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2014年高三数学第一次月考 理科



2014 年高三数学第一次月考
一、 选择题
1.已知集合 M={1,2,3},N={2,3,4},则( A.M?N C.M∩N={2,3} ) B.N?M D.M∪N={1,4} )

2、设全集为 R,函数 f (x)= 1-x2的定义域为 M,则?RM 为( A.[-1,1] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-1,1)

/>
D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 1 )

[来源:Z_xx_k.Com]

3、设 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b<a”的(
A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D.(2,3) )

4、函数 f(x)=1-xlog2 x 的零点所在区间是(
1 1? A.? ?4,2? 1 ? B.? ?2,1? C.(1,2)

5、已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义域为( A.(-1,1) C.(-1,0) 1? B.? ?-1,-2? 1 ? D.? ?2,1?

解析:选 C 因为 f(1)=1-l og2 1=1>0,f(2)=1-2log2 2=-1<0,即 f(1)f(2)<0,据零 点存在定理可得函数的零点所在的区间为(1,2),故选 C. 6、设 a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.3 0.2,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c C.b<a<c B.a<b<c D.a<c<b )

解析:选 C 根据幂函数 y=x0.5 的单调性,可得 0.30.5<0.50.5<10.5=1,即 b<a<1;对数 函数 y=log0.3 x 的单调性;可得 log0.3 0.2>log0.3 0.3=1,即 c>1.所以 b<a<c. π π 7、由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 1 A. 2 B.1 C. 3 2 D. 3 )

解析:选 D 结合图形可得:

[来源 :学科网]

1 8.如果函数 f(x)对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-x),且当 x≥ 时,f(x)=log2 (3x-1),那 2 么函数 f(x)在[-2,0]上 的最大值与最小值之和为( A.2 C.4 B.3 D.-1 )

1 解析:选 C 根据 f(1+x)=f(-x),可知函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称.又函数 f(x) 2 1 1? ? ? 在? ?2,+∞?上单调递增,故 f(x)在?-∞,2?上单调递减,则函数 f(x)在[-2,0]上的最大值与 最小值之和为 f(-2)+f(0)=f(1+2)+f(1+0)=f(3)+f(1)=log2 8+log2 2=4.

二、填空题
9、函数 f(x)=-2x2+4x 在区间[0,3]上的值域是
2 ? (0 ? t ? 3) (1) ?3t ? 2 10、若一物体运动方程如下: s ? ? 2 ? (t ? 3) (2) ?29 ? 3(t ? 3) 则此物体在 t ? 1 和 t ? 3 时的瞬时速度分别是________和_______

11、给出下列结论: ①如果命题“? p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题 ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:若“a≠0,则 ab≠0” ③若命题 p:?x0∈R,ln(x2 p:?x∈R,ln(x2+1)≥0 0+1)<0,则? 1 ④“sin θ= ”是“θ=30° ”的充分不必要条件 2 其中所有正确结论的序号为______.
2 12、函数 y ? log 2 x ? 2 x 的单调递增区间是_______________

?

?

4 13、若 a>0,a3 = ,则 log2 a=________. 9 3 4 解析:3 ∵a3 = ,∴log2 9 3 2 ∴ log2 3 3
2 2

2

a3 =log2
3

4 , 9

2?2 a=log2 ? =2,∴log2 a=3. 3 ?3? 3

3? 14、已知 f(1-cos x)=sin2 x,则 f? ?2?=________ 3 解析: f(1-cos x)=sin2 x=1-cos2 x, 4 令 1-cos x=t,则 cos x=1-t. ∵-1≤cos x≤1,∴0≤1-cos x≤2.∴0≤t≤2. ∴f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t(0≤t≤2).
[来源:学 .科 .网 Z.X.X.K]

故 f(x)=-x2+2x(0≤x≤2). 3? 9 3 ∴f? ?2?=-4+3=4.

三、解答题 15、已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|y=ln(1-x)}, (1)求 A,B (2)求 A B , A (CR B)
16、已知 f(x)=x
3

-3x

(1) f ' (2) (2)求 f(x)的极值
2 7

17、已 知函数 f(x)=xm-x,且 f(4)=2.
(1)求 m 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 7 2 7 解:(1)因为 f(4)= ,所以 4m- = .所以 m=1. 2 4 2 2 (2)由(1)知 f(x)=x- ,则 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称. x 又 f(-x)=-x- 2? 2 =-? ?x-x?=-f(x), -x
[来源:学科网 ]

所以 f(x)是奇函数.

2 2 ? 2 x - ?=(x1-x2)?1+ (3)设 x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2)=x1- -? ? x1x2?. x1 ? 2 x2? 2 因为 x 1>x2>0,所以 x1-x2>0,1+ >0.所以 f(x1)>f(x2). x1x2 所以 f( x)在(0,+∞)上为单调递增函数.

18、已知函数 f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R). (1)若函数的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数的值域为非负数,求函数 g(a)=2-a|a+3|的值域. 解:(1)∵函数的值域为[0,+∞), ∴Δ=16a2-4(2a+6)=0, 3 ∴2a2-a-3=0,解得 a=-1 或 a= . 2

(2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负, ∴Δ=16a2-4(2a+6)=8(2 a2-a-3)≤0. 3 ∴-1≤a≤ .∴a+3>0, 2 ∴g(a)=2-a|a+3|=-a2-3a+2 3?2 17? ? 3?? =-? ?a+2? + 4 ?a∈?-1,2??. 3? ∵二次函数 g(a)在? ?-1,2?上单调递减, 3? ∴g? ?2?≤g(a)≤g(-1). 19 即- ≤g(a)≤4. 4 19 - ,4?. ∴g(a)的值域为? ? 4 ?

19、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的
车流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式;
[来源:Zxxk.Com]

(2)当车流密度 x 为多大时,车 流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/时) 解:(1)由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,再由已
?200a+b=0, ? 知得? ? ?20a+b=60,

?a=-3, 解得? 200 ?b= 3 .
故函数 v(x)的表达式为 60, ? ? v(x)=?1 ? ?3x?200-x?, (2)依题意并由(1)可得 60x, ? ? f(x)=?1 ? ?3x?200-x?, 0≤x≤20, 20<x≤200. 0≤x≤20, 20<x≤200.

1

当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数, 故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200;

1 1 x+?200-x??2 10 000 当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ?= 3 , 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时等号成立. 10 000 所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 . 3 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333, 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时. a 20、已知函数 f(x)=ln x- . x (1)若 a>0,试判断 f(x)在定义域内的单调性; 3 (2)若 f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求 a 的值; 2 (3)若 f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围. 解:(1)由题意知 f(x)的定义域为(0, +∞), 1 a x+a 且 f′(x)= + 2= 2 . x x x ∵a>0,∴f′(x)>0, 故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. x+a (2)由(1)可知,f′(x)= 2 . x ①若 a≥-1,则 x+a≥0,即 f′(x)≥0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上为增函 数, 3 3 ∴f(x)min=f(1)=-a= ,∴a=- (舍去). 2 2 ②若 a≤-e,则 x+a≤0,即 f′(x)≤0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上为减函 数, a 3 ∴f(x)min=f(e)=1- = , e 2 e ∴a=- (舍去). 2
[来源 :Z&xx&k.Com]

③若-e<a<-1,令 f′(x)=0 得 x=-a, 当 1<x<-a 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(1,-a)上为减函数; 当-a<x<e 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-a,e)上为增函数. 3 ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1= , 2 ∴a=- e.

综上所述,a=- e. a (3)∵f(x)<x2,∴ln x- <x2. x 又 x>0,∴a>xln x-x3. 令 g(x)=xln x-x3, h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2, 1-6x2 1 h′(x)= -6x= . x x ∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上是减函数. ∴h(x)<h(1)=-2<0,即 g′(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数. g(x)<g(1)=-1, ∴当 a≥-1 时,f(x)<x2 在(1,+∞)上恒成立. 即所求 a 的取值范围为[-1,+∞).



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