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向量平行的坐标表示



第二章 平面向量 2.4.3 向量平行的坐标表示

复习回顾
回答下列问题
向量共线定理

? ? b λa
向量的坐标表示?

? ? b a

向量的坐标运算?

当向量用坐标表示时,向量的和、 差向量数乘都可以用相应的坐标来表示。


两个共线的向量能否用坐标来表示 呢?两平行向量的坐标之间有什么关系?

1 向量坐标表示:
2 加、减法坐标运算法则:
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1) (?x1 , ?y1 ) λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =

3一个向量坐标重要性质:
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)则 AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )

有向线段 P1 P2 的定比分点坐标公式与定比分值公式。

注意:
x ? ?x 2 ? x? 1 ? ? 1? ? ? ? y ? y1 ? ?y 2 ? ? 1? ?

?? = x ? x1 或? = y ? y1
x2 ? x

y2 ? y

(? ? ?1)

在 运 用 公 式 时 , 要 注分 清 起 点 坐 标 、 终 点标 和 分 点 意 坐 坐 标 , 在 每 个 等 式 中及 到 四 个 不 同 的 量 ,们 分 别 是 涉 它 三 个 坐 标 和 定 比, 只 要 知 道 其 中 的 任 三 个 量 便 可 以 ? 意 求出第四个量。

① ? 的符号由点P在线段P1P2上,还是在P1P2或

P2P1的延长线上决定。

| PP | 起点到分点的有向线段 的长度 1 | ? |? ,即 | ? |? | PP | 分点到终点的有向线段 的长度 ② 2

探索:
1、向量 a ? (2,?1)与 b ? (-6,3) 是否平行?为什么? 2、向量

a

与 b 的坐标有什么内在联 系?

3、两平面向量共线的充要条件又是什么,如 何用坐标表示出来?

a // ( ? 0 ? 存在唯一的使得b ? ? a ba ) ?
若a ? x1,y1 b ? x2,y2 , a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ( ), ( )

例题讲解
? ? 例1 已知 a =(1, 0),b ? ? ? ? =(2,1) 当实数k为
何值时,向量 - b 与 a +3b 平行?并确 ka 立此时它们是同向还是反向?

解: ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1)

a+3b=(1,0)+3(2,1)=(7,3)
3(k-2)-(-1)7=0 所以
1 k=- 3

此时

7 1 1 ka-b=(- 3,-1)=- 3 (7,3)=- 3(a+3b)

反向

巩固训练
1.已知向量a=(4,3),b=(6,y),且a ∥b,求实数y的值

答案

9 2

2.已知平行四边形ABCD的三个顶点的 坐标分别为A(2,1),B(-1,3),C(3,4)求 第四顶点D的坐标
C(3,4) D(6,2) A(2,1)

B(-1,3)

3.已知A(0,- 2),B(2,2), C(3,4)求 证:A,B,C三点共线

AB=(2,4)BC=(1,2)
∵ 2×2-1×4=0

AB∥BC,A,B,C三点共线

例2 已知点O,A,B,C的坐标分别为 (0,0),(3,4),(-1,2),(1,1)是否存在 常数t,使得 OA+tOB=OC与立并解释你 所得结论的几何意义。

解:设存在常数t,使OA+tOB=OC, (3,4)+t(-1,2)=(1,1)

t(-1,2)=(1,1)-(3,4)
(-t,2t)=(-2,-3),-t=-2,2t=-3 此方程无解故不存在这样的常数t

故 AC与OB不平行



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