9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 高三数学 >>

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:立体几何



广东省 13 市 2015 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编

立体几何
一、选择、填空题 1、 (潮州市 2015 届高三) 已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 (



A.

2 3 ?? 3

B.

2 3 ? 2? 3

C.2 3 ? 2?

D.2 3 ? ?

2、(佛山市 2015 届高三)已知异面直线 a , b 均与平面 ? 相交,下列命题: ①存在直线 m ? ? ,使得 m ? a 或 m ? b ; ②存在直线 m ? ? ,使得 m ? a 且 m ? b ; ③存在直线 m ? ? ,使得 m 与 a 和 b 所成的角相等. 其中不正确 的命题个数为( ) ... A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3、 (广州市 2015 届高三)用 a , b , c 表示空间中三条不同的直线, ? 表示平面, 给出下列命题: ① 若a ? b, b ? c, 则a∥c; ② 若 a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若 a ∥? , b ∥? , 则 a ∥b ; ④ 若 a ? ? , b ? ? , 则 a ∥b . 其中真命题的序号是 A.① ② B.② ③ C.① ④ D.② ④ 4、(惠州市 2015 高三)空间中,对于平面 ? 和共面 的两直线 m 、 n ,下列命题中为真命题 .. 的是( ). B.若 m // ? , n // ? ,则 m // n D.若 m ? ? , n // ? ,则 m // n

A.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? C.若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m // n

5、(江门市 2015 届高三)如图 1,某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角

形、等腰三角形和半圆,则该几何体的体积为

-1-

A. 4 C. 2?

B. 8 D. 4?

6、(揭阳市 2015 届高三)一几何体的三视图如图 3 示, 则该几何体的体积为________

7、(清远市 2015 届高三)某几何体的三视图如下图所示:

其中正视图和侧视图都是上底为 3,下底为 9,高为 4 的等腰梯形,则该几何体的全面积为_ ___ 8、(汕头市 2015 届高三)给出下列命题,其中错误命题的个数为( ) (1)直线 a 与平面 ? 不平行,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不平行; (2)直线 a 与平面 ? 不垂直,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不垂直; (3)异面直线 a、b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; (4)若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面 A. 1 B 2 C 3 D 4
-2-

9、 (汕尾市 2015 届高三)已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,则下列四个结论:

①若 ? / / ? ,则 l ? m ③若 l / / m ,则 ? ? ? ( )
A.①④ B.②④

②若 ? ? ? ,则 l / / m ④若 l ? m ,则 ? // ? 学科网 。 其中正确的结论的序号是

C.①③

D.②③

10、 (韶关市 2015 届高三)如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个 四棱锥的侧面积为( )

A. 2

B. 6

C. 2( 2 ? 3)

D. 2( 2 ? 3) ? 2

11、(肇庆市 2015 届高三)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图 是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,则该几何 体的外接球的表面积为 A. 12 3? B. 12? C. 4 3? D. 3? 俯视图 正视图 侧视图

12、(珠海市 2015 届高三)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据可得该几何体的体积 是

-3-

A.

2 3

B.

4 3

C. 2 D. 4

二、解答题 1、(潮州市 2015 届高三)如图,三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中, C? ? C? , ?? ? ??1 ,

?1? 证明: ?? ? ?1C ; ? 2 ? 若 ?? ? C? ? 2 , ?1C ?

????1 ? 60 .

6 ,求二面角 ? ? ?C ? ?1 的余弦值.

2、(佛山市 2015 届高三)如图 6 ,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且 与底面垂直,底面 ABCD 是 ?ABC ? 60 ? 的 菱 形 , M 为 棱 PC 上 的 动 点 , 且

PM ? ? ( ? ??0,1? ). PC (Ⅰ) 求证:△ PBC 为直角三角形;
(Ⅱ) 试确定 ? 的值,使得二面角 P ? AD ? M 的平面角余弦值为

P

2 5 . 5

M A D

B

C 图6

-4-

3、(广州市 2015 届高三)如图 4 ,四边形 ABCD 是正方形,△ PAB 与△ PAD 均是以 A 为 直角顶点的等腰直角三角形, 点 F 是 PB 的中点,点 E 是边 BC 上的任意一点. (1)求证: AF ? EF ; (2)求二面角 A ? PC ? B 的平面角的正弦值.
P F

A E D 图4 C

B

4、(惠州市 2015 届高三)三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的直观图及三视图(正视图和俯视图是正方 形,侧视图是等腰直角三角形)如图所示, D 为 AC 的中点.

? 平面 BDC1 ; (1)求证: AC 1
(2)求二面角 A ? BC1 ? D 的正切值.

2 2
正视图 侧视图

A1
D

A

B1 C1
C

B

2
俯视图

5、 (江门市 2015 届高三) 如图 3, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥ 底面 ABCD,PD=DC.E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于 P 点 F. ⑴求证:PA//平面 EDB;

1 ⑵求证:PF= PB; 3 ⑶求二面角 C-PB-D 的大小.
-5-

F

E

D

C
B

A

图3

6、(揭阳市 2015 届高三)如图 5,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,E 为 PD 的中点.

(1)证明: PB / / 平面 AEC ; (2)已知 AP ? 1 , AD ? 3 ,设 EC 与平面 ABCD 所成的角为 ? , 且 tan ? ?

3 ,求二面角 D ? AE ? C 的大小. 6

7、(清远市 2015 届高三)在等腰直角△BCP 中,BC=PC=4,∠BCP=90°,A 是边 BP 的中点,现 沿 CA 把△ACP 折起,使 PB=4,如图 1 所示。

(1)在三棱锥 P-ABC 中,求证:平面 PAC⊥平面 ABC; (2)在图 1 中,过 A 作 BC 的平行线 AE,AE=2,过 E 作 AC 的平行线与过 C 作 BA 的平行线交于 D,连接 PE、PD 得到图 2, 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小. 8、(汕头市 2015 届高三)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面

ABCD , AB ? PA ? 1 , AD ? 3 , F 是 PB 的中点, E 为 BC 上一点。
(1)求证: AF ? 平面 PBC
? (2)当 BE 为何值时,二面角 C ? PE ? D 为 45 .

-6-

9、 (汕尾市 2015 届高三)如图(4) ,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧面 ABB 1A 1 , ACC1 A 1 均为 正方形, AB ? AC ? 1,

?BAC ? 90 ,点 D 是棱 B1C1 的中点。
(1) 求证: AD1 ? 平面 BB1C1C ; (2) 求证: AB / / 平面 A 1 DC ; (3) 求二面角 D ? AC 1 ? A 的余弦值。

10、(韶关市 2015 届高三) 如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,ABEF 是矩形, 平面 ABCD ? 平面 ABEF , G 为 EC 的中点. D (1)求证: AC //平面 BFG ; (2)若三棱锥 C ? DGB 的体积为

C

9 ,求二面角 E ? BF ? G 的正切值. 4
G A B

F

E

11、(深圳市 2015 届高三)在三棱锥 P ? ABC 中,已知平面 PBC ? 平面 ABC , AB 是底 面△ ABC 最长的边.三棱锥 P ? ABC 的三视图如图 5 所示,其中侧视图和俯视图均为直角 三角形. (1)请在图 6 中,用斜二测画法,把三棱锥 P ? ABC 的直观图补充完整(其中点 P 在

xOz 平面内),并指出三棱锥 P ? ABC 的哪些面是直角三角形;
(2)求二面角 B ? PA ? C 的正切值; (3)求点 C 到面 PAB 的距离.
-7-

z P y

2 3

12、 (肇庆市 2015 届高三) 如图, 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 且 A1 A ? 4 . A1 A ?底面 ABCD, 梯形 ABCD 的面积为 6,且 AD//BC,AD=2BC,CD=2. 平面 A1 DCE 与 B1 B 交于点 E. (1)证明:EC// A1 D ; (2)求三棱锥 C ? A1 AB 的体积; (3)求二面角 A1 ? DC ? A 的大小.
A E D B C A1 B1 C1 D1

o 13、 (珠海市 2015 届高三)已知平行四边形 ABCD , AB ? 4 , AD ? 2 ,?DAB ? 60 , E

为 AB 的中点,把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A ? 4 , F 是线段 AC 1DE 位置,使得 AC 1 1 的中 点. (1)求证: BF // 面A1DE ; (2)求证:面 A1DE ? 面 DEBC ; (3)求二面角 A1 ? DC ? E 的正切值.

A1 F

D

C

D

C

A

E

B

-8-

E

B

(第 18 题图)

参考答案
一、选择题 1、D 2、B 3、D 4、D 5、C 6、 ? 7、210 8、C 9、C 10、C 11、D 12、B 二、解答题 1、(1)证明:取 AB 的中点 O ,连接 CO , OA1 , A1 B 。

CA ? CB ,故 CO ? AB ,……….………..1 分
o 又 AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60 ,

C

C1

??A1 AB 为等边三角形. ? A1O ? AB ,…………………………..3 分
A

B O A1

B1

又因为 CO ? 平面 COA1 , A1O ? 平面 COA1 , CO

A1O ? O .

? AB ? 平面 COA1 .…………………………………….……..5 分
又 A1C ? 平面 COA1 ,因此 AB ? A1C ..……………………..6 分 (2)方法一:解:过点 O 作 OE ? AC ,垂足 E ,连接 A1 E . 在等边 ?ABC 中 CO ? 2 ?
C C1

3 ? 3, 2
A

E O

B

B1 A1

3 在等边 ?A1 AB 中 A1O ? 2 ? ? 3. 2
在 ?A1OC 中 OC ? A1O ? 3 ? 3 ? 6 ? A1C .
2 2 2

? ?A1OC 是直角三角形,且 ?A1OC ? 90o ,故 OC ? A1O ..……………….8 分

OC 、 AB ? 平面 ABC , OC

AB ? O .

? A1O ? 平面 ABC . 又 AC ? 平面 ABC ,故 A1O ? AC .
-9-

OE 、 A1O ? 平面 A1OE , A1O OE ? O ,故 AC ? 平面 A1OE .
因为 A1 E ? 平面 A1OE ,所以 AC ? A1 E . 所以 ?OEA1 是二面角 B ? AC ? A1 的平面角.. ……………………..10 分 在 Rt ?AOC 中, OE ?

OC ? OA 1? 3 3 . ? ? AC 2 2
A1O 2 ? OE 2 ? ( 3) 2 ? ( 3 2 15 . ) ? 2 2

在 Rt ?A1OE 中, A1 E ?

3 OE 5 . ? 2 ? ? cos ?OEA1 ? A1 E 5 15 2
所以二面角 B ? AC ? A1 的余弦值

5 ..…………………………..13 分 5 3 3 ? 3 ,在等边 ?A1 AB 中 A1O ? 2 ? ? 3. 2 2
2

方法二:解:在等边 ?ABC 中 CO ? 2 ?
2 2

在 ?A1OC 中 OC ? A1O ? 3 ? 3 ? 6 ? A1C .

? ?A1OC 是直角三角形,且 ?A1OC ? 90o ,故 OC ? A1O .……………..8 分
分别以 OA , OA1 , OC 为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图空间直角坐标系 O ? xyz , 由已知得 O ( 0 , 0 , 0 ) , A(1 , 0 , 0 ) ,

A1 ( 0 , 3 , 0 ) , C ( 0 , 0 , 3 ) .
设 n ? ( x , y, z ) 为平面 AA1C 的法向量, 则 n ? AA1 , n ? AC ,

? n ? AA1 ? 0 , n ? AC ? 0 ,
又 AA1 ? ( ? 1, 3 , 0 ) , AC ? ( ? 1, 0, 3 ) ,

? ?x ? 3y ? 0 ?? . ? x ? 3 z ? 0 ? ?
- 10 -

取 z ? 1 ,则 x ? 3 , y ? 1 ,故 n ? ( 3 , 1 , 1 ) .……………………..11 分 又 m ? ( 0 , 1 , 0 ) 是平面 ACB 的法向量,二面角 B ? AC ? A1 的大小等于 ? m , n ? 或其补角.

cos ? n , m ??

m?n 1 5 . ? ? 5 | m |?| n | 5

依图知二面角 B ? AC ? A1 的余弦值为

5 ..………………………………..13 分 5

2、【解析】(Ⅰ)取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角 形, 所以 OC ? AD , OP ? AD ,又 OC

OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC ,

所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 AD ? PC , 因为 BC // AD ,所以 BC ? PC ,即 ?PCB ? 90? ,从而△ PBC 为直角三角形.………5 分 说明:利用 PC ? 平面 AMD 证明正确,同样满分! (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD 平面 ABCD ? AD ,
M A O B C D y P z

PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD .………………6 分 以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示,则

P 0, 0, 3 , A ? 0, ?1,0? , D ? 0,1,0? , C PC ?

?

?

?

3, 0, 0 ,

?

? ………………7 分 由 PM ? ? PC ? ? ? 3, 0, ? 3 ? 可得点 M 的坐标为 ?
3, 0, ? 3
分 所以 AM ? 设 平 面

?

3? , 0, 3 ? 3? ,………………9

?

x

?

3? ,1, 3 ? 3? , DM ?
MAD

?

?

3? , ?1, 3 ? 3? ,

?

的 法 向 量 为

? ?n ? AM ? 0 , 即 n ? ? x, y, z ? , 则 ? n ? DM ? 0 ? ?

? 3? x ? y ? ? ? ? 3? x ? y ? ?

? ?

3 ? 3? z ? 0 3?

? 3? ? z ? 0

? ?1 ? z ?x ? 解得 ? ? ,令 z ? ? ,得 n ? ? ? ?1,0, ? ? ,………………11 分 ? ?y ? 0
显然平面 PAD 的一个法向量为 OC ? 依 题 意 cos n, OC ?

?

3, 0, 0 ,………………12 分
3 ? ? ? 1? ? 2 5 1 , 解 得 ? ? 或 ? ? ?1 ( 舍 5 3

?

n ? OC n OC

?

? 2 ? ? ? ? 1? ? 3
2

- 11 -

去),

1 2 5 时,二面角 P ? AD ? M 的余弦值为 .………………14 分 3 5 由(Ⅰ)可知 AD ? 平面 POC ,所以 AD ? OM , AD ? OP , 所以 ?POM 为二面角 P ? AD ? M 的平面角,
所以,当 ? ?

2 5 ,………………8 分 5 ? 5 在△ POM 中, sin ?POM ? , PO ? 3 , ?OPM ? , 4 5 ?? ? 所以 sin ?PMO ? sin ? ?POM ? ? 4? ? ? ? 3 10 ,………10 分 B ? sin ?POM cos ? cos ?POM sin ? 4 4 10 PM PO PM 3 ? 由 正 弦 定 理 可 得 , 即 ? sin ?POM sin ?PMO 5 3 10 5 10 6 ,……………12 分 PM ? 3 PM 1 ? , 又 PC ? PO2 ? OC 2 ? 6 ,所以 ? ? PC 3 1 2 5 所以,当 ? ? 时,二面角 P ? AD ? M 的余弦值为 .………………14 分 3 5 3、(1)证明:∵ F 是 PB 的中点,且 PA ? AB ,
即 cos ?POM ? ∴

P

M A O C D

, 解 得

AF ? PB .

……………………………………………1 分

∵ △ PAB 与△ PAD 均是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形, ∴ PA ? AD , PA ? AB . ∵ AD

AB ? A , AD ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,

∴ PA ? 平面 ABCD . ∵ BC ? 平面 ABCD , ∴ PA ? BC . ……………………………………2 分

P F

∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ BC ? AB . ∵ PA ……………………………………3 分

H

AB ? A , PA ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB ,

A E

B

∴ BC ? 平面 PAB . ∵ AF ? 平面 PAB ,
- 12 -

D

C



BC ? AF .
∵ PB ∴

………………………………………………………4 分

BC ? B , PB ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC ,
AF ?
平 面

PBC .

………………………………………………………5 分

∵ EF ? 平面 PBC , ∴

AF ? EF .

………………………………………………………6 分

(2)解法 1:作 FH ? PC 于 H ,连接 AH , ∵ AF ⊥平面 PBC , PC ? 平面 PBC ∴

AF ? PC .
∵ AF ∴

………………………………………………………7 分

FH ? F , AF ? 平面 AFH , FH ? 平面 AFH ,
PC
⊥ 平 面

AFH .

………………………………………………………8 分

∵ AH ? 平面 AFH , ∴

PC ? AH .
∴∠

……………………………………………………9 分

AHF









A ? PC ? B







角. …………………………………………………10 分 设正方形 ABCD 的边长为 2 ,则 PA ? AB ? 2 , AC ? 2 2 , 在 Rt△

PAB

中 …………………11 分



AF ?

1 1 2 PB ? 2 ? 22 ? 2 , 2 2

在 Rt△ PAC 中,PC ? 分 在 Rt△

PA2 ? AC 2 ? 2 3 ,AH ?

PA ? AC 2 6 ? , ………………12 PC 3

AFH





s ?AHF ?

AF 3 i? n . ………………………………………………1 3分 AH 2
- 13 -









A ? PC ? B



















3 . 2

……………………………………14 分

解法 2:以 A 为坐标原点,分别以 AD, AB, AP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴 , 建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 PA ? 1 , 则 P ? 0,0,1? , B ? 0,1,0 ? , C ?1,1,0? , D ?1,0,0? .……………7 分 ∴ PB ? ? 0,1, ?1? , BC ? ?1,0,0? .

z P F

设平面 PBC 的法向量为 m ? (x, y,) z ,

?m ? PB ? 0, y ? z ? 0, 由? 得? ? ? ? x ? 0. ? ?m ? BC ? 0,
令 y ? 1 ,得 z ? 1 ,

…………………8 分

A E

B C

y

x


D
的 一 个

m ? ? 0,1,1?







PBC





量. …………………………………………9 分 ∵ PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , ∴ 平面 PAC ? 平面 ABCD . 连接 BD ,则 BD ? AC . ∵ 平面 PAC 平面 ABCD ? AC , BD ? 平面 ABCD , ∴

PAC .
∴ 平 面

平 ………………………………………………10 分 PAC 的 一 个 法 向

BD ?

面 量 为

BD ? ?1, ?1,0? . ………………………………………………11 分
设二面角 A ? PC ? B 的平面角为 ? , 则

cos ? ? cos m, BD ?

m ? BD m BD

?

1 . 2

……………………………………………12 分

∴ sin ? ? 1 ? cos 13 分 ∴ 二 面

2

??

3 . 2
A ? PC ? B


………………………………………………



















- 14 -

3 . 2

……………………………………14 分

4、解:由三视图可知,几何体为直三棱柱 ABC — A1B1C1 ,侧面 B1C1CB 为边长为 2 的正方 形,底面 ABC 是等腰直角三角形, AB ? BC, AB ? BC ? 2 ……………………2 分 (1)直三棱柱 ABC — A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , BD ? 平面 ABC ,

? AA1 ? BD ,


AB ? BC ? 2 ,D 为 AC 的中点,? BD ? AC , AC ? A ,

AA1 ? 面 AAC 1 1C , AC ? 面 AAC 1 1C ,且 AA 1

? BD ? 平面 AAC 1 1C ,又

AC ? 面 AAC 1 1 1C ,? BD ? AC 1 ①………..6 分
A1
A

又A 1B 1 ?B 1C1 , A 1B 1 ?B 1B , 又

BB1 ? 面 BB1C1C , B1C1 ? 面 BB1C1C ,且 BB1

B1C ? B1 ,
B1
D B

? A1B1 ? 面 BB1C1C , BC ? 面 BB1C1C ,? A1B1 ? BC1
在正方形 BB1C1C 中, BC1 ? B1C 又

C1

O

BC1 ? 面 A1B1C , B1 A1 ? 面 A1B1C ,且 B1C

B1 A1 ? B1 ,

C

? BC1 ? 面 A1B1C ,又
由①②,又

AC ? 面 A1B1C ,? BC1 ? AC 1 1 ②………………..8 分 BC1 ? B ,

BD ? 面 BDC1 , BC1 ? 面 BDC1 ,且 BD

? AC ? 面 BDC1 . 1

…………………………………………………………9 分

(2)解法一(空间向量法)以 B1 为原点建系,易得 CB1 ? (?2,2,0), BD ? (1,0,1) 设平面 BC1D 的法向量 n1 ? ( x, y, z), 由 n1 ? CB1 , n1 ? BD , 得?

??2 x ? 2 y ? 0 令 x ? 1 ,得 n1 ? (1,1, ?1), …………..12 分 ? x?z ?0

又平面 BC1 A 的法向量 n2 ? B1C ? (2,2,0), 设二面角 A ? BC1 ? D 的平面角为 ? , 所以 cos ? ? cos ? n1 , n2 ??

6 2 …………..14 分 ,? tan ? ? 3 2

A1

A

解法二:所求二面角 A ? BC1 ? D 与二面角 C ? BC1 ? D 互余,
- 15 -

B1
E

D B H C

C1

取 BC 中点 H ,有 DH ⊥平面 BCC1 ,过 H 作 BC1 垂线,垂足为 E ,

DH ? BC1 ? DH ? 平面BCC1 ? ? 平面EDH ? ? BC1 ? ? ? EH ? BC1 ? ? ? BC1 ? 平面BCC1 ? DE ? 平面EDH ? ? DH EH ? H ? ? DE ? BC1
所以二面角 C ? BC1 ? D 的平面角是 ?DEH ……………11 分

DH ? 1 EH ?

2 DH ? tan ?DEH ? ? 2, 2 EH

因为二面角 A ? BC1 ? D 与二面角 C ? BC1 ? D 互余, 所以二面角 A ? BC1 ? D 的正切值为

2 ;……………..14 分 2

A1

O1
S

A

S1 解法三(补形)如图补成正方体,易得 ?O1OS 为二面角的平面角,
O1O ? 2, O1S ? 2, ? tan ?O1OS ?
5、证明与求解:(方法一)

B1
O

D

2 ……………..14 分 2

C1

C

⑴连接 AC,交 BD 于 O,连接 OE,则 O 是 AC 的中点……1 分 OE 是△PAC 的中位线,OE//PA……2 分 OE ? 平面 EDB,PA ? 平面 EDB,,∴PA//平面 EDB……4 分 ⑵∵PD⊥底面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,∴PD⊥BC……5 分 ∵ABCD 是正方形,∴BC⊥CD,∵PD ? CD=D,∴BC⊥平面 PCD……6 分 BC⊥PC,EF⊥PB,∠BPC 是公共角,∴△ PEF~△ PBC……7 分 PE 3 1 ? PC ? a = PB……8 分 设 PD=DC ? a ,则 PC ? 2a ,PB ? 3a , PF ? PB 3 3 ⑶由⑵知 BC⊥平面 PCD,∴BC⊥DE……9 分 ∵PD=DC,E 是 PC 的中点,∴PC⊥DE,∵PC ? BC=C,∴DE⊥平面 PBC……10 分 DE⊥PB,EF⊥PB,DE ? EF=E,∴PB⊥平面 DEF……11 分 ∴PB⊥DF,∠DFE 是二面角 C-PB-D 的平面角……12 分 2 a ……13 分 在△DFE 中,∵DE⊥平面 PBC,∴DE⊥EF,DE ? 2 PE 6 DE ? EF ? ? BC ? a ,tan∠DFE ? ? 3 ,∠DFE ? ……14 分 PB 6 EF 3 DA DP (方法二)⑴以 D 为原点, 、 DC 、 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间 D ( 0 , 0 , 0 ) ,A(1 , 0 , 0) ,B(1 , 1 , 0) ,C (0 , 1 , 0) , 直角坐标系……1 分, 设 PD=DC=1, 则 P(0 , 0 , 1) ……2 分, 1 1 连接 AC,交 BD 于 O,连接 OE,则 O 是 AC 的中点, O( , , 0) ……3 分 2 2
- 16 -

E 是 PC 的中点,∴ E(0 ,

1 1 1 1 , ) , OE ? (? , 0 , ) ……4 分 2 2 2 2 PA ? (1 , 0 , ? 1) , PA ? ?2OE ,PA//OE……5 分

OE ? 平面 EDB,PA ? 平面 EDB,,∴PA//平面 EDB……6 分 ⑵设 PF ? ? PB ? ? (1 , 1 , ? 1) ……7 分, 1 1 则 EF ? EP ? PF ? (? , ? ? , ? ? ? ) ……8 分 2 2 1 1 ∵EF⊥PB,∴ EF ? PB ? (? , ? ? , ? ? ? ) ? (1 , 1 , ? 1) ? 0 ……9 分 2 2 1 1 即 3? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? ,PF= PB……10 分 3 3 1 1 1 1 1 2 ⑶由⑵知 EF ? ( , ? , ) , DF ? DP ? PF ? (? , ? , 1 ? ? ) ? ( , , ) ……11 分 3 6 6 3 3 3 1 1 2 DF ? PB ? ( , , ) ? (1 , 1 , ? 1) ? 0 ,∴DF⊥PB,∠DFE 是二面角 C-PB-D 的平面 3 3 3 DF ? EF 1 ? 角……12 分, cos ?DFE ? ? ……13 分,∠DFE ? ……14 分 3 | DF || EF | 2 ⑶(方法三)平面 PBD 的一个法向量是 AC ? (?1 , 1 , 0) ……11 分 1 1 平面 PBC 的一个法向量是 DE ? (0 , , ) ……12 分 2 2 AC ? DE 1 cos ? AC, DE ?? ? ……13 分 | AC | ? | DE | 2 所以, ? AC, DE ??

?
3

,二面角 C-PB-D 的大小为

?
3

……14 分

6、解:(1)证明:连结 BD 交 AC 于点 O,连接 EO. ∵ABCD 为矩形,∴O 为 BD 的中点-------------------1 分 又 E 为 PD 的中点,∴EO∥PB. ----------------------2 分 ∵EO?平面 AEC,PB?平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC.----------------------------------3 分 (2)过点 E 作 EF//PA 交 AD 于 F,连结 FC, ∵ PA ? 平面 ABCD , ∴EF⊥平面 ABCD ,且 EF ?

∴ ?ECF ? ? -------------------------------------4 分 由 tan ? ? 则 CD ? 解法一: 过 D 作 DQ ? AE 交 AE 于点 Q,连结 CQ, ∵ PA ? 面 PAD ,∴面 PAD ? 面 ABCD ,----------7 分 又面 PAD ? 面 ABCD ? AD ,
- 17 -

1 1 PA ? 2 2

P E A O B C F D

EF 3 ? 得 FC ? 3 ---------------------5 分 FC 6
FC 2 ? FD 2 ? 3 ,------------------------6 分 2

P E Q

A O B C

D

CD ? AD

∴ CD ? 面 PAD --------------------------------8 分

AQ ? 面 APD ? CD ? AQ ,且 DQ ? AQ ? Q ? AQ ? 面 CDQ ,故 AQ ? CQ ---------------------------------------------------9
分 ∴ ?DQC 是二面角 D ? AE ? C 的平面角. -----------------------------------------10 分 ∵ AP ? 1 , AD ? 3 ,∴ ?PDA ?

?
6

又∵E 为 PD 的中点,∴ ?EAD ? ?EDA ? 分 在 Rt?AQD 中, DQ ?

?
6

--------------------------------------11

1 3 AD ? 2 2

3 CD ∴ tan ?CQD ? ? 2 ? 3 ,-----------------------------------------------13 DQ 3 2
分 ∵ 0 ? ?CQD ? ?

??CQD ?


?

3

,即二面角 D ? AE ? C 的大小为

? .---------------------------------14 3

【解法二: 以 A 为原点,AB、AD、AP 所在的直线分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,-7 分

0, 0) , D(0,3, 0) , P(0, 0, 0) , B( , 0,1) ,----------------------8 则 A(0, 0) , C ( ,3,
分 故 E (0, , ) ,

3 2

3 2

3 1 2 2

3 3 1 3 0, 0) ,-----------9 分 AE ? (0, , ), AC ? ( ,3, 0) , AB ? ( , 2 2 2 2

z P E D A O B C y

0, 0) 为平面 ADE 的一个法向量,------10 分 由条件可知, AB ? ( ,
设平面 AEC 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则由

3 2

- 18 -

x

? 3 1 y? z ?0 ? ? ? n ? AE ? 0 ? 2 2 ,得 ? ,取 x ? 2 ,得 y ? ? 3, z ? 3 , ? 3 n ? AC ? 0 ? ? ? x ? 3y ? 0 ? ?2
∴ n ? (2, ? 3,3) ---------------------------------------------------------------12 分 设二面角 D ? AE ? C 的大小为 ? ,则 cos ? ? cos AB, n ?

AB ? n 1 ? , | AB | ?| n | 2

?? ?
分】

?
3

,即二面角 D ? AE ? C 的大小为

? .-------------------------------------14 3

7、解:(1)在三棱锥 P-ABC 中,依题意可知: PA ? AC …………1 分
2 2 2 ∵PA=AB= 2 2 ,PB=4 ? PA ? PB ? PB ,…………2 分 则 PA ? AB …………3 分

又AB ?AC ? A ,则 PA⊥平面 ABC ∵ PA ? 平面 PAC ∴平面 PAC⊥平面 ABC. …………6 分

…………5 分

(2)方法一:由(1)知 PA ? AB ,又 AB ? AC, PA ? AC ? A , ∴ AB ? 平面 PAC …………7 分 ∵AB∥CD ∴ CD ? 平面 PAC …………8 分

过A作 AH ? PC 于H,则 CD ? AH 又∵ PC ? CD ? C

…………9 分 …………10 分

∴ AH ? 平面PCD

又 AB∥CD,AB ? 平面 PCD , ∴AB//平面 PCD , ∴点 A 到平面 PCD 的距离等于点 B 到平面 PCD 的距离. ∵在 Rt△PAC 中,PA =2 2 ,AC = 2 2 ,PC = 4 ∴PC 边上的高 AH=2 ,此即为点 A 到平面 PCD 的距离 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ? ,则 sin ? ? 又 ? ? ?0, …………12 分 …………11 分

h 2 1 ? ? ,…………13 分 PB 4 2

? ? ? ?? ,所以 ? ? , 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为 ; …………14 分 ? 6 6 ? 2?

方法二:由(1)知 AB,AC,AP 两两相互垂直,分别以 AB,AC,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空 间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2 2 ,0,0),C(0,2 2 ,0),P(0,0,2 2 )……9 分 (解法一)∵AB∥CD, AB ? AC ∴ CD ? AC ,
- 19 -

又 AC∥ED

∴四边形 ACDE 是直角梯形

∵AE = 2 ,AE∥BC,∴∠BAE = 135°,因此∠CAE = 45°.…………10 分

CD ? AE ? sin 45? ? 2 ?

2 ? 2, 所以 D(- 2 ,2 2 ,0). 2
…………11 分

∴ CP ? (0, ?2 2, 2 2) , CD ? (? 2,0,0) 设 m ? ( x, y, z) 是平面 PCD 的一个法向量,则 m ? CP ? 0, m ? CD ? 0 ∴?

? ?? 2 2 y ? 2 2 z ? 0 ? ?? 2 x ? 0

解得 x ? 0, y ? z, 取 y ? 1, 得 m ? (0,1,1)

…………12 分

又 BP ? (?2 2,0, 2 2), 设 ? 表示向量 BP 与平面 PCD 的法向量 m 所成的角, 则 cos ? ?

m ? BP m BP

?

1 2

…………13 分

∴? ?

?
3

, 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为

? . 6

…………14 分 …………10 分

(解法二)∵AB∥CD,∴ CD ? ? AB, AB ? (2 2,0,0) ∴ CP ? (0, ?2 2, 2 2) ,…………11 分

设 m ? ( x, y, z) 是平面 PCD 的一个法向量,则 m ? CP ? 0, m ? CD ? 0 即 m ? AB ? 0 ∴?

? ?? 2 2 y ? 2 2 z ? 0 ? ?2 2 x ? 0
m ? BP m BP ? 1 2

解得 x ? 0, y ? z, 取 y ? 1, 得 m ? (0,1,1) …………12 分

则 cos ? ?

…………13 分

∴? ?

?
3

, 即直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为

? . 6

…………14 分

8、证明:(1)? PA ? 平面ABCD, BC ? 平面ABCD, ? PA ? BC …….1 分

? ABCD是矩形, ? PA ? AB ? A,

? BC ? AB. BC ? 平面PAB,

…….2 分 …………..3 分 …………..4 分 …………..5 分

又? AF ? 平面PAB, ? AF ? BC ? AB ? PA, F是PB中点, ? AF ? PB.
- 20 -

又? PB? BC ? B, ?AF ? 平面PBC .
(2)如图以 A 为原点,分别以 AD,AB,AP 为 x, y , z 轴建系 设 BE= a ,则 P(0,0,1) , D( 3,0,0) , E(a,1,0) , F (0,

…………..6 分 . …………..7 分

1 1 , ) 2 2

. …………..8 分

? 设平面PDE的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则

? ? ?n ? DE ? ( x, y, z ) ? (a ? 3,1,0) ? (a ? 3 ) x ? y ? 0 . …………..10 分 ?? ? ?n ? PD ? ( x, y, z ) ? ( 3,0,1) ? 3x ? z ? 0

? 令x ? 1, 得y ? 3 ? a, z ? 3,? n ? (1, 3 ? a, 3) . …………..11 分
1 1 又 ? 平面 PCE的法向量为 AF ? (0, , ) . 2 2
…………..12 分

? n ? AF ? ? cos n, AF ? ? ? n AF

1 3? a 2 2 ? a 2 ? 2 3a ? 7 2

?

2 , 2

?a ?

5 3 . ………..13 分 6

?当BE ?
9、

5 3 时,二面角P - DE - A为450 . 6

…………..14 分

- 21 -

10



- 22 -

- 23 -

11、解:(1)三棱锥 P ? ABC 直观图如图 1 所示; 由三视图知 ?ABC 和 ?PCA 是直角三角形. (2)(法一):如图 2,过 P 作 PH ? BC 交 BC 于点 H , 由三视图知 ?PBC 为等腰三角形,

……………………3 分

BC ? 4 , PH ? 2 3 , ? PB ? PC ? BC ? 4 , 取 PC 的中点 E ,过 E 作 EF ? PA 且交 PA
于点 F ,连接 BE , BF , 因为 BE ? PC ,由三视图知 AC ? 面 PBC , 且 BE ? 面 PBC ,所以 AC ? BE , 又由 AC PC ? C ,所以 BE ? 面 PAC , 由 PA ? 面 PAC ,所以 BE ? PA , BE EF ? E ,所以 PA ? 面 BEF , 由 BF ? 面 BEF ,所以 PA ? BF , 所以 ?BFE 是二面角 B ? PA ? C 的平面角.………6 分

z P F E A O(B) H 图2 C x y

?PEF ~ ?PAC ,?

PE EF ? , PA AC

PE ? 2, AC ? 4, PA ? 4 2 ,? EF ? 2 , ……………………………………8 分
- 24 -

? 在直角 ?CFE 中,有 tan ?BFE ?

BE ? 6. EF
………………………………………9 分

所以,二面角 B ? PA ? C 的正切值为 6 .

(法二):如图 3,过 P 作 PH ? BC 交 BC 于点 H ,由三视图知 ?PBC 为等腰三角形,

BC ? 4 , PH ? 2 3 ,
由图 3 所示的坐标系,及三视图中的数据得:

z P y

B(0, 0, 0) , C (4, 0, 0) , P(2,0, 2 3) , A(4, 4, 0) ,
则 BA ? (4, 4,0) , BP ? (2,0, 2 3) , CA ? (0, 4,0) ,

A O(B) H 图3 C x

CP ? (?2,0, 2 3) ,
设平面 PAB 、平面 PAC 的法向量分别为 m 、 n .

? ?4 x1 ? 4 y1 ? 0 设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 m ? BA ? 0 , m ? BP ? 0 ,得 ? , 2 x ? 2 3 z ? 0 ? ? 1 1
令 z1 ? 1, 得 x1 ? ? 3 , y1 ? 3 ,即 m ? (? 3, 3,1) . 设 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,由 n ? CA ? 0 , n ? PA ? 0 ,得 ? …………………6 分

? ? 4 y2 ? 0 , ? ??2 x2 ? 2 3 z2 ? 0
………………………7 分

令 z2 ? 1 , 得 x2 ? 3 , y2 ? 0 ,即 n ? ( 3,0,1) .

?cos ? m, n ??

m?n ?2 7 , tan ? m, n ?? ? 6 .…………………8 分 ? ?? m n 2 7 7

而二面角 B ? PA ? C 的大小为锐角,所以二面角 B ? PA ? C 的正切值为 6 .…9 分 (3)(法一):记 C 到面 PAB 的距离为 h ,由(1)、(2)知 PA ? AB ? 4 2, PB ? 4 ,

1 4 7 h, ? S?PAB ? 4 7 ,VC ? PAB ? S?PAB ? h ? 3 3
三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC ?

………………………………12 分

1 16 3 S?ABC ? PH ? , 3 3

……………………13 分

由 VP? ABC ? VC ? PAB ,可得: h ?

4 21 . 7

………………………………………14 分

(法二):由(2)知,平面 PAB 的法向量 m ? (? 3, 3,1) , CA ? (0, 4,0)

- 25 -

记 C 到面 PAB 的距离为 h ,

?h ?

4 21 4 3 m ? CA ? . ? m 7 7

………………………………………………14 分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,三视图及几何体的直观图,二面角,三 棱锥的体积,空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查 用向量方法解决数学问题的能力. 12、(1)证明:因为 BE // AA 1 , AA 1 ? 平面AA 1D ,
A1 B1 C1 D1

BE ? 平面AA1 D ,所以 BE // 平面AA1 D .
因为 BC // AD , AD ? 平面AA 1D ,

(1 分)

BC ? 平面AA1 D ,所以 BC // 平面AA1 D .
又 BE ? BC ? B , BE ? 平面BCE ,

(2 分)

A

E D B C

BC ? 平面BCE ,所以 平面BCE // 平面ADA 1 . (3 分)
又 平面A1 DCE ? 平面BCE ? EC , 平面A1 DCE ? 平面A1 AD ? A1 D , 所以 EC// A1 D . (4 分)

(2)解:因为 S 梯形ABCD ? 6 ,BC//AD,AD=2BC,所以 S ?ABC ?

1 1 S ?ACD ? S 梯形ABCD ? 2 . 2 3
(6 分)

所以 VC ? A1 AB ? V A1 ? ABC ?

1 1 8 A1 AS ?ABC ? ? 4 ? 2 ? . 3 3 3

(8 分) (9 分)

(3)解法一:如图,在 ?ADC 中,作 AF ? CD 于 F,连接 A1 F . 因为 A1 A ?底面 ABCD, CD ? 底面ABCD , 所以 CD ? A1 A . 又 A1 A ? AF ? A ,所以 CD ? 面A1 AF . 又 A1 F ? 面A1 AF ,所以 CD ? A1 F . 所以 ?A1 FA 为二面角 A1 ? DC ? A 的平面角. 由(2)得 S ?ACD ? (10 分) (11 分)

A1 B1 C1

D1

A

E D F B C

2S 2 S 梯形ABCD ? 4 ,所以 AF ? ?ACD ? 4 . 3 CD

(12 分)

- 26 -

所以 tan ?A1 FA ? 所以 ?A1 FA ?

A1 A ? 1, AF

(13 分)

?
4

,即二面角 A1 ? DC ? A 的大小为

? . 4

(14 分)

解法二:如图,以 D 为坐标原点, DA, DD1 分别为 x 轴和 z 轴正方向建立空间直角坐标系. (9 分) 设 ?CDA ? ? ,BC=a,则 AD=2a.
z A1 B1 C1 D1

a ? 2a 2 ? 2 sin ? ? 6 ,所以 a ? .(10 分) 2 sin ? 4 ,0,4) , 所以 C (2 cos? ,2 sin ? ,0) , A1 ( sin ? 4 ,0,4) . (11 分) 所以 DC ? (2 cos? ,2 sin ? ,0) , DA1 ? ( sin ?
因为 S 梯形ABCD ? 设平面 A1 DC 的一个法向量 n ? ( x, y,1) ,

A x

E D F B C y

4 ? x?4?0 ? x ? ? sin ? ?DA1 ? n ? sin ? 由? ,得 ? ,所以 n ? (? sin ? , cos? ,1) .(12 分) y ? cos ? ? ?DC ? n ? 2 x cos? ? 2 y sin ? ? 0 ?
又平面 ABCD 的一个法向量 m ? (0,01 ), 所以 cos ? n, m ?? (13 分) (14 分)

n?m | n || m |

?

2 ? ,所以二面角 A1 ? DC ? A 的大小为 . 2 4

13、解:(1)证明:取 DA1 的中点 G ,连接 FG、GE

A1 G D F C

F 为 A1C 中点
1 2 E 为平行四边形 ABCD 边 AB 的中点 1 ? EB // DC ,且 EB ? DC 2 ? EB // GF ,且 EB ? GF ?四边形 BFGE 是平行四边形 ? BF // EG

? GF // DC ,且 GF ? DC

E

B

EG ? 平面 A1DE , BF ? 平面 A1DE

? BF // 平面 A1DE ……………………………………………………4 分

- 27 -

(2)取 DE 的中点 H ,连接 A1H、CH

A1 F D H E
1 ? 13 在 ?A1 HC 中 , 2

AB ? 4 , AD ? 2 , ?DAB ? 60o , E 为 AB 的中点

? ?DAE 为等边三角形,即折叠后 ?DA1E 也为等边三角形 ? A1H ? DE ,且 A1H ? 3
o 在 ?DHC 中, DH ? 1 , DC ? 4 , ?HDC ? 60

C

B

根据余弦定理,可得

HC 2 ? DH 2 ? DC 2 ? 2 DH ? DC cos 60o ? 12 ? 42 ? 2 ?1? 4 ?

? 4, A1H ? 3 ,, HC ? 13 AC 1
2 ? A1H 2 ? HC 2 ,即 A1H ? HC ? AC 1



? A1 H ? DE ? A H ? HC 1 ? ? ? DE ? 面DEBC ,所以 A1H ? 面DEBC ? HC ? 面DEBC ? ? ? DE HC ? H



A1H ? 面A1DE


?

A1DE ?



DEBC ………………………………………………………………………………………10 分
(3)过 H 作 HO ? DC 于 O ,连接 AO 1 、HO

A1 F D H E B O C

A1H ? 面DEBC ? A1H ? DC
又A 1H

HO ? H

? DC ? 面A1HO ? DC ? AO 1 , DC ? HO
- 28 -

是二面角 A1 ? DC ? E 的平面角 ? ?AOH 1 在 Rt ?A A1H ? 3 ,HO ? DH ? sin 60 ? 1? 1HO 中,
o

3 3 , 故a ? n t ?A O 1H ? 2 2

3 ?2 3 2

所以二面角 A1 ? DC ? E 的正切值为

2 ……………………………………………………………………14 分

- 29 -



更多相关文章:
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...
广东省 13 市 2015 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 立体几何一、选择、填空题 1、(潮州市 2015 届高三)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的...
广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...
广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:立体几何 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。广东省 13 市 2017 届高三上学期期末考试数学理试题分类...
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...
广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:立体几何_数学_高中教育_教育专区。教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center 广东省 14 市 2016 届高三上...
...广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编--...
【恒心】2015届广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编---三角函数【纯word精品版】_数学_高中教育_教育专区。2015届广东省13市高三上学期期末考试数学理...
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:导数及其应用_数学_高中教育_教育专区。广东省 13 市 2015 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇 编 导数...
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:不等式_高三数学_数学_高中教育_教育专区。学科网( w w w .z x x k .c o m ) 全国最大的教学资...
...广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编--...
【恒心】2015届广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编---导数及其应用【纯word精品版】_数学_高中教育_教育专区。2015届广东省13市高三上学期期末考试...
...市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:函...
广东省 13 市 2017 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇 编 函数 1、 (潮州市 2017 届高三上学期期末)设函数 f(x)= ,则使得 f(x2﹣2x)>f (3x﹣6)...
...市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:数...
广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:数列 Word版含答案_数学...“今有五人分五钱, 令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知...
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇...
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:统计与概率_数学_高中教育_教育专区。广东省 13 市 2015 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 统计与概...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图