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2014高考数学必考点解题方法秘籍 待定系数法 理



2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:待定系数法
要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方 法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式 f(x) ? g(x)的充要条件是: 对于一个任意的 a 值,都有 f(a) ? g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 ( ? 表示 恒等于) 待定系数法解题的关键

是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某 种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题 是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果 具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、 解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法 求解。 使用待定系数法,它解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。 待定系数法是中学数学中的一种重要方法,它在平面解析几何中有广泛的应用. (一)求直线和曲线的方程 例 1 过直线 x-2y-3=0 与直线 2x-3y-2=0 的交点, 使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积 为 5,求此直线的方程. 【解】 设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ (2x-3y-2)=0,整理,得

依题意,列方程得

于是所求的直线方程为 8x-5y+20=0 或 2x-5y-10=0. 【解说】 (1)本解法用到过两直线交点的直线系方程,λ 是待定系数. (2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法. 例 2 如图 2-9,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1,以 A、B 为端点的曲线 C 上 的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若

系,求曲线 C 的方程. 【解】 如图 2-9,以 l1 为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,建 立直角坐标系.由已知,得曲线 C 是以点 N 为焦点、l2 为准线的 抛物线的一段,其中点 A、B 为曲线 C 的端点. 设曲线 C 的方程为 y2=2px,p>0(x1≤x≤x2,y>0).其中,x1、 x2 分别是 A、B 的横坐标,p=|MN|.从而 M、N

-1-

解之,得 p=4,x1=1.

故曲线 C 的方程为 y2=8x (1≤x≤4,y>0). (二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质 例 3 已知方程 ax2+bxy+cy2=0 表示两条不重合的直线 L1、 L2.求:(1)直线 L1 与 L2 交角的两条角平分线方程;(2)直线 L1 与 L2 的夹角的大小. 【解】 设 L1、L2 的方程分别为 mx+ny=0、qx+py=0,则 ax2+bxy+cy2=(mx+ny)(qx+py). 从而由待定系数法,得 a=mq,b=mp+nq,c=np. (1)由点到直线的距离公式,得所求的角平分线方程为

即(m2+n2)(qx+py)2=(q2+p2)(mx+ny)2, 化简、整理,得 (nq-mp)[(nq+mp)x2+2(np-mq)xy-(nq+mp)y2]=0. ∵ L1、L2 是两条不重合的直线 ∴b2-4ac=(mp+nq)2-4mnpq=(mp-nq)2>0.即 mp-nq≠0. 从而(nq+mp)x2+2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0. 把 mq=a,mp+nq=b,np=c 代入上式,得 bx2+2(c-a)xy-by2=0. 即为所求的两条角平分线方程. (2)显然当 mq+np=0,即 a+c=0 时,直线 L1 与 L2 垂直,即夹角为 90°. 当 mq+np≠0 即 a+c≠0 时,设 L1 与 L2 的夹角为 α ,则

【解说】 一般地说,研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质,用待定系数法较为简 便. (三)探讨二次曲线的性质 1.证明曲线系过定点 例 4 求证: 不论参数 t 取什么实数值, 曲线系(4t2+t+1)x2+(t+1)y2+4t(t+1)y-(109t2 +21t+31)=0 都过两个定点,并求这两个定点的坐标. 【证明】 把原方程整理成参数 t 的方程,得 (4x2+4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2+y2-31=0. ∵ t 是任意实数上式都成立,

-2-

【解说】 由本例可总结出,证明含有一个参数 t 的曲线系 F(x,y,t)=0 过定点的步骤是: (1)把 F(x,y,t)=0 整理成 t 的方程; (2)因 t 是任意实数,所以 t 的各项系数(包括常数项)都等于零,得 x、y 的方程组; (3)解这个方程组,即得定点坐标. 2.求圆系的公切线或公切圆 例 5 求圆系 x2+y2-2(2m+1)x-2my+4m2+4m+1=0(m≠0)的公切线方程. 【解】 将圆系方程整理为 [x-(2m+1)]2+(y-m)2=m2(m≠0) 显然,平行于 y 轴的直线都不是圆系的公切线. 设它的公切线方程为 y=kx+b,则由圆心(2m+1,m)到切线的距离等于半径|m|,得

从而[(1-2k)m-(k+b)]2=m2(1+k2), 整理成 m 的方程,得 (3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0. ∵ m 取零以外的任意实数上式都成立,

【解说】 由本例可总结出求圆系 F(x,y,m)=0 的公切线方程的步骤是: (1)把圆系方程化为标准方程,求出圆心和半径; (2)当公切线的斜率存在时,设其方程为 y=kx+b,利用圆心到切线的距离等于半径,求出 k、 b、m 的关系式 f(k,b,m)=0; (3)把 f(k,b,m)=0 整理成参数 m 的方程 G(m)=0.由于 m∈R,从而可得 m 的各项系数(包括 常数项)都等于零,得 k、b 的方程组; (4)解这个方程组,求出 k、b 的值; (5)用同样的方法,可求出 x=a 型的公切线方程. 3.化简二元二次方程 例 6 求曲线 9x2+4y2+18x-16y-11=0 的焦点和准线. 【分析】 把平移公式 x=x′+h,y=y′+k,代入原方程化简. 【解】 (略).

mx 2 ? 4 3x ? n x2 ?1 已知函数 y= 的最大值为 7,最小值为-1,求此函数式。
【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数 m、n 的值;已知最大值、最小值实际是就是 已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
2 【解】 函数式变形为: (y-m)x -4 3 x+(y-n)=0, x∈R, 由已知得 y-m≠0

-3-

2 2 ∴ △=(-4 3 ) -4(y-m)(y-n)≥0 即: y -(m+n)y+(mn-12)≤0 ① 2

不等式①的解集为(-1,7),则-1、7 是方程 y -(m+n)y+(mn-12)=0 的两根,

代入两根得:

?1 ? ( m ? n ) ? mn ? 12 ? 0 ? ?49 ? 7( m ? n ) ? mn ? 12 ? 0

解得:

?m ? 5 ? ?n ? 1



?m ? 1 ? ?n ? 5

5x 2 ? 4 3 x ? 1 x 2 ? 4 3x ? 5 x2 ?1 x2 ?1 ∴ y= 或者 y=
此题也可由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7)≤0,即 y -6y-7≤0,然后与不等式①比较系数而
2

得:

?m ? n ? 6 ? ?mn ? 12 ? ?7

,解出 m、n 而求得函数式 y。

【注】 在所求函数式中有两个系数 m、n 需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题, 得到了含参数 m、n 的关于 y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数 m、n。两种方法 可以求解,一是视为方程两根,代入后列出 m、n 的方程求解;二是由已知解集写出不等式, 比较含参数的不等式而列出 m、n 的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解 透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法”:将 y 视为参数,函数式化成含参数 y 的关于 x 的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数 y 的不等式,解出 y 的范围就是 值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。 例 8. 设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的 端点距离是 10 - 5 ,求椭圆的方程。 【分析】求椭圆方程,根据所给条件,确定几何数据 a、b、c 之值,问题就全部解决了。设 a、 b、c 后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离 转化为 a-c 的值后列出第二个方程。 【解】 设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c,则|BF’|=a



?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 2 2 ?a ? a ? ( 2b) ? ?a ? c ? 10 ? 5

? ?a ? 10 ? ?b ? 5 解得: ?

x2 y2 ∴ 所求椭圆方程是: 10 + 5 =1
也可有垂直关系推证出等腰 Rt△BB’F’后,由其性质推证出等腰 Rt△B’O’F’,再进行如

?b ? c ? ?a ? c ? 10 ? 5 ? 2 a ? b2 ? c 2 下列式: ?

,更容易求出 a、b 的值。

【注】 圆锥曲线中,参数(a、b、c、e、p)的确定,是待定系数法的生动体现;如何确定,

-4-

要抓住已知条件,将其转换成表达式。在曲线的平移中,几何数据(a、b、c、e)不变,本 题就利用了这一特征,列出关于 a-c 的等式。 一般地,解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是:设方程(或几 何数据)→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。

n( n ? 1) 2 例 9. 是否存在常数 a、b、c,使得等式 1?2 +2?3 +?+n(n+1) = 12 (an +bn
2 2 2

+c)对一切自然数 n 都成立?并证明你的结论。 (89 年全国高考题) 【分析】是否存在,不妨假设存在。由已知等式对一切自然数 n 都成立,取特殊值 n=1、2、 3 列出关于 a、b、c 的方程组,解方程组求出 a、b、c 的值,再用数学归纳法证明等式对所有 自然数 n 都成立。

1 1 【解】假设存在 a、b、c 使得等式成立,令:n=1,得 4= 6 (a+b+c);n=2,得 22= 2 (4a
+2b+c);n=3,得 70=9a+3b+c。整理得:

?a ? b ? c ? 24 ?a ? 3 ? ? ?4a ? 2b ? c ? 44 ?b ? 11 ?9a ? 3b ? C ? 70 ?c ? 10 ? ,解得 ? ,
n( n ? 1) 2 于是对 n=1、2、3,等式 1?2 +2?3 +?+n(n+1) = 12 (3n +11n+10)成立,
2 2 2

下面用数学归纳法证明对任意自然数 n,该等式都成立:

k ( k ? 1) 2 假设对 n=k 时等式成立,即 1?2 +2?3 +?+k(k+1) = 12 (3k +11k+10);
2 2 2

k ( k ? 1) 2 当 n=k+1 时,1?2 +2?3 +?+k(k+1) +(k+1)(k+2) = 12 (3k +11k+10)
2 2 2 2

k ( k ? 1) ( k ? 1)( k ? 2) 2 2 12 +(k+1)(k+2) = 12 (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2) = (3k +5k
2

( k ? 1)( k ? 2) 2 12 +12k+24)= [3(k+1) +11(k+1)+10],
也就是说,等式对 n=k+1 也成立。 综上所述,当 a=8、b=11、c=10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立。 【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中,也体现了 方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最后归 纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列 1 +2 +?+n 、1 +2 +?+n 求和的 公式,也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解:由 n(n+1) =n +2n +n 得 S n =1?2 +2?3 +?+n(n+1) =(1 +2 +?+n )+2(1 +2 +?+n )+(1+2
-52 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 2

n 2 ( n ? 1) 2 n( n ? 1)( 2n ? 1) n( n ? 1) n( n ? 1) 4 6 2 = 12 (3n 2 +11n+10),综上 +?+n)= +2? +
所述,当 a=8、b=11、c=10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立。 例 10. 有矩形的铁皮, 其长为 30cm, 宽为 14cm, 要从四角上剪掉边长为 xcm 的四个小正方形, 将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问 x 为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积是多少? 【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数, 将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。 【解】 依题意,矩形盒子底边边长为(30-2x)cm,底边宽为(14-2x)cm,高为 xcm。 ∴ 盒子容积 V=(30-2x)(14-2x)x=4(15-x)(7-x)x , 显然:15-x>0,7-x>0,x>0。

4 设 V= ab (15a-ax)(7b-bx)x (a>0,b>0)

要使用均值不等式,则

?? a ? b ? 1 ? 0 ? ?15a ? ax ? 7b ? bx ? x

3 1 解得:a= 4 , b= 4 , x=3 。

15 21 ? 64 15 x 21 3 64 4 64 4 3 3 从而 V= 3 ( 4 - 4 )( 4 - 4 x)x≤ 3 ( ) = 3 ?27=576。
所以当 x=3 时,矩形盒子的容积最大,最大容积是 576cm 。 【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用“待
3

4 4 定系数法”求。本题解答中也可以令 V= ab (15a-ax)(7-x)bx 或 ab (15-x)(7a-ax)bx,
再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,本题也体现了 “凑配法”和“函数思想”。

【巩固练习】 : 用待定系数法解证下列各题:

x ?1 设 f(x)= 2 +m,f(x)的反函数 f (x)=nx-5,那么 m、n 的值依次为_____。 5 A. 2 , -2 5 B. - 2 , 2 5 2 , 2 5 D. - 2 ,-2
-6-

C.

1 1 二次不等式 ax +bx+2>0 的解集是(- 2 , 3 ),则 a+b 的值是_____。
2

A. 10
3

B. -10
10

C.

14
5

D. -14

在(1-x )(1+x) 的展开式中,x 的系数是_____。 A. -297 B.-252 C. 297 D. 207

3 1 函数 y=a-bcos3x (b<0)的最大值为 2 ,最小值为- 2 ,则 y=-4asin3bx 的最小正周期是
_____。 与直线 L:2x+3y+5=0 平行且过点 A(1,-4)的直线 L’的方程是_______________。

y2 2 与双曲线 x - 4 =1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
7.求经过三点(2,3)、(5,3)、(3,-1)的圆的方程. 8.求双曲线 x2-2y2-6x+4y+3=0 的焦点坐标. 9.若方程 ax3+bx2y+cxy2+dy3=0 表示三条直线,且其中两条互相垂直,求证:a2+ac+ bd+d2=0. 10.求圆系 2x2+2y2-4tx-8ty+9t2=0(t≠0)的公切线方程. 11.试证圆系 x2+y2-4Rxcosα -4Rsinα +3R2=0(R 是正的常数,α 为参数)与定圆相切,并求 公切圆的方程. 12.若在抛物线 y2=2px(p>0)的对称轴上有一个定点 Q,过 Q 的任

巩固练习答案或提示

x ?1 【简解】1 小题:由 f(x)= 2 +m 求出 f (x)=2x-2m,比较系数易求,选 C; 1 1 1 1 2 2 小题:由不等式解集(- 2 , 3 ),可知- 2 、 3 是方程 ax +bx+2=0 的两根,代入两根,
列出关于系数 a、b 的方程组,易求得 a+b,选 D; 3 小题:分析 x 的系数由 C 10 与(-1)C 10 两项组成,相加后得 x 的系数,选 D;
5
5 2

5

2? 4 小题:由已知最大值和最小值列出 a、b 的方程组求出 a、b 的值,再代入求得答案 3 ;
5 小题:设直线 L’方程 2x+3y+c=0,点 A(1,-4)代入求得 C=10,即得 2x+3y+10=0;

x2 y2 y2 2 6 小题:设双曲线方程 x - 4 =λ ,点(2,2)代入求得 λ =3,即得方程 3 - 12 =1。
7. 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 把三个已知点的坐标代入, 可求得 D=-8, E=-2, F=12.

-7-

8. 3 ? 6 ,1

?

?

9. 设过原点互相垂直的两条直线方程为 lx2+mxy-ly2=0, 另一条直线方程为 px+qy=0, 则 ax3 +bx2y+cxy2+dy3=(lx2+mxy-ly2)(px+qy),从而 a=lp,b=lq+mp,c=mq-lp,d=-lp.于是 可得 a2+ac+bd+d2=0. 10.y=x 或 y=7x. 11.圆系方程为(x-2Rcosα )2+(y-2Rsinα )2=R2,设公切圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则由 两 圆 相 切 的 充 要 条 件 是 圆 心 距 等 于 两 圆 半 径 和 或 差 的 绝 对 值 , 可 得 (a-2Rcosα )2 + (b-2Rsinα )2=(R±r)2,整理,可得 a2+b2-2R

即 a=b=0.从而 r2-3R2±2Rr=0,解得 r1=R,r2=3R. 12.设 Q(x0,0),直线 AB 的参数方程为 x=x0+tcosα ,y=tsinα .代

任一值,所以 x0=p

-8-

待定系数法 要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方 法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式 f(x) ? g(x)的充要条件是: 对于一个任意的 a 值,都有 f(a) ? g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某 种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题 是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果 具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、 解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法 求解。 使用待定系数法,它解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析: 利用对应系数相等列方程; 由恒等的概念用数值代入法列方程; 利用定义本身的属性列方程; 利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式,其中 含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的 方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲 线的方程。 Ⅰ、再现性题组:

x ?1 设 f(x)= 2 +m,f(x)的反函数 f (x)=nx-5,那么 m、n 的值依次为_____。 5 A. 2 , -2 5 B. - 2 , 2 5 2 , 2 5 D. - 2 ,-2

C.

1 1 二次不等式 ax +bx+2>0 的解集是(- 2 , 3 ),则 a+b 的值是_____。
2

A. 10
3

B. -10
10

C.

14
5

D. -14

在(1-x )(1+x) 的展开式中,x 的系数是_____。 A. -297 B.-252 C. 297 D. 207

-9-

3 1 函数 y=a-bcos3x (b<0)的最大值为 2 ,最小值为- 2 ,则 y=-4asin3bx 的最小正周期是
_____。 与直线 L:2x+3y+5=0 平行且过点 A(1,-4)的直线 L’的方程是_______________。

y2 2 与双曲线 x - 4 =1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
x ?1 【简解】1 小题:由 f(x)= 2 +m 求出 f (x)=2x-2m,比较系数易求,选 C; 1 1 1 1 2 2 小题:由不等式解集(- 2 , 3 ),可知- 2 、 3 是方程 ax +bx+2=0 的两根,代入两根,
列出关于系数 a、b 的方程组,易求得 a+b,选 D; 3 小题:分析 x 的系数由 C 10 与(-1)C 10 两项组成,相加后得 x 的系数,选 D;
5
5 2

5

2? 4 小题:由已知最大值和最小值列出 a、b 的方程组求出 a、b 的值,再代入求得答案 3 ;
5 小题:设直线 L’方程 2x+3y+c=0,点 A(1,-4)代入求得 C=10,即得 2x+3y+10=0;

x2 y2 y2 2 6 小题:设双曲线方程 x - 4 =λ ,点(2,2)代入求得λ =3,即得方程 3 - 12 =1。
Ⅱ、示范性题组:

mx 2 ? 4 3x ? n x2 ?1 已知函数 y= 的最大值为 7,最小值为-1,求此函数式。
【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数 m、n 的值;已知最大值、最小值实际是就是 已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法” 。
2 【解】 函数式变形为: (y-m)x -4 3 x+(y-n)=0, x∈R, 由已知得 y-m≠0 2 2 ∴ △=(-4 3 ) -4(y-m)(y-n)≥0 即: y -(m+n)y+(mn-12)≤0 ① 2

不等式①的解集为(-1,7),则-1、7 是方程 y -(m+n)y+(mn-12)=0 的两根,

代入两根得:

?1 ? ( m ? n ) ? mn ? 12 ? 0 ? ?49 ? 7( m ? n ) ? mn ? 12 ? 0

?m ? 5 ?m ? 1 ? ? n ? 1 ?n ? 5 解得: ? 或

5x 2 ? 4 3 x ? 1 x 2 ? 4 3x ? 5 x2 ?1 x2 ?1 ∴ y= 或者 y=
此题也可由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7)≤0,即 y -6y-7≤0,然后与不等式①比较系数而
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?m ? n ? 6 ? mn ? 12 ? ?7 得: ? ,解出 m、n 而求得函数式 y。
【注】 在所求函数式中有两个系数 m、n 需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题, 得到了含参数 m、n 的关于 y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数 m、n。两种方法 可以求解,一是视为方程两根,代入后列出 m、n 的方程求解;二是由已知解集写出不等式, 比较含参数的不等式而列出 m、n 的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解 透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法” :将 y 视为参数,函数式化成含参数 y 的关于 x 的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数 y 的不等式,解出 y 的范围就是 值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。 例 2. 设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的 端点距离是 10 - 5 ,求椭圆的方程。 y B’ x A F O’ F’ A’

B 【分析】求椭圆方程,根据所给条件,确定几何数据 a、b、c 之值,问题就全部解决了。设 a、 b、c 后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离 转化为 a-c 的值后列出第二个方程。 【解】 设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c,则|BF’|=a



?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 2 2 ?a ? a ? ( 2b) ? ?a ? c ? 10 ? 5

? ?a ? 10 ? ?b ? 5 解得: ?

x2 y2 ∴ 所求椭圆方程是: 10 + 5 =1
也可有垂直关系推证出等腰 Rt△BB’F’后,由其性质推证出等腰 Rt△B’O’F’,再进行如

下列式:

?b ? c ? ?a ? c ? 10 ? 5 ? 2 2 2 ?a ? b ? c

,更容易求出 a、b 的值。

【注】 圆锥曲线中,参数(a、b、c、e、p)的确定,是待定系数法的生动体现;如何确定, 要抓住已知条件,将其转换成表达式。在曲线的平移中,几何数据(a、b、c、e)不变,本 题就利用了这一特征,列出关于 a-c 的等式。 一般地,解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是:设方程(或几 何数据)→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。

n( n ? 1) 2 例 3. 是否存在常数 a、b、c,使得等式 1?2 +2?3 +?+n(n+1) = 12 (an +bn
2 2 2

- 11 -

+c)对一切自然数 n 都成立?并证明你的结论。 (89 年全国高考题) 【分析】是否存在,不妨假设存在。由已知等式对一切自然数 n 都成立,取特殊值 n=1、2、 3 列出关于 a、b、c 的方程组,解方程组求出 a、b、c 的值,再用数学归纳法证明等式对所有 自然数 n 都成立。

1 1 【解】假设存在 a、b、c 使得等式成立,令:n=1,得 4= 6 (a+b+c);n=2,得 22= 2 (4a
+2b+c);n=3,得 70=9a+3b+c。整理得:

?a ? b ? c ? 24 ?a ? 3 ? ? ?4a ? 2b ? c ? 44 ?b ? 11 ?9a ? 3b ? C ? 70 ?c ? 10 ? ,解得 ? ,
n( n ? 1) 2 于是对 n=1、2、3,等式 1?2 +2?3 +?+n(n+1) = 12 (3n +11n+10)成立,
2 2 2

下面用数学归纳法证明对任意自然数 n,该等式都成立:

k ( k ? 1) 2 假设对 n=k 时等式成立,即 1?2 +2?3 +?+k(k+1) = 12 (3k +11k+10);
2 2 2

k ( k ? 1) 2 当 n=k+1 时, 1? 2 +2? 3 +?+k(k+1) +(k+1)(k+2) = 12 (3k +11k+10) +
2 2 2 2

k ( k ? 1) ( k ? 1)( k ? 2) 2 2 12 (k+1)(k+2) = 12 (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2) = (3k +5k+
2

( k ? 1)( k ? 2) 2 12 12k+24)= [3(k+1) +11(k+1)+10],
也就是说,等式对 n=k+1 也成立。 综上所述,当 a=8、b=11、c=10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立。 【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中,也体现了 方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最后归 纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列 1 +2 +?+n 、1 +2 +?+n 求和的 公式,也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解:由 n(n+1) =n +2n +n 得 S n =1?2 +2?3 +?+n(n+1) =(1 +2 +?+n )+2(1 +2 +?+n )+(1+2
2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 2

n 2 ( n ? 1) 2 n( n ? 1)( 2n ? 1) n( n ? 1) n( n ? 1) 4 6 2 = 12 (3n 2 +11n+10),综上 +?+n)= +2? +
所述,当 a=8、b=11、c=10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立。 例 4. 有矩形的铁皮,其长为 30cm,宽为 14cm,要从四角上剪掉边长为 xcm 的四个小正方形, 将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问 x 为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积是多少?

- 12 -

【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数, 将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。 【解】 依题意,矩形盒子底边边长为(30-2x)cm,底边宽为(14-2x)cm,高为 xcm。 ∴ 盒子容积 V=(30-2x)(14-2x)x=4(15-x)(7-x)x , 显然:15-x>0,7-x>0,x>0。

4 设 V= ab (15a-ax)(7b-bx)x (a>0,b>0)

要使用均值不等式,则

?? a ? b ? 1 ? 0 ? ?15a ? ax ? 7b ? bx ? x

3 1 解得:a= 4 , b= 4 , x=3 。

15 21 ? 64 15 x 21 3 64 4 64 4 3 3 从而 V= 3 ( 4 - 4 )( 4 - 4 x)x≤ 3 ( ) = 3 ?27=576。
所以当 x=3 时,矩形盒子的容积最大,最大容积是 576cm 。 【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用“待
3

4 4 定系数法”求。本题解答中也可以令 V= ab (15a-ax)(7-x)bx 或 ab (15-x)(7a-ax)bx,
再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,本题也体现了 “凑配法”和“函数思想” 。 Ⅲ、巩固性题组: 函数 y=log a x 的 x∈[2,+∞)上恒有|y|>1,则 a 的取值范围是_____。
1 A. 2>a> 2 且 a≠1
2

1 B. 0<a< 2 或 1<a<2
2

C. 1<a<2

D.

1 a>2 或 0<a< 2

方程 x +px+q=0 与 x +qx+p=0 只有一个公共根,则其余两个不同根之和为_____。 A. 1 B. -1 C. p+q D. 无法确定
π 如果函数 y=sin2x+a?cos2x 的图像关于直线 x=- 8 对称,那么 a=_____。

A.

2
0 1

B. - 2
2

C.

1
n

D. -1

满足 C n +1?C n +2?C n +?+n?C n <500 的最大正整数是_____。 A. 4 B. 5 C. 6 }的前 n 项和为 D. 7 Sn
1 n 2 =a- , 则所有项的和等于_____。

无穷等比数列{a n

- 13 -

A.

1 -2
9

B. 1
2

C.

1 2
9

D.与 a 有关

(1+kx) =b 0 +b 1 x+b 2 x +?+b 9 x ,若 b 0 +b 1 +b 2 +?+b 9 =-1,则 k=______。 经 过 两 直 线 11x - 3y - 9 = 0 与 12x + y - 19 = 0 的 交 点 , 且 过点 (3,-2) 的 直 线 方 程为 _____________。 8. 正三棱锥底面边长为 2,侧棱和底面所成角为 60°,过底面一边作截面,使其与底面 成 30°角,则截面面积为______________。 9. 设 y=f(x)是一次函数,已知 f(8)=15,且 f(2)、f(5)、(f14)成等比数列,求 f(1)+f(2) +?+f(m)的值。 10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2),对称轴与 x 轴平行,开口向右,直线 y=2x+7 和 抛物线截得的线段长是 4 10 , 求抛物线的方程。

1.引言 在数学解题过程中, 有时候无法直接求的题目的答案. 如: 对 x ? x ? 4 x ? 3 x ? 5 因式分解,
4 3 2

将 5 x ? 6 x ? 3 表示为 x ? 1 的方幂的形式??这个时候引进待定系数法,建立等式关系,能
3 2

够达到解决问题的结果.待定系数法是一种基本的数学方法,是一种很好的解决问题的手段. 2.待定系数法的定义 待定系数法是根据已知条件,建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式,得到以需要待 定的系数为未知数的方程或方程组,解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法. 3.待定系数法的步骤 (1)确定所求问题的待定系数,建立条件与结果含有待定的系数的恒等式. (2)根据恒等式列出含有待定的系数的方程或方程组. (3)解方程或方程组以确定待定的系数. 4.应用待定系数法解题的常用题型

- 14 -

(1)用待定系数法进行因式分解,如:对 x ? x ? 4 x ? 3 x ? 5 因式分解.
4 3 2

(2) 用待定系数法求函数解析式, 如: 已知函数

f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? x ? R , (其中 A ? 0 ,

? ?0,

0 ?? ?

?

?

2 )的图像与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 2 ,且图像上一个

? 2? ? M? , ?2 ? ? ,求其解析式(2009 年陕西高考) 最低点为 ? 3 .
(3)用待定系数法求数列通项式,如:已知等差数列 的前 n 项和为

?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26. ?an ?

S n ,求 ?an ? (2010 年山东高考) .

(4)用待定系数法求解的其它类型.如:不等式问题、三角函数问题、向量问题、求部分分 式和等等. 5.待定系数法求解实例 5.1 待定系数法进行因式分解 例 1 分解因式: x ? x ? 4 x ? 3 x ? 5 .
4 3 2

分析:这是一个关于 x 的四次多项式,由于次数相对过高,不能使用十字相乘.分组分解法又 有困难.经过验证由没有有理根.但是次数是确定的,我们能够根据次数大概猜测其因式分 解以后的形式,这个时候我们可以引进待定系数法进行因式分解. 解:设

x 4 ? x3 ? 4 x 2 ? 3x ? 5
= ( x ? ax ? b)( x ? cx ? d )
2 2

= x ? (a ? c) x ? (b ? ac ? d ) x ? (ad ? bc ) x ? bd ,
4 3 2

比较等式两边的多项式对应项的系数,列出方程组,得

? a ? c ? ?1 ?b ? ac ? d ? 4 ? ? ?ad ? bc ? 3 ? ?bd ? 5 ,
解该方程,得到

?a ? 1 ?b ? 1 ? ? ?c ? ?2 ? ?d ? 5 ,
所以

x 4 ? x3 ? 4 x 2 ? 3x ? 3 ? ( x 2 ? x ? 1)( x 2 ? 2 x ? 5) .
- 15 -

评析:与这个类型题相似解题的还有解方程、解不等式.如把题目改成解方程

x 4 ? x 3 ? 4 x 2 ? 3x ? 5 ? 0 ,或者解不等式 x 4 ? x 3 ? 4 x 2 ? 3 x ? 5 ? 0 .这两种类型的题型的
做法跟本题因式分解方法相同. 5.2 用待定系数法求部分分式和

x5 2 2 例 2 将 ( x ? 1) ( x ? 1) 化为部分分式之和.
分析:这类型的问题思路基本上跟因式分解类似,首先用未知数表示化为部分分式和以 后的形式,展开后,根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组,解方程 组,代入所设的部分和即可得结果.

x5 2 x3 ? 2 x 2 ? 3x ? 2 ? x?2? 2 2 ( x ? 1) 2 ( x 2 ? 1) ,则可设 解:由于 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 x3 ? 2 x 2 ? 3x ? 2 A B Cx ? D ? ? ? 2 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 1) x ?1 x ?1





2 2 2 x3 ? 2 x 2 ? 3x ? 2 ? A ( x ? 1 )? B (x ? 1 2 )x ( ? 1 ?) C (x ? D ) x? (

1)

? ( B ? C ) x 3 ? ( A ? B ? 2C ? D) x 2
?( B ? C ? 2 D) x ? ( A ? B ? D) ,
由相等的多项式各项系数相等可列出方程组

?B ? C ? 2 ? A ? B ? 2C ? D ? ?2 ? ? ?B ? C ? 2D ? 3 ? ? A ? B ? D ? ?2 ,
解以上方程组得

1 ? ?A ? 2 ? ?B ? 2 ? ?C ? 0 ? 1 ?D ? ? ? 2 ,故

x5 1 2 1 x?2? ? ? 2 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1) = 2( x ? 1) x ? 1 2( x ? 1) .
5.3 用待定系数法求函数解析式

- 16 -

x2 y 2 2 ? 2 ?1 2 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦 b 例 3 已知椭圆 a


F1 ,F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) . 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点, 设P为 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A , B 和 C , D .求椭

该双曲线上已于顶点的任一点,直线

圆和双曲线的标准方程(2010 年山东高考) . 分析:要用待定系数法求解解析式,首先要知道函数解析式的形式,然后用字母表示出解析 式.然后根据题目中给出的已知条件解出未知数,最后写出解析式. 解:设椭圆的半焦距为 c,由题意可得: 椭圆的离心率为

c 2 ? a 2 ,
根据几何关系,可得到关系式

2a ? 2c ? 4( 2 ? 1) ,
联立上两式解方程组,得

a ? 2 2 ,c ? 2,
又根据关系式 a ? b ? c ,可得 b ? 2 .
2 2 2

故椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4 . x2 y 2 ? 2 ?1 2 (m ? 0) ,又由于等轴双曲线的顶点是椭圆 m 由题意可设等轴双曲线的标准方程为 m
的焦点,所以有 m ? 2 . 评析:用待定系数法求方程的解析式,不仅可以求椭圆、双曲线,一次函数、二次函数等简 单能估计其解析式形式的题型. 例 4 是否分别存在满足下列条件的函数 f ( x) :

? ? ? (1) f ( x) 是三次函数,且 f (0) ? 3 , f (0) ? 0 , f (1) ? ?3 , f (2) ? 0 ;

? ? (2) f ( x) 是一次函数,且 x f ( x) ? (2 x ? 1) f ( x) ? 1 .
2

如存在,求出 f ( x) 的表达式;若不存在,说明理由. 分析:首先假设函数存在,用字母设出函数的解析式,利用已知的条件建立方程或方程组, 解方程组,求出未知数,写出函数解析式.

- 17 -

? 解: (1)设 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,则 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c .
3 2 2

由题意可建立方程式,得

?d ? 3 ?c ? 0 ? ? ?3a ? 2b ? c ? ?3 ? ?12a ? 4b ? c ? 0 ,
解以上方程组,得

?a ? 1 ?b ? ?3 ? ? ?c ? 0 ? ?d ? 3 ,
故存在满足条件的的函数 f ( x) 存在,表达式为 f ( x) ? x ? 3 x ? 3 .
3 2

? ( 2 ) 假 设 f ( x) 存 在 , 由 f ( x) 是 一 次 函 数 可 知 f ( x) 是 二 次 函 数 , 故 可 设

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) ,则 f ?( x) ? 2ax ? b .
? 将 f ( x) 和 f ( x) 代入已知条件,得

x 2 (2ax ? b) ? (2 x ? 1)(ax 2 ? bx ? c) ? 1 ,
整理得

(a ? b) x 2 ? (b ? 2c) x ? c ? 1 ,
由等式两边各项系数相等,可建立方程组

?a ? b ? 0 ? ?b ? 2c ? 0 ?c ? 1 ? ?a ? 2 ? ?b ? 2 ?c ? 1 ?



解以上方程组可得


2

所以满足条件的 f ( x) 存在,表达式为 f ( x) ? 2 x ? 2 x ? 1 . 评析:利用待定系数法求解函数解析式,可以使问题简化. 5.4 用待定系数法求数列通项式

例 5 已知数列

?an ? 中, a1 ? 1 ,

an ?1 ? c ?

1 5 b ? 1 c? n an ,设 an ? 2 ,求数列 ?bn ? 的通项 2,
- 18 -

公式(2010 高考全国卷一) . 分析:利用待定系数法求数列的解析式,首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列 的形式,比如等差数列、等比数列等,用字母表示,然后根据数列的性质,解出未知数,即 可得结果.

an ?1 ? 2 ?
解: 即

a ?2 2an 5 1 1 4 ? ?2? n bn ?1 ? ? ? ?2 2 an 2an ,则 an ?1 ? 2 an ? 2 an ? 2 ,

bn ?1 ? 4bn ? 2 (1) .

2 ?? b ? ? ? 4( b ? ? ) b ? 4 b ? 3 ? n n 3. 则可设 n ?1 ,即 n ?1 .通过与(1)式比较,可解得 bn ?1 ? 2 2 ? 4(bn ? ) 3 3 .



又有

a1 ? 1 ,故

b1 ?

1 ? ?1 a1 ? 2 .

2? ? 1 2 1 ? bn ? ? ? ? 4n ?1 ?bn ? ? 3 ? 是首项为 3 ,公比为 4 的等比数列,即 3 3 故? .



bn ? ?

4n ?1 2 ? 3 3.

评析:对

an ?1 ? can ? b(n) ,当 c ? 1 时,若 b(n) 为等差数列,则 an ?1 ? an ? b(n) ,则只需要

要用叠加法即可求解. 对

an ?1 ? can ? b(n) ,当 c ? 1 且 c ? 0 时,若 b(n) 为等差数列,则可设 b(n) ? xn ? y ,那么
an ? (? n ? ? ) ? c an ?1 ? ? ?? ? n ? 1? ? ? ? ?

可设

?

? ,即

an ?1 ? can ? ? (1 ? c)n ? c? ? (1 ? c) ? ,
通过所设的式子与原式的对比可设方程组

? x ? ? (1 ? c) ? ? y ? c? ? (1 ? c) ? ,
解方程组得

x ? ?? ? 1? c ? ? ? ? ? y ? yc ?2xc (1 ? c) ? ?



- 19 -

故数列

?a ? ? ? n ? ? ?? 为等差数列.
n

最后可以根据等差数列的性质及题目给出的条件求出数列的通项式. 5.5用待定系数法求其它问题 例 6 已知二次函数 值范围. 分析:如果直接把 ?1 和 1 代入二次函数的解析式,求出 a 和 b 的取值,再通过 a 和 b 的范围 求出

f ? x ? ? ax 2 ? bx

,且满足

1 ? f ? ?1? ? 2



2 ? f ?1? ? 4

,求

f ? ?2 ?

的取

f ? ?2 ?

,这样不仅在求解的操作上增加了难度,而且有可能扩大解集.所以这个时候用

待定系数法,用 也比较准确. 解:设

f ? ?1?



f ?1?

表示

f ? ?2 ?

,建立者之间的关系,这样解题比较快捷,范围

f ? ?2 ? ? cf ? ?1? ? df ?1?

,则有

4a ? 2b ? c(a ? b) ? d (a ? b) ? (c ? d )a ? (c ? d )b ,
比较等式两边 a 和 b 之前的系数,可列出方程组

?c ? d ? 4 ? ? c ? d ? ?2 ,
解方程组,得

?c ? 3 ? ?d ? 1 ,


f ? ?2 ? ? 3 f ? ?1? ? f ?1? 1 ? f ? ?1? ? 2


, ,

又有 则

2 ? f ?1? ? 4

5 ? f ? ?2 ? ? 10



评析:用待定系数法可以整体使用条件,避免出现错误.

??? ? ? ? ???? ? ? ? ? AB ? ? a ? b AC ? a ? ? b ? ,? ? R ) a b 1 2 例 7 若向量 , 是不共线的两向量,且 , ( 1 2 ,则 A,
B,C 三点共线的条件是( A. C. ) . B.

?1 ? ?2 ? ?1

?1 ? ?2 ? 1
?1?2 ? 1

?1?2 ? ?1

D.

分析:用待定系数法解决这种向量问题,可以先根据向量的关系,设出待定的未知数,列出 相应的方程组,解方程组,求待定的未知数,然后就可求的题目所要求解的答案.

- 20 -

解:求 A,B,C 三点共线的条件即为求向量 AB 和向量 AC 的条件,则根据向量共线的条件可

??? ?

????

? ? ? ? ??? ? ???? ? a ? b ? ? a ? ? b 1 2 知,存在 ? ( ? ? R 且 ? ? 0 ) ,使 AB ? ? AC ,即 . ? ? ? ? 由向量 a 和 b 不共线,则根据 a , b 前的系数相等可列出方程组

?

?

??1 ? ? ? ?1 ? ??2



? ? ?1 ?
则可解得

1

?2 ,故可得到 ?1?2 ? 1 ,即选答案 D.

评析:这类题型总的来说是根据向量的相等来建立等式的,从而得出待定的系数,解出所求 的答案.

例8设

x ? ? 0, ? ?

y?
,求函数

sin x 2 ? 2 sin x 的最小值.

分 析 : 看 到 本 题 , 容 易 想 到 用 均 值 不 等 式 来 进 行 求 解 . 由 于 sin x ? 0 , 则 有

y?

sin x 2 sin x 2 sin x 2 ? ?2 ? ?2 ? 2 sin x 2 sin x sin x 即 sin x ? 2 时取到等号. ,当且仅当 2

但是我们知道 ?1 ? sin x ? 1 ,故显然这样解这道题是错误的.解这道题需要拆项,但是直接 拆项会有一定的难度,而待定系数法可以使拆项变得简单.

解:设存在

a ? 0 ? a ? 2?
y?

y?
,使得

sin x a 2?a ? ? 2 sin x sin x ,

由均值不等式可有

sin x a 2?a sin x a 2?a 2?a ? ? ?2 ? ? ? 2a ? 2 sin x sin x 2 sin x sin x sin x , 当且仅

sin x a 1 ? a? y ? 2 a ? 2 ? a sin x 时成立,而 ?1 ? sin x ? 1 ,则 2 .即 当 2 ,此时 sin x ? 1 ,即 y?


5 5 ymin ? 2 ,则 2.

评析:用此方法解题,在解题中要注意取"="时的条件,用此条件可以解出题目的正 确答案. 待定系数法实际就是将待定的未知数与已知数建立等式关系,从而列出方程或方程组,解方 程或方程组即可得待定的未知数.之后就只需根据题目给出的条件,解题即可.用待定系数 法解题,思路较为清晰,操作比较方便,在很多解题过程中都可以用到.但是在解题过程中, 待定系数法并不是最为简单,最为合适的方法.如例 8 中,我们还可以根据复合函数的单调

- 21 -

1? 4 ? 1? 4? y ? ? sin x ? y ? ?t ? ? ? t ? sin x ? 0 ? t ? 1? 2? sin x ? , 2 ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递减, 性做: ,已知
1? 4? 5 ymin ? ?1 ? ? ? 2 ? 1 ? 2 .这样解题,比起用待定系数法,不但思路明白清晰,而且计算简单。 故
因此,解题时要根据具体的题目,选择简单又适合的方法.

- 22 -



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