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高中数学组卷【立体几何每天一题一练】



高中数学组卷【立体几何每天一题一练】
一.解答题(共 30 小题) 1.如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=2,E 是 CD 的中点,O 为 AE 的中点,F 是 AB 的中点.以 AE 为折 痕将△ ADE 向上折起,使面 DAE⊥ 面 ABCE. (1)求证:OF∥ 面 BDE; (2)求证:AD⊥ 面 BDE. 2.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1

中,CC1⊥ 底面 ABC,AC=BC=2, ,CC1=4,M 是棱 CC1 上一点. (Ⅰ )求证:BC⊥ AM; (Ⅱ )若 M,N 分别为 CC1,AB 的中点,求证:CN∥ 平面 AB1M. 3.如图,已知 ABCD 是矩形,E 是以 CD 为直径的半圆周上一点,且平面 CDE⊥ 平面 ABCD,求证:CE⊥ 平面 ADE.

(第 1 题图) (第 2 题图) (第 3 题图) 4.如图,三棱锥 V﹣ABC 中,AB=AC=VB=VC= ,BC=2,VA= . (1)求证:面 VBC⊥ 面 ABC; (2)求直线 VC 与平面 ABC 所成角的余弦值. 5.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是 AB=2,BC= 的矩形,侧面 PAB 是等边三角形,且侧面 PAB⊥ 底面 ABCD (1)证明:侧面 PAB⊥ 侧面 PBC; (2)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角; (3)求直线 AB 与平面 PCD 的距离. 6.如图,已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=2,M,N 分别是棱 CC1,AB 的中点. (Ⅰ )求证:平面 MCN⊥ 平面 ABB1A1; (Ⅱ )求证:CN∥ 平面 AMB1.

(第 4 题图) (第 5 题图) (第 6 题图) (第 7 题图) 7.如图,四边形 ABCD 是菱形,PA⊥ 平面 ABCD,M 为 PA 的中点. (Ⅰ )求证:PC∥ 平面 BDM; (Ⅱ )求证:平面 BMD⊥ 平面 PAC; (III)若 PA=AC= ,BD=2 ,求三棱锥 M﹣ABD 的体积. 8.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 AB=AD=2,AA1=1,E 为 BB1 的中点. (1)求证:B1D∥ 平面 AEC; (2)求证:AC⊥ B1D; (3)求三棱锥 E﹣ACD 的体积. 9.如图,边长为 2 的等边△ PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 ,M 为 BC 的中点. (1)证明:AM⊥ PM; (2)求三棱锥 P﹣ADM 的体积. 10.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥ 底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知:PA=2,AB=2, . (1)求证:CD⊥ PD; (2)求异面直线 AE 与 BC 所成的角的大小.

(第 8 题图)

(第 9 题图)

(第 10 题图)

(第 11 题图)

11.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将△ AED,△ DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 A′ . (1)求证:A′ D⊥ EF. (2)求三棱锥 D﹣A′ EF 的体积. 12.如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,平行于 BC 的平面 MNPQ 分别交 AB、AC、CD、BD 于 M、N、P、Q 四点,且 MN=PQ. (1)求证:四边形 MNPQ 为平行四边形; (2)试在直线 AC 上找一点 F,使得 MF⊥ AD. 13.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥ 底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点. (1)证明:PA∥ 平面 BDE. (2)在棱 PB 上是否存在点 F,使 PB⊥ 平面 DEF?证明你的结论. 14.如图,正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 的中点. (1)求证:AB1⊥ 平面 A1BD; (2)求三棱锥 B﹣A1B1D 的体积.

(第 12 题图) (第 13 题图) (第 14 题图) (第 15 题图) 15.如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AA1,D 是 CC1 的中点,F 是 A1B 的中点, (1)求证:DF∥ 平面 ABC; (2)求证:AF⊥ 平面 BDF. 16.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=AB=AA1=2,∠ BAC=90°,点 D 是棱 B1C1 的中点. (Ⅰ )求证:A1D⊥ 平面 BB1C1C; (Ⅱ )求三棱锥 B1﹣ADC 的体积. 17.如图所示,PA⊥ 平面 ABC,点 C 在以 AB 为直径的⊙ O 上,∠ CBA=30°,PA=AB=2, ,点 E 为线段 PB 的中点, 点 M 在 AB 弧上,且 OM∥ AC. (1)求证:平面 MOE∥ 平面 PAC; (2)求证:BC⊥ 平面 PAC; (3)求直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值. 18.已知四棱锥 P﹣ABCD 如图 1 所示,其三视图如图 2 所示,其中正视图和侧视图都是直角三角形,俯视图是矩 形. (1)求此四棱锥的体积; (2)若 E 是 PD 的中点,求证:AE⊥ 平面 PCD; (3)在(2)的条件下,若 F 是 PC 的中点,求四边形 ABFE 的面积.

(第 16 题图)

(第 17 题图)

(第 18 题图)

19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥ BC,BC⊥ BC1,AB=BC1,E,F 分别为线段 AC1,A1C1 的中点. (1)求证:EF∥ 面 BCC1B1; (2)求证:BE⊥ 平面 AB1C1. 20.如图:四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ AD,AB=AC=2PA=2, ,AD∥ BC,∠ BAD=150°. (1)证明:PA⊥ 平面 ABCD; (2)求 VP﹣ABC. 21.如图,在四棱锥 M﹣ABCD 中,AB=AD.平面 MAD⊥ 平面 ABCD,∠ BAD= ,G、H 分别是 AM、AD 的中

点。求证: (1)直线 GH∥ 平面 MCD; (2)平面 BGH⊥ 平面 MAD. 22.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ 平面 ABCD,PB 与底面所成的角为 45°,底面 ABCD 为直角梯形, ∠ ABC=∠ BAD=90°,E 是 PD 的中点,且 PA=BC= AD. (1)求证:CE∥ 平面 PAB(2)求证:CD⊥ 平面 PAC(3)若 PA=1,求三棱锥 C﹣PAD 的体积.

(第 19 题图) (第 20 题图) (第 21 题图) (第 22 题图) 23.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 的正方形,侧面 PDC⊥ 底面 ABCD,O 为底面正方形 ABCD 的中心,M 为 PA 的中点. (Ⅰ )求证:OM∥ 平面 PCD; (Ⅱ )当 PD=PC=1 时,证明:CP⊥ 平面 PAD. 24.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形,PD⊥ 平面 ABCD,M 为 PC 中点. (1)求证:AP∥ 平面 MBD; (2)若 AD⊥ PB,求证:BD⊥ 平面 PAD. 25.如图:直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=AA1=2,∠ ACB=90°.E 为 BB1 的中点,D 点在 AB 上且 DE= (Ⅰ )求证:CD⊥ 平面 A1ABB1; (Ⅱ )求三棱锥 A1﹣CDE 的体积. 26.P 为正方形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥ 面 ABCD,AE⊥ PB,求证:AE⊥ PC. .

(第 23 题图)

(第 24 题图)

(第 25 题图)

(第 26 题图)

27.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点, (1)求证:AC⊥ 平面 D1DB; (2)BD1∥ 平面 ABC. 28.如图,三棱锥 D﹣ABC 中,AB,BC,BD 两两垂直,且 AB=BC=2,点 E 是 AC 中点,异面直线 AD 与 BE 所 成角为 θ. (1)求证:AC⊥ 平面 DBE; (2)若 ,求三棱锥 D﹣ABC 的体积.

29.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,△ ABC 是正三角形,侧棱 AA1⊥ 平面 ABC,点 D 在 BC 上,AD⊥ C1D. ① 求证:AD⊥ 平面 BCC1B1;② 求证:A1B∥ 平面 ADC1. 30.如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,AF⊥ 平面 ABCD,DE⊥ 平面 ABCD,DE=2AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 45°. (Ⅰ )求证:AC⊥ 平面 BDF; (Ⅱ )求证:AC∥ 平面 BEF; (Ⅲ )求几何体 EFABCD 的体积.

(第 27 题图)

(第 28 题图)

(第 29 题图)

(第 30 题图)

高中数学组卷【立体几何每天一题一练】 参考答案与试题解析
一.解答题(共 30 小题) 1.如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=2,E 是 CD 的中点,O 为 AE 的中点,F 是 AB 的中点.以 AE 为折 痕将△ ADE 向上折起,使面 DAE⊥ 面 ABCE. (1)求证:OF∥ 面 BDE; (2)求证:AD⊥ 面 BDE.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: (1)根据 O 为 AE 的中点,F 是 AB 的中点则 OF∥ BE,BE?面 BDE,OF 不属于面 BDE,根据直线与平面 平行的判定定理可知 OF∥ 面 BDE; (2) 根据面 DAE⊥ 面 ABCE, BE⊥ AE, 则 BE⊥ 面 ADE, 而 AD?面 ADE, 则 BE⊥ AD, AD⊥ DE, 且 DE∩ BE=E, 满足直线与平面垂直的判定定理,则 AD⊥ 面 BDE. 解答: 证明: (1)O 为 AE 的中点,F 是 AB 的中点,OF∥ BE BE?面 BDE,OF 不属于面 BDE, ∴ OF∥ 面 BDE (2)面 DAE⊥ 面 ABCE,BE⊥ AE ∴ BE⊥ 面 ADE,AD?面 ADE ∴ BE⊥ ADAD⊥ DE,且 DE∩ BE=E, ∴ AD⊥ 面 BDE
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点评: 本题主要考查了直线与平面平行的判定,以及直线与平面垂直的判定,线面平行常常找线线平行或面面平 行进行证明,属于中档题. 2.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥ 底面 ABC,AC=BC=2, (Ⅰ )求证:BC⊥ AM; (Ⅱ )若 M,N 分别为 CC1,AB 的中点,求证:CN∥ 平面 AB1M. ,CC1=4,M 是棱 CC1 上一点.

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)由三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥ 平面 ABC,可得 CC1⊥ BC.由已知 AC=BC=2, ,利用勾 股定理的逆定理知 BC⊥ AC.利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明结论; (II) 过 N 作 NP∥ BB1 交 AB1 于 P,连接 MP,则 NP∥ CC1,利用三角形的中位线定理和平行四边形的判 定定理与性质定理即可得到 CN∥ MP,再利用线面平行的判定定理即可证明. 解答: 证明: (Ⅰ )因为 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥ 平面 ABC,
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所以 CC1⊥ BC. 因为 AC=BC=2, , 所以 由勾股定理的逆定理知 BC⊥ AC. 又因为 AC∩ CC1=C, 所以 BC⊥ 平面 ACC1A1. 因为 AM?平面 ACC1A1, 所以 BC⊥ AM. (Ⅱ )过 N 作 NP∥ BB1 交 AB1 于 P,连接 MP,则 NP∥ CC1. 因为 M,N 分别为 CC1,AB 中点, 所以 因为 所以 所以 所以 因为 所以 , .

BB1=CC1, NP=CM. 四边形 MCNP 是平行四边形. CN∥ MP. CN?平面 AB1M,MP?平面 AB1M, CN∥ 平面 AB1 M.

点评: 本题综合考查了直三棱柱的性质、线面平行于垂直的判定和性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形 的判定与性质定理等基础知识与方法,需要较强的推理能力和空间想象能力. 3.如图,已知 ABCD 是矩形,E 是以 CD 为直径的半圆周上一点,且平面 CDE⊥ 平面 ABCD,求证:CE⊥ 平面 ADE.

考点: 直线与平面垂直的判定. 专题: 证明题. 分析: 要证明 CE⊥ 平面 ADE,需要证明 CE 垂直于该平面内的两条相交直线,或者使用面面垂直的性质,本题的 条件是平面 CDE⊥ 平面 ABCD,而 E 是以 CD 为直径的半圆周上一点,能够得到 CE⊥ DE,由面面垂直的性 质即可证明. 解答: 证明:平面 ABCD⊥ 平面 CDE,ABCD 为矩形,所以 AD⊥ 平面 CDE, 因为点 E 在直径为 CD 的半圆上,所以 CE⊥ ED, 所以 CE⊥ 平面 ADE. 点评: 本题考查线面垂直的证明,证明直线垂直于平面有两种常用方法:判定定理或者使用面面垂直的性质定理, 要根据题目中给定的条件恰当选择.
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4.如图,三棱锥 V﹣ABC 中,AB=AC=VB=VC= (1)求证:面 VBC⊥ 面 ABC; (2)求直线 VC 与平面 ABC 所成角的余弦值.

,BC=2,VA=



考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 分析: (1) 取 BC 的中点 D, 连接 VD、 AD, 说明∠ VDA 为二面角面 VBC 与面 ABC 的平面角, 证明∠ VDA=90°. 即 可证明面 VBC⊥ 面 ABC. (2) 由 (1) 得 VD⊥ 平面 ABC, 说明∠ VCD 为线 VC 与平面 ABC 所成的角, 在 Rt△ VCD 中, 求出 cos∠ VCD, 得到直线 VC 与平面 ABC 所成角的余弦值. 解答: 解: (1)证明:取 BC 的中点 D,连接 VD、AD,
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由已知得,△ VBC 为等腰三角形,BD= BC=1, ∴ 有 VD⊥ BC,VD= =2,

同理可得 AD⊥ BC,AD=2, ∴ ∠ VDA 为二面角面 VBC 与面 ABC 的平面角, 又△ VAD 中,AD=VD=2,VA=2 . ∴ ∠ VDA=90°. ∴ 面 VBC⊥ 面 ABC. (2)由(1)得 VD⊥ 平面 ABC, ∴ CD 为斜线 VC 在平面 ABC 上的射影, ∠ VCD 为线 VC 与平面 ABC 所成的角, Rt△ VCD 中,VC= ∴ cos∠ VCD= = ,CD= BC=1, . .

∴ 直线 VC 与平面 ABC 所成角的余弦值为

点评: 本题考查平面与平面垂直的证明方法,考查直线与平面所成角,考查空间想象能力. 5.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是 AB=2,BC= (1)证明:侧面 PAB⊥ 侧面 PBC; (2)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角; (3)求直线 AB 与平面 PCD 的距离. 的矩形,侧面 PAB 是等边三角形,且侧面 PAB⊥ 底面 ABCD

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法. 专题: 证明题. 分析: (1)由已知中四棱锥 P﹣ABCD 的底面是 AB=2,BC= 的矩形,侧面 PAB⊥ 底面 ABCD,根据面面垂直 的性质定理可得 BC⊥ 侧面 PAB,再由面面垂直的判定定理即可得到侧面 PAB⊥ 侧面 PBC; (2) 取 AB 中点 E, 连接 PE、 CE, 根据 (1) 的结论和等腰三角形性质, 可得∠ PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角,解三角形 PCE 即可求出侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角; (3)取 CD 中点 F,连 EF、PF,可得 EG⊥ 平面 PCD,解△ PEF 求了 EG 的长,即可求出直线 AB 与平面 PCD 的距离. 解答: 证明: (1)在矩形 ABCD 中,BC⊥ AB 又∵ 面 PAB⊥ 底面 ABCD 侧面 PAB∩ 底面 ABCD=AB ∴ BC⊥ 侧面 PAB 又∵ BC?侧面 PBC ∴ 侧面 PAB⊥ 侧面 PBC; 解: (2)取 AB 中点 E,连接 PE、CE 又∵ △ PAB 是等边三角形∴ PE⊥ AB 又∵ 侧面 PAB⊥ 底面 ABCD,∴ PE⊥ 面 ABCD ∴ ∠ PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角
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在 Rt△ PEC 中,∠ PCE=45°为所求 (3)在矩形 ABCD 中,AB∥ CD ∵ CD?侧面 PCD,AB?侧面 PCD,∴ AB∥ 侧面 PCD 取 CD 中点 F,连 EF、PF,则 EF⊥ AB 又∵ PE⊥ AB∴ AB⊥ 平面 PEF 又∵ AB∥ CD ∴ CD⊥ 平面 PEF∴ 平面 PCD⊥ 平面 PEF 作 EG⊥ PF,垂足为 G,则 EG⊥ 平面 PCD 在 Rt△ PEF 中,EG= 为所求.

点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角,线面距离; (1)的关键是熟练掌握面 面垂直的判定及性质, (2)的关键是求出线面夹角的平面角, (3)是找到直线与平面的公垂线段. 6.如图,已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=2,M,N 分别是棱 CC1,AB 的中点. (Ⅰ )求证:平面 MCN⊥ 平面 ABB1A1; (Ⅱ )求证:CN∥ 平面 AMB1.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: (I) 在△ ABC 中, 由“三线合一”可证出 AB⊥ CN, 再根据直三棱柱的性质结合线面垂直的定义, 可得 AA1⊥ CN, 从而得到 CN⊥ 平面 ABB1A1,结合面面垂直的判定定理,可证出平面 MCN⊥ 平面 ABB1A1; (II)取 AB1 中点 G,连接 GM、GN.利用三角形中位线定理,结合平行四边形 BCC1B1 中,CM∥ BB1 且
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CM= BB1,从而得到四边形 CMGN 是平行四边形,所以 GM∥ CN,最后用线面平行的判定定理,即可证出 CN∥ 平面 AMB1. 解答: 解: (I)∵ AA1⊥ 平面 ABC,CN?平面 ABC,∴ AA1⊥ CN ∵ △ ABC 中,AC=BC,N 为 AB 的中点,∴ AB⊥ CN ∵ AA1、AB 是平面 ABB1A1 内的相交直线 ∴ CN⊥ 平面 ABB1A1 ∵ CN?平面 MCN, ∴ 平面 MCN⊥ 平面 ABB1A1; (Ⅱ )取 AB1 中点 G,连接 GM、GN ∵ △ AB1B 中,G、N 分别是 AB1、AB 的中点 ∴ GN∥ BB1,且 GN= BB1, 又∵ 平行四边形 BCC1B1 中,M 为 CC1 中点 ∴ CM∥ BB1,且 CM= BB1, ∴ GN∥ CM 且 GN=CM,可得四边形 CMGN 是平行四边形 ∴ GM∥ CN ∵ GM?平面 AMB1,CN?平面 AMB1 ∴ CN∥ 平面 AMB1.

点评: 本题以底面为等腰三角形的直三棱柱,求证面面垂直并且证明线面平行,着重考查了线面垂直、面面垂直 和判定与性质和线面平行的判定定理等知识,属于基础题. 7.如图,四边形 ABCD 是菱形,PA⊥ 平面 ABCD,M 为 PA 的中点. (Ⅰ )求证:PC∥ 平面 BDM; (Ⅱ )求证:平面 BMD⊥ 平面 PAC; (III)若 PA=AC= ,BD=2 ,求三棱锥 M﹣ABD 的体积.

考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (I)欲证 PC∥ 平面 MBD,根据线面平行的判定定理可知只需在平面 QBD 内找一直线与之平行,设 AC∩ BD=O,连 OM,易证 OM∥ PC; (II)欲证平面 MBD⊥ 平面 PAC,根据线面垂直的判定定理可知只需证 BD⊥ 平面 PAC,而易证 BD⊥ AC 与 PA⊥ BD. 解答: 解: (Ⅰ )设 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OM. 因为 ABCD 是菱形,则 O 为 AC 中点. 又 M 为 PA 的中点,所以 OM∥ PC 因为 OM 在平面 BDM 内,所以 PC∥ 平面 BDM. (Ⅱ )因为 ABCD 是菱形,则 BD⊥ AC. 又 PA⊥ 平面 ABCD,则 PA⊥ BD. 所以 BD⊥ 平面 PAC. ∴ 平面 BMD⊥ 平面 PAC.
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(III)∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥ BD,∴ S△ABD= × ∵ PA⊥ 平面 ABCD,∴ MA 为三棱锥 M﹣ABD 的高,MA= ∴ 三棱锥 M﹣ABD 的体积 V= = . ,

=



点评: 本题考查了线面平行的证明,考查了面面垂直的证明,求三棱锥的体积,考查了空间想象能力与推理论证 能力. 8.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 AB=AD=2,AA1=1,E 为 BB1 的中点. (1)求证:B1D∥ 平面 AEC; (2)求证:AC⊥ B1D; (3)求三棱锥 E﹣ACD 的体积.

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用三角形的中位线性质证明线线平行,再利用线面平行的判定,可证 B1D∥ 平面 AEC; (2)利用线面垂直的判定证明 AC⊥ 平面 BB1D,进而可得 AC⊥ B1D; (3)求三棱锥 E﹣ACD 的体积,即求三棱锥 E﹣ACB 的体积,利用体积公式可得结论. 解答: (1)证明:连接 BD,交 AC 于 O,连接 OE,则
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∵ E 为 BB1 的中点,O 为 BD 的中点 ∴ B1D∥ OE ∵ B1D?平面 AEC,OE?平面 AEC ∴ B1D∥ 平面 AEC; (2)∵ 长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 AB=AD=2,∴ AC⊥ B1D ∵ BB1⊥ 平面 ABCD,∴ BB1⊥ AC ∵ BB1∩ B1D=B1,∴ AC⊥ 平面 BB1D

∴ AC⊥ B1D; (3)求三棱锥 E﹣ACD 的体积,即求三棱锥 E﹣ACB 的体积, ∵ AB=AD=2,AA1=1,E 为 BB1 的中点 ∴ 三棱锥 E﹣ACB 的体积= ∴ 三棱锥 E﹣ACD 的体积为 . 点评: 本题考查线面平行,线面垂直,考查三棱锥体积的计算,掌握线面平行、垂直的判定与性质是关键. 9.如图,边长为 2 的等边△ PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 (1)证明:AM⊥ PM; (2)求三棱锥 P﹣ADM 的体积. ,M 为 BC 的中点. =

考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)取 CD 的中点 E,连接 PE、EM、EA.利用面面垂直性质定理,结合△ PCD 为正三角形证出 PE⊥ 平面 2 2 2 ABCD,从而得出 AM⊥ PE.利用题中数据,在矩形 ABCD 中证出 EM +AM =AE ,可得 AM⊥ EM,最后根 据线面垂直判定定理证出 AM⊥ 平面 PEM,得到即可 AM⊥ PM; (2)算出三角形 ADM 的面积,结合 PE= 是三棱锥 P﹣ADM 的高线,利用锥体的体积公式即可算出三 棱锥 P﹣ADM 的体积. 解答: 解: (1)取 CD 的中点 E,连接 PE、EM、EA. ∵ △ PCD 为正三角形,E 为 CD 中点,∴ PE⊥ CD, ∵ 平面 PCD⊥ 平面 ABCD,平面 PCD∩ 平面 ABCD=CD, ∴ PE⊥ 平面 ABCD ∵ AM?平面 ABCD,∴ AM⊥ PE ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ △ ADE、△ ECM、△ ABM 均为直角三角形 由勾股定理求得:EM= ,AM= ,AE=3 2 2 2 ∴ EM +AM =AE ,可得 AM⊥ EM 又∵ PE、EM 是平面 PEM 内的相交直线,∴ AM⊥ 平面 PEM ∵ PM?平面 PEM,∴ AM⊥ PM
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(2)∵ 正△ PCD 中,边长为 2,∴ PE= ∵ 矩形 ABCD 中,AD=2 ∴ S△ADM= S 矩形 ABCD= × ,CD=2 =2

CD=



∵ PE⊥ 平面 ABCD,得 PE 是三棱锥 P﹣ADM 的高 ∴ 三棱锥 P﹣ADM 的体积 V= S△ADM×PE= ×2 × =

点评: 本题在特殊四棱锥中求证线面垂直,并求锥体的体积.着重考查了面面垂直性质定理、线面垂直的判定与 性质和锥体体积求法等知识,属于中档题. 10.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥ 底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知:PA=2,AB=2, . (1)求证:CD⊥ PD; (2)求异面直线 AE 与 BC 所成的角的大小.

考点: 直线与平面垂直的性质;异面直线及其所成的角. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 CD⊥ 平面 PAD,可得 CD⊥ PD; (2)取 PB 的中点 F,连接 AF、EF,△ PBC 中,利用中位线定理,得到 EF∥ BC,从而∠ AEF 或其补角就是 异面直线 BC 与 AE 所成的角,然后可以通过计算证明出:△ AEF 是以 F 为直角顶点的等腰直角三角形,所 以∠ AEF=45°. 解答: (1)证明:因为 PA⊥ 底面 ABCD,CD?底面 ABCD,所以 PA⊥ CD. 又 AD⊥ CD,PA∩ AD=A,所以 CD⊥ 平面 PAD, 因为 PD?平面 PAD,所以 CD⊥ PD. (2)解:如图,取 PB 中点 F,连结 EF、AF,则 EF∥ BC,从而∠ AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角.
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在△ AEF 中,由




2 2 2

连结 AC,因为 PC=4,在 Rt△ PAC 中,AE= PC=2,所以 EF +AF =AE , 所以△ AEF 是等腰直角三角形,所以∠ AEF=45°. 因此,异面直线 AE 与 BC 所成的角的大小是 45°.

点评: 本题考查异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识,考查学生分析转化问题的能力,属于中 档题. 11.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将△ AED,△ DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 A′ . (1)求证:A′ D⊥ EF.

(2)求三棱锥 D﹣A′ EF 的体积.

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)可得 A′ D⊥ A′ F,A′ D⊥ A′ E,可判 A′ D⊥ 平面 A′ EF,可得结论; (2) 可得 A′ F=A′ E=1, EF= , 由勾股定理可得 A′ E⊥ A′ F, 易得△ A′ EF 的面积, 又 A′ D 是三棱锥 D﹣A′ EF 的底面 A′ EF 上的高线,代入体积公式可得. 解答: 解: (1)由正方形 ABCD 知,∠ DCF=∠ DAE=90°, ∴ A′ D⊥ A′ F,A′ D⊥ A′ E, ∵ A′ E∩ A′ F=A′ ,A′ E、A′ F?平面 A′ EF. ∴ A′ D⊥ 平面 A′ EF. 又∵ EF?平面 A′ EF, ∴ A′ D⊥ EF.
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(2)∵ A′ F=A′ E=1,EF= ∴ △ A′ EF 的面积为

∴ A′ F +A′ E =2=EF ,可得 A′ E⊥ A′ F, = ,

2

2

2

∵ A′ D⊥ 平面 A′ EF. ∴ A′ D 是三棱锥 D﹣A′ EF 的底面 A′ EF 上的高线, 故三棱锥 A1﹣DEF 的体积为:V= × ×2= 点评: 本题考查线面垂直的判定,涉及棱锥的体积的求解和三角形的面积公式,属中档题. 12.如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,平行于 BC 的平面 MNPQ 分别交 AB、AC、CD、BD 于 M、N、P、Q 四点,且 MN=PQ. (1)求证:四边形 MNPQ 为平行四边形; (2)试在直线 AC 上找一点 F,使得 MF⊥ AD.

考点: 直线与平面垂直的性质;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由线面平行的性质得线线平行,进一步利用平行公理得线线平行,再由已知 MN=PQ 证得结论; (2)先找一个过 M 且与 AD 垂直的面,面与 AC 的交点即为要找的 F 点. 解答: (1)证明:如图, 由已知 BC∥ 平面 MNPQ,BC?面 ABC,面 MNPQ∩ 面 ABC=MN, 由线面平行的性质得,BC∥ MN,
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又 BC∥ 平面 MNPQ,BC?面 BCD,面 MNPQ∩ 面 BCD=PQ, 由线面平行的性质得,BC∥ PQ, ∴ MN∥ PQ,又由已知 MN=PQ,∴ 四边形 MNPQ 为平行四边形; (2)在面 ABD 中,过 M 作 ME⊥ AD,交 AD 于 E,在面 ACD 中过 E 作 EF⊥ AD,交 AC 于 F. ∵ ME⊥ AD,EF⊥ AD,ME∩ EF=E, ∴ AD⊥ 面 MEF, ∴ MF⊥ AD. 则 AC 上的点 F 为所求.

点评: 本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了空间直线与直线的位置关系,考查了学生的空间想象能力和思 维能力,是中档题. 13.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥ 底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点. (1)证明:PA∥ 平面 BDE. (2)在棱 PB 上是否存在点 F,使 PB⊥ 平面 DEF?证明你的结论.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 AC、AC 交 BD 于 O.连接 EO,因底面 ABCD 是正方形则点 O 是 AC 的中点,根据 EO 是中位 线则 PA∥ EO,而 EO?平面 EDB 且 PA?平面 EDB,根据线面平行的判定定理可知 PA∥ 平面 EDB; (2)以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,假设存在 点 F,则直线 PB 所在的向量与平面 DEF 的法向量平行,根据这个条件可得到一个方程,再根据有关知识 判断方程的解的情况. 解答: (1)证明:连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO ∵ 底面 ABCD 是正方形,∴ 点 O 是 AC 的中点. 在△ PAC 中,EO 是中位线,∴ PA∥ EO 而 EO?平面 EDB 且 PA?平面 EDB,∴ PA∥ 平面 EDB. (2)解:以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,
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设 PD=CD=2,则 P(0,0,2) ,E(0,1,1) ,B(2,2,0) , ∵ =(2,2,﹣2) , ∴ =(0,1,1) ,

=0+2﹣2=0,∴ PB⊥ DE. =λ (0<λ<1) ,

假设棱 PB 上存在点 F,使 PB⊥ 平面 DEF,设 则 由 =(2λ,2λ,﹣2λ) ,
2 2

=

+

=(2λ,2λ,2﹣2λ) ,

=0 得 4λ +4λ ﹣2λ(2﹣2λ)=0,

∴ λ= ∈(0,1) ,此时 PF= PB, 即在棱 PB 上存在点 F,PF= PB,使得 PB⊥ 平面 DEF.

点评: 本题考查直线与平面平行、考查空间想象能力和推理论证能力,考查向量知识的运用,属于中档题. 14.如图,正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 的中点. (1)求证:AB1⊥ 平面 A1BD; (2)求三棱锥 B﹣A1B1D 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)取 BC 中点 E,连接 B1E,证明 BD⊥ 平面 AEB1,得 BD⊥ AB1,由直线与平面垂直的判定定理,可得所 证结论.
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(2)连接 B1D,则三棱锥 B﹣A1B1D 的体积可以通过求三棱锥 A1﹣B1DB 的体积得到. 解答: (1)证明:由正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都相等可知:AB1⊥ A1B 如图,取 BC 的中点 E,连接 B1E,则 Rt△ BCD≌ Rt△ B1BE ∴ ∠ BB1E=∠ CBD ∴ ∠ CBD+∠ BEB1=∠ BB1E+∠ BEB1=90° ∴ BD⊥ B1E 由平面 ABC⊥ 平面 BCC1B1,平面 ABC∩ 平面 BCC1B1=BC,且 AE⊥ BC 得,AE⊥ 平面 BCC1B1 ∴ AE⊥ BD ∵ B1E?平面 AEB1,AE?平面 AEB1,AE∩ B1E=E ∴ BD⊥ 平面 AEB1 ∴ BD⊥ AB1 ∵ A1B?平面 A1BD,BD?平面 A1BD,A1B∩ BD=B

∴ AB1⊥ 平面 A1BD (2)解:连接 B1D,由 AA1∥ 平面 BCC1B1 所以点 A1 到平面 BCC1B1 的距离,等于 AE= =2 ∴ = . =

故三棱锥 B﹣A1B1D 的体积为

点评: 本题主要考查了线面垂直的判定定理、几何体体积的求法,解题过程中要注意各种位置关系的相互转化以 及数量关系的求解. 15.如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AA1,D 是 CC1 的中点,F 是 A1B 的中点, (1)求证:DF∥ 平面 ABC; (2)求证:AF⊥ 平面 BDF.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)取 AB 中点 E,连接 CE,证明 EFDC 是平行四边形,可得 DF∥ CE,利用线面平行的判定可得结论;
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(2)根据 CE⊥ 平面 A1AB 和直线与平面垂直度的性质可知 CE⊥ AF,进而根据 DF∥ CE,判断出 AF⊥ DF,同 时 AF⊥ A1B 根据直线与平面垂直的判定定理可知 AF⊥ 平面 A1BD. 解答: 证明: (1)取 AB 的中点 E,连接 EF,CE, 因为 F 是 A1B 的中点,所以 EF 是△ A1AB 的中位线, 所以 ,且 EF∥ AA1,

又因为 D 是 CC1 的中点,所以 EF∥ CD,且 EF=CD, 所以四边形 CDFE 是平行四边形,所以 DF∥ CE, 又 CE?平面 ABC,DF?平面 ABC 所以 DF∥ 平面 ABC (2)因为 AB=AA1 且 F 是 A1B 的中点,所以 AF⊥ A1B, 又因为 CE⊥ 平面 A1AB,且 DF∥ CE, 所以 DF⊥ 平面 A1AB, ∵ AF?平面 A1AB, 所以 AF⊥ DF,又 A1B∩ DF=F,

所以 AF⊥ 平面 BDF.

点评: 本题考查线面平行的判定,考查线面垂直的判定与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 16.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=AB=AA1=2,∠ BAC=90°,点 D 是棱 B1C1 的中点. (Ⅰ )求证:A1D⊥ 平面 BB1C1C; (Ⅱ )求三棱锥 B1﹣ADC 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )利用线面垂直的判定定理即可证明; (Ⅱ )利用等积变形即可求出. 解答: 证明: (Ⅰ )∵ A1B1=A1C1,点 D 是棱 B1C1 的中点. ∴ A1D⊥ B1C1. 由直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,可得 BB1⊥ B1C. ∵ BB1∩ B1C1=B1. ∴ A1D⊥ 平面 BB1C1C. (Ⅱ )∵ A1B1=A1C1=2,∠ B1A1C1=90°, ∴ . .

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∵ 点 D 是棱 B1C1 的中点,∴

∵ A1A∥ 平面 BB1C1C,∴ 点 A 与 A1 到平面 BB1C1C 的距离相等, ∴ = = = .

点评: 熟练掌握线面垂直的判定定理和三棱锥的体积计算公式及等积变形是解题的关键. 17.如图所示,PA⊥ 平面 ABC,点 C 在以 AB 为直径的⊙ O 上,∠ CBA=30°,PA=AB=2, ,点 E 为线段 PB 的中点, 点 M 在 AB 弧上,且 OM∥ AC. (1)求证:平面 MOE∥ 平面 PAC; (2)求证:BC⊥ 平面 PAC; (3)求直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)先证明 OE∥ 平面 PAC、OM∥ 平面 PAC,再利用面面平行的判定,可得平面 MOE∥ 平面 PAC; (2)利用线线垂直证明线面垂直; (3)由(2)知 BC⊥ 面 PAC,可得∠ BPC 为直线 PB 与平面 PAC 所成的角,求出 BC、PB 的值可得结论. 解答: (1)证明:因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点,所以 OE∥ PA …(1 分) 因为 PA?平面 PAC,OE?平面 PAC,所以 OE∥ 平面 PAC.…(2 分) 因为 OM∥ AC,因为 AC?平面 PAC,OM?平面 PAC,所以 OM∥ 平面 PAC.…(3 分) 因为 OE∩ OM=O,所以平面 MOE∥ 平面 PAC …(5 分) (2)证明:因为点 C 在以 AB 为直径的⊙ O 上,所以∠ ACB=90°,即 BC⊥ AC, 因为 PA⊥ 平面 ABC,BC?平面 ABC,所以 PA⊥ BC.…(7 分) 因为 PA∩ AC=A,所以 BC⊥ 平面 PAC;…(9 分) (3)解:由(2)知 BC⊥ 面 PAC,∴ ∠ BPC 为直线 PB 与平面 PAC 所成的角.…(10 分)
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在 Rt△ PAC 中, 在 Rt△ ABC 中, 在 Rt△ PBC 中, ∴ .

, , …(12 分)

∴ 直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值为

…(14 分)

点评: 本题考查面面平行,考查线面垂直,考查线面角,解题的关键是掌握面面平行、线面垂直的判定方法,属 于中档题. 18.已知四棱锥 P﹣ABCD 如图 1 所示,其三视图如图 2 所示,其中正视图和侧视图都是直角三角形,俯视图是矩 形. (1)求此四棱锥的体积; (2)若 E 是 PD 的中点,求证:AE⊥ 平面 PCD; (3)在(2)的条件下,若 F 是 PC 的中点,求四边形 ABFE 的面积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由三视图可得四棱锥的底面为边长等于 2 的正方形,且 PA 垂直于底面 ABCD,PA=2.由此求得四棱
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锥的体积 ?SABCD?PA 的值. (2)先证明 CD⊥ 平面 PAD,故有 CD⊥ AE.再由 AE 是等腰直角三角形 PAD 的底边的中线可得 AE⊥ PD, 再根据直线和平面垂直的判定定理可得 AE⊥ 平面 PCD. (3)在(2)的条件下,EF 平行且等于 CD,ABEF 为直角梯形,AE= PD= 的面积 的值. ,由此求得四边形 ABFE

解答: 解: (1)由三视图可得四棱锥的底面为边长等于 2 的正方形, 且 PA 垂直于底面 ABCD,PA=2. 故此四棱锥的体积为 ?SABCD?PA= ×(2×2)×2= .

(2)由于 PA⊥ 平面 ABCD,CD?平面 ABCD,∴ PA⊥ CD. 在正方形 ABCD 中,由于 AD⊥ CD,而且 PA∩ AD=A,可得 CD⊥ 平面 PAD, 再由 AE 在平面 PAD 内,故有 CD⊥ AE. 由于 AE 是等腰直角三角形 PAD 的底边的中线,故有 AE⊥ PD. 而 CD 和 PD 是平面 PCD 内的两条相交直线,故有 AE⊥ 平面 PCD. (3)在(2)的条件下,由 AE⊥ 平面 PCD,EF?平面 PCD,可得 AE⊥ EF. 由于 EF 为三角形 PCD 的中位线,可得 EF 平行且等于 CD, 故 ABEF 为直角梯形,AE= PD= ,故四边形 ABFE 的面积为 = = .

点评: 本题主要考查三视图、直线和平面垂直的判定定理的应用,求椎体的体积,属于中档题. 19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥ BC,BC⊥ BC1,AB=BC1,E,F 分别为线段 AC1,A1C1 的中点. (1)求证:EF∥ 面 BCC1B1; (2)求证:BE⊥ 平面 AB1C1.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线面平行的判定定理,证明 EF∥ BB1;从而证明 EF∥ 面 BCC1B1; (2)根据线面垂直的判定定理证明 BE⊥ 平面 AB1C1. 解答: 解: (1)∵ E,F 分别为线段 AC1,A1C1 的中点. ∴ EF 是三角形 AA1C1 的中位线, ∴ EF∥ AA1, 又 AA1∥ BB1,∴ EF∥ BB1, ∵ EF?面 BCC1B1,BB1?面 BCC1B1, ∴ EF∥ 面 BCC1B1. (2)∵ AB⊥ BC,BC⊥ BC1, ∴ BC⊥ 面 ABC1,∴ BC⊥ BE,同时 BC⊥ B1C1, ∵ AB=BC1,E 是线段 AC1 的中点. ∴ BC⊥ AC1, ∵ AC1∩ B1C1=C1, ∴ BE⊥ 平面 AB1C1 点评: 本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定,要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理.并能灵活应 用.
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20.如图:四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ AD,AB=AC=2PA=2, (1)证明:PA⊥ 平面 ABCD; (2)求 VP﹣ABC.

,AD∥ BC,∠ BAD=150°.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线面垂直的判定定理证明. (2)利用锥体的体积公式求体积. 解答: 解: (1)证明:因为 PA=1,AC=2, 2 2 2 所以 PC =PA +AC . 所以 PA⊥ AC 又因为 PA⊥ AD,且 AD∩ AC=A 所以 PA⊥ 平面 ABCD…(6 分) (2)取 BC 中点 E,连结 AE. 由(1)PA⊥ 平面 ABCD 所以 因为∠ BAD=150°,AD∥ BC, 所以∠ ABC=30°. 又因为 AB=AC=2,所以 所以 . …(12 分) .

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点评: 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定定理的应用,要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理.熟练掌 握锥体的体积公式.

21.如图,在四棱锥 M﹣ABCD 中,AB=AD.平面 MAD⊥ 平面 ABCD,∠ BAD= 点 求证: (1)直线 GH∥ 平面 MCD; (2)平面 BGH⊥ 平面 MAD.

,G、H 分别是 AM、AD 的中

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明; (2)利用面面垂直的判定定理即可证明. 解答: 证明: (1)∵ G、H 分别是 AM、AD 的中点,∴ GH∥ MD,又∵ GH?平面 MCD,MD?平面 MCD,∴ GH∥ 平面 MCD.
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(2)不妨设 AB=2. 在三角形 ABH 中,由余弦定理可得 ∴ ,∴ BH⊥ AD. =3,∴ ,∴ AH +BH =AB =4,
2 2 2

∵ 平面 MAD⊥ 平面 ABCD,∴ BH⊥ 平面 MAD, ∵ BH?平面 BGH, ∴ 平面 BGH⊥ 平面 MAD. 点评: 熟练掌握线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键. 22.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ 平面 ABCD,PB 与底面所成的角为 45°,底面 ABCD 为直角梯形, ∠ ABC=∠ BAD=90°,E 是 PD 的中点,且 PA=BC= AD. (1)求证:CE∥ 平面 PAB (2)求证:CD⊥ 平面 PAC (3)若 PA=1,求三棱锥 C﹣PAD 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)取 PA 的中点 F,连接 EF,BF,证明 ,说明四边形 EFBC 是平行四边形,利用 CE∥ FB,证明
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CE∥ 平面 PAB. (2)设 PA=1.求出 AD=2.推出 PB 与面 ABCD 所成的角为∠ PBA=45°.然后证明 CD⊥ 面 PAC. (3)若 PA=1,求三棱锥 C﹣PAD 的体积. 解答: 解: (1)取 PA 的中点 F,连接 EF,BF,=∵ PF=FA,PE=ED,∴ ∴ ,

∴ 四边形 EFBC 是平行四边形∴ CE∥ FB ∵ CE?平面 PAB,FB?平面 PAB ∴ CE∥ 平面 PAB (2)设 PA=1.由题意 PA=BC=1,AD=2. …(2 分) ∵ PA⊥ 面 ABCD,∴ PB 与面 ABCD 所成的角为∠ PBA=45°. ∴ AB=1,由∠ ABC=∠ BAD=90°,易得 CD=AC= . 由勾股定理逆定理得 AC⊥ CD. …(3 分) 又∵ PA⊥ CD,PA∩ AC=A,∴ CD⊥ 面 PAC,…(5 分) (3)由(2)可知,PA⊥ 面 ABCD,∴ 三棱锥 C﹣PAD 的体积就是 P﹣ACD 的体积, PA=1.由题意 PA=BC=1,AD=2, PB 与面 ABCD 所成的角为∠ PBA=45°. ∴ AB=1 S△ACD= =1,

VC﹣PAD=

= .

点评: 本题考查直线与平面平行,直线与平面垂直的判定与证明,几何体的体积的求法,考查空间想象能力. 23.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 ABCD 的中心,M 为 PA 的中点. (Ⅰ )求证:OM∥ 平面 PCD; (Ⅱ )当 PD=PC=1 时,证明:CP⊥ 平面 PAD. 的正方形,侧面 PDC⊥ 底面 ABCD,O 为底面正方形

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ )连接 AC,则 OM 是三角形 ACP 的中位线,故有 MO∥ PC,从而证得 OM∥ 平面 PCD. (Ⅱ )由面面垂直的性质可得 AD⊥ PC,由勾股定理可得 PD⊥ PC,CP⊥ 平面 PAD. 解答: 解: (Ⅰ )连接 AC,∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ O 为 AC 中点. 又∵ M 为 PA 的中点,∴ MO∥ PC, 又∵ PC?平面 PCD,OM?平面 PCD,∴ OM∥ 平面 PCD. (Ⅱ )∵ 侧面 PDC⊥ 底面 ABCD,AD⊥ CD, ∴ AD⊥ 平面 PCD,∴ AD⊥ PC.
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又∵ , ∴ PD⊥ PC,且 AD∩ PD=D,∴ CP⊥ 平面 PAD. 点评: 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法,证明 PD⊥ PC 是解题的关键. 24.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形,PD⊥ 平面 ABCD,M 为 PC 中点. (1)求证:AP∥ 平面 MBD; (2)若 AD⊥ PB,求证:BD⊥ 平面 PAD.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)设 AC∩ BD=H,连接 EH,由平行四边形的性质结合题意证出 MH 为△ PAC 中位线,从而得到 MH∥ PA,
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利用线面平行的判定定理,即可证出 PA∥ 平面 MBD. (2) 由线面垂直的定义证出 PD⊥ AD, 结合 AD⊥ PB 得到 AD⊥ 平面 PDB, 得 AD⊥ BD, 再根据 PD⊥ BD 且 PD、 AD 是平面 PAD 内的相交直线,可得 BD⊥ 平面 PAD. 解答: 解: (1)设 AC∩ BD=H,连接 EH, ∵ H 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,∴ H 为 AC 中点, 又∵ M 为 PC 中点,∴ MH 为△ PAC 中位线, 可得 MH∥ PA, MH?平面 MBD,PA?平面 MBD, 所以 PA∥ 平面 MBD. (2)∵ PD⊥ 平面 ABCD,AD?平面 ABCD, ∴ PD⊥ AD, 又∵ AD⊥ PB,PD∩ PB=D, ∴ AD⊥ 平面 PDB,结合 BD?平面 PDB,得 AD⊥ BD ∵ PD⊥ BD,且 PD、AD 是平面 PAD 内的相交直线 ∴ BD⊥ 平面 PAD.

点评: 本题在特殊的四棱锥中证明线面平行和线面垂直,着重考查了空间的平行、垂直位置关系的判定与证明的 知识,属于中档题. 25.如图:直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=AA1=2,∠ ACB=90°.E 为 BB1 的中点,D 点在 AB 上且 DE= (Ⅰ )求证:CD⊥ 平面 A1ABB1; (Ⅱ )求三棱锥 A1﹣CDE 的体积. .

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )根据 DE= ,可得 D 为 AB 的中点,然后利用线面垂直的判定定理,证明 CD⊥ AB,即可证明 CD⊥ 平面 A1ABB1; (Ⅱ )根据锥体的条件公式确定三棱锥的底面积和高即可以求出锥体的体积. 解答: 解: (Ⅰ )在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=AA1=2,∠ ACB=90°, ∴ △ ACB 为等腰直角三角形,∴ AB=2 , ∵ E 为 BB1 的中点,∴ BE=1, 又 DE= , ∴ BD= ,即 D 为 AB 的中点, ∴ CD⊥ AB.
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又 AA1⊥ CD,AA1∩ AB=A, ∴ CD⊥ 平面 A1ABB1. (Ⅱ )∵ CD⊥ 平面 A1ABB1, ∴ CD 是三棱锥 C﹣A1DE 的高,且 CD=

. ,

, ∴ 又 ∴ 三棱锥 A1﹣CDE 的体积为 . 点评: 本题主要考查线面垂直的判断,以及三棱锥的体积的计算,利用等积法将三棱锥转化为规则的三棱锥是解 决本题关键. 26.P 为正方形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥ 面 ABCD,AE⊥ PB,求证:AE⊥ PC. = =4 . = .

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 证明题. 分析: 由已知中 P 为正方形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥ 面 ABCD,结合正方形的几何特征,我们易得到 BC⊥ 平 面 PAB, 由线面垂直的性质得到 BC⊥ AE, 结合已知中 AE⊥ PB, 及线面垂直的判定定理, 得到 AE⊥ 平面 PBC, 最后再由线面垂直的判定定理,即可得到 AE⊥ PC. 解答: 证明:∵ PA⊥ 面 ABCD, ∴ PA⊥ AD 又∵ BC∥ AD ∴ PA⊥ BC 又由 AB⊥ BC,PA∩ AB=A ∴ BC⊥ 平面 PAB 又 AE?平面 PAB ∴ BC⊥ AE
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又由 AE⊥ PB,BC∩ PB=B ∴ AE⊥ 平面 PBC 又∵ PC?平面 PBC ∴ PC⊥ AE 点评: 本题考查知识点是直线与平面垂直的判定及直线与平面垂直的性质,其中熟练掌握正方形的几何特征及线 面垂直的判定定理和性质是解答本题的关键. 27.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点, (1)求证:AC⊥ 平面 D1DB; (2)BD1∥ 平面 ABC.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (I)正方形 ABCD 中,可得 BD⊥ AC,由 D1D⊥ 平面 ABCD 证出 D1D⊥ AC,再利用线面垂直的判定定理, 即可证出 AC⊥ 平面 D1DB. (II)设 O 为底面 ABCD 的对角线的交点,连结 OE,可得 OE 是△ D1DB 的中位线,得 OE∥ BD1.利用线面 平行的判定定理即可证出 BD1∥ 平面 AEC. 解答: 解: (Ⅰ )∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ BD⊥ AC.
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又∵ D1D⊥ 平面 ABCD,AC?面 ABCD, ∴ D1D⊥ AC, ∵ BD∩ D1D=D,∴ AC⊥ 平面 D1DB. (Ⅱ )设 O 为底面 ABCD 的对角线的交点,连结 OE ∵ O、E 分别是 BD、DD1 的中点, ∴ OE 是△ D1DB 的中位线, ∴ OE∥ BD1. ∵ BD1?平面 AEC,DE?平面 AEC, ∴ BD1∥ 平面 AEC.

点评: 本题在正方体中证明线面垂直和线面平行,着重考查了正方体的性质和空间线面垂直、平行位置关系的判 定与证明等知识,属于中档题. 28.如图,三棱锥 D﹣ABC 中,AB,BC,BD 两两垂直,且 AB=BC=2,点 E 是 AC 中点,异面直线 AD 与 BE 所 成角为 θ. (1)求证:AC⊥ 平面 DBE; (2)若 ,求三棱锥 D﹣ABC 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.

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专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用线线、线面垂直关系的相互转化证明 AC⊥ BE,AC⊥ BD,再由线线垂直?线面垂直; (2) 建立空间直角坐标系,给出相关点的坐标, 设 D(0,0,x) ,再求出 求得 x,代入棱锥的体积公式计算. 解答: 解: (1)证明:在△ ABC 中,∵ AB=BC,∴ △ ABC 是等腰三角形. 又点 E 为 AC 中点,∴ AC⊥ BE. ∵ AB,BC,BD 两两垂直,∴ BD⊥ 平面 ABC,AC?平面 ABC, ∴ AC⊥ BD,BD∩ BE=B, ∴ AC⊥ 平面 DBE. (2)建立空间直角坐标系如图: 则 B(0,0,0) ,A(0,2,0) ,C(2,0,0) ,E(1,1,0) 设 D(0,0,x) , cos = =(0,﹣2,x) , =(1,1,0) , , 的坐标, 根据 ,

,∵ cosθ=



=

?x=4,

∴ VD﹣ABC= × ×2×2×4= .

点评: 本题主要考查了线面垂直的判定,考查了用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值,利用向量方法解立 体几何问题关键是建立空间直角坐标系. 29.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,△ ABC 是正三角形,侧棱 AA1⊥ 平面 ABC,点 D 在 BC 上,AD⊥ C1D. ① 求证:AD⊥ 平面 BCC1B1; ② 求证:A1B∥ 平面 ADC1.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 分析: ① 由三棱柱的几何特征, 结合侧棱 AA1⊥ 平面 ABC, 易得 CC1⊥ 平面 ABC, 结合线面垂直的性质可得 CC1⊥ AD, 又 DC1⊥ AD,根据线面线面垂直的判定定理,即可得到 AD⊥ 平面 BCC1B1; ② 连接 A1C 交 AC1 于点 O,连接 OD,O 为 AC1 的中点,由① 的结论可得 AD⊥ BC,由已知中,△ ABC 是正三 角形,根据三角形中位线定理,可得 OD∥ A1B,再由线面平行的判定定理,即可得到 A1B∥ 平面 ADC1. 解答: 证明:① 因为 AA1∥ CC1,AA1⊥ 平面 ABC, 所以 CC1⊥ 平面 ABC,AD?平面 ABC, 则 CC1⊥ AD,又 DC1⊥ AD,CC1∩ DC1=C1 所以 AD⊥ 平面 BCC1B1. ② 连接 A1C 交 AC1 于点 O,连接 OD,O 为 AC1 的中点,由(1)知 AD⊥ BC, 又△ ABC 为正三角形,所以 D 为 BC 的中点,OD 为△ A1BC 的中位线.故 OD∥ A1B 又 OD?平面 ADC1,A1B?平面 ADC1, 所以 A1B∥ 平面 ADC1.
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点评: 本题考查的知识是直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,其中熟练掌握空间直线与平面垂直及 平行的判定、性质、定义、几何特征,及直三棱柱的几何特征,是解答本题的关键. 30.如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,AF⊥ 平面 ABCD,DE⊥ 平面 ABCD,DE=2AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 45°. (Ⅰ )求证:AC⊥ 平面 BDF; (Ⅱ )求证:AC∥ 平面 BEF; (Ⅲ )求几何体 EFABCD 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;组合几何体的面积、体积问题;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;证明题;综合题. 分析: (I)根据线面垂直的性质,得 DE⊥ AC.结合正方形对角线 AC⊥ BD,利用线面垂直的判定定理可得 AC⊥ 平 面 BDE. (II)延长 DA,EF 相交于点 M,连接 BM,根据三角形中的比例线段结合题中数据,可证出四边形 AMBC 为平行四边形,从而 AC∥ MB,再根据线面平行的判定可得 AC∥ 平面 BEF.
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(III)由(II)可知:几何体 EFABCD 的体积等于 V 四棱锥 E﹣MBCD﹣V 四棱锥 F﹣MAB.分别求出直角梯形 CDMB

的面积和三角形 ABM 的面积,结合锥体体积公式,求出 V 四棱锥 E﹣MBCD 和 V 三棱锥 F﹣MAB,再相减即可得到 几何体 EFABCD 的体积. 解答: 解: (I)∵ DE⊥ 平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴ DE⊥ AC. ∵ ABCD 是正方形,∴ AC⊥ BD, ∵ BD、DE 是平面 BDE 内的相交直线, ∴ AC⊥ 平面 BDE. (II)延长 DA,EF 相交于点 M,连接 BM, ∵ AF⊥ 平面 ABCD,DE⊥ 平面 ABCD,∴ AF∥ DE, ∵ △ MDE 中,DE=2AF,∴ AM=AD=2, ∵ AD∥ BC 且 AD=BC, ∴ AM∥ BC 且 AM=BC,可得四边形 AMBC 为平行四边形, ∴ AC∥ MB, 又∵ MB?平面 BEF,AC?平面 BEF, ∴ AC∥ 平面 BEF. (III)由(II)可知:几何体 EFABCD 的体积等于 V 四棱锥 E﹣MBCD﹣V 三棱锥 F﹣MAB. ∵ DM=DA+AM=4,BC=2,CD=2,四边形 MBCD 为直角梯形, ∴ SMBCD= (4+2)2=6,S△ ABM= ×2×2=2 又∵ AF⊥ 平面 ABCD,DE⊥ 平面 ABCD,DE=2AF,AF= ∴ 几何体 EFABCD 的体积为 V= ,DE= ,

点评: 本题在特殊的四棱锥中求证线面垂直和线面平行,并且求几何体的体积,着重考查了线面平行、垂直的判 定和组合几何体体积的求法等知识,属于基础题.



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