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2017年高考数学大二轮专题复习突破专题三三角函数与解三角形第一讲三角函数的图象与性质适考素能特训理



专题三 三角函数与解三角形 第一讲 三角函数的图象与性质适考素 能特训 理
一、选择题 π 1.[2016·贵阳监测]下列函数中,以 为最小正周期的奇函数是( 2 A.y=sin2x+cos2x C.y=sin2xcos2x 答案 C π? ? 解析 A 中,y=sin2x+cos2x= 2sin?2x+ ?,为非奇非偶函数,故 A 错;B 中,y= 4? ? π? 1

π ? sin?4x+ ?=cos4x,为偶函数,故 B 错;C 中,y=sin2xcos2x= sin4x,最小正周期为 2? 2 2 ? 且为奇函数,故 C 正确;D 中,y=sin 2x-cos 2x=-cos4x ,为偶函数,故 D 错,选 C. π 2.[2016·唐山统考]将函数 y= 3cos2x-sin2x 的图象向右平移 个单位长度,所得 3 图象对应的函数为 g(x),则 g(x)=( A.2sin2x π? ? C.2cos?2x- ? 6? ? 答案 A π? ?π ? ? 解析 因为 y= 3cos2x-sin2x=2sin? -2x?=-2sin?2x- ?,将其图象向右平移 3? ?3 ? ? π ? ? π? π? 个单位长度得到 g(x)=-2sin?2?x- ?- ?=-2sin(2x-π )=2sin2x 的图象, 所以选 3? 3? 3 ? ? A. π? 2π ? 3.[2016·武昌调研]已知函数 f(x)=2sin?ω x+ ?-1(ω >0)的图象向右平移 个 6? 3 ? 单位后与原图象重合,则 ω 的最小值是( A.3 C. 4 3 ) B. D. 3 2 2 3 ) B.-2sin2x π? ? D.2sin?2x- ? 6? ?
2 2

)

π? ? B.y=sin?4x+ ? 2? ? D.y=sin 2x-cos 2x
2 2

答案 A 解析 将 f(x) 的 图 象 向 右 平 移 2π 个单位后得到图象的函数解析式为 3

2ω π π ? 2ω π ? ? 2π ? π ? ? + ?-1,所以 2sin?ω ?x- ?+ ?-1=2sin?ω x- =2kπ ,k∈Z,所以 ω = 3 ? 6? 3 6? 3 ? ? ? 3k,k∈Z,因为 ω >0,k∈Z,所以 ω 的最小值为 3,故选 A. 4.[2016·沈阳质检]某函数部分图象如图所示,它的函数解析式可能是( )
1

? 5 3π ? A.y=sin?- x+ ? 5 ? ? 6 ?6 3π ? C.y=sin? x+ ? 5 ? ?5
答案 C

?6 2π ? B.y=sin? x- ? 5 ? ?5 ? 5 3π ? D.y=-cos? x+ ? 5 ? ?6

T 3π π 解析 不妨令该函数解析式为 y=Asin(ω x+φ )(ω >0),由图知 A=1, = - = 4 4 3
5π 2π 5π 6 π 6 π ,于是 = ,即 ω = , 是函数的图象递减时经过的零点,于是 × +φ =2kπ 12 ω 3 5 3 5 3 +π ,k∈Z,所以 φ 可以是 3π ,选 C. 5

3 ?π ? 5.[2016·广州模拟]已知 sinφ = ,且 φ ∈? ,π ?,函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω 5 ?2 ? π ?π ? >0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,则 f? ?的值为( 2 ?4? 3 A.- 5 C. 3 5 4 B.- 5 D. 4 5 )

答案 B π 解析 由函数 f(x)=sin(ω x+φ )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 , 得到其 2 4 ?π ? ? π ? 2 最小正周期为 π ,所以 ω =2,f? ?=sin?2× +φ ?=cosφ =- 1-sin φ =- . 4 5 ?4? ? ? 1? ? 6.[2016·重庆测试]设 x0 为函数 f(x)=sinπ x 的零点,且满足|x0|+f?x0+ ?<33, 2? ? 则这样的零点有( A.61 个 C.65 个 答案 C 解析 依题意,由 f(x0)=sinπ x0=0 得,π x0=kπ ,k∈Z,x0=k,k∈Z.当 k 是奇数
2

) B.63 个 D.67 个

1? π? 1? ? ? ? 1?? ? ? 时, f?x0+ ?=sin?π ?k+ ??=sin?kπ + ?=-1, |x0|+f?x0+ ?=|k|-1<33, |k|<34, 2? 2? 2? ? ? ? 2?? ? ? 1? π? ? ? ? 1?? ? 满足这样条件的奇数 k 共有 34 个;当 k 是偶数时,f?x0+ ?=sin?π ?k+ ??=sin?kπ + ? 2? 2? ? ? ? 2?? ? 1? ? =1,|x0|+f?x0+ ?=|k|+1<33,|k|<32,满足这样条件的偶数 k 共有 31 个.综上所述, 2? ? 满足题意的零点共有 34+31=65 个,选 C. 二、填空题 π? ? 7.函数 f(x)=sin(ω x+φ )(x∈R)?ω >0,|φ |< ?的部分图象如图所示,如果 x1,x2 2? ?

? π π? ∈?- , ?,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=________. ? 6 3?

答案

3 2 π π - + 6 3 π T π ? π? π 由图可知, = -?- ?= ,则 T=π ,ω =2,又∵ = ,∴f(x) 2 3 ? 6? 2 2 12

解析

的图象过点?

?π ,1?, ? ?12 ?

π? π ? π ? ? 即 sin?2× +φ ?=1,得 φ = ,∴f(x)=sin?2x+ ?. 3? 3 ? 12 ? ? π π π 2π 3 ?π ? ? π π? 而 x1+x2=- + = ,∴f(x1+x2)=f? ?=sin?2× + ?=sin = . 6 3? 6 3 6 3 2 ?6? ?

? π? 8.[2016·贵阳监测]为得到函数 y=sin?x+ ?的图象,可将函数 y=sinx 的图象向左 3? ?
平移 m 个单位长度, 或向右平移 n 个单位长度(m, n 均为正数), 则|m-n|的最小值是________. 答案 2π 3

π π 解析 由题意可知,m= +2k1π ,k1 为非负整数,n=- +2k2π ,k2 为正整数,∴|m 3 3 -n|=?

?2π +2?k1-k2?π ?,∴当 k =k 时,|m-n| =2π . ? 1 2 min 3 ? 3 ?

3

π? π ? 9.[2014·湖南岳阳质检]已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?的图象向左平移 个单位后与 4? 6 ? π? ? 函数 g(x)=sin?ω x+ ?的图象重合,则正数 ω 的最小值为________. 6? ? 答案 解析 23 2 π? π ? 将 f(x) = sin ?ω x+ ? 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 后 , 得 到 函 数 f1(x) = 4? 6 ?

π? ? ? π? π? ? ? π? π? ? sin?ω ?x+ ?+ ?的图象.又 f1(x)=sin?ω ?x+ ?+ ?的图象与 g(x)=sin?ω x+ ?的 6 6 6? 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? π π π 1 图象重合,故 ω x+ ω + =2kπ +ω x+ ,k∈Z.所以 ω =12k- (k∈Z).又 ω >0, 6 4 6 2 1 23 故当 k=1 时,ω 取得最小值,为 12- = . 2 2 三、解答题 10.[2014·山东高考]已知向量 a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数 f(x)=a·b,

?π ? ?2π ,-2?. 且 y=f(x)的图象过点? , 3?和点? ? 12 ? ? ? 3 ?
(1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ (0<φ <π )个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y =g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 解 (1)由题意知 f(x)=a·b=msin2x+ncos2x.

因为 y=f(x)的图象过点?

?π , 3?和?2π ,-2?, ? ? 3 ? ?12 ? ? ?

π π ? ? 3=msin 6 +ncos 6 , 所以? 4π 4π ?-2=msin 3 +ncos 3 , ? 1 3 ? ? 3=2m+ 2 n, 即? 3 1 -2=- m- n, ? ? 2 2 (2)由(1)知

解得?

?m= 3, ?n=1.

f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin?2x+ ?. 6

? ?

π?

?

π? ? 由题意知 g(x)=f(x+φ )=2sin?2x+2φ + ?. 6? ? 设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2), 由题意知 x0+1=1,所以 x0=0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2).
2

4

π? ? 将其代入 y=g(x)得 sin?2φ + ?=1, 6? ? 因为 0<φ <π ,所以 φ = π , 6

π? ? 因此 g(x)=2sin?2x+ ?=2cos2x. 2? ? π 由 2kπ -π ≤2x≤2kπ ,k∈Z 得 kπ - ≤x≤kπ ,k∈Z, 2 π ? ? 所以函数 y=g(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ ?,k∈Z. 2 ?