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安徽省示范高中2013届高三9月摸底考试(数学理)



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2013 届安徽省示范高中高三 9 月模底考试 数学(理科)
一、选择题 1、已知 i 是虚数单位,复数 A、-2 B、2 C、-2i 2、已知集合 A={1,10, A、{

10i 的虚部为( 1 ? 2i
D、2

i



1 },B={y|y=lgx,x ? A},则 A ? B=( 10
C、{1} D、 ?



1 } 10

B、{10}

3、已知|a|=1,|b|=2,向量 a 与 b 的夹角为 A、 13 B、 21 C、2 3 D、3 2

2? ,c=a+2b,则|c|=( 3



4、样本中共有 5 个个体,其中四个值分别为 0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本的平均值为 1, 则样本方差为=( ) A、

30 5

B、

6 5

C、 2

D、2

5、函数 f ( x) ?

cos x 的图象大致是( x



6、如图所示程序框图的输出的所有 都在函数( A、y=x+1 的图象上 B、y=2x 的图象上 C、y= 2 的图象上
x



D、y= 2

x?1

的图象上

7、 “1<a<2”是“对任意的正数 x, 2 x ? A、充分不必要条件 C、充要条件

a ? 2”的( x



B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 k 的

8、已知 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和,且 S3=S8,S7=Sk,则 值为( A、3 ) B、4 C、5 D、6
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9、若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数” ,那么 2 函数解析式为 y=x ,值域为(1,4)的“同族函数”共有( ) A、7 个 B、8 个 C、9 个 D、10 个 10、已知函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的定义均为[a,b] ,若 g(a) ·g(b)<0,则下列判 断错误的是( ) A、f(x)在[a,b]必有最小值 B、g(x)在[a,b]必有最大值 C、f(x)在[a,b]必有极值 D、g(x)在[a,b]必有极值 二、填空题 11、从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为 m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为 n,

x2 y 2 ? =1 表示双曲线的概率为____ 则方程 m n
?x ? y ?1 ? 0 ? 12、若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x+2y 的值域为____ ? ?1 ? x ? 1 ?
13、已知(x2+

1 n ) 的展开式的各系数和为 32,则展开式中 x x

的系数

为____ 14、某几何体的三视图(单位:m)如图所示,则其表面积为__ _ 15、设圆 x2+y2=2 的切线 l 与 x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于 点 A,B, 当|AB|取最小值时,切线 l 的方程为____ 三、解答题(75 分) 16、 (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,设向量 m=(a,b) ,n=(sinB,sinA) , p=(b-2,a-2) 。 (I)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形。 (II)若 m⊥p,∠C=

? ,c=2,求△ABC 的面积。 3

17、 (本小题满分 12 分) 从甲、 乙两个班级各随机抽取 10 名同学的数学成绩进行统计分析, 两班成绩的茎叶图如图所示, 成绩不小于 90 分为及格。 (I)从每班抽取的同学中各抽取一人,求至少有一人及格的概率; (II)从甲班 10 人中抽取一个,乙班 10 人中抽取两人,三 人中及格人 数记为 X,求 X 的分布列和期望。

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18、 (本小题满分 12 分) 递增的等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 S 2 ? 6, S 4 ? 30 (I)求数列{ an }的通项公式。 (II)若 b n = an log 1 an ,数列{ bn }的前 n 项和为 Tn,求 Tn ? n ? 2 n?1 ? 50 成立的最小正整数 n 的
2

值。

19、 (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AD=2,AB=1,E,F 分别是 AB,BC 的中点 N 在轴上 (I)求证:PF⊥FD; (II)在 PA 上找一点 G,使得 EG∥平面 PFD; (III)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面 角 A- PD-F 的余弦值。

20、 (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,在 x 轴负半 a 2 b2

轴上有一点 B,满足 BF ? F F2 ,AB⊥AF2。 1 1 (I)求椭圆 C 的离心率。 (II) 是过 A, F2 三点的圆上的点, 到直线 l: ? 3 y D B, D x 的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆 C 的方程。 -3=0

????

???? ?

21、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=a(lnx-x) ? R) (a 。 (I)讨论函数 f(x)的单调性;
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(II)若函数 y=f(x)的 图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,函数 g(x)= x ? x [
3 2

m ? f ( x )] 在区间(2,3)上总存在极值,求实数 m 的取值范围。 2

答案
1.B 解析:

10i 10i(1+ 2i) ? ? ?4 ? 2i ,所以虚部为 2 1 ? 2i (1 ? 2i)(1+ 2i)

2.C 解析: B ? { y y ? lg x, x ? A} ? { y y = lg1, y ? lg10, y ? lg
2 3.A 解析: c ? a ? 2b ? c ? ( a ? 2b) ? 13 ? c ? 13 . 2

1 } ? {0,1, ?1} ,所以 A ? B ? {1} . 10

4.D 解析: 设第5个值为x,则

x ? 0 ?1? 2 ? 3 ? 1,得x ? ?1. 5

(?1 ? 1)2 ? (0 ? 1)2 ? (1 ? 1)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 1)2 ? 方差为 ? 2. 5
5.B 解析:∵ f ( x) ?

cos x cos x ? 1. 排除 D; 是奇函数,排除 A; 当x ? 1时, x x ? cos x 当0 ? x ? 时, ? 0 ,排除 C;选 B. 2 x

6.D 解析:依程序框图可知输出的点为(1,1)(2,2)(3,4)(4,8) 、 、 、 ,结合选项可知选 D. 7.A 解析: 2 x +

a 1 ? 2 2a ? 2 ? a ? , 故选 A. x 2

8.B 解析: 设公差为d,由S3 ? S8可推出a1 =-5d ,又由S7 ? Sk 可推出k=4. 9. C 解析:由题意,问题的关键在于确定函数定义域的个数:函数解析式为 y ? x ,值域为 {1, 4} ,
2

那么定义域内的元素可为 ?1,1, ?2, 2 ,则定义域可为下列的 9 种: {1, 2},{1, ?2},{?1, 2},{?1. ? 2} ,

{1, ?1, 2},{1, ?1, ?2},{?1, 2, ?2},{1, ?2, 2},{1, ?1, 2, ?2} ,因此“同族函数”有 9 个.
10.D 解析: f ( x) ? sin x和g ( x) ? cos x在[a, b]上连续,故必有最大值和最小值.

? f ?( x) ? g ( x), g (a) ? g (b) ? 0, ? f ( x)在[a, b]上必有极值. g (a) ? g (b) ? 0,只能保证g ( x)在[a, b]上存在零点.故选D.
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11.

5 12

解析:由题意知基本事件总数为 12,表示双曲线的要求为 mn ? 0 .当 m=-1 时,
5 . 12

n=1、2;当 n=-1 时,m=1、2、3.故表示双曲线的概率为
12. ?0,3? 解析:可行域如图.设 z ? x ? 2 y, 则 y ? ?
8

1 z x ? .易知点 (1, ?2) , (-1, 2) 为最优解. 2 2

?( x ? 2 y)min ? 1 ? 2 ? (?2) ? ?3, ( x ? 2 y) max ? ?1 ? 2 ? 2 ? 3 ,
又可行域过原点, x ? 2 y ? ?0,3?.
4 6

2

-5

-1

1

5

10

15

x+y-1=0
-2

x+y+1=0

-4

13.10 解析: 令 x =1,得展开式的各项系数和为 2 = 32 , n ? 5.
n
-6

1 3 Tr ?1 ? C5r ( x 2 )5? r ( ) r ? C5r x10?3r . 令 10 ? 3r ? 1, r ? 3. ?展开式中x的系数为C5 ? 10. x
-8

14. (80 ? 16 2 ? 16 3)

解析:依题意可得该几何体是一个组合体,

它的上部分与下部分都是四棱锥,中间是—个正方体,

1 1 ? 4 ? 4 ? 2 ? ? 4 ? 4 2 ? 2 = (16 ? 16 2 ) m2, 2 2 中间部分的表面积为 4 ? 4 ? 4 ? 64 (m2),
上部分的表面积为 下部分的表面积为

1 3 ? 4? 4? ? 4 ? 16 3 (m2), 2 2

故所求的表面积为 (80 ? 16 2 ? 16 3) m2. 15. x ? y ? 2 ? 0 解析: A,B 的坐标为 A(a,0), B(0, b), (a, b ? 0) , AB 的直线方程为 设 则

x y ? ? 1, a b

即 bx ? ay ? ab ? 0 ,因为直线和圆相切,所以圆心到直线的距离 d ?

? ab a2 ? b2

? 2 ,整理得

2( a 2 ? b 2 ) ? ab ,即 2(a 2 ? b 2 ) ? (ab) 2 ? 4ab ,所以 ab ? 4 ,当且仅当 a ? b 时取等号,又

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AB ? a 2 ? b 2 ?


ab 2

? 2 2 ,所以 AB 的最小值为 2 2 ,此时 a ? b ,即 a ? b ? 2 ,切线方程

x y ? ? 1 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . 2 2 u v v 16.解析: (Ⅰ) Q m // n,? a sin A ? b sin B, ????????????3 分 a b ? b? 即a? ,其中 R 是△ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R ? ?ABC 为等腰三角形 ?????????????????6 分
(Ⅱ)由题意可知 m ? p =0,即a(b-2)+b(a-2)=0, ? a ? b ? ab ??8 分 由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab
? ?

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 ? ab ? 4(舍去ab ? ?1) ??????????10 分 1 1 ? ? S ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 ???????????????12 分 2 2 3
17.解析: (Ⅰ)由茎叶图知甲班有 4 人及格,乙班有 5 人及格.??????2 分 事件“从每班抽取的同学中各抽取一人,至少有一人及格”记作 A , 则 P( A) ? 1 ?
1 1 C6C5 30 7 ?1? ? ??????????????????5 分 1 1 C10C10 100 10

(Ⅱ) X 取值为 0,1,2,3.???????????????????6 分
P( X ? 0) ? P( X ? 2) ?
1 2 C6 C5 2 ? 2 ? ; 1 C10 C10 15

P ( X ? 1) ?

1 1 1 2 1 C6 C5C5 C4 C5 19 ? 2 ? 1 ? 2 ? ; 1 C10 C10 C10 C10 45

1 2 1 1 1 C6 C5 C4 C5C5 16 ? 2 ? 1 ? 2 ? ; 1 C10 C10 C10 C10 45

P( X ? 3) ?

2 1 C4 C5 4 ? 2 ? . 1 C10 C10 45

所以 X 的分布列为

X

0
2 15

1
19 45

2
16 45

3
4 45

P( X )

???????11 分 所以 E ( X ) ?
19 ? 32 ? 12 7 ? . ??????????????????????12 分 45 5

18.解析: (Ⅰ) S 2 ? 6, S 4 ? 30 ? q ? ?2 ,????????????2 分 ∵数列 ?an ? 递增,∴ q ? 2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? 2 n ?????????????5 分
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(Ⅱ) bn ? 2 n log1 2 n ? ?n ? 2 n , Tn ? ?(1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n )
2

设 H n ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n …………..①

2H n ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1 ………..②
①-②得: ?Hn ? 21 ? 22 ? 23 ? ???2n ? n ? 2n?1 ,

2(1 ? 2n ) ? ? n ? 2n ?1 ? ?n ? 2n +1 ? 2n ?1 ? 2=Tn ,………………………………………………………..10 1? 2


Tn ? n ? 2n?1 ? 50 ,即 ?n ? 2n +1 ? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1 ? 50 , 2 n?1 ? 52
∴正整数 n 的最小值是 5???????????????????12 分 19.解析:( ) 接 Ⅰ 连 AF, AF= 2, 则 DF= 2, 又 AD= ∴ 2+ 2= 2, DF⊥ 2, DF AF AD ∴ AF. 又 PA⊥ 面 平 ABCD, DF⊥ ∴ PA, 又 PA∩AF= A,

? DF ? 平面PAF ? ? ? DF ? PF . ……………4分 PF ? 平面PAF ?

1 ( ) 点 EH∥ Ⅱ 过 E作 FD交 AD于 H, EH∥ 面 点 则 平 PFD且 AH= AD. 4 1 再 点 HG∥ 过 H作 DP交 PA于 G, HG∥ 面 点 则 平 PFD且 AG= AP, 4 ∴ 面 平 EHG∥ 面 平 PFD. EG∥ 面 ∴ 平 PFD. 1 从 满 AG= AP的 G为 求 而 足 点 所 . 4 ………………8分

(Ⅲ) 建立如图所示的空间直角坐标系, 因为 PA⊥平面 ABCD , 所以 ?PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角.
? 又由已知可得 ?PBA ? 45 ,所以 PA ? AB ? 1 ,所以

A? 0,0,0? , B ?1,0,0? , F (1,1,0), D(0,2,0), P(0,0,1) . ? ??? ? ? ? n ? PF ? 0 ? 设平面 PFD 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,由 ? ? ???? 得 ?n ? DF ? 0 ?
?x ? y ? z ? 0 , ? ? x? y ?0

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? ?1 1 ? 1 ,所以 n ? ? , ,1? . 2 ?2 2 ? ??? ? 又因为 AB ? 平面PAD ,所以 AB ? ?1,0,0 ? 是平面 PAD 的法向量,
令 z ? 1 ,解得: x ? y ?

??? ? ? ??? ? ? AB ? n 所以 cos AB, n ? ??? ? ? ? AB ? n

1 6 2 . ? 6 1 1 ? ?1 4 4
6 . 6
????????13 分

由图知,二面角 A ? PD ? F 的余弦值为

20.解析: (Ⅰ)设 B(x0,0) ,由 F2 (c,0) ,A(0,b) , 知 AF ? (c,?b), AB ? ( x0 ,?b) 2

? AF2 ? AB,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ? ?

b2 , c b2 ? c ? ?2c c
1 ??????6 分 2

由 BF ? F1F2 知 F1 为 BF2 中点,故 ? 1

? b 2 ? 3c 2 ? a 2 ? c 2 ,即 a2 =4c2 ,故椭圆 C 的离心率 e ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

c 1 1 1 3 ? , 得 c ? a ,于是 F2 ( a ,0), B ( ? a ,0) , a 2 2 2 2

△ABF 的外接圆圆心为 F ( ? 1

1 ,半径 r= a , a ,0) 2

D 到直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的最大距离等于 2a ,所以圆心到直线的距离为 a ,

1 | ? a ?3| 2 所以 ? a ,解得 a =2,∴c =1,b= 3 , 2
所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

??????13 分

21.解析: (Ⅰ)易知 f ?x ? 的定义域为 (0, ??). f ?( x ) ? 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ?

a (1 ? x ) .?????????1 分 x

a(1 ? x) (1 ? x ) ? 0, 即 ? 0, 解得增区间为 (1, ??) .同理减区间为(0,1); x x a(1 ? x) (1 ? x ) ? 0, 即 >0, 解得增区间为(0,1).同理减区间为 (1, ??) ; 当 a >0 时,令 f ?( x) ? x x
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当 a ? 0 时, f ?x ? 不是单调函数.

???????????????????6 分

(Ⅱ)∵ y ? f ?x ? 的图像在点 ?2, f ?2?? 处的切线的倾斜角为 45°,

a (1 ? 2) ? tan 45? ? 1,? a ? -2 ??????????????7 分 2 ?2(1 ? x) 2( x ? 1) f ?( x) ? ? x x m 2( x ? 1) m g ( x) ? x 3 ? x 2 ( ? ) ? x3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x, ???????????9 分 2 x 2
∴ f ?(2) ?

g?( x) ? 3x2 ? (m ? 4) x ? 2 ,
?m ? ? g ?(0) ? ?2 ? 0, 要使函数 g ?x ? ? x 3 ? x 2 ? ? f ??x ?? 在区间(2,3)上总存在极值,只需 ?2 ?
37 ? g ?(2) ? 0 解得 ? <m ? ?9. ???????????????????13 分 , 3 ? ? g ?(3)>0

·9·



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