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1.3.3函数的奇偶性



集合与函数概念

1.3

函数的基本性质 函数的奇偶性

1.3.3

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.

基础梳理 1.奇偶性定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有 f(-x)=-f(x),则称f(x)

为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内 的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具 有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条 性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数.
例如:判断下列函数的奇偶性:

①y=-x2;②y=x3;③y=x2-x;④y=0.
偶函数 奇函数 非奇非偶函数 既是奇函数又是偶函数 2.由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必 要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域 内的一个自变量(即定义域关于原点对称). 例 如 : 若 奇 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [p , q] , 则 p + q = 0 ________.

思考应用 1.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是否一 致?偶函数呢? 解析:奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一 致,而偶函数刚好相反.

2.若函数f(x)满足f(-1)=f(1),能否判断函数f(x)为偶函
数? 解析:不能,由定义可知,必须是定义域内任意x都有 f(-x)=f(x),不能用特殊性代替任意性.

自测自评 1.奇函数f(x)图象一定过原点吗? 答案:当 f(0) 有意义时,由 f( - 0) =-f(0) 得:f(0) = 0; 当 f(0)没有意义时,如函数f(x)=,它的图象不过原点. 2.函数y=是偶函数吗?为什么? 答案:不是;因为定义域不关于原点对称. 3.设函数f(x)=x|x-a|+b是奇函数,求实数a,b的值.

解析:因为函数f(x)=x|x-a|+b为奇函数,所以f(0)=0, f(a)+f(-a)=0,解得a=b=0.

判断函数的奇偶性 判断下列函数是否具有奇偶性. (1)f(x)=x+x3+x5; (2)f(x)=x2+1; (3)f(x)=x+1;

(4)f(x)=x2,x∈[-1,3].
分析:先求定义域,再判断f(-x)与f(x)的关系. 解析:(1)函数f(x)=x+x3+x5的定义域为R. 当x∈R,-x∈R. ∵f(-x)=-x-x3-x5=-(x+x3+x5)=-f(x).

∴f(x)=x+x3+x5为奇函数.

(2)函数f(x)=x2+1的定义域为R,当x∈R,-x∈R. ∵f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x), ∴f(x)=x2+1是偶函数. (3)函数f(x)=x+1的定义域是R,当x∈R时,-x∈R, ∵f(-x)=-x+1=-(x-1),-f(x)=-(x+1),

f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),(x∈R)
∴f(x)=x+1既不是奇函数,也不是偶函数. (4)因为函数的定义域关于原点不对称,

存在3∈[-1,3],而-3

[-1,3]. ?

∴f(x)=x2,x∈[-1,3]既不是偶函数,也不是奇函数. 点评:定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提.

跟踪训练

1.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; 1+x (2)f(x)=(x-1)· ; 1-x ? ?1+x?x>0? (3)f(x)=? . ? ?1-x?x<0?
解析:(1)函数的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称, 因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x -1|)=-f(x). 所以f(x)是奇函数.

1+x (2)由于 ≥0,得-1≤x<1,其定义域不关于原点 1-x 对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对
称, 当x>0时,-x<0, f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当x<0时,-x>0,

f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),

都有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.

奇偶函数的图象及应用 (1)奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必过点( A.(a,f(-a)) C.(-a,-f(a)) B.(-a,f(a)) D.
? ?1?? ?a,f? ?? ?a?? ?

)

(2)设偶函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时, f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是_____.

解析:(1)根据奇函数图象的特征:奇函数的图象关于 原点对称,知点(a,f(a))在其图象上,则它关于原点的对称

点(-a,-f(a))也必在其图象上.
(2)由于偶函数的图象关于y轴对称,所以可根据对称

性确定不等式f(x)<0的解.∵当x∈[0,5]时,f(x)<0的解为2
<x≤5,所以当x∈[-5,0]时,f(x)<0的解为-5≤x<2. ∴f(x)<0的解集是{x|-5≤x<2或2<x≤5}. 答案:(1)C (2){x|-5≤x<2或2<x≤5}

跟踪训练 2.偶函数f(x)(x∈R)满足:f(-4)=f(1)=0,且在区 间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增,使f(x)<0的自变量 范围是( ) A.(-∞,-4)∪(4,+∞) B.(-4,-1)∪(1,4)

C.(-∞,-4)∪(-1,0)
D.(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4) 解析:根据题目条件,想象函数图象如下:

答案:B

利用函数的奇偶性求函数的解析式 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数, 当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,求当x∈(0,+∞)时,f(x)的

表达式.
解析:当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0),

因为x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,
所以f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4,

因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),所以f(x)=-x-x4.

跟踪训练 3.若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(1-

x),求当x≥0时,函数f(x)的解析式.
分析:将x<0时,f(x)的解析式转化到x>0上,这是解决 本题的关键.

解析:由f(x)是奇函数,
当x>0时,f(x)=-f(-x) =-{(-x)[1-(-x)]}=x(1+x); 当x=0时,f(0)=-f(0),即f(0)=0. ∴当x≥0时,f(x)=x(1+x).

一、选择填空题 1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)的值为( )

A.-1

B.0

C.1

D.无法确定

解析:∵f(x)为R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),∴f(0)=-f(0), ∴f(0)=0. 答案:B

2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x- 3,则f(-2)=( C )

A.1

1 B. 4

C.-1

11 D.- 4

1.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: (1)首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于 原点对称; (2)确定f(-x)与f(x)的关系; (3)作出相应结论. 2.若f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数. 3.若f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函

数.
4.函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性,函数 的奇偶性是函数的整体性质.

5.由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一 个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定 是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). 6.奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相 反. 7.偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相 同. 8.设f(x),g(x)有公共的定义域,那么在它们的公共 定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶, 偶×偶=偶,奇×偶=奇







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