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初等函数



第二节 初等函数
?基本初等函数

?复合函数
?初等函数

1

一、基本初等函数:幂函数, 指数函数, 对数函数, 三 角函数和反三角函数.
1. 幂函数 y ? x ? (? 是常数 , ? ? 0)

y
y ? x2
1
(1,1

)

y? x
y? x

o
1 y? x
2

1

x
幂函数的定义域与

? 的取值有关.

x 2. 指数函数 y ? a

(a ? 0, a ? 1)

?1? y ? ? ? ?a? ? a ?x

x

y ? ax

(a ? 1)
? ( 0,1)

特别地, y ? e , e ? 2.718.
3

x

指数函数

的图像及性质

a>1

图 象
y=1

y

0<a<1
y=ax
(a>1)

y=ax
(0<a<1)

y

(0,1)

y=1 x

(0,1)

0

x

0

定义域: R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
4

指数函数的运算法则

a ?a ? a
m m n n

m? n m?n

?a ?
m n

a ?a ? a
m n

?a
n
5

mn

a ? a

m

3. 对数函数

y ? loga x (a ? 0, a ? 1)
y ? loga x (a ? 1)
(1,0)
?

y ? loga x (0 ? a ? 1)
特别地,y ? loge x 记为

y ? ln x 称为自然对数. y ? lg x称为常用对数 y ? log10 x 记为 6

对数函数 y
a>1 图 象 性 质
y 0 (1,0)

? loga x(a>0且a≠1)

0<a<1
y x (1,0)

0

x

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R 过点(1 ,0), 即当x =1时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

当x>1时,y>0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y<0

7

当x>1时,y<0 当x=1时,y=0 当0<x<1时,y>0

对数运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么:
(1)

(2)
(3)
8

几个重要公式

(换底公式)

9

对数式与指数式的关系

指数

a ? N?loga N ? x(a>0且a ? 1)
x



真数

对数

底数

底数

10

4. 三角函数
正弦函数 y ? sin x
y
1

y ? sin x
? 2?
?

?

3? 2

?

??

?

? ? 2

?

O
?1

? 2

?

?

?

3? 2

?

2?

?

x

定义域为 ( ?? , ? ? ), 值域为 [?1, 1].

该函数是奇函数,T=2 ?
11

余弦函数 y ? cos x
y
1

y ? cos x
? 2
?

?

3? 2

?

??

?

? ? 2

?

O
?1

?

?

3? 2

?

2?

?

5? 2

?

x

定义域为 ( ?? , ? ? ), 值域为 [?1, 1].
该函数是偶函数,T=2
12

?

cos x si n x . . 余切函数 y ? cot x ? 正切函数 y ? tan x ? si nx cos x
y

y ? tan x

y

y ? cot x

?

3? 2

?? ? ? 2

O

? 2

?

3? 2

x

??

?

? 2

O

? 2

?

3? 2

2?

x

定义域 x ? ( 2n ? 1) , n ? Z 值域 (??,??). T ? ? 该函数是奇函数
2

?

定义域 x ? n? , n ? Z 值域 (??,??). T ? ? 该函数是奇函数

13

1 . 正割函数 y ? se cx ? cos x
余割函数
1 y ? csc x ? . si nx

常用三角函数公式:

(1) sin2 x ? cos2 x ? 1
(2) tan2 x ? 1 ? sec2 x

(3) cot2 x ? 1 ? csc2 x
14

(4) sin2 x ? 2 sin x cos x
(5) cos2 x ? cos2 x ? sin2 x

? 2 cos x ? 1 ? 1 ? 2 sin x
2 2

1 ? cos 2 x (6) sin x ? 2
2

1 ? cos 2 x (7 ) cos x ? 2
2
15

5. 反三角函数
反正弦函数 y ? arcsinx
y

? 2

y ? arcsin x
定义域 [?1, 1],

?1

O
?

1 x

? 2

? ? ?? 值域 ? ? , ? . ? 2 2?

16

该函数是奇函数,单 调增加

反余弦函数 y ? arc cos x
y

?

y ? arccos x
定义域 [ ?1, 1],

?1

O

1 x

值域 [0,? ]. 该函数非奇非偶, 单调减少
17

反正切函数 y ? arc tan x
y
? 2

反余切函数 y ? arccot x
y

y ? arctan x
O
?

?

x

? 2

y ? arc cot x
O

? 2

x

定义域 ( ??,??),
? ? ?? 值域 ? ? , ? . ? 2 2?
18

定义域 ( ??,??),

值域 ( 0, ? ).
非奇非偶,单调减少

奇函数,单调增加

19

二、复合函数:
如果y是u的函数,而u又是x的函数, 即,y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数 y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数,X是 自变量,u是中间变量,y是因变量.
注意:若y=f(u)定义域为A,u=g(x)值域为B, 则必须满足B ? A

例: 设 y ? u , u ? 1 ? x ,
2
20

y ? 1 ? x2 .

注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;

例如 y ? arcsinu, u ? 2 ? x ; y ? arcsin( 2 ? x )
2
2

2.复合函数的中间变量可以有多个。

例如:y ? u , u ? cot v ,

x x v ? , 复 合 成 y ? cot . 2 2

21

练习:
1、设f (u ) ? u , u ? ? ( x) ? 1 ? x , 求f [? ( x)].
2

2、设f (u ) ? u , u ? ? ( v x) ? ln v, v ? v( x) ? sin x,
2

求f {u[v( x)]}. 3、设f (u ) ? u , u ? ? ( x) ? sin x ? 2,问f (u )与

?(x)能否复合成复合函数 f [? ( x)]?
22

复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数),
剥皮法: 由函数的最外层运算一层层剥到最

里边, 切不可漏层.
x 例如 y ? cot , 2

x y ? u , u ? cot v , v ? . 2

练习: 分析复合函数的复合结构
1 、y ? 1 ln(x 2 ? 1)
x 2 ?1

2、y ? arct an 3 23

三. 初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限 次四则运算及复合步骤所构成的且用一个解析式子表

示的函数, 称为初等函数.

?1 问题 : y ? ?? x ? ?1 x
练习: y ?
3

x?0 是初等函数吗? x?0

x ?1
2 ?2 x 2 3 n

y?e

y ? 1 ? x ? x ? x ? ... ? x ? ...
24

25



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