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导数的概念


第三章 导数及其应用

1.1.2导数的概念

在高台跳水中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起
跳后的时间t(单位:秒)存在关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10

通过计算可得运动员在 0 ? t ? 65 这段时间里的平均
速度为0,这是否说明运动员在这段时间里是静止的?

49

由此可见用平均速度描述运动员的运动状态有何问题?
平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,并不能 反映某一刻的运动状态。这就需要用瞬时速度来更精 细地刻画运动员的运动状态。我们把物体在某一时刻

的速度称为瞬时速度.

如何求瞬时速度?

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度为h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10

求t=2时的瞬时速度?
我们先考察t=2附近的情况。 任取一个时刻2+△t,△t 是时间改变量,可以是正值, 也可以是负值,但不为0. 当△t<0时,在2之前; 当△t>0时,在2之后。
计算区间? 2 ? ?t , 2? 和区间? 2, 2 ? ?t ? 内平均速度v, 可以得到如下表格.

h

o

2

t △t>0时 2+△t

△t<0时 2+△t

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势.

?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时,

v ? ?13.149

当△t =0.001时, v ? ?13.1049
△t = 0.00001,

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

v ? ?13.099951

v ? ?13.100049

……

v ? ?13.0999951 △t =0.000001, v ? ?13.1000049
……

我们发现,当?t趋近于0 时,即无论t从小于2 的一边, 还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个 确定的值 ? 13.1.

从物理的角度看, 时间间隔 | ?t | 无限变小时, 平均

速度v就无限趋近于t ? 2时的瞬时速度因此 . , 运动员在 t ? 2时的瞬时速度是 ? 13.1m / s. h?2 ? ?t ? ? h?2? 为了表述方便 , 我们用 lim ? ?13.1 ?t ? 0 ?t 表示"当t ? 2, ?t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 ? 13.1". h?2 ? ?t ? ? h?2? 我们称确定值? 13.1是 当?t趋近于0时的极限. ?t

瞬时速度

思考: ⑴如何求瞬时速度? ⑵lim是什么意思?

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1 ?t ? 0 ?t

在局部以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极 限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

在其下面的条件下求右面的极限值。

⑶运动员在某一时刻t0的瞬时速度如何表示?

? ? ? h t +?t -h t 0 0? lim ?t ?0 ?t

?x?在x=x 2、函数f 处的瞬时变化率怎么表示? 0
? ? f x +?x?-f x 0 0? lim ?x ?0 ?x
我们称它为函数 y=f ?x ?在x=x 0 处的导数, 记作: f ??x 0 ?或y ? x=x 0
f ?x0+?x ?-f ?x0? ?y 即:f ??x 0 ?= lim = lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

?x ?x f +?x?-f 0 0? 1、函数的平均变化率怎么表示? ?x

思考:

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

或 y? | x ? x , 即
0

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ?x

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 );

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ( 2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y ( 3)取极限,得导数 f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ?x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

一差、二比、三极限

求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. 6

(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率,并求出在该点处的导数. 3 (3)质点运动规律为s=t2+3,求 质点在t=3的瞬时速度. 6

例2:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.

解: (1)?y ? (1 ? ?x)2 ? 12 ? 2?x ? (?x)2 ,

1 1 ? ?x (2)?y ? (2 ? ?x ) ? ? (2 ? ) ? ?x ? , 2 ? ?x 2 2(2 ? ?x )

?y 2?x ? ( ?x )2 ? ? 2 ? ?x , ?x ?x ?y ? li m ? li m( 2 ? ?x ) ? 2,? y? | x ?1 ? 2. ?x ? 0 ? x ?x ? 0

? ?x ?x ? ?y 1 2( 2 ? ?x ) ? ? 1? , ?x ?x 2( 2 ? ?x ) ?y 1 1 3 3 ? lim ? lim[1 ? ] ? 1 ? ? ,? y? | x ? 2 ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 2(2 ? ?x ) 4 4 4

例3 :已知函数y ? x在x ? x0处附近有定义 , 且y' | x ? x0 1 ? , 求x0的值. 2 解 :? ? y ? x 0 ? ? x ? x 0 ,
?y ? ? ?x ? x0 ? ?x ? x0 ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ? ?x ?x ( x 0 ? ? x ? x 0 ) 1 . x 0 ? ?x ? x 0

?y 1 1 ? lim ? lim ? , ?x ?0 ?x ?x ?0 x0 ? ?x ? x0 2 x0 1 1 1 由y'| x ? x0 ? , 得 ? ,? x0 ? 1. 2 2 x0 2

练习: 已知y ? x,求y?.
解:D y = x + Dx x= Dx x + Dx + x

?y ? ?x

1 x ? ?x ?

x

?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

例4:利用导数的定义求函 数y ?| x | ( x ? 0)的导数.

解: ? y ?| x |,

?当x ? 0时, y ? x,
?y ( x ? ?x) ? x 则 ? ? 1, ?x ?x ?y ? lim ? 1; ?x ? 0 ?x

当x ? 0时, y ? ? x,
?y ?y ?( x ? ?x) ? (? x) lim ? ?1; ? ? ?1, ? ? x ?0 ?x ?x ?x ? 1 x?0 ? y? ? ? . ?? 1 x ? 0

1 练习:(1)求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数 x (2)已知函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,求 a.

-Δx 1 1 解:(1)∵Δy= - = x+Δx x x?x+Δx?

Δy 1 ∴ =- Δx x?x+Δx?

Δy 1 1 ∴limΔx→0 =limΔx→0[- ]=- 2 Δx x x?x+Δx? 1 ∴f′(1)=- 2=-1 1
(2)∵Δy=a(x+Δx)2+c-(ax2+c) =2axΔx+a(Δx)2

Δy ∴ =2ax+aΔx Δx
∴f′(x)=limΔx→0(2ax+aΔx)=2ax

∴f′(1)=2a=2,∴a=1

例5、将原油提炼为汽油,柴油,塑胶等各种不 同的产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第 xh时,原油的温度(单位:OC)为 y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)。

计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并 说明他们的意义。

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别 为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以 3℃/ h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以 5℃/ h的速率上升.

小结:

1.函数的平均变化率 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量: Δf=Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1); (2)计算平均变化率 ?f ? f(x2 ) ? f ( x1 )
?x x2 ? x1

f(x2 ) ? f ( x1 ) ?f ? ?x x2 ? x1

3.函数的平均变化率的几何意义: 表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))连线 (割线)的斜率。 4.函数在x=x0的瞬时变化率

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?f lim ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x


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