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2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练(一)数学试题(解析版)



河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四数学周 练试题(一)
一、选择题(共 12 小题,共 60 分) 1.己知直线 l 的斜率为 k,它与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,F 为抛物线的焦点,若 A.2 2.在数列 A.2+ln n C.2+nln n B. C. D. ,则 an= =2 ,则|k|=

中,a1=2,an+1=an+ln B.2+ ln n

D.1+n+ln n

3.定义在区间 (0,??) 上的函数 f ( x) 使不等式 2 f ( x) ? xf ' ( x) ? 3 f ( x) 恒成立,其中 f ' ( x) 为 f ( x) 的导数, 则( A. 8 ? )

f (2) ? 16 f (1) f ( 2) ?4 f (1)

B. 4 ?

f ( 2) ?8 f (1) f ( 2) ?3 f (1)


C. 3 ?

D. 2 ?

4.已知 a , b 为正实数,直线 y ? x ? 2a 与曲线 y ? ln(x ? b) 相切,则 a 2 ? b2 的最小值为( A.1 B.

2 2

C.

3 3

D.

5 5
4 成立,则实数 a 的 5

5.设函数 f ( x) ? ( x ? a) 2 ? (ln x 2 ? 2a) 2 其中 x ? 0, a ? R 存在正数 x0 ,使得 f ( x 0 ) ? 值是( A. ) B.

1 5

2 5

C.

1 2

D.1

6.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ? x ?1? 的图象关于点 ?1,0 ? 对称,若对任意的 x, y ? R ,不等
2 2 式 f x ? 6 x ? 21 ? f y ? 8 y ? 0 恒成立,当 x ? 3 时, x 2 ? y 2 的取值范围是(

?

?

?

?



A. ? 3,7 ? 7.双曲线

B. ? 9, 25?

C. ?13,49?

D. ? 9, 49? )

2 x2 y 2 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程与圆 x ? 3 ? ? y ?1 ? ?1 相切,则此双曲线的离心率为( 2 a b

?

?

A. 5


B. 2

C. 3
1第

D. 2

8.根据 e2 ? 7.39, e3 ? 20.08 ,判定方程 e x ? x ? 6 ? 0 的一个根所在的区间为( A. ? ?1,0? B. ? 0,1? C. ?1, 2 ? D. ? 2,3?



9. 设? x ? 表示不超过 x 的最大整数, 如?1? ? 1, ?0,5? ? 0 , 已知函数 f ? x ? ? 有且仅有 3 个实根,则实数 k 的取值范围是( A. ? )

? x? ? k
x

? x ? 0 ? ,若方程 f ? x? ? 0

? 1 2? , ? ? 2 3?

B. ?

? 2 3? , ? ? 3 4?

C. ?

? 3 4? , ? ? 4 5?

D. ?

?4 5? , ? ?5 6?

10.已知数列?an ? 为等差数列,满足 OA ? a3 OB ? a2013 OC ,其中 A, B, C 在一条直线上, O 为直线 AB 外一 点,记数列?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S2015 的值为( A. )

??? ?

??? ?

??? ?

2015 2

B.2015

C.2016

D.2013

11. 已知双曲线 A.2

x2 y2 点 C ? 0, b? , 则 ?ABC 面积的最大值为 ( B 两点, ? ? 1 ? 0 ? b ? 2? 与 x 轴交于 A 、 4 ? b2 b2
B.4 C.6 D.8



12.已知函数 f ? x ? ? ? 是( A.8 ) B.6

?
12 x

, g ? x ? ? x cos x ? sin x ,当 x ?? ?3?,3? ? 时,方程 f ? x ? ? g ? x ? 的根的个数

C.4

D.2

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(4 小题,共 20 分) 13.已知随机变量 X 服从正态分布 14.已知函数 f ? x ? ? ? , P ? X ? 4? ? 0.84 ,则 P ? X ? 0? 的值为 .

? ? x ,x ?m ,其中 m ? 0 ,若存在实数 b ,使得关于 x 的方程 f ?x ? ?b 有三 2 ? ? x ? 2mx ? 4 m, x ? m


个不同的零点,则 m 的取值范围是

15. 已知直线 y ? kx ?1? k ? 0? 交抛物线 x2 ? 4 y 于 E、F 两点, 以 EF 为直径的圆被 x 轴截得的弦长为 2 7 , 则 k =__________ . 16 .已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, a2 ? 3, Sn?1 ? 4Sn ? 3Sn?1 ? n ? 2? ,若对于任意 n ? N * ,当

?1 1 1? t ? ? ?1,1? 时,不等式 2 ? ? ? ? ? ? ? x2 ? tx ? 1 恒成立,则实数 x 的取值范围为__________ . an ? ? a1 a2
页 2第

三、解答题(8 小题,共 70 分)

n. 17.已知数列{an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 2
2

(1)证明:数列{an } 是等差数列,并求出数列{an } 的通项公式; (2)求数列{

1 } 的前 n 项和为Tn . an an ?1

18. 已知点 A(?1, 0) ,B(1, 0) , 直线 AM 与直线 BM 相交于点 M , 直线 AM 与直线 BM 的斜率分别记为 k AM 与 k BM ,且 k AM ? kBM ? ?2 . (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程;

?OPQ 的面积是否存在最大值?若存在, (Ⅱ) 过定点 F (0,1) 作直线 PQ 与曲线 C 交于 P, Q 两点, 求出 ?OPQ
面积的最大值;若不存在,请说明理由. 19.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 - y+6=0 相切. ,以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长半轴为半径的圆与直线 2x

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2) 已知点 A, B 为动直线 y=k (x-2) (k≠0) 与椭圆 C 的两个交点, 问: 在 x 轴上是否存在点 E, 使 为定值?若存在,试求出点 E 的坐标和定值,若不存在,说明理由. 20.已知椭圆 C1: + =1 (a>b>0)的离心率为 (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 A、B、Q 是点 P 分别关于 x 轴、y 轴及坐标原点的对称点,平行于 AB 的直线 l 与 C1 相交于不同于 P、Q 的两 点 C、D.点 C 关于原点的对称点为 E.证明:直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形. 21.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M 是线段 EF 的中点. ,P(-2,1)是 C1 上一点.
2



·

(1)求证:AM∥平面 BDE; (2)求二面角 A-DF-B 的大小; (3)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与 BC 所成的角是 60°. 22.按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如果他卖出该产品的单价为 m 元,则他的满意



3第

度为

m n ;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的 n ? a m?a

满意度分别为 h1 和 h2 ,则他对这两种交易的综合满意度为

h1h2 .

现假设甲生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元, 乙生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元, 设产品 A、B 的单价分别为 m A 元和 mB 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲 ,乙卖出 A 与买进 B 的综合满意 度为 h乙 (1)求 h甲 和 h乙 关于 m A 、 mB 的表达式;当 mA

3 ? mB 时,求证: h甲 = h乙 ; 5

(2)设 mA

3 ? mB ,当 mA 、mB 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少? 5

23.某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生产量是否与 年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年 龄在 “25 周岁以上 (含 25 周岁) ” 和 “25 周岁以下” 分为两组, 在将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50,60) , [60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的频率. (2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为 “生产能手” , 请你根据已知条件完成 2 ? 2 的列联表, 并判断是否有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”? 24 .已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P ( 0 , 2 ),且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程

6x ? y ? 7 ? 0 .
(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求函数 g ( x) ?

3 2 x ? 9 x ? a ? 2 与 y ? f ( x) 的图像有三个交点,求 a 的取值范围. 2



4第

参考答案 1.A 【解析】 试题分析:设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0),与抛物线 y2=4x 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx +m(k≠0),y2=4x 得 k2x2+(2km-4)x+m2=0, 所以 Δ =(2km-4) -4k m =16-16km,由Δ >0 得 km<1,x1+x2= 由 y2=4x 得其焦点 F(1,0),由 所以 所以 m=-k,再由 =2 =2
2 2 2

,x1x2= ,

得(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2), ,

,由①得, x1+2x2=3,③.由②得, x1+2x2=- 得| |=2| |,

所以 x1+1=2(x2+1),即 x1-2x2=1,④.联立③④得 x1=2,x2= , 所以 x1+x2= 选 A. 考点:直线与抛物线相交. 2.A 【解析】 试题分析:由已知得 an+1-an=ln
-1

= ,把 m=-k 代入得

= ,解得

=2

,满足 mk=-8<1,所以

=2

,故

=ln(n+1)-ln n,所以 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an

)=2+(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+?+(ln n-ln(n-1))=2+ln n,故选 A.

考点:由递推公式求通项公式. 3.B 【解析】 试题分析:由可得

1 f ( x) f ( x) / 2 f ( x) f ( x) f ( x) xf / ( x) ? f ( x) 2 f ( x) ?[ ] ? ,即 ,令 F ( x) ? ,则 ? ? 2 2 2 x x x x x x x x x

F ( x) 2 F ( x) ? F / ( x) ? ,即 F ( x) ? xF / ( x) ? 2F ( x) ,所以 xF / ( x) ? F ( x) ? 0 且 xF / ( x) ? 2F ( x) ? 0 , x x


F ( x) F ( x) f ( x) xF / ( x) ? F ( x) x 2 F / ( x) ? 2 xF ( x) 且 所以函数 是增函数且函数 2 是减函数, 即 2 是 ? 0 ?0, 2 4 x x x x x

增函数且函数

f (2) f ( 2) f (1) f ( 2) f ( x) f (1) f (2) ?4且 ? 8 ,故应选 B. ? 2 且 3 ? 3 ,即 3 是减函数,所以 2 f (1) f (1) x 1 2 1 2

考点:导数及运算.
页 5第

【易错点晴】 本题以不等式的形式为背景考查的是导数的知识的综合运用.解答本题的难点是如何建立两个函数值的

f ( x) , x F ( x) F ( x) f ( x) f ( x) y? 3 . 进而通过构造的函数进行合理有效的变形得到两个单调函数 和函数 2 ,即 y ? 2 和函数 x x x x
表达式.本题在解答时借助题设的不等式 2 f ( x) ? xf ' ( x) ? 3 f ( x) ,运用巧妙变形进行构造函数 F ( x) ? 最后借助单调性使得问题简捷巧妙获解. 4.D 【解析】 试题分析:设切点为 P( x0 , y0 ) ,则由题设 y ?
/

1 ? 1,故 x0 ? 1 ? b 代入 y ? x ? 2a 得 y0 ? 1 ? b ? 2a , x0 ? b

又 x0 ? 1 ? b ,所以 y0 ? ln(x0 ? b) ? 0 ,即 b ? 2a ? 1 ,将 b ? 1 ? 2a 代入得 a 2 ? b2 ? 5a 2 ? 4a ? 1 ,故 当a ?

2 5 时,取最小值为 ,故应选 D. 5 5

考点:导数的几何意义及二次函数的最小值. 【易错点晴】 本题以直线与曲线相切为背景考查的是求函数 a 2 ? b2 的最小值的求法问题.求解时充分利用题设中 所提供的有效信息, 对直线与曲线相切这一条件进行了巧妙合理的运用, 使得本题巧妙获解.解答本题的关键是找出 参数 a , b 之间的数量关系,这里是借助直线与曲线相切的这一条件.设切点是解答这类问题的关键,一旦切点出现, 直线与曲线都经过这个切点,许多问题都能解决,所以设切点是找到 a , b 之间关系的很重要的一个步骤. 5.A 【解析】 试题分析:由函数解析式的形式可知 f ( x) 表示平面上的两动点 P( x, ln x 2 ), Q(a,2a) 之间距离 d 的平方,而两动
/ 点分别在曲线 y ? ln x 2 ? 2 ln x 和 y ? 2 x 上,设切点 M ( x0 , y0 ) ,因为 y ?

2 2 2 ,所以 k 切 ? ,当 2 ? x0 x0 x
4 1 ,解之得 a ? , 5 5

2 2 时, x0 ? 1, y0 ? 0 ,此时直线 y ? 2 x 与切点 M (1,0) 间的距离最近,即 (a ? 1) ? (2a ) ?

应选 B. 考点:导数和函数的有关知识及综合运用. 【易错点晴】 函数与方程的关系是高中数学的重要内容之一, 也是高中数学中的重要知识点.本题以函数内容为背景 设置的是函数的解析式参数的取值范围问题.解答时充分借助函数解析式的结构特征, 将其与平面上的两点间距离公 式类比,从而将问题进行合理转化为直线与曲线的距离最小,最小值为 点的坐标从而使问题简捷巧妙地获解.
页 6第

4 的问题.然后借助导数的几何意义求出切 5

6.C 【解析】 试题分析:由于函数 y ? f ?x ?1? 的图象关于点 ?1,0 ? 对称,所以函数 f ? x ? 关于原点对称,即 f ? x ? 为奇函数,
2 2 2 2 在定义域上单调递增,由 f x ? 6 x ? 21 ? f y ? 8 y ? 0 ,得 f x ? 6 x ? 21 ? f ? y ? 8 y ,即

?

?

?

?

?

?

?

?

x2 ? 6 x ? 21 ? ? y 2 ? 8 y ,x2 ? 6x ? y 2 ? 8 y ? 4 , ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 4 ,? x, y ? 表示的就是圆心为? 3,4 ? ,
2 2

半径为 2 的圆内的点,当 x ? 3 时, x 2 ? y 2 表示的就是到原点的距离的平方,由图像可求得取值范围为 ?13,49? . 最短为 OA ? 13 ,最大 OC ? ? 5 ? 2 ? ? 49 . OB ?
2 2 2

45 不是最大值.

考点:1.函数的单调性与奇偶性;2.线性规划. 【思路点晴】 本题考查函数图象与性质, 导数与图象等知识.第一个问题就是处理 f ? x ? , f ? x ?1? 这两个函数图象 的关系, f ? x ? 图象向右移1 个单位得到 f ? x ?1? 图象,向左移1 个单位得到 f ? x ? 1? 图象.由此可以确定函数是
2 2 一个奇函数,由于 f ? x ? 为增函数,而且为抽象函数,根据单调性,可化简 f x ? 6 x ? 21 ? f y ? 8 y ? 0 .

?

?

?

?

最后还要用线性规划的知识来求最值. 7.B 【解析】 试题分析:双曲线其中一条渐近线为 bx ? ay ? 0 ,依题意圆心到渐近线的距离等于半径,即

3b ? a a 2 ? b2

? 1,化简

得 b ? 3a , e ? 1 ? 考点:双曲线离心率. 8.D 【解析】

b2 ? 2. a2



7第

3 ? ?0 ,所以零点位于? 2,3? . 试题分析:令 f ?x ? ?e ?x ? 6 ,依题意有 f ? 2? ? 0, f ?
x

考点:二分法. 9.C 【解析】 试题分析:令 f ? x ? ?

? x? ? k ? 0, ? x? ? k ,令 g
x x

? x? ?

? x? ,画出 g ? x ? 图象如下图所示,由图象可知,k 的取
x

值范围是 ?

? 3 4? , ?. ? 4 5?

考点:1.新定义;2.函数图象与性质. 【思路点晴】解决函数零点有关的问题,思路就是先令这个函数等于零,然后对式子进行分离参数,如本题中令

f ? x? ?

? x? ? k ? 0, ? x? ? k ,分离参数后,就变成了左边一个函数,右边是一条直线 y ? k ,只要我们画出左
x x

边函数的图象,结合图象就能求出有三个交点时候 k 的取值范围. g ? x ? ? 用新定义中包含的概念,分段画出图象. 10.A 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

? x? 是一个新定义的函数,我们可利用
x

A, B, C

在 一 条 直 线 上 , 所 以

a3 ? a2013 ? 1 , 则

S2015 ?

2015(a1 ? a 2

2

)

0 ?

2015( 1 5 a ?a 2

)

?3

2015 2 0 1 ,选 A. 2

3

考点:向量关系,等差数列性质 【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的 工具, 应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件, 有时需要进行适当变形. 在解决等差、 等比数列 的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
页 8第

11.A 【解析】 试题分析:由题意知,如图: A ? 4 ? b ,0
2

?

?

B

?

4 ? b2 ,0

?

∴ S ?ABC ?

1 AB ? OC ? b 4 ? b 2 2

? b2 ? 4 ? b2 ? ?

b2 ? 4 ? b2 ?2 2

当且仅当 b2 ? 4 ? b2 ? b ? ∴ ? S?ABC ?max ? 2 . 故选 A.

2 时“=”成立,

考点:双曲线的标准方程;双曲线的几何性质. 12.B 【解析】 试题分析: 由题意得, 函数 f ? x ? ? ?
'

?
12 x

在 x ?? ?3? ,3? ? 上是奇函数且是反比例函数,g ?x ? ? x cos x ?sin x

在 x ?? ?3? ,3? ? 上是奇函数, 则 g ? x ? ? cos x ? x sin x ? cos x ? ?x sin x , 所以 g ? x ? 在?0,? ? 上是减函数,

2? ? 上是增函数, 在??, 在?2?,3? ? 上是减函数, 且 g ? 0? ? 0 ,g ?? ? ? ?? ,g ? 2? ? ? 2? ,g ? 3? ? ? ?3? ,
所以作出函数 f ? x ? 与 g ? x ? 在 x ?? ?3? ,3? ? 上的图像,如图所示,结合图像可知,共有 6 个交点.



9第

故选 B. 考点:根的存在性及根的个数的判断;函数的图像. 13. 0.16 【解析】 试题分析:因对称轴是 x ? 2 ,所以 P( x ? 0) ? P( x ? 4) ? 1 ? P( x ? 4) ? 0.16 ,故应填 0.16 . 考点:正态分布的性质及运用. 14.?m | m ? 3? 【解析】 试题分析:函数 y ? x 为偶函数,且左减右增.函数 y ? x ? 2mx ? 4m ? x ? m? 的对称轴为 x ? m ,且向右单
2

调递增.故当 x ? m 时函数 f ? x ? 先减后增,当 x ? m 时函数 f ? x ? 单调递增,要 f ?x ? ?b 有三个不同的零点则 必须满足 m ? m 2 ? 2 m 2 ? 4m ,m 2 ? 3 m ? 0 ,解得 m ? 3 .

考点:分段函数零点问题. 【思路点晴】 应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法: (1)直接法: 直接根据题设条件构建关于
页 10 第

参数的不等式, 再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法: 先将参数分离, 转化成求函数值域问题加以解决. (3) 数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 15. ?1 【解析】 试题分析:由直线方程与抛物线方程联立消 x 得 y 2 ? 2(1 ? 2k 2 ) y ? 1 ? 0 ,而直线过抛物线焦点,所以
2 EF ? 2(1 ? 2k 2 ) ? 2 ,而由垂径定理得 ( 7) ?(

yE ? yF 2 EF ) ?( ) 2 2

2

?k ?1 ?

考点:抛物线定义,直线与圆位置关系 16. x ? 2或x ? ?2 【解析】

a2 ? 9 , Sn?1 ? 4Sn ? 3Sn?1 ? n ? 2?,Sn ? 4Sn?1 ? 3Sn?2 ? n ? 3? ,两式 试题分析: S3 ? 4S2 ? 3S1 ? a3 ? 3

n ? 3 ?,a n ?1 ?a n ? 3(a n ?3a n ?1 )n 相减得 an?1 ? 4an ? 3an ?1 ? ? ?3 ,? 又 a3 ? a2 ? 3(a2 ? a1 ) ,因此{an?1 ? an }
为 以 2 首 项 , 3 为 公 比 的 等 比 数 列 , 即 an?1 ? an ? 2 ? 3
n?1

, 叠 加 法 得 an ? 3

n ?1

,从而

?1 1 1? 1 2 ? ? ? ? ? ? ? 3(1 ? n ) ? 3 , 因 此 x2 ? tx ? 1 ? 3 对 t ? ? ?1,1? 恒 成 立 , 即 an ? 3 ? a1 a2
x2 ? x ? 2 ? 0, x2 ? x ? 2 ? 0, 解得 x ? 2或x ? ?2
考点:和项求通项,等比数列定义,不等式恒成立 【方法点睛】给出 Sn 与 an 的递推关系求 an,常用思路是:一是利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为 an 的递推关系,再求
? ?S1,n=1, 其通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 之间的关系,再求 an. 应用关系式 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2时, ?

一定要注意分 n=1,n≥2 两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起. 17.(1)详见解析(2) 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 由 和 项 求 通 项 , 关 键 注 意 分 类 讨 论 : 当 n ? 1 时 , a1 ? S1 ? 3 ; 当 n ? 2 时 ,
* an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? 2n ? [(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 2n ? 1; 由于当 n ? 1 时, 也符合上式, 故 an ? 2n ? 1(n ? N ) .

n 3(2n ? 3)

最后根据等差数列定义证明(2)裂项相消法求数列和:

1 1 1 1 ? ( ? ) an an?1 2 2n ? 1 2n ? 3



11 第

注意调节系数,首尾相消得Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ? ? ? ? ? ? ) ?? ( ? ? ) 2 3 5 5 7 2 n? 1 2 n? 3 2 3 2 n3 ? 3(2 n3) ?

试题解析:(1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 2n ? [(n ?1) ? 2(n ?1)] ? 2n ? 1;
2 2

当 n ? 1 时,也符合上式,故 an ? 2n ? 1(n ? N ) .
*

因为 an?1 ? an ? 2 ,故数列{an } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列. (2)因为

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

故Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ( ? ? ? ??? ? )?? ( ? )? . 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3 3(2n ? 3)

考点:和项求通项,等差数列定义,裂项相消法求和 【方法点睛】给出 Sn 与 an 的递推关系求 an,常用思路是:一是利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为 an 的递推关系,再求
? ?S1,n=1, 其通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 之间的关系,再求 an. 应用关系式 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2时, ?

一定要注意分 n=1,n≥2 两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起. 18.(Ⅰ) x 2 ? 【解析】

y2 2 . ? 1( x ? ?1) ;(Ⅱ) ?OPQ 面积的最大值为 2 2

k 试题分析: (Ⅰ) 本题求轨迹方程, 采用直接法, 只要设动点坐标为 M ( x, y ) , 求出斜率 kMA , kMB , 由 kM A ? M B

? ?2

化简可得,注意斜率存在时 x ? ?1 ,最后方程中要剔除此点;(Ⅱ)假设存在,首先直线斜率存在,可设其方程 为 y ? kx ? 1 ,与椭圆方程联立整理为关于 x 的一元二次方程,同时设交点为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,由可得

1 OF x1 ? x2 ,这样可把 S?OPQ 表示为 k 的函数,可由基本不等式知识求得最大值. 2 y y , k MB ? 试题解析:(Ⅰ)设 M ? x , y ? ,则 k MA ? ? x ? ?1? , x ?1 x ?1

x1 ? x2 , x1 x2 ,而 S?OPQ ?

所以

y y y2 ? ? ?2 所以 x 2 ? ? 1? x ? ?1? (未写出范围扣一分) x ?1 x ?1 2

(Ⅱ)由已知当直线 PQ 的斜率存在,设直线 PQ 的方程是 y ? kx ? 1 ,



12 第

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 联立 ? ,消去 y 得 ? k ? 2 ? x ? 2kx ? 1 ? 0 , 2 ? y ? kx ? 1 ?
2 2 2 因为 ? ? 4k ? 4 k ? 2 ? 8 k ? 1 ? 0 ,所以 k ? R ,

?

? ?

? ?

?

设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , x1 ? x2 ? ?

2k 1 , x1 x2 ? ? 2 k ?2 k ?2
2

1 1 S?OPQ ? ? OF ? x1 ? x2 ? 2 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 ? x2 ? 2 ?

k 2 ?1 k2 ? 2

? 2?

1 k 2 ?1 ? 1 k 2 ?1

?

2 2

当且仅当 k ? 0 时取等号, ?OPQ 面积的最大值为

2 . 2

考点:1、求曲线的方程;2、椭圆的方程;3、利用基本不等式求最值. 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法 1. 直接法: 直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F (x, y)=0. 2.待定系数法: 已知所求曲线的类型, 求曲线方程. 3. 定义法: 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线, 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程. 4.代入(相关点) 法:动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x0,y0)的变化而运动,常利用代入法求动点 P(x,y)的轨迹方程. 19.(1) 【解析】 试题分析: (1)要求椭圆标准方程,一般要列出关于 直线与圆相切知原点到直线 的两个等式,题中离心率是一个,即 ,另外由 ;(2)存在,定点为 E .

的距离就等于 ,因此易得;(2)直线与椭圆相交,设交点为 ,同时假设定点 存在,并设 ,计算

,把直线方程代入椭圆方程后可得 ,把它表示为 试题解析:(1)由 e= 又因为以原点 O 为圆心, 椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x +y =a , 且与直线 2x- y+6=0 相切,
2 2 2

的等式,此式是关于 的恒等式,由此可求得 . ,即 c= a, ①

,得 =

所以 a=




,代入①得 c=2,
13 第

所以 b =a -c =2.所以椭圆的方程为 + =1.

2

2

2

(2)由

得(1+3k )x -12k x+12k -6=0,

2

2

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2= 根据题意,假设 x 轴上存在定点 E(m,0),使得
2

,x1·x2=





· ·



·(



)=

·

为定值,

则有

=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=(x1-m)·(x2-m)+y1y2

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2) =(k2+1)· = -(2k2+m)· . +(4k2+m2)

要使上式为定值,即与 k 无关,则应使 3m2-12m+10=3(m2-6), 即 m= ,此时 · =m2-6=- 为定值,定点为 E .

考点:椭圆标准方程,直线与椭圆相交,解析几何中的定点问题. 【名师点睛】解决存在性问题应注意以下几点 存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论; (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件; (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径. 20.(1) 【解析】 试题分析: (1) 本小题要求椭圆标准方程, 由离心率可得 的一个方程,两者联立可解得 角形是等腰三角形,只需证 ,同时设 试题解析:(1)因为 C1 离心率为 从而 C1 的方程为: , 再把点 坐标代入 又得 ;(2)证明见解析.

;(2)设直线 PD、PE 的斜率分别为 ,为此先得

,则要证直线 PD、PE 与 y 轴围成的三 ,从而有 ,于是可设直线 方程为 ,计算 ,可得结论.

,由直线 方程与椭圆方程可得 ,所以 a2=4b2,

+ =1 .代入 P(-2,1)

解得:b2=2,因此 a2=8.
页 14 第

所以椭圆 C1 的方程为: + =1 . (2)由题设知 A、B 的坐标分别为(-2,-1),(2,1). 因此直线 l 的斜率为 . 设直线 l 的方程为:y= x+t.



得:x +2tx+2t -4=0.

2

2

当Δ >0 时,不妨设 C(x1,y1),D(x2,y2), 于是 x1+x2=-2t,x1x2=2t -4. 设直线 PD、PE 的斜率分别为 k1,k2,则要证直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形,只需证 k1+k2=0, 又 k1+k2= + = ,
2

则只需证(y2-1)(2-x1)-(2+x2)(y1+1)=0, 而(y2-1)(2-x1)-(2+x2)(y1+1) =2(y2-y1)-(x1y2+x2y1)+x1-x2-4 =x2-x1-x1x2-t(x1+x2)+x1-x2-4 =-x1x2-t(x1+x2)-4 =-2t +4+2t -4 =0 所以直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形. 考点:椭圆的标准方程,直线与椭圆的综合问题. 【名师点睛】解析几何中的直线与曲线相交的综合性问题,可设出直线 方程,同时设交点坐标为 ,由直线 方程与椭圆方程可得 用 表示出来,把刚才所得 ,然后计算相关量,象本题计算 ,并把
2 2

代入可得结论.

21.(1)见解析;(2)60°;(3)点 P 是 AC 的中点. 【解析】 试题分析:(1)要证线面平行,只要证线线平行,设 得 交点为 , 为 中点,由 为 中点,可

(中点连线是经常用到的辅助线) , 从而得证线面平行; (2) 由已知可以证明 CD、CB、CE 两两垂直, =(- ,0,0)为平面

因此以它们所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,写出各点坐标, ADF 的一个法向量.再求得平面

的一个法向量 ,求得法向量的夹角即得二面角(它们相等或互补);(3)



15 第

在(2)基础上,可设可设 P(t, t, 0) (0≤t≤ 得 点位置. 试题解析:(1)记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE, ∵O、M 分别是 AC、EF 的中点,ACEF 是矩形, ∴四边形 AOEM 是平行四边形, ∴AM∥OE ∵OE?平面 BDE,AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE (2)在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥DF 于 S,连接 BS, ∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD∩AF=A, ∴AB⊥平面 ADF, ∴AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影, 由三垂线定理得 BS⊥DF ∴∠BSA 是二面角 A﹣DF﹣B 的平面角 在 Rt△ASB 中,AS= ∴tan∠ASB= = ,AB= ,

),则由



的夹角的为



可求得 ,从而

,∠ASB=60°,

∴二面角 A﹣DF﹣B 的大小为 60°; (3)如图设 P(t,t,0)(0≤t≤ 则 又∵ =( , ﹣t, ﹣t,1), ), =( ,0,0) ,

夹角为 60°,∴

解之得 t=

或 t=

(舍去),

故点 P 为 AC 的中点时满足题意.



16 第

考点:线面平行的判断,二面角,异面直线所成的角. 22.(1)详见解析(2) mA ? 12, mB ? 20 时最大的综合满意度为 【解析】 试题分析:(1)表示出甲和乙的满意度,整理出最简形式,在条件 m A ?

10 5

3 mB 时,表示出要证明的相等的两个式 5

子,得到两个式子相等. (2)在上一问表示出的结果中,整理出关于变量的符合基本不等式的形式,利用基本不等 式求出两个人满意度最大时的结果,并且写出等号成立的条件 试题解析:(1)

3 当 m A ? mB 时, h甲 ? 5

mB mB 2 ? , 3 m ? 5 ( m ? 20)( m ? 5) B B B mB ? 12 5 ?

3 mB 5

h乙 ?

3 mB mB mB 2 5 ? ? , 3 (mB ? 5)(mB ? 20) mB ? 3 mB ? 20 5
2

h甲 = h乙

mB 1 1 3 h = ? ? , (2)当 mA ? mB 时, 甲 20 5 1 1 (mB ? 20)(mB ? 5) 2 (1 ? )(1 ? ) 100( ) ? 25 ?1 5 mB mB mB mB
由 mB ? [5, 20]得

1 1 1 1 1 ?[ , ] ,故当 ? 即 mB ? 20, mA ? 12 时, mB 20 5 mB 20
10 . 5

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 考点:函数模型的选择与应用 23.(1) P ? 【解析】


7 (2)没有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关 10

17 第

试题分析:(1)根据分层抽样原理,结合频率分布直方图,求出每组应抽取的人数;(2)由频率分布直方图,计 算各组对应的生产能手数,填写 2×2 列联表,计算 K2 的值,从而得出统计结论 试题解析:(Ⅰ)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名, 25 周岁以下组工人 40 名

3 (人) 所以, 样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60 ?0.05 ? , 记为 A1 ,A2 ,A3 ; 2 (人),记为 B1 , B2 25 周岁以下组工人有 40 ?0.05 ?
从中随机抽取 2 名工人,所有可能的结果共有10 种,他们是:( A1 , A2 ) ,( A1 , A3 ) ,( A2 , A3 ) ,( A1 , B1 ) ,( A1 , B2 ) ,

( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 )
其中,至少有名“ 25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们是: ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) ,

( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) .故所求的概率: P ?

7 ????6 分 10

15 (人), (Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的100 名工人中,“ 25 周岁以上组”中的生产能手 60 ?0.25 ? 15 (人),据此可得 2 ? 2 列联表如下: “ 25 周岁以下组”中的生产能手 40 ?0.375 ?
生产能手 非生产能手 合计

25 周岁以上组 25 周岁以下组
合计
2 所以得: K ?

15 15 30

45 25 70

60 40 100

n(ad ? bc)2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? ? 1.79 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 30 ? 70 14

因为1.79 ?2.706 ,所以没有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” 考点:频率分布直方图;独立性检验的应用 24.(1) f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 3x ? 2 (2) 2 ? a ? 【解析】 试题分析:(1)由图象过点 P(0,2)求出 d 的值,再代入求出导数,再由切线方程求出 f(-1)、f′(-1),分
3 别代入求出 b 和 c 的值; (2)将条件转化为 x ?

5 2

9 2 9 x ? 6 x ? a 有三个根,再转化为 h ? x ? ? x 3 ? x 2 ? 6 x 的图 2 2

象与 y=a 图象有三个交点,再求出 h(x)的导数、临界点、单调区间和极值,再求出 a 的范围即可 试题解析: (1) 由 f ( x) 的图象经过点 P (0, 2) , 知 d=2. 所以 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? 2 , 则 f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c 由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 知 ? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0 ,即 .所以

?3 ? 2b ? c ? 6 ?2b ? c ? ?3 即? 解得 ? ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1 ?b ? c ? 0



18 第

故所求的解析式是 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 3x ? 2 . ( 2 )因为函数 g ( x) 与

f ( x) 的图像有三个交点 x 3 ? 3x 2 ? 3 x ? 2 ?

3 2 x ? 9 x ? a ? 2 有三个根, 即 2

9 2 x ? 6 x ? a 有三个根 2 9 2 3 令 h( x) ? x ? x ? 6 x ? a ,则 h( x) 的图像与 y ? a 图像有三个交点. 2 x3 ?
接下来求 h( x) 的极大值与极小值(表略).

h( x) 的极大值为

5 2

h( x) 的极小值为 2



因此 2 ? a ?

5 2

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断



19 第



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