BD=6,

试求线段CD的长.
解 ∵ AC⊥ AB, BD⊥ AB,∴CA·AB= 0,BD·AB= 0,









又∵二面角 α ABβ 的平面角为 120°, ∴〈CA,BD〉= 60°, → → → 2 ∴ CD = |CD| = (CA+AB+ BD)
2 2







→ =CA +AB + BD + 2(CA·AB+CA· BD+BD·AB)
2

→2

→2









= 3× 62+ 2× 62× cos 60°= 144,∴ CD= 12.

题型二:求点线距
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求下列问题: (1) 求C到直线AE的距离; z

D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

y

x

B

题型三:求点面距
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求下列问题: (2) 求B1到面A1BE的距离; z

D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

y

x

B

???? ? ???? ? 1 2)A1 E =(-1, ,0),A1 B =(0,1,-1)设n ? ( x, y, z )为面A1BE的法向量, 2 则 ? ???? ? 1 ? ? n ? A E ? 0, ? x ? y ? 0, ? ? 1 z 2 ? ? ? ???? ? ?n ? A1 B ? 0, ? ? y ? z ? 0, E
取x=1,得平面A1 BE的 ? A1 一个法向量 n ? (1, 2, 2) ???? ? 选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 ? ? 0,1,0 ? , ???? ? ? D A1B1 ? n 2 得B1到面A1BE的距离为d ? ? ? 3 A n
? y ? 2 x, 即? ? z ? 2 x,

D1

C1

B1
C
B

y

x

题型三:求点面距
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求下列问题: (3) 求D1C到面A1BE的距离;z

D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

y

x

B

题型三:求点面距
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求下列问题: (4) 求面A1DB与面D1CB1的距离;

z

D1
A1

C1

B1
D
C

A

y

x

B

题型三:求点面距
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求下列问题: (5) 求异面直线D1B与A1E的距离.

z

D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

y

x

B

解:5)以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴, DD1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系D ? xyz,如图所示 1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 z ???? ? ? ???? ? 1 ? ? A1 E ? ? ?1, , 0 ? , D1B ? ?1,1, ?1? 2 ????? ? E ? ? ???? ? D1 C1 设 n ? ( x, y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量, ? ???? ? 1 ? A1 则? B1 n ? A E ? 0, ? x ? y ? 0, ? ? 1 ? 2 ? ? ? ???? ? ?n ? D1 B ? 0, ? ? x ? y ? z ? 0, ? D ? y ? 2 x, C 即? 取 x=1,得其中一个 n ? (1, 2, 3) ? z ? 3x, ????? ? B 选 A1 E 与 BD1的两点向量为 D1 A1 ? ?1, 0, 0 ? , A ???? ? ? ? D1 A1 ? n 14 得A1E与BD1的距离 d ? ? ? 14 n

y

x

课堂练习
1.已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面 ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的中点, (1)求点B到平面GEF的距离。 z G (2)求GF与BC的距离
x
F D C

A

E

B

y

课堂练习
2.在三棱锥S-ABC中,ABC 是边长为4的正三角形, 平面SAC垂直平面ABC,SA=SC= 2 3 , M、N分别
为AB、SB的中点

(1)证明:AC ? SB; (2)求二面角N ? CM ? B 的正弦值大小; (3)求点B到平面CMN的距离.
A x

S

z

N
C O M y B



更多相关文章:
第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (三)—— 利用向量方法求距离
第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (三)—— 利用向量方法求距离_数学_高中教育_教育专区。高中数学§ 3.2 立体几何中的向量方法(三) ...
2015-2016学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2-07 立体几何中的向量方法求空间距离(2)教案
2015-2016学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2-07 立体几何中的向量...利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤, 而...
向量法求解空间距离与空间角
1- 向量法求解空间距离空间角要求能掌握用向量解决空间距离空间问题。 ...( 2 3) 3 D1 A1 F D C1 B1 E C y x A B 专题讲义: 向量法求解...
利用空间向量的坐标运算解决立体几何中的夹角和距离问题
利用空间向量的坐标运算解决立体几何中的夹角和距离问题_高三数学_数学_高中教育_...2 ,2 可计算平面 SBC 的一个法向量是 n ? (0,3 ,2), AB ? (0,2,...
利用空间向量解立体几何问题2
利用空间向量解立体几何问题 2、例 2 已知三角形的...(1, 2, ?2) , AC ? (?2,0, ?3) ,∴ ...(3)求点 O 到平面 ABM 的距离. 解:方法(一) ...
空间向量法解决立体几何问题
空间向量解决立体几何问题_理学_高等教育_教育专区。【空间向量与立体几何知识...; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度; 3、求解空间中的距离。...
利用空间向量计算距离问题
利用空间向量计算距离问题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。空间向量 计算距离...2. 求点到直线、点到平面的距离,可以利用本节课所学的公式来解决. 3.在对...
山东省济宁一中09年高考数学(人教A版选修2-1)第一轮复习教学案:第三章空间向量与立体几何(1)
解决一些综合性问题来进行考查,如空间中线面关系的论证,空间中角和距离的求解...(3) a ? (b + c) = ___. .向量的坐标运算 6. a ? ( x, y,...
用空间向量解决空间几何的问题讲义
空间向量解决空间几何的问题讲义_高三数学_数学_高中教育_教育专区。用空间向量...; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度; 3、求解空间中的距离。...
空间向量的夹角和距离公式1
空间向量的夹角和距离公式1_高一数学_数学_高中教育...并会用这些公式 解决有关问题; ⒉使学生经历对从...( 30, 30, 0 ) , E1 30, ,30 2 3 诚朴信...
更多相关标签:
空间向量点到直线距离    空间向量解决立体几何    空间向量距离公式    空间向量求距离    利用空间向量求距离    空间向量距离    空间向量与空间距离    空间向量的距离公式    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图