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2010年高三数学计算试题分类汇编——圆锥曲线


2010 年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线
(2010 上海文数)23(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , A(0, b) 、B(0, ?b) 和 Q(a,0) 为 ? 的三个顶点. a 2 b2 ???? 1 ???? ??? ? ? (1)若点 M 满足 AM ? ( AQ ? AB) ,求点 M 的坐标; 2
已知椭圆 ? 的方程为 ( 2 ) 设 直 线 l1 : y ? k1 x ? p 交 椭 圆 ? 于 C 、 D 两 点 , 交 直 线 l2 : y ? k2 x 于 点 E . 若

k1 ? k2 ? ?

b2 ,证明: E 为 CD 的中点; a2

(3)设点 P 在椭圆 ? 内且不在 x 轴上,如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l ,使得 l 与椭圆 ? 的 两个交点 P 、 P2 满足 PP ? PP2 ? PQ PP ? PP2 ? PQ ?令 a ? 10 , b ? 5 ,点 P 的坐标是 1 1 1 (-8,-1) ,若椭圆 ? 上的点 P 、 P2 满足 PP ? PP2 ? PQ ,求点 P 、 P2 的坐标. 1 1 1
a b 解析:(1) M ( , ? ) ; 2 2

??? ???? ?

??? ??? ???? ? ?

??? ?

??? ???? ?

??? ?

? y ? k1 x ? p ? (2) 由方程组 ? x 2 y 2 ,消 y 得方程 (a 2 k12 ? b2 ) x2 ? 2a 2 k1 px ? a 2 ( p 2 ? b2 ) ? 0 , ? 2 ?1 ? 2 b ?a

因为直线 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、 D 两点, 所以?>0,即 a2 k12 ? b2 ? p 2 ? 0 , 设 C(x1,y1)、D(x2,y2),CD 中点坐标为(x0,y0),
? x ? x2 a2k p x0 ? 1 ?? 2 21 2 ? 2 a k1 ? b ? 则? , 2 ?y ? k x ? p ? b p 1 0 ? 0 a 2 k12 ? b 2 ?
? y ? k1 x ? p 由方程组 ? ,消 y 得方程(k2?k1)x?p, ? y ? k2 x

? a2k p p x? ? ? 2 2 1 2 ? x0 ? k2 ? k1 a k1 ? b b2 ? 又因为 k2 ? ? 2 ,所以 ? , 2 a k1 ?y ? k x ? b p ? y 2 0 ? a 2 k12 ? b 2 ?

-1-

故 E 为 CD 的中点; (3) 因为点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上,所以点 F 在椭圆 Γ 内,可以求得直线 OF 的斜率 k2, ??? ???? ??? ? ? b2 由 PP ? PP2 ? PQ 知 F 为 P1P2 的中点,根据(2)可得直线 l 的斜率 k1 ? ? 2 ,从而得直线 l 的 1 a k2 方程. b2 1 1 1 F (1, ? ) ,直线 OF 的斜率 k2 ? ? ,直线 l 的斜率 k1 ? ? 2 ? , a k2 2 2 2

1 ? ? y ? 2 x ?1 ? 解方程组 ? 2 ,消 y:x2?2x?48?0,解得 P1(?6,?4)、P2(8,3). x y2 ? ? ?1 ?100 25 ?

(2010 湖南文数)19.(本小题满分 13 分) 为了考察冰川的融化状况, 一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、 两点各建一个考察基地, B 视冰川面为平面形,以过 A、B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直 角坐标系(图 4) 。考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。 (I) (II) 求考察区域边界曲线的方程: 如图 4 所示,设线段 PP2 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界) ,当冰川融化 1 时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km,以后每年 移动的距离为前一年的 2 倍。问:经过多长时间,点 A 恰好在冰川边界线上?

-2-

(2010 浙江理数)(21) (本题满分 15 分)已知 m>1,直线 l : x ? my ?

m2 ? 0 ,椭圆 2

C:

x2 ? y 2 ? 1 , F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. m2
(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,V AF1 F2 ,VBF1 F2 的

重心分别为 G, H .若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数

m 的取值范围.
解析:本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考 察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

m2 m2 2 2 ? 0 经过 F2 ( m ? 1, 0) ,所以 m ? 1 ? (Ⅰ)解:因为直线 l : x ? my ? ,得 2 2

m2 ? 2 ,

-3-

又因为 m ? 1,所以 m ? 2 ,
2 ?0。 故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2
(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 。
2

? m2 x ? my ? ? ? 2 由? 2 ,消去 x 得 x 2 ? ? y ?1 ? m2 ?

2 y 2 ? my ?

m2 ?1 ? 0 4 m2 ? 1) ? ?m2 ? 8 ? 0 ,知 m2 ? 8 , 4

则由 ? ? m2 ? 8(

m m2 1 且有 y1 ? y2 ? ? , y1 ?y2 ? ? 。 2 8 2
由于 F1 (?c, 0), F2 (c, 0), , 故 O 为 F1 F2 的中点, 由 AG ? 2GO, BH ? 2 HO , 可知 G (
2

????

???? ????

????

x1 y1 x y , ), h( 2 , 1 ), 3 3 3 3

( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 GH ? ? 9 9
设 M 是 GH 的中点,则 M ( 由题意可知 2 MO ? GH ,

x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 6 6

即 4[(

x1 ? x2 2 y ? y2 2 ( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 ) ?( 1 ) ]? ? 6 6 9 9

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 而 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ?

m2 m2 )(my2 ? ) ? y1 y2 2 2

-4-

m2 1 ? (m2 ? 1 ( ? ) ) 8 2
所以

m2 1 ? ?0 8 2
2

即m ? 4 又因为 m ? 1且 ? ? 0 所以 1 ? m ? 2 。 所以 m 的取值范围是 (1, 2) 。

(2010 全国卷 2 理数) (21) (本小题满分 12 分) 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 的中点为 M ?1,3 ? . (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF ? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质,考查直线与圆的关系,既考查考生的基础 知识掌握情况,又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】

x2 y 2 ? ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、D 两点,且 BD a 2 b2

-5-

-6-

【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目,命题者将好多考点以圆锥曲线为 背景来考查,如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定. (2010 陕西文数)20.(本小题满分 13 分)

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 n 为过原点的直线,l 是与 n 垂直相交与点 P,与椭圆相交于 A,B 两 点 的 直 线 立?若存在,求出直线 l 的方程;并说出;若不存在,请说明理由。

-7-

(2010 辽宁文数) (20) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 设 F1 , F2 分别为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C a b
? 相交于 A , B 两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F1 到直线 l 的距离为 2 3 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2 F2 B ,求椭圆 C 的方程. 解: (Ⅰ)设焦距为 2c ,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3c ? 2 3, 故c ? 2. 所以椭圆 C 的焦距为 4. (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),由题意知y1 ? 0, y2 ? 0, 直线 l 的方程为 y ? 3( x ? 2).

???? ?

???? ?

? y ? 3( x ? 2), ? 得(3a 2 ? b 2 ) y 2 ? 4 3b 2 y ? 3b 4 ? 0. 联立 ? x 2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
解得 y1 ?

? 3b2 (2 ? 2a) ? 3b 2 (2 ? 2a) , y2 ? . 3a 2 ? b 2 3a 2 ? b2
???? ?

因为 AF2 ? 2 F2 B, 所以 ? y1 ? 2 y2 .

???? ?



3b 2 (2 ? 2a) ? 3b 2 (2 ? 2a) ? 2? . 3a 2 ? b 2 3a 2 ? b 2
2 2

得 a ? 3.而a ? b ? 4, 所以b ? 5.

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

(2010 辽宁理数)(20)(本小题满分 12 分) 设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B a 2 b2
??? ? ??? ?

两点,直线 l 的倾斜角为 60o, AF ? 2 FB .
-8-

(I) (II) 解:

求椭圆 C 的离心率; 如果|AB|=

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题意知 y1 <0, y2 >0. (Ⅰ)直线 l 的方程为
2 2 y ? 3 ( x? c) ,其中 c ? a ? b .

? y ? 3( x ? c), ? 2 2 2 2 4 联立 ? x 2 y 2 得 (3a ? b ) y ? 2 3b cy ? 3b ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
解得 y1 ?

? 3b 2 (c ? 2a) ? 3b 2 (c ? 2a) , y2 ? 3a 2 ? b 2 3a 2 ? b 2

因为 AF ? 2 FB ,所以 ? y1 ? 2 y2 . 即

??? ?

??? ?

3b 2 (c ? 2a) ? 3b 2 (c ? 2a) ? 2? 3a 2 ? b 2 3a 2 ? b 2

得离心率 e ?

c 2 ? . a 3

……6 分

(Ⅱ)因为 AB ? 1 ?

1 2 4 3ab 2 15 y2 ? y1 ,所以 ? 2 ? . 2 3 4 3 3a ? b



5 5 15 c 2 a .所以 a ? ,得 a=3, b ? 5 . ? 得b ? 3 4 4 a 3
……12 分

x2 y2 椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 9 5
(2010 全国卷 2 文数) (22) (本小题满分 12 分) 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 B、D 两点,且 BD 的中 a 2 b2

点为 M(1.3) (Ⅰ) (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ) (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|DF|·|BF|=17 证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切。 【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决问题的能力。 (1)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于 BD 两点的中点为(1,3) , 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A,B 的关系式即求得离心率。 (2) 利用离心率将条件|FA||FB|=17, 用含 A 的代数式表示, 即可求得 A, A 点坐标可得 则 (1,
-9-

0) ,由于 A 在 X 轴上所以,只要证明 2AM=BD 即证得。 (2010 江西理数)21. (本小题满分 12 分)

设椭圆

C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) C : x 2 ? by ? b2 a 2 b2 ,抛物线 2 。

(1) 若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率; (2) 设 A(0,b) Q ? 3 3, ? ,又 M、N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,若△AMN 的 ,

? ?

5? 4?

垂心为 B ? 0, b ? ,且△QMN 的重心在 C2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。 (1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得: c ? b ,由
2 2

? ?

3 ? 4 ?

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2c 2 , 有

c2 1 2 ? ?e? 。 2 a 2 2

(2) 由 题 设 可 知 M 、 N 关 于 y 轴 对 称 , 设

M (? x1 , y1 ), N ( x1 , y1 )( x1 ? 0) ,由 ?AMN 的垂心为 B,有

???? ???? ? 3 BM ? AN ? 0 ? ? x12 ? ( y1 ? b)( y1 ? b) ? 0 。 4
由点 N ( x1 , y1 ) 在抛物线上, x1 ? by1 ? b ,解得: y1 ? ? 或y1 ? b(舍去)
2 2

b 4

故 x1 ?

5 5 b 5 b b b, M (? b, ? ), N ( b, ? ) ,得 ?QMN 重心坐标 ( 3, ) . 2 2 4 2 4 4

b2 1 1 ? b 2 , 所以b=2 , M (? 5, ? ), N ( 5, ? ) ,又因为 M、 由重心在抛物线上得: 3 ? 4 2 2
N 在椭圆上得: a ?
2

x2 y2 16 ,椭圆方程为 ? ? 1 ,抛物线方程为 x 2 ? 2 y ? 4 。 16 4 3
3

(2010 安徽文数)17、 (本小题满分 12 分) 椭圆 E 经过点 A ? 2, 3 ? ,对称轴为坐标轴, 焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
- 10 -

1 。 2

(Ⅱ)求 ?F1 AF2 的角平分线所在直线的方程。 17.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方程 与一般方程,点到直线的距离公式等基础知识;考查解析几何的基本思想、综合运算能力. 【解题指导】 (1)设椭圆方程为

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ,把点 A ? 2, 3 ? 代入椭圆方程,把离心率 e ? 用 2 a b 2

(2)可以设直线 l 上任一点坐标为 a, c 表示,再根据 a 2 ? b2 ? c 2 ,求出 a 2 , b 2 ,得椭圆方程;

( x, y ) ,根据角平分线上的点到角两边距离相等得
解: (Ⅰ)设椭圆 E 的方程为

| 3x ? 4 y ? 6 | ?| x ? 2 | . 5

x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2 1 c 1 x2 y2 由e ? , 得 ? , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 ,? 2 ? 2 ? 1. 2 a 2 4c 3c 1 3 将(2,3)代入,有 2 ? 2 ? 1, 解得:c ? 2,? 椭圆E的方程为 A c c 2 2 x y ? ? 1. 16 12 3 (?)由(?)知F1 (?2, 0), F2 (2, 0), 所以直线AF1的方程为y= ( x ? 2), 4 即3 x ? 4 y ? 6 ? 0.直线AF2的方程为x ? 2.由椭圆E的图形知,?F1 AF2的角平分线所在直线的斜率为正数。 设P(x,y)为?F1 AF2的角平分线所在直线上任一点,则有 于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0. 所以,?F1 AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0. 3x ? 4 y ? 6 5 若3 x ? 4 y ? 6 ? 5 x ? 10, 得x ? 2 y ? 8 ? 0, 其斜率为负,不合题意,舍去。 ? x?2

【规律总结】对于椭圆解答题,一般都是设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,根据题目满足的条件求 a 2 b2

出 a , b ,得椭圆方程,这一问通常比较简单; (2)对于角平分线问题,利用角平分线的几何 意义,即角平分线上的点到角两边距离相等得方程. (2010 重庆文数) (21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知以原点 O 为中心, F ( 5, 0) 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e ? (Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; (Ⅱ)如题(21) 图, 已知过点 M ( x1 , y1 ) 的直线 l1 :x1 x ? 4 y1 y ? 4 与过点 N ( x2 , y2 )(其 中 x2 ? x1 )的直线 l 2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与双曲线的两条渐

2

2

5 . 2

OH 的值. 近线分别交于 G 、 H 两点,求 OG ?
- 11 -

???? ????

- 12 -

(2010 浙江文数) (22)(本题满分 15 分)已知 m 是非零实数,抛物线 C : y ? 2 ps (p>0) 、
2

的焦点 F 在直线 l : x ? my ?

m2 ? 0 上。 2

(I)若 m=2,求抛物线 C 的方程 (II) 设直线 l 与抛物线 C 交于 A、 △A A2 F , B, △ BB1 F 的重心分别为 G,H 求证: 对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外。

- 13 -

(2010 重庆理数) (20) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 已知以原点 O 为中心, F 双曲线 C 的离心率 e ?

?

5, 0 为右焦点的

?

5 。 2

- 14 -

(I) (II)

求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; 如题 (20) 已知过点 M ? x1 , y1 ? 的直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4 与过点 N ? x2 , y2 ?(其 图, 中 x2 ? x )的直线 l2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与两条渐 近线分别交与 G、H 两点,求 ?OGH 的面积。

(2010 山东文数) (22) (本小题满分 14 分)

x2 y 2 如图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点. a b
(1, 2 2 ) ,离心率为 ,左、右焦点分别为 F1 、 2 2

F2 .点 P 为直线 l : x ? y ? 2 上且不在 x 轴上的任意
一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A 、 B 和 C 、 D , O 为坐标原点. (I)求椭圆的标准方程; (II)设直线 PF1 、 PF2 的斜线分别为 k1 、 k 2 . (i)证明:

1 3 ? ?2; k1 k2

(ii)问直线 l 上是否存在点 P ,使得直线 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的斜率 kOA 、 kOB 、

kOC 、 kOD 满足 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标;若不
存在,说明理由. (2010 北京文数) (19) (本小题共 14 分) 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ( ? 2, 0) , ( 2, 0) ,离心率是 C 交与不同的两点 M,N,以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值。 解: (Ⅰ)因为

6 ,直线 y=t 椭圆 3

c 6 2 2 ? ,且 c ? 2 ,所以 a ? 3, b ? a ? c ? 1 a 3

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 3
- 15 -

(Ⅱ)由题意知 p(0, t )(?1 ? t ? 1)

?y ? t ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

得 x ? ? 3(1 ? t )
2

2 所以圆 P 的半径为 3(1 ? t )

解得 t ? ?

3 2

所以点 P 的坐标是(0, ?
2 2

3 ) 2
2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 x ? ( y ? t ) ? 3(1 ? t ) 。因为点 Q( x, y ) 在圆 P 上。所以

y ? t ? 3(1 ? t 2 ) ? x 2 ? t ? 3(1 ? t 2 )
设 t ? cos ? ,? ? (0, ? ) ,则 t ? 3(1 ? t ) ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
2

?
6

)

当? ?

?
3

,即 t ?

1 ,且 x ? 0 , y 取最大值 2. 2

(2010 北京理数) (19) (本小题共 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ?

1 . 3

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面 积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。 (I)解:因为点 B 与 A (?1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为 (1, ?1) . 设点 P 的坐标为 ( x, y ) 由题意得 化简得

y ?1 y ? 1 1 ? ?? x ? 1 x ?1 3
x 2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) .
2 2

故动点 P 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 4( x ? ?1) (II)解法一:设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M , N 得坐标分别为 (3, yM ) , (3, yN ) . 则直线 AP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 y ?1 ( x ? 1) ,直线 BP 的方程为 y ? 1 ? 0 ( x ? 1) x0 ? 1 x0 ? 1
- 16 -

令 x ? 3 得 yM ?

4 y0 ? x0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 3 , yN ? . x0 ? 1 x0 ? 1

于是 ? PMN 得面积

| x0 ? y0 | ( ? x02 ) 3 1 S? P M N? | y M y N ( ? 0x ?) ? | 3 2 2 |x0 ? 1 |
又直线 AB 的方程为 x ? y ? 0 , | AB |? 2 2 , 点 P 到直线 AB 的距离 d ? 于是 ? PAB 的面积

| x0 ? y0 | 2

.

S? PAB ?
当 S? PAB

1 | AB |?d ?| x0 ? y0 | 2

| x0 ? y0 | (3 ? x0 ) 2 ? S? PMN 时,得 | x0 ? y0 |? | x0 2 ? 1|

又 | x0 ? y0 |? 0 , 所以 (3 ? x0 ) = | x0 ? 1| ,解得 | x0 ?
2
2

5 。 3

因为 x0 ? 3 y0 ? 4 ,所以 y0 ? ?
2 2

33 9

故存在点 P 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ?

5 3

33 ). 9

解法二:若存在点 P 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 )

1 1 | PA |? PB | sin ?APB ? | PM |? PN | sin ?MPN . | | 2 2 因为 sin ?APB ? sin ?MPN ,
则 所以

| PA | | PN | ? | PM | | PB |
| x0 ? 1| | 3 ? x0 | ? | 3 ? x0 | | x ? 1|
2 2

所以

即 (3 ? x0 ) ?| x0 ? 1| ,解得 x0 ? 因为 x0 ? 3 y0 ? 4 ,所以 y0 ? ?
2 2

5 3
33 9

- 17 -

故 存 在 点 P S 使 得 ? PAB 与 ? PMN 的 面 积 相 等 , 此 时 点 P 的 坐 标 为

5 33 ( ,? ). 3 9
(2010 四川理数) (20) (本小题满分 12 分) 已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到 直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分 别交 l 于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由. 本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识,考察平面机袭击和的思想方法及推理 运算能力.
w_

1 2

解:(1)设 P(x,y),则 ( x ? 2) ? y ? 2 | x ?
2 2

1 | 2

化简得 x2-

y2 =1(y≠0)………………………………………………………………4 分 3

(2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y=k(x-2)(k≠0) 与双曲线 x2-

y2 =1 联立消去 y 得 3

w_

(3-k)2x2+4k2x-(4k2+3)=0 由题意知 3-k2≠0 且△>0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),

? 4k 2 ? x1 ? x2 ? k 2 ? 3 ? 则? 2 ? x x ? 4k ? 3 ? 1 2 k2 ?3 ?
y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4] =k2(

4k 2 ? 3 8k 2 +4) ? k2 ?3 k2 ?3



?9k 2 k2 ?3

因为 x1、x2≠-1 所以直线 AB 的方程为 y=

y1 (x+1) x1 ? 1

因此 M 点的坐标为(

3 y1 1 , ) 2 2( x1 ? 1)
- 18 -

???? ? ???? 3 y1 3 y2 3 3 FM ? (? , ) ,同理可得 FN ? (? , ) 2 2( x1 ? 1) 2 2( x2 ? 1)
因此 FM ?FN ? (? ) ?
2

w_w w. k#s5_u. c o* m

???? ???? ?

3 2

9 y1 y2 2( x1 ? 1)( x2 ? 1)

?81k 2 4 k2 ?3 = ? 2 4k ? 3 4k 2 9 4( 2 ? ? 1) k ?3 k2 ?3
=0 ②当直线 BC 与 x 轴垂直时,起方程为 x=2,则 B(2,3),C(2,-3) AB 的方程为 y=x+1,因此 M 点的坐标为(

3 3 2 2 ???? ???? ? 3 2 3 3 因此 FM ?FN ? (? ) ? ? (? ) =0 2 2 2 ???? ???? ? 综上 FM ?FN =0,即 FM⊥FN
同理可得 FN ? (? , ? )

????

???? ? 3 3 1 3 , ), FM ? (? , ) 2 2 2 2

w

故以线段 MN 为直径的圆经过点 F………………………………………………12 分 (2010 天津文数) (21) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 4. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点 A 的坐标为(-a,0).

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 2 2 a b

|= (i)若|AB

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5
???? ??? ?

(0,y0) QB=4 .求 y 0 的值. (ii)若点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ?
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、 直线的倾斜角、平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合 的思想,考查综合分析与运算能力.满分 14 分. (Ⅰ)解:由 e=

c 3 2 2 2 2 2 ? ,得 3a ? 4c .再由 c ? a ? b ,解得 a=2b. a 2

由题意可知

1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab=2. 2

解方程组 ?

? a ? 2b, 得 a=2,b=1. ? ab ? 2,
- 19 -

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ)可知点 A 的坐标是(-2,0).设点 B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k(x+2).

? y ? k ( x ? 2), ? 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 消去 y 并整理,得 ? y 2 ? 1. ? ?4
(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0 .
由 ?2 x1 ?

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k ,得 x1 ? .从而 y1 ? . 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2 2

? 2 ? 8k 2 ? ? 4k ? 4 1? k 2 所以 | AB |? ? ?2 ? . ?? ? ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 1 ? 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ?
由 | AB |?

4 1? k 2 4 2 4 2 ? ,得 . 1 ? 4k 2 5 5
4 2
2 2

整理得 32k ? 9k ? 23 ? 0 ,即 (k ? 1)(32k ? 23) ? 0 ,解得 k= ?1 . 所以直线 l 的倾斜角为

? 3? 或 . 4 4

? 8k 2 2k ? , (ii)解:设线段 AB 的中点为 M,由(i)得到 M 的坐标为 ? ? . 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?
以下分两种情况: (1)当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0) ,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? 2, ? y0 ? . 由 QA ? QB ? 4 ,得 y0 ? ?2 2 。
(2)当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

2k 1? 8k 2 ? ? ? ?x? ?。 1 ? 4k 2 k? 1 ? 4k 2 ?

6k 。 1 ? 4k 2 ??? ? ??? ? 由 QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? x1 , y1 ? y0 ? ,
令 x ? 0 ,解得 y0 ? ?

??? ??? ? ? ?2 ? 2 ? 8k 2 ? 6k ? 4k 6k ? QA ? QB ? ?2 x1 ? y0 ? y1 ? y0 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k ? 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ?

- 20 -

?

4 ?16k 4 ? 15k 2 ? 1?

?1 ? 4k ?
2

2 2

? 4,

整理得 7k ? 2 。故 k ? ?

14 2 14 。所以 y0 ? ? 。 7 5 2 14 5

综上, y0 ? ?2 2 或 y0 ? ?

(2010 天津理数) (20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 4。 (1) 求椭圆的方程; (2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B , 已知点 A 的坐标为 ?a, 0 ) 点 Q(0, y0 ) ( ,

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 2 2 a b

QB ? 4 ,求 y0 的值 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA?
【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质,直线的方程,平面向量等基础知识, 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算和推理能力,满分 12 分 (1)解:由 e ? 由题意可知,

??? ??? ? ?

c 3 2 2 2 2 2 ? ,得 3a ? 4c ,再由 c ? a ? b ,得 a ? 2b a 2

1 ? 2a ? 2b ? 4,即ab ? 2 2

解方程组 ?

? a ? 2b 得 a=2,b=1 ? ab ? 2

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)解:由(1)可知 A(-2,0) 。设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方 程为 y=k(x+2),

? y ? k ( x ? 2) ? 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ? 4
由方程组消去 Y 并整理,得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? (16k ? 4) ? 0
2 2 2 2

- 21 -

由 ?2 x1 ?

16k 2 ? 4 ,得 1 ? 4k 2

x1 ?

2 ? 8k 2 4k , 从而y1 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 8k 2 2k , ) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 (? 以下分两种情况:

(1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0) 。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

QA ? (?2, ?y0 ), QB ? (2, ? y0)由QA? =4,得y0 = ? 2 2 QB
(2)当 K ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 Y ?

?

?

?

?

2k 1 8k 2 ? (x ? ) 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2

令 x=0,解得 y0 ?
?

6k 1 ? 4k 2
?

由 QA ? (?2, ? y0 ), QB ? ( x1 , y1 ? y0)

QA? ? ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0)= QB
4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ?4 (1 ? 4k 2 ) 2
2

?

?

?2(2 ? 8k 2 ) 6k 4k 6k ? ( ? ) 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 1 ? 4k 1 ? 4 k 2

=

整理得 7k ? 2, 故k ? ?

14 2 14 所以y0 = ? 7 5 2 14 5

综上 y0 = ? 2 2或y0 = ?

(2010 广东理数) 21. (本小题满分 14 分) 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )是平面直角坐标系 xOy 上的两点,先定义由点 A 到点 B 的一种折线 距离 p(A,B)为 P( A, B) ?| x2 ? x1 | ? | y2 ? y1 | .

- 22 -

当且仅当 ( x ? x1 )( x2 ? x) ? 0, ( y ? y1 )( y2 ? y ) ? 0 时等号成立,即 A, B, C 三点共线时等 号成立. (2)当点 C(x, y) 同时满足①P ( A, C ) +P (C , B) = P ( A, B) ,②P ( A, C ) = P (C, B) 时,点 C 是 线段 AB 的中点. x ?

x1 ? x2 y ? y2 x ? x2 y1 ? y2 ,即存在点 C ( 1 ,y? 1 , ) 满足条件。 2 2 2 2

(2010 广东理数)20. (本小题满分为 14 分) 一条双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线上不 2

同的两个动点。 (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式; (2)若过点 H(0, h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2 ,求 h 的值。

- 23 -

故 y2 ? ?

x2 1 2 ,即 ? y2 ? 1 。 ( x ? 2) 2 2

(2)设 l1 : y ? kx ? h ,则由 l1 ? l2 知, l2 : y ? ? 将 l1 : y ? kx ? h 代入

1 x?h。 k

x2 ? y2 ? 1 得 2

x2 ? (kx ? h) 2 ? 1 ,即 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4khx ? 2h2 ? 2 ? 0 , 2
由 l1 与 E 只有一个交点知, ? ? 16k h ? 4(1 ? 2k )(2h ? 2) ? 0 ,即
2 2 2 2
[来源:高考资源网 KS5U.COM]

1 ? 2k 2 ? h2 。
同理,由 l 2 与 E 只有一个交点知, 1 ? 2 ?

1 1 ? h2 ,消去 h 2 得 2 ? k 2 ,即 k 2 ? 1 ,从而 2 k k

h2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 ,即 h ? 3 。
(2010 广东文数)21.(本小题满分 14 分) 已 知 曲 线 C n : y ? nx , 点 Pn ( xn , y n ) ( xn ? 0, yn ? 0) 是 曲 线 C n 上 的 点 (n ? 1,2, . . . ) ,
2

- 24 -

- 25 -

(2010 福建文数)19. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 过点 A (1 , -2) 。
2

(I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 L 的距离等于

5 ?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由。 5

- 26 -

(2010 湖北文数)20.(本小题满分 13 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上没一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程 (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线, 都有 FA FB <0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

??? ??? ? ?

- 27 -

(2010 山东理数) (21) (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆

x2 y2 2 ? ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 2 a2 b2

F1 , F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点, P 为该双 设
曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D .

(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;

k (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,证明 k1 ·2 ? 1 ;
- 28 -

CD 恒成立?若存在,求 ? 的值;若不存 (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ·
在,请说明理由. 【解析】 (Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为

2 c ,得 a ? 2c ,又 2a ? 2c ? 4( 2 ?1) ,所 ? 2 a

以可解得 a ? 2 2 , c ? 2 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ,所以椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 ;所 8 4

以椭圆的焦点坐标为( ?2 ,0) ,因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该 双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 4

- 29 -

【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线 的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题(3) 是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,

(2010 湖南理数)19.(本小题满分 13 分) 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基地。 视冰川面为平面形,以过 A,B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面直 角坐标系(图 6)在直线 x=2 的右侧,考察范围为到点 B 的距离不超过 x=2 的左侧,考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过 4 5 km 区域。
- 30 6 5 5

km 区域;在直线

(Ⅰ)求考察区域边界曲线的方程; (Ⅱ)如图 6 所示,设线段 P1P2,P2P3 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线) ,当冰川融 化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km,以后每年移动的距 离为前一年的 2 倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。 化
? 8 3 ? P2 ? 6? ? 3 ,? ? ?





P3(8,6)







( ?5 3 ,-1)P1

A(-4,0)

B(4,0)

x

- 31 -

(2010 湖北理数)19(本小题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.
- 32 -

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有

??? ??? ? ? FA ? FB ? 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

(2010 安徽理数)19、 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E 经过点 A ? 2, 3 ? ,对称轴为坐标轴,焦点

F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ?
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

1 。 2

(Ⅱ)求 ?F1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。

- 33 -

- 34 -

(2010 江苏卷)18、 (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点为 A、B,右焦点为 F。 9 5

设 过 点 T ( t, m ) 的 直 线 TA 、 TB 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) , 其 中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。 (1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标 与 m 无关) 。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算 求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(-3,0) 。
2 2 由 PF ? PB ? 4 ,得 ( x ? 2) ? y ? [( x ? 3) ? y ] ? 4, 化简得 x ?
2 2 2 2

9 。 2

故所求点 P 的轨迹为直线 x ?

9 。 2

- 35 -

1 5 1 20 分别代入椭圆方程, 以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得: (2, ) N M 、 ( ,? ) 3 3 3 9 1 y ?0 x?3 直线 MTA 方程为: ,即 y ? x ? 1 , ? 5 3 ?0 2?3 3 5 5 y ?0 x ?3 直线 NTB 方程为: ,即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3
(2) x1 ? 2, x 2 ? 将

?x ? 7 ? 联立方程组,解得: ? 10 , y? ? 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3

(3)点 T 的坐标为 (9, m)

y ?0 x?3 m ,即 y ? ? ( x ? 3) , m?0 9?3 12 y ?0 x ?3 m 直线 NTB 方程为: ,即 y ? ( x ? 3) 。 ? m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为: 分别与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 9 5

解得: M (

3(80 ? m2 ) 40m 3(m2 ? 20) 20m , ) 、 N( ,? )。 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m2

20m 3(m2 ? 20) x? 20 ? m2 20 ? m2 (方法一)当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: ? 2 40m 20m 3(80 ? m ) 3(m2 ? 20) ? ? 80 ? m2 20 ? m2 80 ? m2 20 ? m2 y?
令 y ? 0 ,解得: x ? 1 。此时必过点 D(1,0) ; 当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: x ? 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 (方法二)若 x1 ? x2 ,则由

240 ? 3m2 3m2 ? 60 ? 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 , 80 ? m2 20 ? m2

此时直线 MN 的方程为 x ? 1 ,过点 D(1,0) 。

若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,直线 MD 的斜率 kMD

40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m2 ?1 80 ? m2
- 36 -

直线 ND 的斜率 k ND

?20m 2 10m ,得 kMD ? k ND ,所以直线 MN 过 D 点。 ? 20 ? m ? 2 3m ? 60 40 ? m2 ?1 20 ? m 2

因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) 。

- 37 -


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