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2015届江苏省南京市高三9月调研考试理科数学试卷(附答案及解析)



2015 届江苏省南京市高三 9 月调研考试理科数学试卷
题号 得分 一 二 三 总分

评卷人

得分 一、填空题

1.函数 f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x 的最小正周期为 2.已知复数 z ?

. .

1 ,其中 i 是虚数单位,则 | z |? 1? i

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4:3:3,现用分层抽样的方法从 该校高中三个年级的学生中抽取容量为 80 的样本,则应从高一年级抽取 名学 生. 4.从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表参加学校会议,则甲被选中的概率 是 . 5.已知向量 a =(2,1), b =(0,-1).若( a +λ b )⊥ a ,则实数 λ = 6.如图是一个算法流程图,则输出 S 的值是 . .

7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y=± 3 x,则该双曲线的离 a 2 b2


心率为 . 8.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆,则这个圆锥的高是
2

9.设 f ( x) ? x ? 3x ? a. 若函数 f(x)在区间(1,3)内有零点,则实数 a 的取值范围 为 .

10. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c. 已知 a+ 2 c=2b, sinB= 2 sinC, 则 cosA= .

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? a , x ? 1, ? 11.若 f(x)= ? x 是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围为 ? ?? x ? 3a, x ? 1



12. 记数列{an}的前 n 项和为 Sn. 若 a1=1, Sn=2(a1+an)(n≥2, n∈N*), 则 Sn= . 2 2 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x +y -6x+5=0,点 A,B 在圆 C 上,且 AB =2 3,则 | OA ? OB | 的最大值是 .
x

14.已知函数 f(x)=x-1-(e-1)lnx,其中 e 为自然对数的底,则满足 f(e )<0 的 x 的取值范围 为 . 评卷人 得分 二、解答题

15.已知函数 f(x)=2sin(2x+φ )(0<φ <2π )的图象过点( (1)求 φ 的值; (2)若 f(

? ,-2). 2

?
2

)=

6 ? ? ,- <α <0,求 sin(2α - )的值. 5 2 6

16.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M,N 分别为 AB,B1C1 的中点. (1)求证:MN∥平面 AA1C1C; (2)若 CC1=CB1,CA=CB,平面 CC1B1B⊥平面 ABC,求证:AB?平面 CMN.

17.已知{an}是等差数列,其前 n 项的和为 Sn, {bn}是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4 =21, S4+b4=30. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记 cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和.

x2 y 2 2 2 2 2 18. 给定椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0), 称圆 C1: x +y =a +b 为椭圆 C 的 “伴随圆” . 已 a b
知椭圆 C 的离心率为
3 ,且经过点(0,1). 2

(1)求实数 a,b 的值; (2)若过点 P(0,m)(m>0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,且 l 被椭圆 C 的 伴随圆 C1 所截得的弦长为 2 2 ,求实数 m 的值. 19. 如图 (示意) , 公路 AM、 AN 围成的是一块顶角为 α 的角形耕地, 其中 tanα =-2. 在 该块土地中 P 处有一小型建筑,经测量,它到公路 AM,AN 的距离分别为 3km, 5km.现 要过点 P 修建一条直线公路 BC,将三条公路围成的区域 ABC 建成一个工业园.为尽量 减少耕地占用,问如何确定 B 点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.
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20.已知函数 f(x)=ax +|x-a|,a ? R. (1)若 a=-1,求函数 y=f(x) (x ? [0,+∞))的图象在 x=1 处的切线方程; 4 (2)若 g(x)=x ,试讨论方程 f(x)=g(x)的实数解的个数; (3) 当 a>0 时, 若对于任意的 x1 ? [a, a+2], 都存在 x2 ? [a+2, +∞), 使得 f(x1)f(x2) =1024,求满足条件的正整数 a 的取值的集合. 21.如图,PA 是圆 O 的切线,A 为切点,PO 与圆 O 交于点 B、C,AQ?OP,垂足为 Q.若 PA=4,PC=2,求 AQ 的长.
3

?2 b? ?1? 22.已知矩阵 A= ? 属于特征值?的一个特征向量为 α = ? ? . ? ?1 3? ? ?1?

(1)求实数 b,?的值; 2 2 (2)若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下,得到的曲线为 C?:x +2y =2,求曲线 C 的 方程.
? 3 x? 3? t ? ? 2 23.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数 ), ? y ? 2? 1t ? ? 2

? x ? 3 ? cos ? ? 圆 C 的参数方程为 ? (θ 为参数).若点 P 是圆 C 上的动点,求点 P 到直 ? ? y ? sin ?
线 l 的距离的最小值. 24.已知 a,b 是正数,且 a+b=1,求证:(ax+by)(bx+ay)≥xy. 25.如图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,BC=2,CC1=5,E 是棱 CC1 上不同于 端点的点,且 CE ? ?CC1 . (1) 当∠BEA1 为钝角时,求实数 λ 的取值范围; (2) 若 λ =

2 ,记二面角 B1-A1B-E 的的大小为 θ ,求|cosθ |. 5

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26.某商店为了吸引顾客,设计了一个摸球小游戏,顾客从装有 1 个红球,1 个白球, 3 个黑球的袋中一次随机的摸 2 个球,设计奖励方式如下表: 结果 1红1白 1红1黑 2黑 1白1黑 奖励 10 元 5元 2元 不获奖

(1)某顾客在一次摸球中获得奖励 X 元,求 X 的概率分布表与数学期望; (2)某顾客参与两次摸球,求他能中奖的概率.

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参考答案 1.π 【解析】 试题分析: 因为 f ( x) ? cos 2 x ,所以函数 f(x)=cos x-sin x 的最小正周期为 T ?
2 2

2? ? ?. 2

考点:三角函数的周期 2.

2 2

【解析】 试题分析: | Z |?
1 1 2 ? ? |1 ? i | 2 2

考点:复数的模 3.32 【解析】 试题分析: 设从高一年级抽取 4n 名学生,则从高二、高三年级分别抽取 3n,3n 名学生,因 此 4n ? 3n ? 3n ? 80, n ? 8, 4n ? 32. 考点:分层抽样 4.

1 2

【解析】
2 ? 6 种基本事件,甲被选 试题分析:从甲、乙、丙、丁 4 位同学中随机选出 2 名代表共有 C4

3 1 1 ? 3 种,基本事件,因此甲被选中的概率是 = . 中包含 C3 6 2 考点:古典概型概率 5.5 【解析】

试题分析:因为( a +λ b )⊥ a ,所以 a ? ? a ? b ? 0,5 ? ? ? 0, ? ? 5. 考点:向量数量积 6.35 【解析】 试题分析: 第一次循环: S ? 0, k ? 1; 第二次循环: S ? 1, k ? 3; 第三次循环: S ? 10, k ? 5; 第 四次循环: S ? 35, k ? 7; 结束循环,输出 S ? 35. 考点:循环结构流程图 7.2 【解析】

2

x2 y 2 b b 试题分析:因为双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,因此 ? 3, c ? 2a, e ? 2. a a a b
考点:双曲线的渐近线 8. 3
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【解析】 试题分析: 设圆锥的母线为 l ,底面半径为 r , 则 l ? 2, ? l ? 2? r , l ? 2r , r ? 1 因此圆锥的高是
h ? 3.

考点:圆锥的侧面展开图 9.(0,
9 ] 4

【解析】 试题分析: 因为函数 f(x)在区间(1,3)内有零点,又函数 f(x)在区间(1,3)内最小值为
3 3 9 f ( ) ,所以 f ( ) ? 0, a ? . 2 4 2 考点:函数零点
2 4 【解析】

10.

试 题 分 析 : 因 为 sinB =
cos A ?

2 sinC , 由 正 弦 定 理 得 : b ? 2c , 由 余 弦 定 理 得 :

b2 ? c2 ? a 2 c2 2 ? ? . 2 2bc 4 2 2c 考点:正余弦定理

11.[

1 ,+∞) 2 a 也 x

【解析】 试题分析: 因为当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? 3a 为单调递减函数,所以当 x ? 1 时, f ( x) ?
1 为单调递减函数,因此 a ? 0 且 ?1 ? 3a ? a, a ? . 2 考点:分段函数单调性 n-1 12.2-2 【解析】

试 题 分 析 : 当 n ? 2 时 , S2 ? 2 (a1 ? a2 ) , a2 ? ? 1 当 . n ? 3 时 , Sn ?1 ? 2 ( a 1 ? an ? 1 ), 所 以
an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? 2an?1 , an ? 2an ?1 ,因此数列{an}从第二项起为以 1 为首项,2 为公比的等

比数列,因此当 n ? 2 时 Sn ? 1 ? 考点:等比数列求和 13.8 【解析】

?(1 ? 2n?1 ) ? 2 ? 2n?1 ,又 S1 ? a1 ? 1 ? 2 ? 20 ,因此 Sn ? 2 ? 2n?1. 1? 2

试题分析: 设 AB 中点为 M,则 OA ? OB ? 2OM .因为圆 C: ( x ? 3)2 +y 2 ? 4 ,AB=2 3,所 以 | CM |? 22 ? 3 ? 1 ,因此 | OM |max ? 3 ? 1 ? 4, | OA ? OB | 的最大值是 8. 考点:直线与圆位置关系
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2

14.(0,1) 【解析】 试题分析: 因为由 f ?( x) ? 1 ?
x

e ?1 ? 0 得: x ? e ? 1 ,又 f (1) ? 0, f (e ) ? 0,1? e ? 1? e ,所以 x

由 f(e )<0 得: 1 ? e x ? e,0 ? x ? 1. 考点:利用导数解不等式 15. (1)φ = 【解析】 试题分析: (1)因为函数 f(x)=2sin(2x+φ )(0<φ <2π )的图象过点( f(
7 ? 24 3 ? .(2) . 50 2

? ,-2),所以 2

? )=2sin(π +φ )=-2, 2

? . 2 ? 6 3 (2)由(1)得,f(x)=2cos2x.因为 f( )= ,所以 cosα = . 5 2 5 ? 4 24 又因为- <α <0,所以 sinα =- .所以 sin2α =2sinα cosα =- ,cos2α = 5 2 25 7 2 2cos α -1=- . 25
即 sinφ =1.因为 0<φ <2π ,所以 φ = 从而 sin(2α -
7 ? 24 3 ? ? ? )=sin2α cos -cos2α sin = . 50 6 6 6

试题解析:解: (1)因为函数 f(x)=2sin(2x+φ )(0<φ <2π )的图象过点(

? ,-2), 2

? )=2sin(π +φ )=-2, 2 即 sinφ =1. 4分 ? 因为 0<φ <2π ,所以 φ = . 6分 2 (2)由(1)得,f(x)=2cos2x. 8分 ? 6 3 因为 f( )= ,所以 cosα = . 5 2 5 ? 4 又因为- <α <0,所以 sinα =- . 10 分 5 2 24 7 2 所以 sin2α =2sinα cosα =- ,cos2α =2cos α -1=- . 25 25
所以 f( 从而 sin(2α -

12 分

7 ? 24 3 ? ? ? )=sin2α cos -cos2α sin = . 14 分 50 6 6 6 考点:三角函数解析式,两角差的正弦公式,二倍角公式 16. (1)详见解析, (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1) 证明线面平行, 需先证明线线平行.证明线线平行, 需先利用平行四边形. 取

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A1C1 的中点 P,则可得四边形 AMNP 为平行四边形,所以 MN∥AP.因为 AP?平面 AA1C1C,MN? 平面 AA1C1C, 所以 MN∥平面 AA1C1C. (2) 条件中面面垂直, 需先化为线面垂直. 因为平面 CC1B1B ⊥平面 ABC,平面 CC1B1B∩平面 ABC=BC.CN?平面 CC1B1B,CN?BC,所以 CN⊥平面 ABC.因为 AB?平面 ABC,所以 CN⊥AB.因为 CM?平面 CMN,CN?平面 CMN,CM∩CN=C,所以 AB⊥平面 CMN.

试题解析:证明: (1)取 A1C1 的中点 P,连接 AP,NP. 因为 C1N=NB1,C1P=PA1,所以 NP∥A1B1,NP= 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1∥AB,A1B1=AB. 故 NP∥AB,且 NP=
1 AB. 2 1 AB. 2 1 A1B1. 2

2分

因为 M 为 AB 的中点,所以 AM=

所以 NP=AM,且 NP∥AM. 所以四边形 AMNP 为平行四边形. 所以 MN∥AP. 4分 因为 AP?平面 AA1C1C,MN?平面 AA1C1C, 所以 MN∥平面 AA1C1C. 6分 (2)因为 CA=CB,M 为 AB 的中点,所以 CM⊥AB. 8分 因为 CC1=CB1,N 为 B1C1 的中点,所以 CN⊥B1C1. 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BC∥B1C1,所以 CN?BC. 因为平面 CC1B1B⊥平面 ABC,平面 CC1B1B∩平面 ABC=BC.CN?平面 CC1B1B, 所以 CN⊥平面 ABC. 10 分 因为 AB?平面 ABC,所以 CN⊥AB. 12 分 因为 CM?平面 CMN,CN?平面 CMN,CM∩CN=C, 所以 AB⊥平面 CMN. 14 分 考点:线面平行判定定理,面面垂直性质定理,线面垂直判定定理 n n+1 17. (1)an=n+1,bn=2 , (2)Tn=n·2 【解析】 试题分析: (1) 求等差数列及等比数列通项公式, 通常利用待定系数法求解. 设等差数列{an} 3 的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q.由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q ,S4=8+6d.由
?2 ? 3d ? 2q3 ? 21 ?d ? 1 条件 a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组 ? 解得 ? .所以 an=n+1,bn= 3 ?q ? 2 ?8 ? 6d ? 2q ? 30

2 ,n∈N*.(2)数列{cn}是等差乘等比型,因此其和用错位相减法求 . 记 Tn=c1+c2+c3 2 3 n-1 n n+1 2 + +cn.2 Tn=2×2 +3×2 + +(n-1)×2 +n×2 + (n+1)2 ,所以-Tn=2×2+(2
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n

+2 + +2 )-(n+1)×2 ,即 Tn=n·2 ,n∈N*. 试题解析:解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 3 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q ,S4=8+6d. 3分
?2 ? 3d ? 2q3 ? 21 ?d ? 1 由条件 a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组 ? 解得 ? 3 ?q ? 2 ?8 ? 6d ? 2q ? 30

3

n

n+1

n+1

所以 an=n+1,bn=2 ,n∈N*. 7分 n (2)由题意知,cn=(n+1)×2 . 记 Tn=c1+c2+c3+ +cn. 则 Tn=c1+c2+c3+ +cn 2 3 n-1 n =2×2+3×2 +4×2 + +n×2 +(n+1)×2 , 2 3 n-1 n n+1 2 Tn= 2×2 +3×2 + +(n-1)×2 +n×2 + (n+1)2 , 2 3 n n+1 所以-Tn=2×2+(2 +2 + +2 )-(n+1)×2 , 11 分 n+1 即 Tn=n·2 ,n∈N*. 14 分 考点:等差数列及等比数列通项公式,错位相减法求和 18. (1)a=2,b=1. (2)m=3. 【解析】
c 3 2 2 ? ,c =a + a 2 2 b ,解得 a=2,b=1. (2)设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0.因为直线 l 与椭

n

试题分析: (1)利用待定系数法求椭圆方程中参数. 由题意,得 b=1,

? y ? kx ? m ? 2 圆 C 有且只有一个公共点,故方程组 ? x 2 有且只有一组解.从而△=(8km) -4(1+ 2 ? y ? 1 ? ?4

4k )( 4m -4)=0. 化简, 得 m =1+4k . ①因为直线 l 被圆 x +y =5 所截得的弦长为 2 2 , 所以圆心到直线 l 的距离 d= 5 ? 2 ? 3 .即 =9.因为 m>0,所以 m=3. 试题解析:解: (1)记椭圆 C 的半焦距为 c. 由题意,得 b=1, 解得 a=2,b=1.
2

2

2

2

2

2

2

|m| k ?1
2

? 3 .②

由①②,解得 k =2,m

2

2

c 3 2 2 2 ? ,c =a +b , a 2

4分

(2)由(1)知,椭圆 C 的方程为

x 2 2 2 +y =1,圆 C1 的方程为 x +y =5. 4
6分

显然直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0. 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,
? y ? kx ? m ? 故方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?4
2 2

(*) 有且只有一组解.

由(*)得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0. 2 2 2 从而△=(8km) -4(1+4k )( 4m -4)=0.
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2

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化简,得 m =1+4k .① 因为直线 l 被圆 x +y =5 所截得的弦长为 2 2 , 所以圆心到直线 l 的距离 d= 5 ? 2 ? 3 . 即
|m| k2 ?1 ? 3.
2 2 2

2

2

10 分


2

14 分

由①②,解得 k =2,m =9. 因为 m>0,所以 m=3. 16 分 考点:直线与椭圆位置关系 2 19.当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km . 【解析】 试题分析:先确定点 P 的位置,再利用 BC 的斜率表示工业园区的面积,利用导数求其最值. 以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系.因为 tanα =-2,故直线 AN 的方程是 y= -2x.设点 P(x0,y0).因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3.由 P 到直线 AN 的距离为 5 , 得
| 2 x0 ? y0 | 5 ? 5 ,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去),所以点 P(1,3).显然直线 BC 的斜率存

在. 设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1), k∈(-2, 0). 令 y=0 得 xB=1-

kx ( ) 1? ?y ? 3 ? 3 . 由? y ? ?2 x k ?

解得 yC=

?k 2 ? 6k ? 9 8k ? 9 6 ? 2k 1 .设△ABC 的面积为 S,则 S= xB?yC= .由 S?= ? ?1 ? 2 2 k ?2 k 2 ? 2k k ? 2k ?2(4k ? 3)(k ? 3) 3 3 =0 得 k=- 或 k=3.所以当 k=- 时,即 AB=5 时,S 取极小值,也 2 2 (k ? 2k ) 4 4

为最小值 15. 试题解析:解:如图 1,以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系.因为 tanα =-2, 故直线 AN 的方程是 y=-2x.

设点 P(x0,y0). 因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3. 由 P 到直线 AN 的距离为 5 , 得
| 2 x0 ? y0 | 5 ? 5 ,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去),

所以点 P(1,3). 4分 显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1),k∈(-2,0).
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令 y=0 得 xB=1-

3 . k

6分

? y ? 3 ? k ( x ? 1) 6 ? 2k 由? 解得 yC= . y ? ?2 x k ?2 ?

8分

?k 2 ? 6k ? 9 8k ? 9 1 ?xB?yC= ? ?1 ? 2 2 2 k ? 2k k ? 2k ?2(4k ? 3)(k ? 3) 3 由 S?= =0 得 k=- 或 k=3. (k 2 ? 2k ) 2 4
设△ABC 的面积为 S,则 S= 当-2<k<- 所以当 k=-

10 分

3 3 时,S?<0,S 单调递减;当- <k<0 时,S?>0,S 单调递增. 13 分 4 4 3 时,即 AB=5 时,S 取极小值,也为最小值 15. 4
2

答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km . 16 分 考点:利用导数求函数最值 20. (1)2x+y-3=0. (2)当 a≥1 时,方程 f(x)=g(x)有两个不同的解 a,-1;当-1 <a<1 时,方程 f(x)=g(x)有三个不同的解 a,-1,1;当 a≤-1 时,方程 f(x)=g(x) 有两个不同的解 a,1. (3){1}. 【解析】 3 2 试题分析: (1) 当 a=-1, x ? [0, +∞)时, f(x)=-x +x+1, 从而 f ′(x)=-3x +1. 当 x=1 时,f(1)=1,f ′(1)=-2,所以函数 y=f(x) (x ? [0,+∞))的图象在 x=1 处的 切线方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0. (2)本题第一个难点在于化简方程,提取 3 4 4 公因式;第二个难点,在于讨论三个条件关系. f(x)=g(x)即为 ax +|x-a|=x .所以 x
?x ? a ? x ? a 3 3 -ax =|x-a|,从而 x (x-a)=|x-a|.此方程等价于 x=a 或 ? 或? 所以当 a≥ ? x ? 1 ? x ? ?1

1 时,方程 f(x)=g(x)有两个不同的解 a,-1;当-1<a<1 时,方程 f(x)=g(x)有三个 不同的解 a,-1,1;当 a≤-1 时,方程 f(x)=g(x)有两个不同的解 a,1. (3)对条件的 转化是本题难点,本题从函数值域包含关系出发. 易得函数 f(x)在(a,+∞)上是增函数, 1024 1024 1024 2 [ , ] ? [ f(a+2),+∞).从而 ≥f(a+2).所以 f (a+2)≤1024, f (a ? 2) f ( a ) f (a ? 2) 即 f(a+2)≤32,也即 a(a+2) +2≤32.因为 a>0,显然 a=1 满足,而 a≥2 时,均不满 足.所以满足条件的正整数 a 的取值的集合为{1}. 3 试题解析:解: (1)当 a=-1,x ? [0,+∞)时,f(x)=-x +x+1,从而 f ′(x)=- 2 3x +1. 当 x=1 时,f(1)=1,f ′(1)=-2, 所以函数 y=f(x) (x ? [0,+∞))的图象在 x=1 处的切线方程为 y-1=-2(x-1), 即 2x+y-3=0. 3分 3 4 (2)f(x)=g(x)即为 ax +|x-a|=x . 4 3 3 所以 x -ax =|x-a|,从而 x (x-a)=|x-a|.
?x ? a ? x ? a 此方程等价于 x=a 或 ? 或? ? x ? 1 ? x ? ?1
3

6分

所以当 a≥1 时,方程 f(x)=g(x)有两个不同的解 a,-1;
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当-1<a<1 时,方程 f(x)=g(x)有三个不同的解 a,-1,1; 当 a≤-1 时,方程 f(x)=g(x)有两个不同的解 a,1. 9分 3 2 (3)当 a>0,x ? (a,+∞)时,f(x)=ax +x-a,f ′(x)=3ax +1>0, 4 所以函数 f(x)在(a,+∞)上是增函数,且 f(x)>f(a)=a >0. 1024 1024 1024 ?[ , ], 所以当 x ? [a,a+2]时,f(x) ? [f(a),f(a+2)], f ( x) f (a ? 2) f ( a ) 当 x ? [a+2,+∞)时,f(x) ? [ f(a+2),+∞). 11 分 因为对任意的 x1 ? [a,a+2],都存在 x2 ? [a+2,+∞),使得 f(x1)f(x2)=1024, 1024 1024 , ] ? [ f(a+2),+∞). 所以 [ 13 分 f (a ? 2) f ( a ) 从而
1024 ≥f(a+2). f (a ? 2)
2 3

所以 f (a+2)≤1024,即 f(a+2)≤32,也即 a(a+2) +2≤32. 因为 a>0,显然 a=1 满足,而 a≥2 时,均不满足. 所以满足条件的正整数 a 的取值的集合为{1}. 考点:利用导数求切线方程,利用导数求函数值域 21.
12 5

16 分

【解析】 2 试题分析: 由切割线定理可解得圆的半径,再根据射影定理可解所求. 由 PA =PC·PB.解 得 r=3.在 Rt△APO 中,因为 AQ⊥PO,由面积法可知, =
AP ? AO 4 ? 3 12 ? ? . PO 5 5 1 1 ×AQ×PO= ×AP×AO,即 AQ 2 2

试题解析:证明:连接 AO.设圆 O 的半径为 r. 因为 PA 是圆 O 的切线,PBC 是圆 O 的割线, 2 所以 PA =PC·PB. 3分 因为 PA=4,PC=2, 2 所以 4 =2×(2+2r),解得 r=3. 5分 所以 PO=PC+CO=2+3=5,AO=r=3. 由 PA 是圆 O 的切线得 PA⊥AO,故在 Rt△APO 中, 因为 AQ⊥PO,由面积法可知, 即 AQ=
AP ? AO 4 ? 3 12 ? ? . PO 5 5 1 1 ×AQ×PO= ×AP×AO, 2 2

10 分

考点:切割线定理 2 2 22. (1)b=0,?=2. (2)3x +6xy+9y =1. 【解析】 试题分析: (1)根据特征值与对应特征向量关系可得等量关系,解出所求 . 因为矩阵 A=
?2 b? ?2 ? b? ? 1 ? ?2 b? ? 1 ? ?1? ?1 3? 属于特征值?的一个特征向量为所以 α = ? ?1? , ?1 3? ? ?1? =? ? ?1? ,即 ? ?2 ? = ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?2 ? b ? ? (2)设曲线 C 上任一点 M(x,y)在矩阵 A 对应的变 ? ?? ? .从而 ? ?2 ? ?? 解得 b=0,?=2. ? ? ?
答案第 8 页,总 12 页

? x ? ? 2 0? ? x ? ? 2 x ? ? x ? 2x 换作用后变为曲线 C?上一点 P(x0,y0),则 ? 0 ? = ? =? ,从而 ? 0 ? ? ? ? ? y0 ? ?1 3? ? ? y ? ? x ? 3 y ? ? y0 ? x ? 3 y

因为点 P 在曲线 C?上,所以 x0 +2y0 =2,即(2x) +2(x+3y) =2,
2 2 2 2

?2 b? ?1? 试题解析:解: (1)因为矩阵 A= ? 属于特征值?的一个特征向量为 α = ? ? , ? ?1 3? ? ?1? ?2 b? ? 1 ? ?2 ? b? ? ? ? ?1? 所以 ? =? ? ? ,即 ? ? ?=? ? . ? ? ?1 3? ? ?1? ? ?2 ? ? ?? ? ? ?1? ?2 ? b ? ? 从而 ? 解得 b=0,?=2. ? ?2 ? ? ? ? 2 0? (2)由(1)知,A= ? ?. ?1 3?

3分

5分

设曲线 C 上任一点 M(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用后变为曲线 C?上一点 P(x0,y0),
? x ? ? 2 0? ? x ? ? 2 x ? 则? 0?=? ? ? ?=? ?, ? y0 ? ?1 3? ? ? y ? ? x ? 3 y ? ? x ? 2x 从而 ? 0 ? y0 ? x ? 3 y
2 2 2 2

7分

因为点 P 在曲线 C?上,所以 x0 +2y0 =2,即(2x) +2(x+3y) =2, 2 2 从而 3x +6xy+9y =1. 2 2 所以曲线 C 的方程为 3x +6xy+9y =1. 10 分 考点:特征向量,矩阵变换 23. 3 -1. 【解析】 试题分析: 现将直线及圆的参数方程化为普通方程,再利用点到直线距离公式求解. 直线 l 的普通方程为 x- 3 y+ 3 =0.圆 C 的圆心坐标为( 3 ,0),半径为 1.从而圆心 C 到 直线 l 的距离为 d= 试题解析:解: 直线 l 的普通方程为 x- 3 y+ 3 =0. 圆 C 的圆心坐标为( 3 ,0),半径为 1. 从而圆心 C 到直线 l 的距离为 d= 3分

| 3?0? 3| 1 ? (? 3)2

= 3 .所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 3 -1.

| 3?0? 3| 1 ? (? 3)2

= 3.

6分

答案第 9 页,总 12 页

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所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 3 -1.

10 分

考点:点到直线的距离公式 24.详见解析 【解析】 2 2 2 2 试题分析: 利用基本不等式将和式化为积式. (ax+by)(bx+ay)=abx +(a +b )xy+aby 2 2 2 2 2 2 2 =ab(x +y )+(a +b )xy≥ab?2xy+(a +b )xy=(a+b) xy=xy 试题解析:证明:因为 a,b 是正数,且 a+b=1, 2 2 2 2 所以(ax+by)(bx+ay)=abx +(a +b )xy+aby 2 2 2 2 =ab(x +y )+(a +b )xy 3分 2 2 ≥ab?2xy+(a +b )xy 8分 2 =(a+b) xy =xy 即(ax+by)(bx+ay)≥xy 成立. 10 分 考点:基本不等式 25. (1)(

1 4 3 43 , ). (2) . 5 5 43

【解析】 试题解析:

解: (1)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题设,知 B(2,3,0),A1(2,0,5),C(0,3,0),C1(0,3,5). 因为 CE ? ?CC1 ,所以 E(0,3,5λ ). 从而 EB =(2,0,-5λ ), EA1 =(2,-3,5-5λ ). 当∠BEA1 为钝角时,cos∠BEA1<0, 所以 EB ? EA 1 <0,即 2×2-5λ (5-5λ )<0, 解得 2分

1 4 <λ < . 5 5 1 4 , ). 5 5
答案第 10 页,总 12 页

即实数 λ 的取值范围是(

5分

(2)当 λ =

2 时, EB =(2,0,-2), EA1 =(2,-3,3). 5

设平面 BEA1 的一个法向量为 n1=(x,y,z), 由?

? ? n1 ? EB ? 0 ? ?n1 ? EA1 ? 0

得?

? 2x ? 2z ? 0 ?2 x ? 3 y ? 3 z ? 0

取 x=1,得 y=

5 ,z=1, 3 5 ,1). 3
7分

所以平面 BEA1 的一个法向量为 n1=(1,

易知,平面 BA1B1 的一个法向量为 n2=(1,0,0). 因为 cos< n1,n2>=

n1 ? n2 1 3 43 , ? ? | n1 | ? | n2 | 43 43 9
10 分

从而|cosθ |=

3 43 . 43

考点:利用空间向量求夹角,利用空间向量求二面角 26. (1)概率分布表为: X P 10 5 2 0

1 10

3 10

3 10

3 10

E(X)=3.1 元. (2)

91 . 100

【解析】
1 C3 C32 1 3 3 1 试题分析: (1)因为 P(X=10)= 2 = ,P(X=5)= 2 = ,P(X=2)= 2 = , C5 10 C5 10 C5 10 1 C3 3 = , 2 C5 10

P(X=0) =

所以 X 的概率分布表为: X P 10 5 2 0

1 10

3 10

3 10

3 10

从而 E(X)=10?

1 3 3 3 +5? +2? +0? =3.1 元. 10 10 10 10 7 3 ,所以一次不中奖的概率为 , 10 10

(2)能中奖指至少有一次中奖,因为一次中奖的概率为

答案第 11 页,总 12 页

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两次皆不中奖概率为

3 3 3 3 91 ? ,因此至少有一次中奖概率为 1- ? = . 10 10 10 10 100
1 C3 1 3 1 = , P(X = 5) = = , 2 2 C5 10 C5 10

试题解析:解: (1)因为 P(X=10)=

1 C32 C3 3 3 P(X=2)= 2 = ,P(X=0) = 2 = , C5 10 C5 10

所以 X 的概率分布表为: X P 10 5 2 0

1 10

3 10

3 10

3 10
6分

从而 E(X)=10?

1 3 3 3 +5? +2? +0? =3.1 元. 10 10 10 10

7 , 10 91 2 从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率 P=1-[1-P(A)] = . 100 91 答:他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 . 10 分. 100
(2)记该顾客一次摸球中奖为事件 A,由(1)知,P(A)= 考点:概率分布表与数学期望

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