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广东省2012届高三全真模拟卷数学理12



广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 12
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.已知集合

A = {( x, y ) | x + y = 0, x, y ∈ R} B = {( x, y ) | x ? y = 0, x, y ∈ R}

,则集合

AI B=
A. (0,0) B.
2011

{x = 0}∪ {y = 0}

C.

{0}

D. {(0,0)}

? 1? i ? ? ? 2. ? 1 + i ?
A.1

的值是 B. ?1 C. D. ?i

r r v v a = (1, , b = ( x , ,若向量 a ⊥ b ,则 x = 2) 4) 3.已知向量
A.2 B.

?2

C. 8

D. ?8

4.已知 a > 0 ,且 a ≠ 1 ,

f ( x) =

1 1 ? , 则f ( x)是 x 1? a 2

A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性与 a 有关 5.已知直线、 m ,平面 α、β ,则下列命题中: ①.若 α // β , l ? α ,则 l // β ②.若 α // β , l ⊥ α ,则 l ⊥ β ③.若 l // α , m ? α ,则 l // m ④.若 α ⊥ β , α ∩ β = l , m ⊥ l ,则 m ⊥ β 其中,真命题有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

1 1 1 1 + + +L+ 20 的值的一个 6.给出计算 2 4 6
程序框图如右图,其中判断框内应填入的条件是. A. i > 10 B. i < 10 C. i > 20 D. i < 20

2 7. lg x, lg y , lg z 成等差数列是 y = xz 成立的

A.充分非必要条件能 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 8.规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b = ab + a + b ( a, b为正实数) ,若 1 ? k = 3 ,

则k = A. ?2 B.1 C. ?2 或 1 D.2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

9.在约束条件

?x > 0 ? ?y ≤ 1 ?2 x ? 2 y + 1 ≤ 0 ?

下,目标函数 S = 2x + y 的最大值为



10.如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为 1 的正三角形,俯视图是一个圆,那么这个几 何体的体积为 .

(x ?
11.

1 6 ) x 的展开式中的常数项是

. (用数字作答)

12.一个容量为 20 的样本,数据的分组及各组的频数如下表:(其中 x,y∈N*) 分/组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)

频 数

2

x

3

y .

2

4

则样本在区间 [10,50 ) 上的频率 13.已知数列

{an } 满足 a1 = 2 , an +1 = 2an + 1( n ∈ N * ) ,则 a4 = an =




该数列的通项公式

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如右图,四边形 ABCD 内接 于⊙ O ,BC 是直径,MN 切⊙ O 于 A, ∠MAB = 25 , 则 ∠D = .
?

15. (坐标系与参数方程选做题)以极坐标系中的点(1,1)为圆 心,1 为半径的圆的方程是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在 △ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,已知

1 1 tan A = , tan B = 2 3 ,且最长边的边长为 l. ,
求: (1)角 C 的大小; 2)△ABC 最短边的长. ( 17. (本小题满分 12 分)
3 2 在函数 f (x ) 图像上一点 P (1, f (1)) 处切线的斜率为 3. 已知函数 f ( x) = x + ax + bx + 5 ,

(1)若函数 y = f (x ) 在 x = ?2 时有极值,求 f (x ) 的解析式; (2)若函数 y = f (x ) 在区间 [?2,1] 上单调递增,求 b 的取值范围.

18. (本小题满分 14 分) 一个暗箱里放着 6 个黑球、4 个白球. (1)依次取出 3 个球,不放回,若第 1 次取出的是白球,求第 3 次取到黑球的概率; (2)有放回地依次取出 3 个球,若第 1 次取出的是白球,求第 3 次取到黑球的概率; (3)有放回地依次取出 3 个球,求取到白球个数 ξ 的分布列和期望. 19. (本小题满分 14 分) 如右图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,

PD ⊥ 平面 ABCD , PD = AB = 2 , E , F , G 分别为

PC 、 PD 、 BC 的中点. (1)求证: PA ⊥ EF ;
(2)求二面角 D-FG-E 的余弦值. 20. (本小题满分 14 分)
x 已知函数 f ( x) = e ? x ( e 为自然对数的底数) .

(1)求函数 f ( x ) 的最小值;

e ?1? ?2? ? n ?1? ? n ? ? ? + ? ? +L+ ? ? +? ? < * e ?1 . ?n? ? n ? ?n? (2)若 n ∈ N ,证明: ? n ?
n n n n

21. (本小题满分 14 分)
2 M ( 2, 2 ) 已 知 抛 物 线 L : x = 2 py 和 点 ,若抛物线 L 上存在不同两点 A 、 B 满足

uuuu uuuu r r AM + BM = 0 .
(1)求实数 p 的取值范围; (2)当 p = 2 时,抛物线 L 上是否存在异于 A 、 B 的点 C ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的 圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线,若存在,求出点 C 的坐标,若不存在,请说明理由.

参考答案 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 A 5 B 6 A 7 A 8 B

1.选 D 提示:求 2 条直线的交点. 2.选 C.提示:先将括号里面的式子化简. 3.选 D.提示: a ? b = x1 x 2 + y1 y 2 = 0 . 4.选 A.提示: f ( ? x ) = ? f ( x ) 5.选 B 提示:(2)(3)(4)为假命题

当S =
6.选 A.提示:

1 1 1 1 + + +L + 时, i = 11 2 4 6 20 .

7.选 A.提示:当 x,z 都取负数时. 8.选 B.提示:根据运算有

1 ? k + 1 + k 2 = 3, k ∈ R * ,∴ k = 1 .

二.填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

9. 2 12. 0.7 15.

3 π 10. 24
13. 23 ; 3 ? 2
n?1

11. ?20

?1

14. 115°

ρ = 2cos (θ ? 1)

1 在点( , 1)处取得最大值 2 9.2.提示: .
3 1 π 此几何体为圆锥,底面圆的半径为 , 2 10. 24 .提示:

圆锥高为

3 2 .

1 常数项为: C 3 x 3 ( ? ) 3 = ?20 6 x 11.-20.提示: .
x + y = 9,∴

12. 0.7 .提示:

5 + x + y 14 = = 0. 7 20 20 .

13. 23 ; 3 ? 2

n?1

n ?1 ? 1 .提示: a n +1 + 1 = 2( a n + 1),∴ a n + 1 = 3 ? 2 .
0 0

14. 115° .提示: 连接 AC,由已知得: ∠BCA = 25 ,∠BAC = 90 ,

∠ABC = 65 0 ,∠ADC = 115 0 .
15.

ρ = 2cos (θ ? 1)

.提示: 转化为直角坐标系求解 .

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)tanC=tan[π-(A+B)] =-tan(A+B)………………… 2 分

1 1 + =? 2 3 tan A + tan B 1 1 =? 1? × 2 3 1 ? tan A tan B
∵0 < C <π , ∴

= ?1

………………… 4 分

C=

3π 4

…………………6 分

(2)∵0<tanB<tanA, ∴A.B 均为锐角, 则 B<A,又 C 为钝角, ∴最短边为 b ,最长边长为 c, ………………… 8 分

tan B =


1 10 sin B = 3 ,解得 10 ………………… 10 分

b c = 由 sin B sin C



c ? sin B b= = sin C




10 10 = 5 5 2 2 .…………………12 分

17. (本小题满分 12 分)
3 2 解:由 f ( x) = x + ax + bx + 5 2 ′ 求导数得 f ( x) = 3 x + 2ax + b ,

由在函数 f (x ) 图像上一点 P (1, f (1)) 处切线的斜率为 3,

′ 知 f (1) = 3 ,即 3 + 2a + b = 3 ,

化简得 2a + b = 0 …… ①

…………………2 分

因为 y = f (x ) 在 x = ?2 时有极值,

′ 所以 f ( ?2) = 0 ,即 12 ? 4a + b = 0 …… ②
由①②联立解得 a = 2, b = ?4 , ∴ f ( x) = x + 2 x ? 4 x + 5 .…………………6 分
3 2

′ (2) f ( x) = 3 x + 2ax + b ,
2

由①知 2a + b = 0 ,
2 ′ ∴ f ( x) = 3 x ? bx + b .

y = f (x ) 在区间 [?2,1] 上单调递增, ′ ′ 依题意 f (x ) 在 [?2,1] 上恒有 f ( x ) ≥ 0 ,………8 分
2 即 3 x ? bx + b ≥ 0 在 [?2,1] 上恒成立,

下面讨论函数

y = f ′( x)

的对称轴:

x=


b ≥1 6 时,

f ′( x) min = f ′(1) = 3 ? b + b > 0 ,
∴ b ≥ 6 .…………………9 分

x=


b ≤ ?2 6 时,

f ′( x) min = f ′(?2) = 12 + 2b + b ≥ 0 ,
无实数解.…………………10 分

?2<


b <1 6 时, 12b ? b 2 ≥0 12 ,

f ′( x ) min =

∴ 0 ≤ b < 6 .…………………11 分

综合上述讨论可知,

b 的取值范围是 {b b ≥ 0}.…………………12 分

18. (本小题满分 14 分) 解:设事件 A 为“第 1 次取到白球” , B 为“第 2 次取到白球” , C 为“第 3 次取到白球” ,则

P C|A =

(

)

1 1 1 1 1 C4 ( C6C5 + C3C6 )

C A

(1) (2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化, 所以每次取球互不影响,

1 4

2 9

=

2 3.

…………………4 分

P C =
所以

( )

6 3 = 10 5 .…………………8 分

(3)设事件 D 为“取一次球,取到白球” ,

P ( D) =


2 5,

P D =

( )
ξ

3 5 ,…………………10 分

这 3 次取出球互不影响,



? 2? B ? 3, ? ? 5 ? ,…………………12 分
k 3? k k 3

? 2? ?3? ∴ P (ξ = k ) = C ? ? ? ? ?5? ?5?
19. (本小题满分 14 分)



( k = 0,1, 2,3) .…………14 分

(1)证法 1:∵ PD ⊥ 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , ∴ CD ⊥ PD . 又 ABCD 为正方形, ∴ CD ⊥ AD . ∵ PD I AD = D , ∴ CD ⊥ 平面 PAD .…………………4 分

∵ PA ? 平面 PAD ,∴ CD ⊥ PA . ∵ EF

CD ,

∴ PA ⊥ EF .…………………6 分 证法 2:以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz , 则 F (0, 0,1) , E (0,1,1) , P (0, 0, 2) , A(2, 0, 0) ,

uuu r uuu r PA = (2, 0, ?2) , EF = (0, ?1, 0) .…………………4 分



uuu uuu r r PA EF = ( 2, 0, ?2 ) ( 0, ?1, 0 ) = 0



∴ PA ⊥ EF .…………………6 分 (2)解法 1:以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz , 则 D (0, 0, 0) , F (0, 0,1) , z P

G (1, 2, 0) , E (0,1,1) , uuur uuu r DF = (0, 0,1) , EF = (0, ?1, 0) , uuur FG = (1, 2, ?1) .…………………8 分
设平面 DFG 的法向量为 F

E C D ,

y G B x

A

m = ( x1 , y1 , z1 )

uuur ?m ? DF = 0, ? ? uuur ?m ? FG = 0. ∵?

? z1 = 0, ∴? ? x1 + 2 y1 ? z1 = 0.


y1 = 1 ,得 m = ( ?2,1, 0 ) 是平面 DFG 的一个法向量.…………10 分 n = ( x2 , y2 , z2 ) ,

设平面 EFG 的法向量为

uuu r ?n ? EF = 0, ? ?? y2 = 0, ∴? ? uuur ? x2 + 2 y2 ? z2 = 0. ?n ? FG = 0. ∵?


z2 = 1 ,得 n = (1, 0,1) 是平面 EFG 的一个法向量.……………12 分

cos < m , n >=


m?n ?2 ?2 10 = = =? | m |?| n| 5? 2 10 5 .

设二面角 D ? FG ? E 的平面角为 θ,则 θ =< m , n > .

所以二面角 D ? FG ? E 的余弦值为

?

10 5 .…………………14 分

解法 2:以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ,

uuur D (0, 0, 0) , F (0, 0,1) , G (1, 2, 0) , E (0,1,1) , DF = (0, 0,1) , 则 uuur uuu r DG = (1, 2, 0) , EF = (0, ?1, 0) , uuu r uuur EG = (1,1, ?1) , FG = (1, 2, ?1) .…………………8
分 过 D 作 FG 的垂线,垂足为 M , ∵ F , G , M 三点共线,



uuuu r uuur uuur DM = λ DF + (1 ? λ ) DG



uuuu uuu r r DM FG = 0 , ∵ uuur uuur uuur uuu r λ DF FG + (1 ? λ ) DG FG = 0






λ × ( ?1) + (1 ? λ ) × 5 = 0

λ=
,解得

5 6 .…………………10 分



uuuu 5 uuur 1 uuur ? 1 1 5 ? r DM = DF + DG = ? , , ? 6 6 ? 6 3 6 ? .再过 E 作 FG 的垂线,垂足为 N , ∴ uuur uuu r uuur EN = ? EF + (1 ? ? ) EG F , G, N
三点共线,∴ ,

uuu uuur r uuur uuur uuur uuu r EN FG = 0 , ∴ ? EF FG + (1 ? ? ) EG FG = 0 , ∵


? × ( ?2 ) + (1 ? ? ) × 4 = 0
?=



解得

uuur 2 uuu 1 uuur ? 1 1 1 ? r 2 EN = EF + EG = ? , ? , ? ? 3 3 ? 3 3 3? . 3 .∴

uuuu uuur r uuuu uuur r DM EN 10 cos DM , EN = uuuu uuur = ? r 5 DM ? EN
∴ .…………………12 分

uuuu uuur r ∵ DM 与 EN 所成的角就是二面角 D ? FG ? E 的平面角,

所以二面角 D ? FG ? E 的余弦值为 20. (本小题满分 14 分)

?

10 5 .…………………14 分

x x ′ (1)解:∵ f ( x) = e ? x ,∴ f ( x) = e ? 1 .

′ 令 f ( x ) = 0 ,得 x = 0 .
∴当 x > 0 时,

f ′( x) > 0

,当 x < 0 时,

f ′( x) < 0

.……………4 分

x ( ?∞, 0 ) 上单调递减, ∴函数 f ( x) = e ? x 在区间

在区间

( 0, +∞ ) 上单调递增.∴当 x = 0 时, f ( x) 有最小值 1.…………………6 分

x x (2)证明:由(1)知,对任意实数 x 均有 e ? x ≥ 1 ,即 1 + x ≤ e .

x=?


k ? k k 0 < 1? ≤ e n * n ( n ∈ N , k = 1, 2,L , n ? 1 ) n ,则 ,

k ? k ? ? ?n ? ?k ?1 ? ? ≤ ? e ? = e (k = 1, 2,L , n ? 1) n? ? ? ∴? .…………………9 分 n

n

?n?k ? ?n? ?k ? ? ≤ e (k = 1, 2,L , n ? 1) ? ? = 1, ? n ? 即 . ∵? n ?
n n

?1? ?2? ? n ?1 ? ? n ? ? ( n ?1) + e ? ( n ? 2) + L + e?2 + e ?1 + 1 ? ? + ? ? +L+ ? ? +? ? ≤ e n? ?n? n ? ?n? ? ∴? .…12 分
n n n n

e? ( n ?1) + e ? ( n ? 2) + L + e ?2 + e ?1 + 1 =

n n n

1 ? e?n 1 e < = ?1 ?1 1? e 1? e e ?1 ,
n

e ?1? ?2? ? n ?1? ? n ? ? ? + ? ? +L+ ? ? +? ? < e ? 1 .……………14 分 ?n? ? n ? ?n? ∴ ?n?
21. (本小题满分 14 分)
2 ? ? x12 ? x2 ? ? x1 , ? ? x2 , ? ? 2 p ? ,B ? 2 p ? ,且 x1 < x2 , 解法 1: (1)不妨设 A

? x12 ? ? x2 2 ? uuuu uuuu r r ? 2 ? x1 , 2 ? ? + ? 2 ? x2 , 2 ? ?=0 2p ? ? 2p ? AM + BM = 0 ,∴ ? ∵ .


x1 + x2 = 4 x +x
2 1 2 2



2 x12 + x2 = 8 p .…………………4 分

(x + x ) > 1 2
2

2





x1 ≠ x2

) ,即 8 p > 8 ,

(1, +∞ ) .…………………6 分 ∴ p > 1 ,即 p 的取值范围为 ( 0, 0 ) . ( 4, 4 ) . (2)当 p = 2 时,由(1)求得 A . B 的坐标分别为
? t2 ? C ? t, ? L 上存在点 ? 4 ? ( t ≠ 0 且 t ≠ 4 ) 假设抛物线 ,…………8 分
使得经过 A . B . C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线.
2 2 设经过 A . B . C 三点的圆的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0 ,

? F = 0, ? ?4 D + 4 E + F = ?32, ?16tD + 4t 2 E + 16 F = ?t 4 ? 16t 2 . 则?
整理得

t 3 + 4 ( E + 4 ) t ? 16 ( E + 8) = 0



①…………9 分

x2 x y= y′ = 4 的导数为 2, ∵函数

? t2 ? t C ? t, ? 4? ∴抛物线 L 在点 ? 处的切线的斜率为 2 , ? t2 ? t C ? t, ? 4? ∴经过 A . B . C 三点的圆 N 在点 ? 处的切线斜率为 2 .………10 分
∵ t ≠ 0 ,∴直线 NC 的斜率存在.

? D E? ?? ,? ? 2 ?, N 的坐标为 ? 2 ∵圆心

t2 E + 4 2 × t = ?1 D 2 t+ 2 , ∴



t 3 + 2 ( E + 4 ) t ? 4 ( E + 8) = 0
3


2

②…………………12 分

∵ t ≠ 0 ,由①.②消去 E ,得 t ? 6t + 32 = 0 .



(t ? 4) (t + 2) = 0 .
2

∵ t ≠ 4 ,∴ t = ?2 . 故满足题设的点 C 存在,其坐标为

( ?2,1) .…………………14 分

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且 x1 < x2 。 解法 2: (1)设 A , B 两点的坐标为

uuuu uuuu r r AM + BM = 0 ,可得 M 为 AB 的中点, ∵


x1 + x2 = 4 .…………………2 分

显然直线 AB 与 x 轴不垂直, 设直线 AB 的方程为 y ? 2 = k ( x ? 2) , 即 y = kx + 2 ? 2 k ,…………………3 分
2 将 y = kx + 2 ? 2 k 代入 x = 2 py 中, 2 得 x ? 2 pkx + 4( k ? 1) p = 0 . …………………4 分



?? = 4 p 2 k 2 ? 16(k ? 1) p > 0, ? ? x1 + x2 = 2 pk = 4.

∴ p > 1.

故 p 的取值范围为 (1, + ∞ ) .

…………………6 分

A ( 0, 0 ) , B ( 4, 4 ) (2)当 p = 2 时,由(1)求得 A , B 的坐标分别为 .
? t2 ? C ? t, ? 2 4 ? t≠0 t≠4 假设抛物线 L : x = 4 y 上存在点 ? ( 且 ) ,
使得经过 A . B . C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有相同的切线. 设圆的圆心坐标为 N ( a , b ) ,

? NA = NB , ? ? ? NA = NC . ∵ ?

? a 2 + b 2 = (a ? 4) 2 + (b ? 4) 2 , ? ? 2 ? 2 ? t2 ? 2 2 ? a + b = (a ? t ) + ?b ? ? . 4? ? ? ∴ ? 即

?a + b = 4, ? ? 1 3 ?4a + tb = 2t + 8 t . ?

…………………8 分

? t 2 + 4t a=? , ? ? 8 ? 2 ?b = t + 4t + 32 . ? 8 解得 ?

…………………10 分

∵抛物线 L 在点 C 处切线的斜率为

k = y ′ |x =t =

t 2,

t2 4 ? t = ?1 而 t ≠ 0 ,且该切线与 NC 垂直,∴ a ? t 2 . b? 1 2a + bt ? 2t ? t 3 = 0 4 即 . …………………12 分 a=?


t 2 + 4t t 2 + 4t + 32 b= 8 , 8 代入上式,

3 2 得 t ? 2t ? 8t = 0 .

即 t (t ? 4)(t + 2) = 0 .∵ t ≠ 0 且 t ≠ 4 ,∴ t = ?2 . 故满足题设的点 C 存在,其坐标为

( ?2,1) . …………………14 分



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