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高中数学必修二课件--第2章 2.1 2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系



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2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1.以下命题正确的是( C ) A.两个平面可以只有一个交点 B.一条直线与一个平面最多有一个公共点

C.两个平面有一个公共点,则它们一定相交
D.两个平面有三个公共点,它们一定重合

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2.下列命题正确的是( C )

A.若直线 l 上有无数个点不在平面α内,则 l∥α
B.若直线 l 与平面α平行,则 l 与平面α内的任意一直线平 行

C.两条平行线中的一条直线与一个平面相交,那么另一条
也与这个平面相交 D.若一直线 a 和平面α内一直线 b 平行,则 a∥α

3.若一条直线平行于一个平面,这条直线就与这个平面内
的任意直线( B ) A.平行 C.异面 B.不相交 D.相交或异面

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4.下列命题中,正确的是(

B )

A.直线 a∥平面α,则 a 平行于α内任何一条直线

B.直线 a 与平面α相交,则 a 不平行于α内的任何一条直线
C.直线 a 不平行于平面α,则 a 不平行于α内任何一条直线 D.直线 a 不垂直于平面α内的某一条直线,则 a 不垂直于α 内任何一条直线

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重点

直线与平面、平面与平面的位置关系

1.直线与平面的位置关系有且只有三种:

(1)直线和平面有无数个公共点——直线在平面内,记作:
l ?α;

(2)直线和平面有且只有一个公共点——直线与平面相交, 记作:l∩α=P; (3)直线和平面没有公共点——直线与平面平行,记作:l∥ α.

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2.两个平面之间的位置关系有且只有两种:
(1)两个平面有一条公共的直线——相交,记作α∩β=l;

(2)两个平面没有公共点——平行,记作α∥β.
特别注意:直线在平面内也叫平面经过直线,如果直线不 在平面内,记作:l?α,包括直线与平面相交及直线与平面平行 两种情形.

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判断直线与平面的位置关系
例 1:两条相交直线 a、b 都在平面α内且都不在平面β内, ) 且平面α与β相交,则 a 和 b( A.一定与平面β都相交 B.至少一条与平面β相交 C.至多一条与平面β相交 D.可能与平面β都不相交 思维突破:设α∩β=c,∵若 a、b 都不与β相交,则 a∥c, b∥c,∴a∥b,这与 a、b 相交矛盾,故 a、b 中至少一条与β相 交. 答案:B

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1-1.下列命题:①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线, 则 l∥α;②若直线 a 在平面α外,则 a∥α;③若直线 a∥b,直 线 b?α,则 a∥α;④若直线 a∥b,b?α,那么直线 a 就平行 于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数为( A.1 个 B.2 个 A )

C.3 个

D.4 个

解析:①错,l 可能在平面α内;②错,直线 a 在平面α外有 两种情况:a∥α和 a 与α相交;③错,直线 a 可能在平面α内; ④正确,无论 a 在平面α内或 a∥α,在平面α内都有无数条直线 与 a 平行.

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判断平面与平面的位置关系
例 2:判断下列命题的真假: (1)若两个平面都与第三个平面平行,则这两个平面平行; (2)垂直于同一条直线的两个平面平行; (3)若一个平面内有三个不共线的点到另外一个平面的距离 相等(距离不为 0),则这两个平面平行; (4)垂直于同一个平面的两个平面平行. 思维突破:判断空间中平面与平面的位置关系时,可根据 题目中的具体条件展开空间想象.

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解:(1)(2)是真命题,(3)(4)是假命题.

(3)会出现三点在这个平面的两侧且符合条件的情况,所以
这两个平面还可能相交. (4)会出现两个相交平面同时与另外一个平面垂直的情况, 如正方体中共顶点的三个面. 要判断一个命题是假命题,只需举出一个 反例;而要想说明一个命题是真命题,则需理论上的证明.

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2-1.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相 平行,那么这两个平面的位置关系是( C ) A.平行 B.相交

C.平行或相交

D.垂直相交

解析:有平行、相交两种情况,如图 14.

图14

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理解直线与平面的位置关系 例 3:下列命题为假命题的是( )

A.直线 a 与平面α的位置关系有且只有 a?α、a?α中的一 种

B.直线 a 与平面α的位置关系有且只有 a?α、a∩α=?、
a∩α=A 中的一种 C.已知直线 a 和平面α满足 a∩α=?,那么 a∥α D.若直线 a 和平面α满足 a?α,则 a∥α 答案:D

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①② 3-1.有以下命题,正确命题的序号是______. ①直线与平面没有公共点,则直线与平面平行;

②直线与平面内的任何一条直线都不相交,则直线与平面
平行; ③直线上有两点,它们到平面的距离相等,则直线与平面 平行; ④直线与平面内的无数条直线不相交,则直线与平面平行.

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例 4:经过两条异面直线 a、b 外的一点 P 可以作几个平面
与 a、b 都平行?请证明你的结论. 错因剖析:没有考虑点 P 的不同位置.

正解:可作 0 个或 1 个平面与 a、b 都平行.证明如下:
(1)当点 P 所在位置使得 a、P(或 b、P)本身确定的平面平行 于 b(或 a)时,过点 P 作不出与 a、b 都平行的平面. (2)当点 P 所在位置使得 a、P(或 b、P)本身确定的平面与 b(或 a)不平行时,可过点 P 作 a′∥a,b′∥b.因为 a、b 是异 面直线,所以 a′、b′不重合且相交于 P.因为 a′∩b′=P, a′、b′可以确定平面α,所以可作 1 个平面与 a、b 都平行. 综上所述,可作 0 个或 1 个平面与 a、b 都平行.

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4-1.设异面直线 a 与 b 所成角为 50°,O 为空间一定点, 试讨论,过点 O 与 a、b 所成的角都是θ(0°≤θ≤90°)的直线 l 有且仅有几条? 解:过点 O 作 a1∥a,b1∥b,则相交直线 a1、b1 确定一平 面α.a1 与 b1 夹角为50°或130°,设直线OA 与 a1、b1 均为θ角,

作AB⊥平面α于点B,BC⊥a1 于点C,BD⊥b1 于点D,记∠AOB
=θ1,∠BOC=θ2,(θ2=25°或65°), 则有cosθ=cosθ1· 2, cosθ 因为0°≤θ≤90°,所以0≤cosθ≤cosθ2.

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当θ2=25°时,由θ≤cosθ≤cos25°,得 25°≤θ≤90°. 当θ2=65°时,由θ≤cosθ≤cos65°,得 65°≤θ≤90°. 故当θ<25°时,直线 l 不存在;

当θ=25°时,直线 l 有且仅有 1 条;
当 25°<θ<65°时,直线 l 有且仅有 2 条;

当θ=65°时,直线 l 有且仅有 3 条;
当 65°<θ<90°时,直线 l 有且仅有 4 条; 当θ=90°时,直线 l 有且仅有 1 条.



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