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高等数学竞赛综合练习一1


2013 年高等数学竞赛培训综合练习(一)
一、填空题

1、 2、 3、 4、 5、

设 f ( x) ? ( x 2 ? 3x ? 2) n cos

?x 2
16

, 则 f (n ) (2) ? ______________

设 y ? x n -1 ln x ,则 y (n ) ? _____________

lim n (1 ? 2 n ? x n ) ( x ? 0) ? __________ __________
n??

?? 1 ?? 2? ? n ?? lim ??1 ? 2 ??1 ? 2 ?? ?1 ? 2 ?? ? __________ _______ n ?? ?? n ?? n ? ? n ??

lim

cos(sinx) ? cos x ? __________ _______ x ?0 x4
2

(1 ? x) x ? e 2 (1 ? ln(1 ? x)) 二、 计算 lim x?0 sin x

1

三、已知 x0 ? 1, x n ?1 ?

1 xn ? 4
3

(n ? 0,1,2,?) ,证明数列 { x n } 收敛且其极限为方程

x 4 ? 4 x ? 1 ? 0 的唯一正根。

四、设 y ? (arctan x) 2 ,先建立 y (n ) (0) 的递推公式,然后计算 y (n ) (0) 的通项公式

2

五、设 x0 ? a,0 ? a ? (2) lim

?
2

(1) lim x n ? 0 , xn ? sin xn?1 (n ? 1,2,?) ,证明:
n ??

n ??

n x n ? 1 (提示:用 Stolz 定理) 3

1

1

六、设 a0 ? a ? 0, a1 ? (a ? a 3 ) 3 ,? an?1 ? (an ? an 3 ) 3 ,?
1

1

1

证明: (1)数列 {a n } 为单调有界数列; (2)数列 {a n } 收敛到方程 x 3 ? x ? x 3 的一 个正根

3

七 、 设 f (x) 在 [a, b] 上 三 阶可 导, 且 有 f (a) ? f ' (a) ? f (b) ? 0 , 证明 对每 个
x ? [a, b] ,存在 ? ? (a, b) ,成立 f ( x) ?

f ' ' ' (? ) ( x ? a) 2 ( x ? b) (提示:用待定系数 3!

法)

八、 f (x) 在 [0,??) 上二阶可导, f (0) ? 1, f ' (0) ? 1, f ' ' ( x) ? f ( x) , 设 证明: x ? 0 当 时, f ( x) ? e x

4

九、

设 f (x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f (a) ? f (b) ? 1 ,证明:
1 1 ? ? 2(b ? a) f ' (? ) f ' (? )

存在 ? ,? ? (a, b), ? ? ? ,使得

十、

k 已知 f n ( x) ? ? (?1) k ?1 C n cosk x ,证明: (1)对任意自然数 n ,方程 k ?1

n

f n ( x) ?
n ??

1 1 ? 1 在区间 (0, ) 仅有一个根; (2)设 x n ? (0, ) 满足 f n ( x n ) ? , 2 2 2 2

则 lim x n ?

?

2

5

十一、设 f (x) 在 [?1,1] 上具有连续的三阶导数,且 f (?1) ? 0, f (1) ? 1, f ' (0) ? 0 ,求证: 在 (?1,1) 内存在一点 ? ? (?1,1) 使得 f ' ' ' (? ) ? 3

十二、 f (x) 有连续的二阶导数, f (0) ? f ' (0) ? 0 且 f ' ' ( x) ? 0 , 设 求极限 lim

0 x ?0 ? x 0

? ?

u

f (t ) dt f (t ) dt



其中 u 是曲线 y ? f (x) 在点 ( x, f ( x)) 处的切线在 x 轴上的截距。

6


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