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高中数学选修2-2导学案



人教 A 版

§ 1.1.1
【学习要求】
1.理解并掌握平均变化率的概念.

函数的平均变化率导学案

2.会求函数在指定区间上的平均变化率. 3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.

【学法指导】
从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率, 也可以从

图象上数形结合看平均变化率的几何意义.

【知识要点】
1.函数的平均变化率:已知函数 y=f(x),x0,x1 是其定义域内不同的两点,记 Δx= =f(x1)-f(x0)= 的 . ,则当 Δx≠0 时,商 ,Δy=y1-y0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) =____叫做函数 y=f(x)在 x0 到 x0+Δx 之间 ?x

Δy 2.函数 y=f(x)的平均变化率的几何意义: =__________ Δx 表示函数 y=f(x)图象上过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的割线的 .

【问题探究】
在爬山过程中,我们都有这样的感觉:当山坡平缓时,步履轻盈;当山坡陡峭时,气喘吁吁.怎样用 数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢?下面我们用函数变化的观点来研究这个问题. 探究点一 函数的平均变化率 问题 1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度? 问题 2 什么是平均变化率,平均变化率有何作用? 例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示,试分别计算从出 生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率. 问题 3 平均变化率有什么几何意义? 跟踪训练 1 如图是函数 y=f(x)的图象,则: (1)函数 f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为________; (2)函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________. 探究点二 求函数的平均变化率 例 2 已知函数 f(x)=x2,分别计算 f(x)在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001]. 跟踪训练 2 分别求函数 f(x)=1-3x 在自变量 x 从 0 变到 1 和从 m 变到 n(m≠n) 时的平均变化率. 问题 一次函数 y=kx+b(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点?

探究点三 平均变化率的应用 例 3 甲、乙两人走过的路程 s1(t),s2(t)与时间 t 的关系如图,试比较两人的平均速度哪个大? 跟踪训练 3 甲用 5 年时间挣到 10 万元,乙用 5 个月时间挣到 2 万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营 成果?

【当堂检测】
1.函数 f(x)=5-3x2 在区间[1,2]上的平均变化率为__________ 2.一物体的运动方程是 s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________ 3.甲、乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示,治污效果较好的是________.

【课堂小结】
1.函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢;平均变化率的几何意义是曲线割线的斜 率,在实际问题中表示事物变化的快慢. 2.求函数 f(x)的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 Δy=f(x2)-f(x1); Δy f ( x2 ) ? f ( x1 ) (2)计算平均变化率 = . Δx x ?x
2 1

【拓展提高】
1.设函数 y ? f ( x) ,当自变量 x 由 x0 改变到 x0 ? ?x 时,函数的改变量 ?y 为( A. f ( x0 ? ?x) B. f ( x0 ) ? ?x C. f ( x0 )?x )

D. f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )

2.质点运动动规律 s ? t 2 ? 3 ,则在时间 (3,3 ? ?t ) 中,相应的平均速度为( ) 9 A. 6 ? ? t B. 6 ? ?t ? C. 3 ? ? t D. 9 ? ? t ?t

【教学反思】

1

§ 1.1.2
【学习要求】

瞬时速度与导数导学案

1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义. 2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率. 3.理解并掌握导数的概念,掌握求函数在一点处的导数的方法. 4.理解并掌握开区间内的导数的概念,会求一个函数的导数.

【学法指导】
导数是研究函数的有力工具,要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系,体会无限逼近的思想;可 以从物理意义,几何意义多角度理解导数.

【知识要点】
1.瞬时速度:我们把物体在某一时刻的速度称为 . 设物体运动路程与时间的关系是 s=s(t), 物体在 t0 时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在 t0 到 t0+Δt 这段时间 内的平均变化率

s(t 0 ? ?t ) ? s(t 0 ) Δs ,当 Δt→0 时的极限,即 v= lim =__________________ Δt ?t Δt→0
Δx→0

2.瞬时变化率:一般地,函数 y=f(x)在 x0 处的瞬时变化率是 lim

Δy =_________________. Δx

3.导数的概念:一般地,函数 y=f(x)在 x0 处的瞬时变化率是_________________,我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的 ,记为 ,即 f′(x0)= lim
Δx→0

Δy =________________ Δx .这样,对开区

4.导函数:如果 f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 都是可导的,则称 f(x)在区间(a,b)

间(a,b)内每个值 x,都对应一个确定的导数 f ?( x) ,于是在区间(a,b)内, f ?( x) 构成一个新的函数,把 这个函数称为函数 y=f(x)的 记为 .

或 y′(或 y′x).导函数通常简称为

【问题探究】
探究点一 瞬时速度 问题 1 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位: m )与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关 系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度 v 粗略地描述其运动状态? 问题 2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态? 问题 3 如何描述物体在某一时刻的运动状态? 例 1 火箭竖直向上发射.熄火时向上速度达到 100 m / s .试问熄火后多长时间火箭向上速度为 0? 问题 4 火箭向上速度变为 0,意味着什么?你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗? 跟踪训练 1 质点 M 按规律 s(t)=at2+1 做直线运动(位移单位: m ,时间单位: s ).若质点 M 在 t=2 时 的瞬时速度为 8 m / s ,求常数 a 的值. 探究点二 导 数
2

问题 1 从平均速度当 Δt→0 时极限是瞬时速度,推广到一般的函数方面,我们可以得到什么结论? 问题 2 导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用? 问题 3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系? 例 2 利用导数的定义求函数 f(x)=-x2+3x 在 x=2 处的导数. 跟踪训练 2 已知 y=f(x)= x+2,求 f′(2). 探究点三 导数的实际应用 例 3 一正方形铁板在 0℃时, 边长为 10 cm , 加热后铁板会膨胀. 当温度为 t C 时, 边长变为 10(1+at) cm , a 为常数,试求铁板面积对温度的膨胀率. 跟踪训练 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第 x h
0 时,原油的温度(单位: C )为 y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第 2 h 和第 6 h 时,原油温度的瞬时 0

变化率,并说明它们的意义.

【当堂检测】
1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数定义中,自变量 x 在 x0 处的增量 Δx ( A.大于 0 ) B.小于 0 C.等于 0 D.不等于 0 1 2.一物体的运动方程是 s= at2(a 为常数),则该物体在 t=t0 时的瞬时速度是 ( 2 1 A.at0 B.-at0 C. at0 D.2at0 2 3 3.已知 f(x)=-x2+10,则 f(x)在 x= 处的瞬时变化率是 ( ) 2 A.3 4.已知函数 f(x)= B.-3 C.2 D.-2 1 ,则 f ?(1) =________ x

)

【课堂小结】
1.瞬时速度是平均速度当 Δt→0 时的极限值;瞬时变化率是平均变化率当 Δx→0 时的极限值. 2.利用导数定义求导数的步骤: (1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy (2)求平均变化率 ; Δx (2)取极限得导数 f′(x0)= lim
Δx→0

Δy . Δx

【拓展提高】
1. 设f ??3? ? 4, 则 lim
h ?0

f ?3 ? h ? ? f ?3? 为( 2h

) D.1

A.-1

B.-2

C.-3

2.一质点做直线运动,由始点起经过 t s 后的距离为 s ? A.4 s 末 B.8 s 末 C.0 s 与 8 s 末

1 4 t ? 4t 3 ? 16t 2 ,则速度为零的时刻是 ( 4
D.0 s ,4 s ,8 s 末



【教学反思】

3

§ 1.1.3
【学习要求】
2.会求导函数.

导数的几何意义导学案

1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.

3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.

【学法指导】
前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想, 本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思 想,并进一步体会另一种重要思想——以直代曲.

【知识要点】
1.导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率 设函数 y=f(x)的图象如图所示, AB 是过点 A(x0, f(x0))与点 B(x0+Δx, f(x0+Δx)) Δy 的一条割线,此割线的斜率是 =__________________. Δx 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时,割线 AB 绕点 A 转动,它的最终位置为直线 AD,这条直线 AD 叫做此 曲线在点 A 处的 = .于是,当 Δx→0 时,割线 AB 的斜率无限趋向于在点 A 的切线 AD 的斜率 k,即 k

=___________________.

(2)导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的 曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 2.函数的导数 当 x=x0 时,f′(x0)是一个确定的数,则当 x 变化时, f ?( x) 是 x 的一个函数,称 f ?( x) 是 f(x)的导函数(简 称导数). f ?( x) 也记作 y′,即 f ?( x) =y′=_______________ .也就是说,

.相应地,切线方程为_______________________.

【问题探究】
探究点一 导数的几何意义 问题 1 如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线 PPn 的变化趋势是 什么?

问题 2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点? 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的 图象.根据图象,请描述、比较曲线 h(t)在 t0,t1,t2 附近的变化情况.
4

跟踪训练 1 (1)根据例 1 的图象,描述函数 h(t)在 t3 和 t4 附近增(减)以及增(减)快慢的情况. (2)若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是 ( )

探究点二 求切线的方程 问题 1 怎样求曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程? 问题 2 曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同? 例 2 已知曲线 y=x2,求: (1)曲线在点 P(1,1)处的切线方程; (2)曲线过点 P(3,5)的切线方程.

跟踪训练 2 已知曲线 y=2x2-7,求: (1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4x-y-2=0? (2)曲线过点 P(3,9)的切线方程.

【当堂检测】
1.已知曲线 f(x)=2x2 上一点 A(2,8),则点 A 处的切线斜率为 ( A.4 B.16 C.8 D.2 ) )

2.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则 ( A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1

C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1

3.已知曲线 y=2x2+4x 在点 P 处的切线斜率为 16,则 P 点坐标为_______

【课堂小结】
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即 k= lim
Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0? = Δx

f′(x0),物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 2.“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值,不是变数,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别, 但又有密切关系,f′(x0)是其导数 y=f′(x)在 x=x0 处的一个函数值.
5

3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点 的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然 后求出切点.

【拓展提高】
,f (1)) 处的切线方程是 y ? 1.已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1
1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ? 2

2.设 P 为曲线 C : y ? x 2 ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ?0, ? ,则点 P 4 横坐标的取值范围为

? ?? ? ?

【教学反思】

6

§ 1.2.1 § 1.2.2
【学习要求】

常数函数与幂函数的导数导学案 导数公式表及数学软件的应用导学案

1 1.能根据定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y= 的导数. x 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

【学法指导】
1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式,类推一般多项式 函数的导数公式,体会由特殊到一般的思想.通过定义求导数的过程,培养归纳、探求规律的能力, 提高学习兴趣. 2.本节公式是下面几节课的基础,记准公式是学好本章内容的关键.记公式时,要注意观察公式之间的 联系.

【知识要点】
1.几个常用函数的导数 原函数 f(x)=c f(x)=x f(x)=x2 1 f(x)= x f(x)= x 2.基本初等函数的导数公式 原函数 y=c y=x (n∈N+) y=x (x>0,μ≠0 且 μ∈Q) y=sin x y=cos x y=a (a>0,a≠1) y=e
x x μ n

导函数 f′(x)=___ f′(x)=___ f′(x)=___ f′(x)=_____ f′(x)=_______ 导函数 y′=____ y′=______ y′=_______ y′=________ y′=________ y′=________ y′=_____ y′=______ y′=______

y=logax(a>0,a≠1,x>0) y=ln x

【问题探究】
探究点一 求导函数 问题 1 怎样利用定义求函数 y=f(x)的导数? 问题 2 利用定义求下列常用函数的导数:

(1) y=c; (2)y=x; (3)y=x2; (4)y=x ; (5)y= x.

1

7

问题 3 利用导数的定义可以求函数的导函数,但运算比较繁杂,有些函数式子在中学阶段无法变形,怎 样解决这个问题? 例 1 求下列函数的导数: π (1)y=sin ; 3 (2)y=5x; 1 (3)y= 3; x 4 (4)y= x3; (5)y=log3x.

跟踪训练 1 求下列函数的导数: (1)y=x8; 1 (2)y=( )x; 2 (3)y=x x; (4) y ? log1 x
3

探究点二 求某一点处的导数 例 2 判断下列计算是否正确. π? ? π? π π 3 求 f(x)=cos x 在 x= 处的导数,过程如下:f′? ?3?=?cos3?′=-sin 3=- 2 . 3 1 3

跟踪训练 2 求函数 f(x)=

在 x=1 处的导数.

x

探究点三 导数公式的综合应用 例 3 已知直线 x-2y-4=0 与抛物线 y2=x 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线的弧 一点 P,使△ABP 的面积最大. 上求

跟踪训练 3 点 P 是曲线 y=ex 上任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离.

【当堂检测】
1.给出下列结论: 1 3 13 1 3 - ①若 y= 3,则 y′=- 4;②若 y= x,则 y′= x;③若 y= 2,则 y′=-2x 3;④若 f(x)=3x, x x 3 x 则 f′(1)=3.
8

其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 2.函数 f(x)= x,则 f′(3)等于 ( A. 3 6 B.0 )

C.3 1

D.4 3 2

2 x 3.设正弦曲线 y=sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角的范围是 ( ) π 3π A.[0, ]∪[ ,π) 4 4 B.[0,π) π 3π C.[ , ] 4 4 π π 3π D.[0, ]∪[ , ] 4 2 4

C.

D.

4.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________

【课堂小结】
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题 时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. 如求 y=1-2sin2 x x 的导数.因为 y=1-2sin2 =cos x,所以 y′=(cos x)′=-sin x. 2 2

3.对于正、余弦函数的导数,一是注意函数的变化,二是注意符号的变化.

【拓展提高】
1.若函数 f(x)=ex cos x,则此函数的图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为( A.0° B.锐角 C.直角 D.钝角 )

2.曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中,斜率最小的切线方程为___________

【教学反思】

9

§ 1.2.3
【学习要求】

导数的四则运算法则(一)导学案

1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.

【学法指导】
应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题. 要透 彻理解函数求导法则的结构内涵,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,达到巩固 知识、提升能力的目的.

【知识要点】
导数的运算法则 设两个可导函数分别为 f(x)和 g(x) 两个函数的 和的导数 两个函数的 差的导数 两个函数的 积的导数 两个函数的 商的导数 [f(x)+g(x)]′=________________ [f(x)-g(x)]′=_________________

? f ( x) g ( x)?? =____________________
? ? f ( x) ? ? g ( x) ? =___________________ ? ?

【问题探究】
探究点一 导数的运算法则 问题 1 我们已经会求 f(x)=5 和 g(x)=1.05x 等基本初等函数的导数,那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、差、积、 商的导数呢? 问题 2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点? 例 1 求下列函数的导数: (1)y=3x-lg x; (2)y=(x2+1)(x-1); (3)y= x5+ x7+ x9 . x sin x . 1+sin x

跟踪训练 1 求下列函数的导数: (1)f(x)=x· tan x; 探究点二 导数的应用 例 2 (1)曲线 y=xex+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为_______________ (2)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2,则点 P 的坐标为________ t-1 (3)已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)= 2 +2t2(位移单位: m ,时间单位:s),求 t=3 s 时物体 t
10

x (2)f(x)=2-2sin2 ; 2

x-1 (3)f(x)= ; x+1

(4)f(x)=

的瞬时速度. 跟踪训练 2 (1)曲线 y= 1 A.- 2 π ? sin x 1 - 在点 M? ?4,0?处的切线的斜率为 ( sin x+cos x 2 1 B. 2 C.- 2 2 D. 2 2 )

1 a (2)设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,其中 a>0,曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=1,确定 b、 3 2 c 的值.

【当堂检测】
1.设 y=-2exsin x,则 y′等于 ( ) x x A.-2e cos x B.-2e sin x C.2exsin x ) D.y=-2x+2 10 D. 3 D.-2ex(sin x+cos x)

x 2.曲线 f(x)= 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2

A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 3 2 3.已知 f(x)=ax +3x +2,若 f′(-1)=4,则 a 的值是( ) 19 A. 3 16 B. 3 13 C. 3

1 4.已知 f(x)= x3+3xf′(0),则 f′(1)=_______ 3 5.已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求 a、b、c 的值.

【课堂小结】
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导数.在求导过程 中,要仔细分析出函数解析式的结构特征,根据导数运算法则,联系基本函数的导数公式.对于不具备导 数运算法则结构形式的要适当恒等变形, 转化为较易求导的结构形式, 再求导数, 进而解决一些切线斜率、 瞬时速度等问题.

【教学反思】

11

§ 1.2.3
【学习要求】

导数的四则运算法则(二)导学案

1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 2. 能够利用复合函数的求导法则, 并结合已经学过的公式、 法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如 f(ax +b)的导数).

【学法指导】
复合函数的求导将复杂的问题简单化,体现了转化思想;学习中要通过中间变量的引入理解函数的复 合过程.

【知识要点】
复合函数的概念 复合函数的求导 法则 一般地, 对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x), 如果通过变量 u, y 可以表示成 那么称这个函数为 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数,记作 . ,

复 合 函 数 y = f(g(x)) 的 导 数 和 函 数 y = f(u) , u = g(x) 的 导 数 间 的 关 系 为 yx′ = . 即 y 对 x 的导数等于___________________________________.

【问题探究】
探究点一 复合函数的定义 问题 1 观察函数 y=2xcos x 及 y=ln(x+2)的结构特点,说明它们分别是由哪些基本函数组成的? 问题 2 对一个复合函数,怎样判断函数的复合关系? 问题 3 在复合函数中,内层函数的值域 A 与外层函数的定义域 B 有何关系? 例 1 指出下列函数是怎样复合而成的: (1)y=(3+5x)2; (2)y=log3(x2-2x+5); (3)y=cos 3x.

跟踪训练 1 指出下列函数由哪些函数复合而成: (1)y=ln x; (2)y=esin x; (3)y=cos ( 3x+1).

探究点二 复合函数的导数 问题 如何求复合函数的导数? 例 2 求下列函数的导数: (1)y=(2x-1)4; (2)y= 1 ; 1-2x π (3)y=sin(-2x+ ); 3 (4)y=102x 3.


跟踪训练 2 求下列函数的导数. 1 (1)y=ln ; x (2)y=e3x; (3)y=5log2(2x+1).
12

探究点三 导数的应用 例3 求曲线 y=e2x
+1

1 在点(- ,1)处的切线方程. 2

跟踪训练 3 曲线 y=e2xcos 3x 在(0,1)处的切线与直线 l 平行,且与 l 的距离为 5,求直线 l 的方程.

【当堂检测】
1.函数 y=(3x-2)2 的导数为 ( ) A.2(3x-2) B.6x C.6x(3x-2) D.6(3x-2) 2 2.若函数 y=sin x,则 y′等于 ( ) A.sin 2x B.2sin x C.sin xcos x D.cos2x 2 3.若 y=f(x ),则 y′等于 ( ) 2 2 A.2xf′(x ) B.2xf′(x) C.4x f(x) D.f′(x2) 4.设曲线 y=eax 在点(0,1)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a=________.

【课堂小结】
1.求简单复合函数 f(ax+b)的导数 2.求简单复合函数的导数,实质是运用整体思想,先把简单复合函数转化为常见函数 y=f(u),u=ax+b 的形式,然后再分别对 y=f(u)与 u=ax+b 分别求导,并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为 y=f(u),u=ax+b 的形式是关键.

【拓展提高】
1 .已知函数

f ( x) ? a l n x ( ? 1) ? x 2 在 区 间 (0,1) 内 任 取 两 个 实 数 p, q , 且 p ? q , 不 等 式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为____________ p?q

【教学反思】

13

§ 1.3.1
【学习要求】

利用导数判断函数的单调性导学案

1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,并能够利用单调性证明一些简单的不等式. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

【学法指导】
结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系,体会数形结合思想,以直 代曲思想.

【知识要点】
一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系: 导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 函数的单调性 单调递___ 单调递____ 常函数

【问题探究】
探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系 问题 1 观察下面四个函数的图象,回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系?

问题 2 若函数 f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么 f′(x)一定大于零吗? 问题 3 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么如何表示这些区间?试写出问题 1 中(4)的单调区间. (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系? 例 1 已知导函数 f′(x)的下列信息: 当 1<x<4 时,f′(x)>0;当 x>4 或 x<1 时,f′(x)<0;当 x=4 或 x=1 时,f′(x)=0. 试画出函数 f(x)图象的大致形状. 跟踪训练 1 函数 y=f(x)的图象如图所示,试画出导函数 f′(x)图象的大致形状.

14

例 2 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-4x2+x-1; (2)f(x)=2x(ex-1)-x2; (3)f(x)=3x2-2ln x. 跟踪训练 2 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x2-ln x; (2)f(x)= ex ; (3)f(x)=sin x(1+cos x)(0≤x<2π). x-2

探究点二 函数的变化快慢与导数的关系 问题 我们知道导数的符号反映函数 y=f(x)的增减情况, 怎样反映函数 y=f(x)增减的快慢呢?你能否从导 数的角度解释变化的快慢呢? 例 3 如图,设有圆 C 和定点 O,当 l 从 l0 开始在平面上绕 O 匀速旋转(旋转角度不超过 90° )时,它扫过的 圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种? ( )

跟踪训练 3 (1)如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.

15

(2)已知 f′(x)是 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的图象只可能是 (

)

【当堂检测】
1.函数 f(x)=x+ln x 在(0,6)上是 ( A.单调增函数 ) B.单调减函数 1? ?1 ? D.在? ?0,e?上是增函数,在?e,6?上是减函数 )

1? ?1 ? C.在? ?0,e?上是减函数,在?e,6?上是增函数

2. f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,若 y=f′(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是(

3.函数 f(x)=ln x-ax(a>0)的单调增区间为 ( 1 0, ? A.? ? a? 1 ? B.? ?a,+∞?

) D.(0,a)

C.(0,+∞)

4. (1)函数 y=x2-4x+a 的增区间为_________,减区间为___________ (2)函数 y=x3-x 的增区间为_______________________,减区间为_____________

【课堂小结】
1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性,导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近 变化的快慢程度. 2.利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为 (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0;(4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间.

【拓展提高】
16

1.已知函数 y ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 3
.

(1)若函数的单调递减区间是 (?3,1) ,则 a 的是 (2)若函数在 [1,??) 上是单调增函数,则 a 的取值范围是

2.函数 f(x)的定义域为 R ,且满足 f(2)=2, f ?( x) >1,则不等式 f(x)-x>0 的解集为_______ 3.已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是_______ 1 4.设函数 f(x)=x- -aln x. x (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线被圆 x2+y2=1 截得的弦长为 2,求 a 的值; (2)若函数 f(x)在其定义域上为增函数,求实数 a 的取值范围;

【教学反思】

17

§ 1.3.2
【学习要求】

利用导数研究函数的极值导学案

1.了解函数极值的概念,会从几何直观理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.

【学法指导】
函数的极值反映的是函数在某点附近的性质, 是局部性质. 函数极值可以在函数图象上“眼见为实”, 通过研究极值初步体会函数的导数的作用.

【知识要点】
1.极值的概念 已知函数 y=f(x),设 x0 是定义域(a,b)内任一点,如果对 x0 附近的所有点 x,都有 函数 f(x) 在点 x0 处取 有 个 ,记作 y
极大

,则称 .如果都

= f(x0),并把 x0 称为函数 f(x)的一个 ,记作 y
极小

,则称函数 f(x) 在点 x0 处取 .极大值与极小值统称为 .

= f(x0) ,并把 x0 称为函数 f(x) 的一

极大值点与极小值点统称为 2.求可导函数 f(x)的极值的方法 (1)求导数 f′(x); (2)求方程 的所有实数根;

(3)对每个实数根进行检验,判断在每个根的左右侧,导函数 f′(x)的符号如何变化. ①如果 f′(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极 ②如果 f′(x)的符号由负变正,则 f(x0)是极 值. 值.

③如果在 f′(x)=0 的根 x=x0 的左右两侧符号不变,则 f(x0)

【问题探究】
探究点一 函数的极值与导数的关系 问题 1 如图观察,函数 y=f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? y=f(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律? 问题 2 函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗? 问题 3 若某点处的导数值为零,那么,此点一定是极值点吗?举例说明. 例 1 求函数 f(x)=x3-3x2-9x+5 的极值. 3 跟踪训练 1 求函数 f(x)= +3ln x 的极值. x

探究点二 利用函数极值确定参数的值 问题 已知函数的极值,如何确定函数解析式中的参数?
18

例 2 已知 f(x)=x3+3ax2+bx+a2 在 x=-1 时有极值 0,求常数 a,b 的值. 跟踪训练 2 设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx2+x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.

探究点三 函数极值的综合应用 例 3 设函数 f(x)=x3-6x+5,x ? R . (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同的实根,求实数 a 的取值范围.

跟踪训练 3 若函数 f(x)=2x3-6x+k 在 R 上只有一个零点,求常数 k 的取值范围.

【当堂检测】
1.“函数 y=f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y=f(x)在这点取得极值”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 ) D.既不充分也不必要条件

2.下列函数存在极值的是 ( ) 1 A.y= B.y=x-ex x

C.y=x3+x2+2x-3

D.y=x3 )

3.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为 ( A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-1 或 a>2

D.a<-3 或 a>6

4.设 a∈ R ,若函数 y=ex+ax,x∈ R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围为__________

5.直线 y=a 与函数 y=x3-3x 的图象有三个相异的交点,则 a 的取值范围是________

【课堂小结】
1.在极值的定义中,取得极值的点称为极值点,极值点指的是自变量的值,极值指的是函数值. 2. 函数的极值是函数的局部性质. 可导函数 f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0 且在 x0 两侧 f′(x) 符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值,解决一些方程的解和图象的交点问题.

【拓展提高】
3 2 1.已知三次函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 .

19

(1)求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值 2.若函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 极值 ?

4 , 3

(1)求函数的解析式; (2)若函数 f ( x) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围

【教学反思】

20

§ 1.3.3
【学习要求】

利用导数研究函数的最值导学案

1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 2.会用导数求某定义域上函数的最值.

【学法指导】
弄清极值与最值的区别是学好本节的关键. 函数的最值是一个整体性的概念.函数极值是在局部上对函数值的比较,具有相对性;而函数的最值 则是表示函数在整个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的比较.

【知识要点】
1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值 函数 f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值 与最小值,函数的最值必在 处或 处取得.

2.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求 f(x)在开区间(a,b)内所有使 (2)计算函数 f(x)在区间内 为最小值. 的点; 和______的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个

【问题探究】
探究点一 求函数的最值 问题 1 如图,观察区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象,你能找出它的极大值、极小值吗?

问题 2 观察问题 1 的函数 y=f(x),你能找出函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值吗?若将区间改 为(a,b),f(x)在(a,b)上还有最值吗?由此你得到什么结论? 问题 3 函数的极值和最值有什么区别和联系? 问题 4 怎样求一个函数在闭区间上的最值? 例 1 求下列函数的最值: (1)f(x)=2x3-12x,x ? [-1,3]; 1 (2)f(x)= x+sin x,x ? [0,2π] 2

跟踪训练 1 求下列函数的最值: (1)f(x)=x3+2x2-4x+5,x ? [-3,1]; (2)f(x)=ex(3-x2),x ? [2,5].

21

探究点二 含参数的函数的最值问题 例 2 已知 a 是实数,函数 f(x)=x2(x-a). (1)若 f′(1)=3,求 a 的值及曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程. (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值.

跟踪训练 2 已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为 3,最小值为-29,求 a,b 的值.

探究点三 函数最值的应用 问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系? 例3 已知函数 f(x)=(x+1)ln x-x+1.若 xf′(x)≤x2+ax+1 恒成立,求 a 的取值范围.

跟踪训练 3 设函数 f(x)=2x3-9x2+12x+8c,若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值范围.

【当堂检测】
1.函数 y=f(x)在[a,b]上 ( ) B.极大值一定是最大值 D.最大值一定大于极小值 )

A.极大值一定比极小值大 C.最大值一定是极大值 2.函数 f(x)=x3-3x(|x|<1) (

A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,但有最小值 D.既无最大值,也无最小值 π ? 3.函数 y=x-sin x,x∈? ?2,π?的最大值是 A.π-1 π B. -1 2 ( ) C .π D.π+1

4.函数 f(x)=x3-3x2-9x+k 在区间[-4,4]上的最大值为 10,则其最小值为_______

【课堂小结】
1.求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函数值即可;函数在一个开区间内只有一个极值, 这个极值就是最值. 2.含参数的函数最值,可分类讨论求解.
22

3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.

【拓展提高】
1-x 1 ? 1.已知 a≤ +ln x 对任意 x∈? ?2,2?恒成立,则 a 的最大值为( x A.0 B.1 C.2 D.3 )

2.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,过曲线 y ? f ( x) 上的点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y ? 3x ? 1 (1)若函数 f ( x) 在 x ? ?2 处有极值,求 f ( x) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求函数 y ? f ( x) 在 ?? 3,1? 上的最大值; (3)若函数 y ? f ( x) 在区间 ?? 2,1? 上单调递增,求实数 b 的取值范围

【教学反思】

23

§ 1.3.4
【学习要求】
1.了解导数在解决实际问题中的作用.

导数的实际应用导学案

2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.

【学法指导】
1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想. 2.感受导数知识在解决实际问题中的作用,自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想,提高分析问 题、解决问题的能力.

【知识要点】
1.在经济生活中,为使经营利润最大、生产效率最高,或为使用力最省、用料最少、消耗最省等,需要 寻求相应的 _____或 .这些都是最优化问题. .写出实际问题中变量

2.求实际问题的最大(小)值,导数是解决方法之一.要建立实际问题的 之间的函数关系 y=f(x),然后再利用导数研究函数的

【问题探究】
题型一 面积、体积的最值问题 例 1 如图所示,现有一块边长为 a 的正方形铁板,如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做 成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少?

跟踪训练 1 已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y=4-x2 在 x 轴上方的曲线上, 求这个矩形面积最大时的边长.

题型二 强度最大、用料最省问题 例 2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比.要将直径为 d 的圆木锯成强度 最大的横梁,断面的宽度和高度应是多少?

24

跟踪训练 2 挖一条隧道,截面拟建成矩形上方加半圆,如果截面积为 20 m2,当宽为多少时,使截面周 长最小,用料最省?

题型三 省时高效、费用最低问题 例 3 如图所示, 一海岛驻扎一支部队, 海岛离岸边最近点 B 的距离是 150 km.在岸边距点 B 300 km 的点 A 处有一军需品仓库.有一批军需品要尽快送达海岛.A 与 B 之间有一铁路,现用海陆联运方式运送.火 车时速为 50 km,船时速为 30 km,试在岸边选一点 C,先将军需品用火车送到点 C,再用轮船从点 C 运 到海岛,问点 C 选在何处可使运输时间最短?

跟踪训练 3 如图所示,设铁路 AB=50,BC=10,现将货物从 A 运往 C,已知单位距离铁路费用为 2, 公路费用为 4,问在 AB 上何处修筑公路至 C,可使运费由 A 至 C 最省?

跟踪训练 4 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元 a /千克)满足关系式 y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出 x-3 该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

【当堂检测】
1.方底无盖水箱的容积为 256,则最省材料时,它的高为 ( A.4 B.6 C.4.5 D.8 )

2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为 k(k>0).已 知贷款的利率为 0.048 6,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为 x,x∈(0,0.048 6),若使 银行获得最大收益,则 x 的取值为多少?

3.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式 1 3 可以表示为 y= x3- x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千米,当汽车以多大的速度匀速 128 000 80
25

行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 【课堂小结】 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)找关系:分析实际问题中各量之间的关系; (2)列模型:列出实际问题的数学模型; (3)写关系:写出实际问题中变量之间的函数关系 y=f(x); (4)求导:求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (5)比较:比较函数在区间端点和使 f′(x)=0 的点的数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (6)结论:根据比较值写出答案. 2.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.例如,长 度、宽度应大于零,销售价格应为正数,等等.

习题课导学案
【学习要求】
1.理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想. 2.会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次).

【双基自测】
1.函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上 ( ) A.单调递增 B.单调递减 C.有最大值 D.有最小值 2.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且 f(a)≥0,则在(a,b)内有( ) A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)=0 D.不能确定 3.设函数 g(x)=x(x2-1),则 g(x)在区间[0,1]上的最小值为 ( ) A.-1 B.0 2 3 C.- 9 D. 3 3 )

4.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能为 (

5.若 f(x)在(a,b)内存在导数,则“f′(x)<0”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的________________条件.

【问题探究】
题型一 函数与其导函数之间的关系 例 1 已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),则 y=f(x)的图象大致是 ( )

26

跟踪训练 1 已知 R 上可导函数 y=f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)>0 的解集为 (

)

A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞) 题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1 例 2 设函数 f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数 f′(x)= ,g(x)=f(x)+f′(x). x (1)求 g(x)的单调区间和最小值. 1 (2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系. x

跟踪训练 2 设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x ? R . (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. 题型三 导数的综合应用 例 3 已知函数 f(x)=x3-ax-1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减,若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,请说明理 由. 1 1? 跟踪训练 3 (1)若函数 f(x)=4x3-ax+3 的单调递减区间是? ?-2,2?,则实数 a 的值是多少? 1 1? (2)若函数 f(x)=4x3-ax+3 在? ?-2,2?上是单调函数,则实数 a 的取值范围为多少?

【当堂检测】
1.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调递减区间是 ( ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(-∞,-1],(0,1) D.[-1,0),(0,1] 3 2 2.若函数 y=x +x +mx+1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是 ( ) 1 ? A.? ?3,+∞? 1 -∞, ? B.? 3? ? 1 ? C.? ?3,+∞? 1 -∞, ? D.? 3? ?

3.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 ( )

4.设 f(x)、g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数,且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时有( A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a) 1 5.函数 f(x)=x3- x2-2x+5,若对于任意 x∈[-1,2],都有 f(x)<m,则实数 m 的取值范围是__________ 2

)

【课堂小结】
导数作为一种重要的工具,在研究函数中具有重要的作用,例如函数的单调性、极值与最值等问题, 都可以通过导数得以解决.不但如此,利用导数研究得到函数的性质后,还可以进一步研究方程、不等式 等诸多代数问题,所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.
27

【拓展提高】
1 3 2 1.等差数列 ?an ? 中的 a1、a4005 是函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 6 x ? 1 的极值点,则 log 2 a2013 ? ( 3



A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

1 2 2.函数 f ( x) ? x ? x ? 2 ln x ? a 在区间 (0, 2) 上恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是_____ 2
3. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ( a, b, c ? R ) , 若函数 f ( x ) 在区间 [?1, 0] 上是单调减函数, 则a ?b
2 2

的最小值是 4.已知函数 f ( x) ? ln( x ?

3 2 ) ? , g ( x) ? ln x. 2 x
1 x ? m 有实数根,求实数 m 的取值集合; 2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)如果关于 x 的方程 g ( x) ?

(3)是否存在正数 k ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? kg( x) 有两个不相等的实数根?如果存在,求 k 满足的 条件;如果不存在,说明理由.

【教学反思】

28

§1.5.1 曲边梯形面积与定积分(一) 导学案 【学习要求】
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法. 2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功.

【学法指导】
曲边梯形的面积体现了“以直代曲”的思想,将曲边梯形的面积转化为求“直边图形”的面积.

【知识要点】
1.曲边梯形:曲线与 和 所围成的图形,通常叫做曲边梯形. 2.曲边三角形或曲边梯形的面积:S=____________克服弹簧的拉力的变力所做的功:W=____________.

【问题探究】
探究点一 求曲边梯形的面积 问题 1 如何计算下列两图形的面积?

问题 2 如图,如何求由抛物线 y=x2 与直线 x=1,y=0 所围成的平面图形的面积 S?

思考 1 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别? 思考 2 能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题?(归纳主要步骤) i-1 i 思考 3 在“近似代替”中,如果认为函数 f(x)=x2 在区间[ , ](i=1,2,?,n)上的值近似地等于右端 n n i-1 i i i 1 点 处的函数值 f( ),用这种方法能求出 S 的值吗?若能求出,这个值也是 吗?取任意 ξi∈[ , ]处的 n n 3 n n 函数值 f(ξi)作为近似值,情况又怎样? 1 求由直线 x=0,x=1,y=0 和曲线 y= x2 所围成的图形的面积. 2

例1

跟踪训练 1 求由抛物线 y=x2 与直线 y=4 所围成的曲边梯形的面积.

探究点二 求变力做功
29

问题 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系? 例 2 如图,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 e m 处,求克服弹力所做的功.

跟踪训练 2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,在时刻 t 的速度为 v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该 汽车在 0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程 S(单位:km)是多少?

【当堂检测】
1.把区间[1,3]n 等分,所得 n 个小区间的长度均为 ( 1 A. n 2 B. n i-1 i ? ? n ,n?上 B.f(x)的值变化很大 3 C. n ) D. 1 2n ( C.f(x)的值不变化 ) D.当 n 很大时,f(x)的值

2.函数 f(x)=x2 在区间? A.f(x)的值变化很小 变化很小

1 3.求由曲线 y= x2 与直线 x=1,x=2,y=0 所围成的平面图形面积时,把区间 5 等分,则面积的近似值 2 (取每个小区间的左端点)是________. 4.弹簧在拉伸过程中力 F(x)=5x(x 为伸长量),则弹簧从平衡位置拉长 2 所做的功为________

【课堂小结】
求曲边梯形面积和变力做功的步骤 (1)分割:n 等分区间[a,b]; (2)近似代替:取点 ξi∈[xi-1,xi];
n b-a (3)求和: ?f(ξi)· ; n i=1

n b-a (4)取极限:S= lim ?f(ξi)· .“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形,为了计算方便, n n→+∞i=1

可以取区间上的一些特殊点,如区间的端点(或中点).

【教学反思】

30

§1.5.2
【学习要求】
1.了解定积分的概念,会用定义求定积分. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.

定积分的概念导学案

【学法指导】
通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题,进一步体会定积分的作用 及意义.

【知识要点】
1.定积分:设函数 y=f(x)定义在区间[a,b]上,用分点 a=x0<x1<x2<?xn-1<xn=b,把区间[a,b]分为 n 个 小区间,其长度依次为 Δxi=xi+1-xi,i=0,1,2,?,n-1.记 λ 为这些小区间长度的最大者,当 λ 趋近于 0 时,所有的小区间长度都趋近于 0,在每个区间内任取一点 ξi,作和式 In= ?f(ξi)Δxi.当 λ→0 时,如果和式
i=0 n-1

的极限存在,我们把和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 _________. 2.在定积分

,即

?

b

a

f ( x)dx =

?

b

a

f ( x)dx 中,

叫做被积函数, 叫做积分下限,

叫做积分上限,

叫做被积式.

3.如果函数 f(x)在[a,b]的图象是 4.定积分的性质 (1) (2) (3)

,则 f(x)在[a,b]一定是可积的.

?

b

a
b

kf ( x)dx =
1 2

(k 为常数);

? ? f ( x) ? f
a

( x)?dx =


±

; (其中 a<c<b).

?

b

a

f ( x)dx =

【问题探究】
探究点一 定积分的概念 问题 1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,找一下它们的共同点.

问题 2 怎样正确认识定积分

?

b

a

3 f ( x)dx ?利用定积分的定义,计算 ?1 0x dx 的值.

跟踪训练 1 用定义计算 ?2 1(1+x)dx.

探究点二 定积分的几何意义 问题 1 从几何上看,如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么 问题 2

?

b

a

f ( x)dx 表示什么?

当 f(x)在区间[a, b]上连续且恒有 f(x)≤0 时, f ( x)dx 表示的含义是什么?若 f(x)有正有负呢?
a

?

b

31

例 2 利用几何意义计算下列定积分:
3 2 3 (1)?- (2)?- 3 9-x dx; 1(3x+1)dx. 跟踪训练 2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值: 1 (1)?- (2)?2π (3)?1 -1|x|dx. 1xdx; 0 cos xdx;

探究点三 定积分的性质 问题 1 定积分的性质可作哪些推广? 问题 2 如果一个函数具有奇偶性,它的定积分有什么性质? 例2 计算 ?3 9-x2-x3)dx 的值. -3(

1 2 3 15 2 2 7 4 2 56 3 跟踪训练 3 已知 ?1 ,求: 0x dx= ,?1x dx= ,?1x dx= ,?2x dx= 4 4 3 3
3 (1)?2 03x dx; 2 (2)?4 16x dx; 2 3 (3)?2 1(3x -2x )dx.

【当堂检测】
1.下列结论中成立的个数是
3 ①?1 0x dx= ? n n ?i-1?3 1 i3 1 1 3 ②?0 x dx= lim ? ·; 3· ; n n n3 n n→+∞i=1

(

)

i=1

n i3 1 3 ③?1 0x dx= lim ? 3· . n n n→+∞i=1

A.0 2.定积分

B.1

C.2

D.3 ( )

?

b

a

f ( x)dx 的大小

A.与 f(x)和积分区间[a,b]有关,与 ξi 的取法无关 C.与 f(x)以及 ξi 的取法有关,与区间[a,b]无关 3.根据定积分的几何意义,用不等号连接下列式子:
1 2 (1)?1 0xdx________?0x dx;

B.与 f(x)有关,与区间[a,b]以及 ξi 的取法无关 D.与 f(x)、积分区间[a,b]和 ξi 的取法都有关

2 2 (2)?2 0 4-x dx________?02dx.

π 2 4.已知 0

?

sin xdx= π
2

?

?

π 2 sin xdx=1, 0

?

π3 x2dx= ,求下列定积分: 24

(1)?π 0sin xdx;

(2)

?

π 2 0

(sin x+3x2)dx.

【课堂小结】
1.定积分

?

b

a

f ( x)dx 是一个和式 ?

n

i=1

b-a f(ξi)的极限,是一个常数. n

2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分;对于一些特殊函数,也可以利用几何意义求 定积分. 3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.

【教学反思】
32

§1.6 微积分基本定理导学案
【学习要求】
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分.

【学法指导】
微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系, 而且还提供了计算定积分的一种有效方法.

【知识要点】
1.微积分基本定理:如果 f(x)在区间[a,b]上可积,并且_________,那么 ?b af(x)dx= 2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,x 轴下方的面积为 S 下,则 b (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图(1),则 ?a f(x)dx= . b (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图(2),则 ?af(x)dx=_______. .

(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图(3),则 ?b af(x)dx= b ?af(x)dx= .

,若 S 上=S 下,则

【问题探究】
探究点一 微积分基本定理 问题 1 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y=y(t),并且 y(t)有连续的导数,由导数的概 念可知,它在任意时刻 t 的速度 v(t)=y′(t).设这个物体在时间段[a,b]内的位移为 s,你能分别用 y(t), v(t)表示 s 吗?

问题 2 对一个连续函数 f(x)来说,是否存在唯一的 F(x),使 F′(x)=f(x)? 例 1 计算下列定积分: 1 (1)?2 1 dx; x 1 (2)?3 1(2x- 2)dx; x
x (3)?0 -π(cos x-e )dx.

跟踪训练 1 计算下列定积分:
4 (1)?10 2 5x dx; 3 (2)?1 ( x+

1 2 ) 6xdx. x
33

探究点二 分段函数的定积分 sin x,0≤x≤ , ? 2 ? π 已知函数 f(x)=? 1, ≤x≤2, 2 ? ?x-1,2≤x≤4. π

例2

先画出函数图象,再求这个函数在[0,4]上的定积分.

?x2, x≤0, ? 跟踪训练 2 (1)设 f(x)=? 求 ?1 -1f(x)dx; ?cos x-1, x>0, ?
2 (2)求 ?a -a x dx(a>0).

探究点三 定积分的应用 π 2π 例 3 计算下列定积分:?0 sin xdx,?2π π sin xdx,?0 sin xdx.由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的 面积表示所发现的结论. π 5 跟踪训练 3 求曲线 y=sin x 与直线 x=- , x= π, y=0 所围图形的面积(如图所示). 2 4

【当堂检测】
1. (1+cos x)dx 等于 π 2 A.π π

2 1 2.若 ?a 1(2x+ )dx=3+ln 2,则 a 的值是 x

?

?

B.2

C.π-2 ( C.3 )

( ) D.π+2

A.5

B.4

D.2

2 2 2 3.?0 (x - x)dx=_______ 3

?4x-2π,0≤x≤2, 4.已知 f(x)=? π ?cos x,2<x≤π
【课堂小结】

π

,计算 ?π 0f(x)dx.

1.求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数,要先化简,再求积分. (2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分. 2.由于定积分的值可取正值,也可取负值,还可以取 0,而面积是正值,因此不要把面积理解为被积函数 对应图形在某几个区间上的定积分之和,而是在 x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.

【教学反思】

34

§ 1.7
【学习要求】

定积分的简单应用导学案

会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.

【学法指导】
本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题.在这部分的学习中,应 特别注意利用定积分的几何意义,借助图形直观,把平面图形进行适当的分割,从而把求平面图形面积的 问题转化为求曲边梯形面积的问题.

【知识要点】
1.当 x∈[a,b]时,若 f(x)>0,由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 S =________. 2.当 x∈[a,b]时,若 f(x)<0,由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 S =_________. 3.当 x∈[a,b]时,若 f(x)>g(x)>0 时,由直线 x=a,x=b(a≠b)和曲线 y=f(x),y=g(x)围 成的平面图形的面积 S=______________.

(如图)

【问题探究】
探究点一 求不分割型图形的面积 问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积? 例 1 计算由曲线 y2=x,y=x2 所围图形的面积 S.

跟踪训练 1 求由抛物线 y=x2-4 与直线 y=-x+2 所围成图形的面积. 探究点二 分割型图形面积的求解 问题 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时,这 种图形的面积如何求呢? 例3 计算由直线 y=x-4,曲线 y= 2x以及 x 轴所围图形的面积 S. 1 跟踪训练 2 求由曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3 探究点三 定积分的综合应用 1 例 3 在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 ,试求:切点 A 的 12
35

坐标以及在切点 A 的切线方程.

跟踪训练 3 如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值.

【当堂检测】
1.在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中,正确的有( )

a S=?b [f(x)-g(x)]dx ①

S=?8 0(2 2x-2x+8)dx ②

4 b S=?1 f(x)dx-?7 S=?a 4f(x)dx 0 [g?x?-f?x?]dx+?a [f?x?-g?x?]dx ③ ④ A.①③ B.②③ C.①④ D.③④

3 2.曲线 y=cos x(0≤x≤ π)与坐标轴所围图形的面积是 ( 2 A.2 B.3 5 C. 2 D.4

)

3.由曲线 y=x2 与直线 y=2x 所围成的平面图形的面积为_______ 4.由曲线 y=x2+4 与直线 y=5x,x=0,x=4 所围成平面图形的面积是________

【课堂小结】
对于简单图形的面积求解,我们可直接运用定积分的几何意义,此时 (1)确定积分上、下限,一般为两交点的横坐标. (2)确定被积函数,一般是上曲线与下曲线对应函数的差. 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了. 注意区别定积分与利用定积分计算 曲线所围图形的面积:定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是非负的.

【教学反思】

36

章末复习课导学案
【知识结构】

【问题探究】
题型一 分类讨论思想在导数中的应用 例 1 已知函数 f(x)=(x-k)2e . (1)求 f(x)的单调区间; 1 (2)若对?x∈(0,+∞),都有 f(x)≤ ,求 k 的取值范围. e

1 1 跟踪训练 1 求函数 y= x3- (a+a2)x2+a3x+a2 的单调减区间. 3 2

题型二 转化与化归思想的应用 ex 例 2 设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.

跟踪训练 2 若函数 f(x)=ax3-x2+x-5 在 R 上单调递增,求 a 的取值范围.

37

题型三 函数与方程思想 例 3 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四 个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱 形状的包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x cm.

(1)若广告商要求包装盒侧面积 S (cm2)最大,试问 x 应取何值? (2) 若广告商要求包装盒容积 V (cm3)最大, 试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

跟踪训练 3 某造船公司年造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3 700x+45x2-10x3(单位: 万元); 成本函数为 C(x)=460x+5 000(单位: 万元). 又在经济学中, 函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x) =f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x);(提示:利润=产值-成本) (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?

题型四 数形结合思想的应用 例 4 求函数 f(x)=x3-3ax+2 的极值, 并说明方程 x3-3ax+2=0 何时有三个不同的实根?何时有唯一的 实根(其中 a>0)? 跟踪训练 4 已知 f(x)=ax3+bx2+x(a、b∈R 且 ab≠0)的图象如图所示,若|x1|>|x2|,则 a,b 的正负为 __________.

【教学反思】

38

§ 2.1.1 合情推理
【学习目标】
1. 结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义;

2. 能利用归纳进行简单的推理,体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

【课前准备】
(预习教材 P70~ P77,找出疑惑之处) 在日常生活中我们常常遇到这样的现象: (1)看到天空乌云密布,燕子低飞,蚂蚁搬家,推断天要下雨; (2)八月十五云遮月,来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出推理是 的思维过程.

【问题探究】
探究任务一:考察下列示例中的推理
问题:因为三角形的内角和是 180? ? (3 ? 2) ,四边形的内角和是 180? ? (4 ? 2) ,五边形的内角和是

180? ? (5 ? 2) ??所以 n 边形的内角和是
新知 1:从以上事例可一发现: 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。 叫做合情推理。

探究任务二:
问题 1:在学习等差数列时,我们是怎么样推导首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列{an}的通项公式的? 新知 2 归纳推理就是根据一些事物的 的推理归纳是 例子:哥德巴赫猜想: 观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 的过程 , 推出该类事物的

50=13+37, ……, 100=3+97,猜想:
归纳推理的一般步骤 1 2 ※ 典型例题 变式 1 观察下列等式: 变式 2 观察下列等式:1=1 例 1 用推理的形式表示等差数列 1,3,5,7??2n-1,??的前 n 项和 Sn 的归纳过程。 2 2 1+8=9, 1+3=4= , 2 1+8+27=36, 1+3+5=9= 3 , 2 1+8+27+64=100, 1+3+5+7=16= 4 , …… 2 1+3+5+7+9=25= 5 , 结论 …… 结论

.

。 。

2 例 2 设 f (n) ? n ? n ? 41, n ? N? 计算 f (1), f (2), f (3,)... f (10) 的值,同时作出归纳推理,并用 n=40 验

证猜想是否正确。
39

练 1. 观察圆周上 n 个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3 个点可以连 3 条弦,4 个点可以连 6 条弦,5 个点可以连 10 条弦,由此可以归纳出什么规律?

【当堂检测】
1.归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质; ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 1.下列关于归纳推理的说法错误的是( ).

A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2 f ( x) , f (1) ? 1 ( x ? N *) 2. 已知 f ( x ? 1) ? ,猜想 f ( x) 的表达式为( ). f ( x) ? 2 4 2 1 2 A. f ( x) ? x B. f ( x) ? C. f ( x) ? D. f ( x) ? 2 ?2 x ?1 x ?1 2x ? 1 1 1 1 3 5 7 3. f (n) ? 1 ? ? ? ??? ? (n ? N? ) ,经计算得 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? 猜测当 n ? 2 2 3 n 2 2 2 时,有__________________________.

4 已知 1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10, ?? 1+2+3+ ?? +n=
13+23+33,13+23+33+43,??

n(n ? 1) ,观察下列立方和: 2

13 , 13+23 ,

试归纳出上述求和的一般公式。

【课堂小结】
1.归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质; ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).

【教学反思】

40

§ 2.1.2
【使用说明及学法指导】 1.先预习教材 p78?--p81,然后开始做导学案

演绎推理

2.针对预习提纲,深化对演绎推理的一般形式—“三段论”的理解 【学习目标】 结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方法,并能运用它 们进行一些简单的推理。 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别 【学习难点重点】 教学重点:了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点:分析证明过程中包含的“三段论”形式. 【课前预习案 】教材 p78?--p81,然后开始做导学案 【自学提纲:(基本概念、公式及方法)】 一.基础性知识点 1.演绎推理的定义:_______________________________________________________ 2.演绎推理是由___________到___________的推理; 3.“__________________”是演绎推理的一般模式;包括 ⑴____________---____________________; ⑵____________---____________________; ⑶____________---_____________________. 4.三段论的基本格式 M—P(M 是 P) S—M(S 是 M) (_________) (________)

S—P(S 是 P) (_________) 用集合的观点来理解:______________________________________________________ 二.课前检测 1 .有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错 误的,是因为 ( )

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 例 2、已知 lg 2 ? m, 计算lg 0.8

1.把“函数y ? x2 ? x ? 1 的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。

41

2.通项公式为

a n =cq n ? cq ? 0 ?

的数列 ?

an?

是等比数列。并分析证明过程中的三段论

证明:在?ABC中 ? CD ? AB, AC ? BC ABC 中,AC>BC,CD 是 AB 边上的高,求证: ?ACD ? ?BCD 1. 如图。在 ? AD ??BD
, 于是?ACD ? ?BCD. 指出以上证明过程中的错误 【提醒】 :演绎推理错误的主要原因是 1.大前提不成立;2, 小前提不符合大前提的条件。 2、把下列推理恢复成完全的三段论: A D B C

( 1 )因为?ABC三边长依次为 3, 4, 5,所以?ABC是直角三角形;

(2)函数y ? 2x ? 5的图象是一条直线 .

3.用三段论证明:在梯形 ABCD 中

AD ? BC, AB ? DC, 则?B ? ?C

【教学反思】

42

§ 2.2.1
【学习目标】

综合法和分析法

结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法。 【重点难点】 1. 结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法; 2. 会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程。 3. 根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法。 【知识梳理】 复习 1 两类基本的证明方法: 和 和 。 。

复习 2 直接证明的两中方法: 知识点一 综合法的应用 一般地,利用

,经过一系列的推理论证,最后

导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。 反思 框图表示
1 a 1 b 1 c

要点

顺推证法;由因导果。

例 1 已知 a, b, c ? R? , a ? b ? c ? 1 ,求证: ? ? ? 9

变式

已知 a, b, c ? R? , a ? b ? c ? 1 ,求证

1 1 1 ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? 8 。 a b c

小结

用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质 ,要注意公式应用的条件

和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。 知识点二 分析法的应用
证明:基本不等式

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 2

43

新知:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个 明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 反思:框图表示

要点:逆推证法;执果索因 ※ 典型例题 例 2 求证 3 ? 5 ? 2 ? 6 变式:求证: 3 ? 7 ? 2 5

小结:证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.

例 2 设在四面体 P ? ABC 中, ?ABC ? 90?, PA ? PB ? PC , D 是 AC 的中点.求证: PD 垂直于 ?ABC 所 在的平面。

小结

解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符
b ?c ?a a ?c ?b a ?b ?c ? ? ?3。 a b c

号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来。 1.已知 a,b,c 是全不相等的正实数,求证

2.在△ABC 中,证明

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 。 2 2 a b a b

【教学反思】

44

§ 2.2.2 反证法
【学习目标】
(1)使学生了解反证法的基本原理; (2)掌握运用反证法的一般步骤; (3)学会用反证法证明一些典型问题. 【概念形成】 反证法的思维方法:正难则反 反证法定义:一般地,由证明 p ? q ?转向证明: 从而判定 【例题分析】 例 1、已知 a, b, c ? R, a ? b ? c ? 0, abc ? 1. 求证: a, b, c 中至少有一个大于 为假,推出 与假设矛盾,或与某个真命题矛盾。

为真的方法,叫做反证法。

3 。 2

例 2.设 a ? b ? 2 ,求证 a ? b ? 2.
3 3

【课堂小结】
1.反证法的基本步骤: (1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确 2.归缪矛盾: (1)与已知条件矛盾; (2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾。 3.应用反证法的情形: (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论;

(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题; (4 结论为 “唯一”类命题;

【拓展提高】
1.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,那么 a,b,c 中至少有一个 是偶数时,下列假设中正确的是( )
45

A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个是偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个是偶数 2. (1) 已知 p3 ? q3 ? 2 , 求证 p ? q ≤ 2 , 用反证法证明时, 可假设 p ? q ≥ 2 , (2) 已知 a,b ? R ,a ? b ? 1 , 求证方程 x2 ? ax ? b ? 0 的两根的绝对值都小于 1.用反证法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等 于 1,即假设 x1 ≥1 ,以下结论正确的是( A. (1) 与 (2) 的假设都错误 B. (1) 与 (2) 的假设都正确 C. (1) 的假设正确; (2) 的假设错误 D. (1) 的假设错误; (2) 的假设正确 3.命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( A.有两个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角
?





4..三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 至少有 1 个大于或等于 60 的反面为_______. 5. 已知 A 为平面 BCD 外的一点,则 AB、CD 是异面直线的反面为_______. 6. 证明 3,5,7 不可能成等差数列.

【教学反思】

46

§ 2.3
【学习目标】

数学归纳法

了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归 纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 【教学重点】 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解. 【教学过程】 1. 教学数学归纳法概念: 给出定义:归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点:由特殊→一般. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法. 完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
2、典例分析 题型一、用数学归纳法证明恒等式 例 1、例 1 数学归纳法证明 13+23+33+?+n3=

1 2 n (n+1)2 4

题型二、用数学归纳法证明不等式 例 2、归纳法证明

1 1 1 1 9 ? ? ?… > n ?1 n ? 2 n ? 3 3n 10

(n>1,且 n ? N ) .

题型三、用数学归纳法证明几何问题 例 3.平面内有 n (n ? N ) 个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这 n 个圆
*

把平面分成 n ? n ? 2 个部分.
2

题型四、用数学归纳法证明整除问题 例 4、 用数学归纳法证明 32n 2-8 n-9 ?n ? N? 能被 64 整除.


47

用数学归纳法证明 (3n ? 1)7 n ? 1(n ? N ? ) 能被 9 整除

题型五 归纳、猜想、证明 例 5.是否存在常数 a,b,c 使等式

1· 2 2 ? 2 · 32 ? 3· 4 2 ? ? n?n ? 1? ?
2

n?n ? 1? 12

?an

2

? bn ? c 对一切自然数 n 都成立,并证明你的结

?

论。

【强化训练】
1.用数学归纳法证明“1+x+x +?+x 式子是 (A)1 ( ) (B)1+x (C) 1+x+x2 (D) 1+x+x2+x3+?+x2
2 n+1

1 ? x n?2 ?x ? 1,n ? N ? ”成立时,验证 n=1 的过程中左边的 = 1? x

2.用数学归纳法证明 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? (n ? N ) ,则从 k 到 k+1 时,左边应添加 1- + - ? ? ? 3 2 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 的项为 (A)
1 2k ? 1

(B)

1 1 ? 2k ? 2 2k ? 4

(C) -

1 2k ? 2

(D)

1 1 - 2k ? 1 2 k ? 2

3.如果命题 p (n) 对 n ? k 成立,那么它对 n ? k ? 2 也成立,又若 p (n) 对 n ? 2 成立,则下列结论正确的是



) B. p (n) 对所有正偶数 n 成立 D. p (n) 对所有大于 1 的自然数 n 成立

A. p (n) 对所有自然数 n 成立 C. p (n) 对所有正奇数 n 成立 4.证明

12 22 n2 n(n ? 1) ? ?? ? ? ,n? N* 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1)

5.用数学归纳法证明: (3n ? 1)7 ? 1(n ? N ? ) 能被 9 整除
n

【教学反思】

48

第二章 推理与证明知识点:
1、归纳推理:把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤:

? 通过观察个别情况发现某些相同的性质; ? 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想) ; ? 证明(视题目要求,可有可无).
2、类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这 些特征的推理称为类比推理(简称类比) .简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤:

? 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ? 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; ? 检验猜想。
3、合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 类比,然后提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论” ,包括: ⑵小前提-----所研究的特殊情况; 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明 的结论成立.要点:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 要点:逆推证法;执果索因. ⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明 了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1)(反设)假设命题的结论不成立; (3)(归谬)断言假设不成立; 6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤; (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N ) 时命题成立;
*

⑴大前提-----已知的一般原理;

⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.

(2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止; (4)(结论)肯定原命题的结论成立.

49

(2) (归纳递推)假设 n ? k (k ? n 0 , k ? N * ) 时命题成立,推证当 n ? k ? 1 时命题也成立. 只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.

50

3.1.1 数系的扩充与复数的概念
【课前预习】
(1)预习目标:在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求在数系扩充过程中的作用 (2)1) 结合实例了解数系的扩充过程 2)引进虚数单位 i 的必要性及对 i 的规定 3)对复数的初步认识及复数概念的理解

【学习目标】
(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念 (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 (3)了解复数的代数表示方法

【问题探究】
1.复数的概念: ⑴虚数单位:数__叫做虚数单位,具有下面的性质: ①_________ ②____________________________________________ __ ⑵复数:形如__________叫做复数,常用字母___表示,全体复数构成的集合叫做____ __,常用字母___表示. ⑶复数的代数形式:_________,其中____叫做复数的实部,___叫做复数的虚部,复数 的实部和虚部都是___数. (4)对于复数 a+bi(a,b ∈R), 当且仅当_ ____时,它是实数; 当且仅当_____时,它是实数 0; 当_______时, 叫做虚数; 当_______时, 叫做纯虚数; 2.学生分组讨论 ⑴复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系?

⑵如何对复数 a+bi(a,b∈R)进行分类?

⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?

3.练习: (1).下列数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么? 2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0, 5 i +8, 3-9 i

51

【当堂训练】 1. m∈R,复数 z=(m-2)(m+5)+(m-2)(m-5)i,则 z 为纯虚数的充要条件是 m 的值为 ( ) A.2 或 5 B.5 C.2 或-5 D.-5 2、设 a∈R.复数 a2-a-6+(a 2- 3a-10)i 是纯虚数,则 a 的取值为 ( (A)5 或-2 (B)3 或-2 (C)-2 (D)3 ) )

3、如果(2 x- ?y)+(x+3)i=0(x,y∈R)则 x+y 的值是(
A.18   B. 1    C.3  D. ? 9 2

x?y 的值是       [ x?y 1 1 A. ? 5    B.5   C. ?    D. 5 5 【教学反思】 x,y ? R,且(3x + 2y) + (x ? y)i = i,则

]

52

§3.1.2 复数的几何意义
【学习目标】
1.理解复数与以原点为起点的向量的对应关系; 2.了解复数的几何意义; 3.会用复数的几何意义解决有关问题.

【重点难点】
重点: 复数与从原点出发的向量的对应关系. 难点:复数的几何意义.

【学法指导】
由 前 一 节 内 容 知 复 数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 是 由 其 实 部 a 和 虚 部 b 共 同 决 定 , 所 以 可 以 考 虑 复 数 与有序实数对 ? a, b ? 的对应关系,有序实数对 ? a, b ? 与以原点为起点以 ? a, b ? 为坐标 z ? a ? bi , b ? ? R ? a 的向量的对应关系,进而建立复数 z ? a ? bi ? a, b? R? 与以原点为起点以 ? a, b ? 为坐标的向量的对应关 系,这是理解复数几何意义的基础.

【知识链接】

1.若 A( x, y ) , O(0, 0) ,则 OA ? ? x, y ? ; 2.若 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?

??? ?

【问题探究】
探究一、复数几何意义(一) 引导:复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 与有序实数对 ? a, b ? 是 关系;

y
b
0

Z ? a, b?

若点 Z

的 横 坐 标是 a , 纵 坐 标 是 b , 则 复 数 z ? a ? bi? a , b? R ? 可 用点 其中这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 _______, x 轴叫 _________, y 轴叫做__________
王新敞
奎屯 新疆

a

x

表示, 做

思考:⑴实轴上的点都表示________,原点表示 点都表示 ___________.

, 除了原点外,虚轴上的

⑵在复平面内 z=-5-3i 对应的点______________,z=-3i 对应的点______________, 实轴上的点 ? 2, 0 ? 表示实数 ,虚轴上的点 ? 0, ? 1? 表示纯虚数_____________,

虚轴上的点 ? 0,5? 表示纯虚数____________; 复数 z
一一对应 ? a ? bi?a, b ? R ? ???? ? 复平面内点 Z (a, b)

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法. 点拨:复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 是由其实部 a 和虚部 b 共同决定,所以复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? 与有序实 数对 ? a, b ? 是一一对应关系,和复平面内的点 Z ? a, b ? 也是一一对应关系,这样就建立了复数和复平面内几
53

何图形——点之间的关系,体现了数与形结合思想. 探究二、复数几何意义(二) 引导:复平面内的点与平面向量的对应关系:

??? ? 一一对应 Z (a, b) ???? ? 平面向量 OZ
因此,我们可以用平面向量来表示复数,即:
一一对应 ? 平面向量 OZ 复数 z ? a ? bi?a, b ? R ? ????

??? ?

同时我们把向量 OZ 的模叫做复数 z ? a ? bi 的模,即有 z ? a ? bi ? OZ ?

??? ?

.

点拨:复数 z ? a ? bi ?a,b ? R ? 与平面向量 OZ 建立了一一对应关系,从而可以利用平面向量知识来解决 复数问题,实现了数与形的互化. 例1 如果复数 z 的实部为正数,虚部为 3,那么在复平面内,复数 z 对应的点应位于怎样的图形上。引

??? ?

导:考虑复数 z 在复平面内对应的点坐标形式为 z ? a,3? ,若 a ? 0 ,则点 z 所位于的图形即为所求.

解:

练习:在复平面内,复数 z1 ? 1 ? 2i , z2 ? 2 ? 3i , z3 ? 3 ? 2i , z4 ? ?2 ? i 对应的点 分别为 Z 1 ,

Z2 , Z3 , Z4 .试求出复数 z1, z2 , z3 , z4 的模,并判断点 Z 1 , Z2 , Z3 , Z4 是否在同一个圆上,从中你能
得到什么结论? 提示:计算复数 z1, z2 , z3 , z4 的模,发现规律,寻求结论,再结合复数模的定义解释你的 结论.

【教学反思】

54

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义导学案
【学习目标】 1.理解复数加法的交换律、结合律,知道减法是加法的逆运算;能熟练运用法则进行复数代数形式的加 减运算. 2.理解复数加减法的几何意义,能熟练使用几何法作出复数的向量及进行加减运算. 【教学重点】 复数的加减运算法则及其应用. 【教学难点】 复数的几何意义及其运用. 【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 56 页~第 58 页) 1. 复数的加法运算及其几何意义 ⑴我们规定复数的加法运算法则为:设 z1=a+bi,z2=c+di 是两个任意复 ?a ? bi? ? ?c ? di? = ⑵两个复数的和仍然是 ⑶复数的加法满足交换律、结合律,即:
? ?? ? ??

. .
? ?? ? ??

⑷设 OZ1 、 OZ 2 分别与复数 a+bi 和 c+di 对应,则 OZ1 ? OZ 2 对应复数就是 ⑸复数加法的几何意义是 2. 复数减法及几何意义 ⑴类比实数减法的意义,我们规定复数的减法是 ⑵复数减法的运算法则为 ⑶两个复数的差是 ⑷复数减法的几何意义是 【预习检测】 1. 计算:(1) (2 ? 3i) ? ? ?3 ? 7i ? ? . (2) ?4 ? ? ?2 ? 6i ? ? ? ?3i ?1? ? ) . . . . . .

2. 已知 z 1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ,若 z 1 + z 2 是纯虚数,则有 ( A. a ? c ? 0 且 b ? d ? 0 C. a ? c ? 0 且 b ? d ? 0 B. a ? c ? 0 且 b ? d ? 0 D. a ? c ? 0 且 b ? d ? 0

典型例题
例1. 计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i); (2)在复平面内作出复数 z2 ? z1 所对应的向 例 2. 已知复数 z1 ? ?2 ? i , z2 ? ?3 ? 3i ,(1)求 z2 ? z1 ; 量.

动动手: 1.复数 z 1 ? 2 ?

1 i , z ? 1 ? 2i ,则 z ? z 等于( 2 2 1 2 2
55



A.0

B.

3 5 ? i 2 2

C.

5 5 ? i 2 2

D.

5 3 ? i 2 2
) D. 第四象限

2. 复数 Z 对应的点在第二象限,则 Z+i 对应点在 ( A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 【当堂检测】 1.复数 z1 ? 3 ? i, z 2 ? ?1 ? i, 则 z1 ? z 2 等于( (A)2 (B)2+2i (C)4+2i ) C.不可能是实数 ).

(D)4-2i

2.一个实数与一个虚数的差( A.不可能是纯虚数

B.可能是实数

D.无法确定是实数还是虚数

3.设 z1 ? 2 ? bi, z 2 ? a ? i, 当 z1 ? z 2 ? 0 时,复数 a ? bi 为( ). (A)1+i (B)2+i (C)3 (D)-2-i

4.复数 z1 ? a ? 4i, z 2 ? ?3 ? bi, 若它们的和为实数、差为纯虚数,则实数 a、 b 的值为( ). (A)a=-3 ,b=-4 (B)a=-3,b=4
? ?? ? ??

(C)a=3,b=-4

(D)a=3,b=4
? ??

AB 表示的复数分别为 ? 2 ? i,3 ? 2i, 则向量 OB 所表示的复数的 5.已知复平面 xOy 内的平面向量 OA 、
模为( (A) 5 ). (B) 13 (C) 10 (D) 26

6.在复平面上复数 ?3 ? 2i , ?4 ? 5i , 2 ? i 所对应的点分别是 A、B、C,则平行四边形 ABCD 的对角线 BD 所对应的向量 BD 表示的复数是 A. 5 ? 9 i B. ?5 ? 3i

??? ?



) D. ?7 ? 11i

C. 7 ? 11i

(2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y)i ,求 x,y 7. 已知 x ? R , y 为纯虚数,且

【教学反思】

56

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算
【学习目标】 1.知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算; 2.过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题; 3.情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时, 我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的, 让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建 构知识体系. 【重点难点】重点:复数代数形式的除法运算.难点:对复数除法法则的运用. 【学法指导】复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到,在学习时注意将 i 换成 ?1 ;除法是乘
2

法的逆运算,所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得,但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为 实数,先将复数的分母实数化,再化简可得,学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识链接】 1.复数 z1 与 z2 的和的定义: z1 ? z2 ? ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; 2.复数 z1 与 z2 的差的定义: z1 ? z2 ? ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; 3.复数的加法运算满足交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 ; 4.复数的加法运算满足结合律:

?z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ?z2 ? z3 ? ;

5.复数 z ? a ? bi?a, b ? R? 的共轭复数为 z ? a ? bi . 探究一、复数的乘法运算:设 z1 ? a ? bi 、 z2 ? c ? di ?a, b, c, d ? R ? 是任意两个复数, 规定复数的乘法 按照以下的法则进行: z1 ? z 2 ? 引导 2:试验证复数乘法运算律 (1) z1 ? z2 ? z2 ? z1 (2) ?z1 ? z2 ?? z3 ? z1 ? ?z2 ? z3 ? (3) z1 ? ?z2 ? z3 ? ? z1 ? z2 ? z1 ? z3

探究二、复数的除法运算:引导 1:复数除法定义:满足 ?c ? di??x ? yi? ? ?a ? bi?的复数 x ? yi?x, y ? R? 叫复数 a ? bi 除以复数 c ? di 的商,记为: ?a ? bi? ? ?c ? di?或者

a ? bi ?c ? di ? 0? . c ? di

点拨: 利用初中我们学习的化简无理分式时, 都是采用的分母有理化思想方法, 而复数 c ? di 与复数 c ? di , 相当于我们初中学习的
2 2 它们之积为 1 是有理数, 而 ?c ? di??c ? di? ? c ? d 3 ? 2 的对偶式 3 ? 2 ,

是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法 例 1:计算

王新敞
奎屯

新疆

(1 ? 4i )(1 ? i ) ? 2 ? 4i 3 ? 4i

王新敞
奎屯

新疆

57

【当堂检测】 1.复数 ?

? 2i ? ? 等于( ) ? 1+i ?

2

A. 4i

B. ?4i ) C. 2 ? i ) A. ? i

C. 2i

D. ?2i

2.设复数 z 满足 A. ?2 ? i

1 ? 2i ? i ,则 z ? ( z
B. ?2 ? i
3

D. 2 ? i B. i C. ?1 . D.1

?1 3 ? ? 3*.复数 ? ? ? 2 2 i ? 的值是( ? ?
2

4.已知复数 z 与 ?z ? 2? ? 8i 都是纯虚数,求 z = 5.(1)试求 i , i , i , i , i , i , i , i 的值.
1 2 3 4 5 6 7 8

(2)由(1)推测 i n ? N 的值有什么规律?并把这个规律用式子表示出来.
n *

?

?

提示:通过计算,观察计算结果,发现规律.

【总结提升】 复数的乘法和除法运算是复数的基本运算,在学习时注意运算法则和方法,在乘法运算中注意把 i 换成- 1,在除法运算中注意方法的本质依据,计算时注意准确性. 【教学反思】
2

58



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