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苏教版--课件--2016年度高二数学直接证明与间接证明



第六节 直接证明与间接证明 基础梳理 1. 证明 (1)证明分为直接证明与 间接证明 .直接证明包 括 综合法、 分析法 等;间接证明主要是 反证法 . (2)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、 定理、公理等 经过 一系列的推理论证 ,最 后 推导出所要证明的结论成立 ,这种证明方法叫 做综合法. (3)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步 寻求使它成立的充分条

件 ,直至最后,把要证明的 结论归结为 判定一个明显成立的条件 (已知条件、 定义、定理、公理等),这种证明的方法叫做分析法. (4)反证法:一般地,假设 原命题不成立 (即在原命题的 ? 条件下,结论不成立),经过 正确的推理 ,最后得出矛盾, 因此说明假设错误,从而 证明了原命题成立 ,这样的证明 方法叫做反证法. 2. 直接证明 由因导果 ”,它是从已知条件出发,顺 (1)综合法是“ 着推证,经过一系列的中间推理,最后导出所证结论的真 ? ? ?? 实性.用综合法证明题的逻辑关系: A?? B1?? B2?… Bn? B(A为已知条件或数学定义、定理、公理,B为要证结论), ? 它的常见书面表达是“∵,∴”或“ ?”. 执果索因 ”,它是从要证的结论出发, (2)分析法是“ 倒着分析,逐渐地靠近已知. 3. 间接证明 用反证法证明问题的一般步骤: (1)反设 :假定所要证的结论不成立,而设结论的反面 (否定命题)成立;(否定结论) (2) 归谬 :将“反设”作为条件,由此出发经过正确的 推理,导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定 理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾) 结论 :因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于 (3) “反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论 成立.(结论成立) 基础达标 1. 下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法; ③分析法是执果索因法;④分析法是逆推法;⑤反证法是间 接证法.其中正确语句的个数为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析:由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤均 正确. 2. 要证明 3 + 7 <2 5 ,可选择的方法有以下几种,其中最合 理的是( ) A. 综合法 B. 分析法 C. 反证法 D. 归纳法 解析:此不等式直接证不方便,可转为寻找此不等式成立的 充分条件. 3. 若sinx+cosx= 1 3 ,x∈(0,π),则sinx-cosx的值为( ) 17 3 1 3 1 C. 3 A. 〒 17 3 B. - D. 解析:由sinx+cosx= ? ∴x∈( 2 ,π).∵(sinx-cosx)2=1-sin2x= ∴sinx-cosx= 17 ,故选D. 3 1 得1+2sinx·cosx= 9 17 3 8 ,∴sin2x=9 17 9 且sinx>cosx, 4. 用反证法证明命题:“三角形的三个内角中至少有一个不 大于60°”时,应假设( ) A. 三个内角都不大于60° B. 三个内角都大于60° C. 三个内角至多有一个大于60° D. 三个内角至多有两个大于60° 解析:因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”,所 以“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°” 的否 定是“三角形的三个内角中一个也没有不大于60°”,即 “三个内角都大于60°”,故选B. 5. (2010·安徽改编)若f(x)是R上周期为5的奇函数, 且满足f(1)=1,则f(2011)-f(2010)=( ) A. -1 B. 1 C.


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