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高中数学知识点总结



中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

高中数学知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如:集合A = {x| y = lg x},B = {y| y = lg x},C = {(x, y)| y = lg x},A、B、C

r />中元素各表示什么?

2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A = x| x 2 ? 2 x ? 3 = 0 ,B = {x| ax = 1}

{

}

若B ? A,则实数a的值构成的集合为
1? ? (答: ??1, 0, ?) 3? ?
3. 注意下列性质:

(1)集合{a 1,a 2 ,……,a n }的所有子集的个数是 2 n ;

( 2 )若A ? B ? A I B = A,A U B = B;
(3)德摩根定律:

CU (A U B) = (CU A) I(CU B),CU (A I B) = (CU A) U(CU B)
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式
的取值范围。

ax ? 5 < 0的解集为M,若 3 ∈ M且 5 ? M,求实数a x2 ? a

(∵ 3 ∈ M,∴

a· 3 ? 5 <0 32 ? a a·5 ? 5 ≥0 52 ? a

5? ? ? a ∈ ?1, ? U(9 , 25) ) 3? ?

∵5 ? M,∴

5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或” (∨) ,“且” (∧ ) 和 “非”(?).

若p ∧ q为真,当且仅当 p、q均为真 若p ∨ q为真,当且仅当 p、q至少有一个为真 若?p为真,当且仅当 p为假

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6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性, 哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数 y =

x(4 ? x) lg( x ? 3)
2

的定义域是

(答:(0, 2) U(2 , 3) U(3, 4))
10. 如何求复合函数的定义域?

如:函数f ( x)的定义域是 a,b ,b > ? a > 0,则函数F(x) = f ( x) + f (? x)的定
义域是_____________。

[

]

(答: a, ? a )
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?

[

]

如:f

(

x + 1 = e x + x,求f (x).

)

令t = x + 1,则t ≥ 0

∴x = t 2 ? 1
∴f ( t ) = e t
2

?1

+ t2 ?1
+ x 2 ? 1 ( x ≥ 0)

∴f ( x) = e x

2

?1

12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域)

?1 + x ? 如:求函数 f ( x) = ? 2 ?? x ?

(x ≥ 0) 的反函数 (x < 0)

?x ? 1 (x > 1) ? (答:f ?1 (x) = ? ) ?? ? x ( x < 0) ?
13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设y = f(x) 的定义域为A,值域为C,a ∈ A,b ∈ C,则f(a) = b ? f ?1 ( b) = a

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∴ f ?1[ f (a )] = f ?1 ( b) = a,f f ?1 ( b) = f (a ) = b
14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性?

[

]

(y = f ( u) ,u = ? ( x) ,则y = f [? ( x)] (外层) (内层)
当内、外层函数单调性相同时f [? ( x)]为增函数,否则f [? (x)]为减函数。)

如:求y = log 1 ? x 2 + 2 x 的单调区间
2

(

)

(设u = ? x 2 + 2 x,由u > 0则 0 < x < 2
且 log 1 u ↓ ,u = ?( x ? 1) + 1,如图:
2 2

u

O

1

2

x

当x ∈ (0,1]时,u ↑ ,又 log 1 u ↓ ,∴y ↓
2

当x ∈[1, 2) 时,u ↓ ,又 log 1 u ↓ ,∴y ↑
2

∴……) 15. 如何利用导数判断函数的单调性?

在区间(a,b)内,若总有f '( x) ≥ 0则f ( x) 为增函数。(在个别点上导数等于

零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '( x) ≤ 0呢? 如:已知a > 0,函数f ( x) = x 3 ? ax在[1, + ∞)上是单调增函数,则a的最大
值是( A. 0 ) B. 1 C. 2 D. 3

? a ?? a? (令f ' ( x) = 3x 2 ? a = 3? x + ??x ? ? ≥0 3?? 3? ?

则x ≤ ?

a 或x ≥ 3

a 3

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由已知f ( x) 在[1, + ∞) 上为增函数,则 a ≤ 1,即a ≤ 3 3

∴a 的最大值为 3) 16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若f ( ? x) = ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f ( ? x) = f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称
注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇 函数的乘积是奇函数。

( 2 )若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) = 0。
如:若f ( x) = a· 2 x + a ? 2 为奇函数,则实数a = 2x + 1

(∵f ( x) 为奇函数,x ∈ R,又 0 ∈ R,∴f (0) = 0
即 a· 2 0 + a ? 2 = 0,∴a = 1) 20 + 1 2x , 4x + 1

又如:f ( x) 为定义在 ( ?1,1) 上的奇函数,当x ∈ (0,1) 时,f ( x) =

求f ( x) 在( ?1,1)上的解析式。
2?x (令x ∈ (?1, 0),则 ? x ∈ (0,1),f ( ? x) = ? x 4 +1 又f ( x) 为奇函数,∴f ( x) = ? 2 ?x 2x =? 4?x + 1 1 + 4x x ∈ ( ?1, 0) x=0 x ∈ (0,1) )

? 2x ?? x ? 4 +1 又f (0) = 0,∴f ( x) = ? x ? 2 ?4x + 1 ?
17. 你熟悉周期函数的定义吗?

(若存在实数T(T ≠ 0),在定义域内总有f (x + T) = f ( x) ,则f ( x) 为周期
函数,T 是一个周期。)

如:若f ( x + a ) = ? f ( x) ,则

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(答:f ( x) 是周期函数,T = 2a为f ( x) 的一个周期)
又如:若f ( x) 图象有两条对称轴x = a,x = b (?)

即f (a + x) = f (a ? x) ,f ( b + x) = f ( b ? x)
则f ( x) 是周期函数, 2 a ? b 为一个周期
如:

18. 你掌握常用的图象变换了吗?

f ( x) 与f ( ? x) 的图象关于 y轴 对称 f ( x) 与 ? f ( x) 的图象关于 x轴 对称 f ( x) 与 ? f ( ? x) 的图象关于 原点 对称
f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y = x 对称

f ( x) 与f (2a ? x) 的图象关于 直线x = a 对称 f ( x) 与 ? f (2a ? x) 的图象关于 点 (a, 0) 对称
左移a (a>0) 个单位 y = f ( x + a ) 将y = f ( x) 图象 ? ??????? → ? 右移a (a>0) 个单位 y = f ( x ? a ) 上移b( b>0) 个单位 y = f ( x + a ) + b ? ??????? → ? 下移b( b>0) 个单位 y = f ( x + a ) ? b
注意如下“翻折”变换:

f ( x ) ? → f ( x) ? f ( x) ? → f (| x|) ? 如:f ( x) = log 2 ( x + 1)

作出y = log 2 (x + 1) 及y = log 2 x + 1 的图象

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y y=log2x

O

1

x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗? (k<0) y (k>0)

y=b O’(a,b) O x=a x

(1)一次函数:y = kx + b ( k ≠ 0)
( 2 )反比例函数:y =
的双曲线。

k k (k ≠ 0)推广为y = b + (k ≠ 0)是中心O' (a,b) x x?a
2

b? 4ac ? b 2 ? ( 3)二次函数y = ax + bx + c (a ≠ 0) = a? x + ? + 图象为抛物线 ? 2a ? 4a
2

? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为 ? ? , ? ,对称轴x = ? 4a ? 2a ? 2a
开口方向:a > 0,向上,函数y min = 4ac ? b 2 4a

a < 0,向下,y max =

4ac ? b 2 4a

应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax 2 + bx + c = 0,? > 0时,两根x 1 、x 2 为二次函数y = ax 2 + bx + c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 + bx + c > 0 ( < 0) 解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。 ③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

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?? ≥ 0 ? b ? 如:二次方程ax 2 + bx + c = 0的两根都大于k ? ?? >k ? 2a ?f ( k ) > 0 ?
y

(a>0)

O

k

x1

x2

x

一根大于k,一根小于k ? f ( k ) < 0
( 4 )指数函数:y = a x (a > 0,a ≠ 1) (5)对数函数y = log a x(a > 0,a ≠ 1)
由图象记性质! (注意底数的限定!) y (0<a<1) 1 O 1 x y=ax(a>1) y=logax(a>1)

(0<a<1)

( 6)“对勾函数” y = x +

k (k > 0) x
y

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?

? k
O

k

x

20. 你在基本运算上常出现错误吗?

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指数运算:a 0 = 1 (a ≠ 0) ,a ? p =
m

1 (a ≠ 0) ap

a n = n a m (a ≥ 0) ,a

?

m n

=

1
n

am

(a > 0)

对数运算: log a M·N = log a M + log a N ( M > 0,N > 0)
log a M 1 = log a M ? log a N, log a n M = log a M N n

对数恒等式:a loga x = x
对数换底公式: log a b =
21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)

log c b n ? log a m b n = log a b log c a m

如:(1)x ∈ R,f ( x) 满足f ( x + y) = f ( x) + f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。 (先令x = y = 0 ? f (0) = 0再令y = ? x,……) ( 2 )x ∈ R,f ( x) 满足f ( xy) = f ( x) + f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。
(先令x = y = ? t ? f [( ? t )( ? t )] = f ( t·t )

∴f ( ? t ) + f ( ? t ) = f ( t ) + f ( t ) ∴f ( ? t ) = f ( t ) ……)
( 3)证明单调性:f ( x 2 ) = f ( x 2 ? x 1 ) + x 2 = ……
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗? (二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法 等。) 如求下列函数的最值:

[

]

(1)y = 2 x ? 3 + 13 ? 4 x ( 2 )y = 2 x ?4 x +3

2x 2 ( 3)x > 3,y = x?3 ( 4 )y = x + 4 + 9 ? x 2 设x = 3 cosθ,θ ∈[0,π ]

(

)

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(5)y = 4 x + 9 ,x ∈(0,1] x 1 1 l ·R = α ·R 2 ) 2 2

23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗?

(l = α ·R,S 扇 =

R 1 弧度 O R

24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

sin α = MP, cos α = OM, tan α = AT
y B P α O M A x S T

如:若 ?

π < θ < 0,则 sin θ, cos θ, tan θ的大小顺序是 8

?π ? 又如:求函数y = 1 ? 2 cos? ? x? 的定义域和值域。 ?2 ?
?π ? (∵1 ? 2 cos? ? x? ) = 1 ? 2 sin x ≥ 0 ?2 ? ∴ sin x ≤ 2 ,如图: 2

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∴ 2 kπ ?

π 5π ≤ x ≤ 2 k π + ( k ∈ Z) , 0 ≤ y ≤ 1 + 2 4 4

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?

sin x ≤ 1, cos x ≤ 1
y

y = tgx

?

π
2

O

π
2

π

x

? π ? 对称点为 ? k , 0? ,k ∈ Z ? 2 ? π ? y = sin x的增区间为 ?2 kπ ? , 2 kπ + 2 ? π? ( k ∈ Z) 2? ?

π 3π ? ? 减区间为 ?2 kπ + , 2 kπ + ? ( k ∈ Z) 2 2? ? 图象的对称点为( kπ, 0),对称轴为 x = kπ + π ( k ∈ Z) 2

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y = cos x的增区间为[2 kπ, 2 kπ + π ] ( k ∈ Z) 减区间为[2 kπ + π, 2 kπ + 2 π ] (k ∈ Z)

π ? ? 图象的对称点为 ? kπ + , 0? ,对称轴为 x = kπ ( k ∈ Z) ? ? 2
π ? y = tan x的增区间为 ? kπ ? ,kπ + ? 2 π? ? k ∈Z 2?

26. 正弦型函数y = Asin(ωx + ? )的图象和性质要熟记。[ 或y = A cos(ωx + ? )]
(1)振幅| A| ,周期T = 2π | ω|

若f ( x 0 ) = ± A,则x = x 0 为对称轴。

若f ( x 0 ) = 0,则( x 0 , 0)为对称点,反之也对。
( 2 )五点作图:令 ωx + ? 依次为 0,
(x,y)作图象。

π 3π ,π, , 2 π ,求出x与y,依点 2 2

( 3)根据图象求解析式。(求A、ω、?值)

?ω ( x 1 ) + ? = 0 ? 如图列出 ? π ?ω ( x 2 ) + ? = 2 ?

解条件组求ω、?值
?正切型函数 y = A tan(ωx + ? ),T = π | ω|

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。

π? 2 3π ? ? ? 如: cos? x + ? = ? ,x ∈ ?π, ? ,求x值。 ? 6? 2 2? ?

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(∵π < x < 7π π 5π π 5π 13 3π ,∴ < x+ < ,∴x + = ,∴x = π) 2 6 6 3 6 4 12

28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?

如:函数y = sin x + sin| x| 的值域是 (x ≥ 0时,y = 2 sin x ∈[ ?2 , 2],x < 0时,y = 0,∴y ∈[ ?2 , 2])
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗? (平移变换、伸缩变换) 平移公式:

→ ?x' = x + h a = ( h, k ) (1)点P(x,y) ? ????→ P' (x' ,y' ),则 ? ? 平移至 ?y' = y + k

( 2 )曲线f ( x,y) = 0沿向量 a = ( h,k ) 平移后的方程为f ( x ? h,y ? k ) = 0
π? ? 如:函数 y = 2 sin? 2 x ? ? ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y = sin x 的 ? 4?
图象?



? (y = 2 sin? 2 x ? ?

π? ? ? 1 ? π? 横坐标伸长到原来的 2 倍 ? ? 1 ? ?????????→ y = 2 sin ?2? x? ? ? ? 1 4? ? ?2 ? 4?

π 左平移 个单位 π? ? 4 = 2 sin? x ? ? ? 1 ? ????? → y = 2 sin x ? 1 ?上平移1个单位 → y = 2 sin x ? ????? ? ? 4?
1 2 ? ?????????→ y = sin x)
纵坐标缩短到原来的 倍

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

如:1 = sin 2 α + cos 2 α = sec 2 α ? tan 2 α = tan α· cot α = cos α· sec α = tan = sin π = cos 0 = ……称为1的代换。 2 π “ k· ± α”化为 α 的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”, 2 9π ? 7π ? + tan? ? ? + sin(21π ) = ? 6? 4 sin α + tan α ,则y的值为 cos α + cot α
B. 负值 C. 非负值 D. 正值

π 4

“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。

如: cos

又如:函数y =
A. 正值或负值

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sin α 2 cos α = sin α(cos α + 1) > 0,∵α ≠ 0) (y = cos α cos 2 α(sin α + 1) cos α + sin α sin α +
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式 降幂公式及其逆向应用了吗? 降幂公式 理解公式之间的联系:

令α =β sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β ? ?? → sin 2α = 2 sin α cos α ? 令α =β cos(α ± β) = cos α cos β m sin α sin β ? ?? → cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α ?

tan(α ± β) =

tan α ± tan β 1 m tan α· tan β

= 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α ?

tan 2α =

2 tan α 1 ? tan 2 α

1 + cos 2α 2 1 ? cos 2α sin 2 α = 2 cos2 α =
b a

a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ?), tan ? =

π? ? sin α + cos α = 2 sin? α + ? ? 4? π? ? sin α + 3 cos α = 2 sin? α + ? ? 3?
应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能 求值,尽可能求值。) 具体方法:

(1)角的变换:如β = (α + β) ? α,

α +β ? β? ? α ? = ? α ? ? ? ? ? β? …… ? ? 2 2? ? 2

(2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。

sin α cos α 2 = 1, tan(α ? β) = ? ,求 tan(β ? 2α )的值。 1 ? cos 2α 3 sin α cos α cos α 1 (由已知得: = = 1,∴ tan α = 2 2 sin α 2 2 sin α 2 又 tan(β ? α ) = 3 2 1 ? tan(β ? α ) ? tan α 3 2 = 1) ∴ tan(β ? 2α ) = tan[(β ? α ) ? α ] = = 1 8 2 1 + tan(β ? α )· tan α 1+ · 3 2 如:已知

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32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?

余弦定理:a 2 = b 2 + c 2 ? 2 bc cos A ? cos A =

b2 + c2 ? a 2 2 bc

(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)

?a = 2 R sin A a b c ? 正弦定理: = = = 2 R ? ?b = 2 R sin B sin A sin B sin C ?c = 2 R sin C ? 1 S ? = a·b sin C 2

∵A + B + C = π,∴A + B = π ? C
∴ sin(A + B) = sin C, sin 如?ABC中, 2 sin 2 A+B C = cos 2 2

A+B + cos 2C = 1 2

(1)求角C;
c2 ( 2 )若a = b + ,求 cos 2A ? cos 2 B的值。 2
2 2

((1)由已知式得:1 ? cos(A + B) + 2 cos 2 C ? 1 = 1

又A + B = π ? C,∴ 2 cos 2 C + cos C ? 1 = 0
1 或 cos C = ?1(舍) 2 π 又 0 < C < π,∴C = 3 1 ( 2 )由正弦定理及a 2 = b 2 + c 2 得: 2 π 3 2 sin 2 A ? 2 sin 2 B = sin 2 C = sin 2 = 3 4 3 1 ? cos 2A ? 1 + cos 2 B = 4 3 ∴ cos 2A ? cos 2 B = ? ) 4 ∴ cos C =
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

π? ? π 反正弦: arcsin x ∈ ?? , ? ,x ∈[ ?1,1] 2? ? 2

反余弦: arccos x ∈[0,π ],x ∈[ ?1,1]

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π? ? π 反正切: arctan x ∈ ? ? , ? ,( x ∈ R ) ? 2 2?
34. 不等式的性质有哪些?

(1)a > b,

c > 0 ? ac > bc c < 0 ? ac < bc

( 2 )a > b,c > d ? a + c > b + d ( 3)a > b > 0,c > d > 0 ? ac > bd
( 4 )a > b > 0 ? 1 1 1 1 < ,a < b < 0 ? > a b a b

(5)a > b > 0 ? a n > b n , n a > n b

( 6)| x| < a (a > 0) ? ? a < x < a,| x| > a ? x < ? a或x > a 如:若 1 1 < < 0,则下列结论不正确的是( a b B. ab < b 2 D. a b + >2 b a )

A. a 2 < b 2 C. | a|+| b| >| a + b|
答案:C 35. 利用均值不等式:

? a + b? a + b ≥ 2ab a,b ∈ R ;a + b ≥ 2 ab ;ab ≤ ? ? 求最值时,你是否注 ? 2 ?
2 2

(

+

)

2

意到“a,b ∈ R + ”且“等号成立”时的条件,积 (ab) 或和 (a + b) 其中之一为定
值?(一正、二定、三相等) 注意如下结论:

a 2 + b2 a + b 2ab ≥ ≥ ab ≥ a,b ∈ R + 2 2 a+b

(

)

当且仅当a = b时等号成立。
a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (a,b ∈ R ) 当且仅当a = b = c时取等号。 a > b > 0,m > 0,n > 0,则
b b+m a+n a < <1< < a a+m b+n b

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如:若x > 0, 2 ? 3x ? 4 的最大值为 x

4? ? (设y = 2 ? ? 3x + ? ≤ 2 ? 2 12 = 2 ? 4 3 ? x? 当且仅当 3x = 4 2 3 ,又x > 0,∴x = 时,y max = 2 ? 4 3) x 3

又如:x + 2 y = 1,则 2 x + 4 y 的最小值为 (∵ 2 x + 2 2 y ≥ 2 2 x + 2 y = 2 2 1 ,∴最小值为 2 2 )
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗? (比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) 并注意简单放缩法的应用。

如:证明1 +

1 1 1 + 2 +…+ 2 <2 2 2 3 n

(1 +

1 1 1 1 1 1 + 2 + …… + 2 < 1 + + + …… + 2 1× 2 2 × 3 2 3 n (n ? 1)n
1 1 1 1 1 + ? + …… + ? 2 2 3 n ?1 n

= 1+1? =2?

1 < 2) n f ( x) > a (a ≠ 0)的一般步骤是什么? g( x)

37. 解分式不等式

(移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果。) 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始

如: ( x + 1)( x ? 1) (x ? 2) < 0
2 3

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如:对数或指数的底分a > 1或 0 < a < 1讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解? (找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)

例如:解不等式| x ? 3|? x + 1 < 1

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? (解集为 ?x| x > ? 1? ?) 2?

41. 会用不等式| a|?| b| ≤| a ± b| ≤| a|+| b| 证明较简单的不等问题
如:设f ( x) = x 2 ? x + 13,实数a满足| x ? a| < 1 求证: f ( x) ? f (a ) < 2(| a|+1)
证明: | f ( x) ? f ( a )| =|( x 2 ? x + 13) ? ( a 2 ? a + 13)| 证明:

=|( x ? a )( x + a ? 1)| (Q| x ? a| < 1) =| x ? a|| x + a ? 1| <| x + a ? 1| ≤| x|+| a|+1

又| x|?| a| ≤| x ? a| < 1,∴| x| <| a|+1
∴ f ( x) ? f (a ) < 2| a|+2 = 2(| a|+1)
(按不等号方向放缩) 42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)

如:a < f ( x) 恒成立 ? a < f ( x) 的最小值 a > f ( x) 恒成立 ? a > f ( x) 的最大值 a > f ( x) 能成立 ? a > f ( x) 的最小值
例如:对于一切实数x,若 x ? 3 + x + 2 > a恒成立,则a的取值范围是
(设u = x ? 3 + x + 2 ,它表示数轴上到两定点 ? 2 和 3距离之和
u min = 3 ? (?2) = 5,∴5 > a,即a < 5

或者: x ? 3 + x + 2 ≥ ( x ? 3) ? ( x + 2) = 5,∴a < 5)
43. 等差数列的定义与性质

定义:a n +1 ? a n = d (d为常数 ) ,a n = a 1 + ( n ? 1)d 等差中项:x,A,y成等差数列 ? 2A = x + y 前n项和S n =

(a 1 + a n )n = na
2

1

+

n( n ? 1) 2

d

性质: {a n }是等差数列

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(1)若m + n = p + q,则a m + a n = a p + a q ;
( 2 )数列{a 2 n ?1 },{a 2 n },{ka n + b}仍为等差数列;

S n ,S 2 n ? S n ,S 3n ? S 2 n ……仍为等差数列;

( 3)若三个数成等差数列,可设为a ? d,a,a + d;
( 4 )若a n ,b n 是等差数列S n ,Tn 为前n项和,则 a m S 2 m ?1 = ; b m T2 m?1

(5){a n }为等差数列 ? S n = an 2 + bn(a,b为常数,是关于n的常数项为
0 的二次函数)

S n 的最值可求二次函数S n = an 2 + bn的最值;或者求出{a n }中的正、负分界
项,即:

?a n ≥ 0 当a 1 > 0,d < 0,解不等式组 ? 可得S n 达到最大值时的n值。 ?a n +1 ≤ 0 ?a n ≤ 0 当a 1 < 0,d > 0,由 ? 可得S n 达到最小值时的n值。 ?a n +1 ≥ 0 如:等差数列 {a n },S n = 18,a n + a n ?1 + a n ? 2 = 3,S 3 = 1,则n = (由a n + a n ?1 + a n ? 2 = 3 ? 3a n ?1 = 3,∴a n ?1 = 1 又S 3 =

(a1 + a 3 ) · 3 = 3a
2

2

= 1,∴a 2 =

1 3

?1 ? +1 n ? ? (a 1 + a n )n = (a 2 + a n?1 )·n = ? 3 ? = 18 ∴S n = 2 2 2

∴ n = 27)
44. 等比数列的定义与性质

定义:

a n +1 = q(q为常数,q ≠ 0),a n = a 1q n ?1 an

等比中项:x、G、y成等比数列 ? G 2 = xy,或G = ± xy

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?na 1 (q = 1) ? 前n项和:S n = ? a 1 1 ? q n (要注意 ! ) (q ≠ 1) ? ? 1? q

(

)

性质: {a n }是等比数列

(1)若m + n = p + q,则a m ·a n = a p ·a q
( 2 )S n ,S 2 n ? S n ,S 3n ? S 2 n ……仍为等比数列 45. 由S n 求a n 时应注意什么? (n = 1时,a 1 = S1 ,n ≥ 2 时,a n = S n ? S n ?1 )
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗? 例如:(1)求差(商)法

1 1 1 如:{a n }满足 a 1 + 2 a 2 + …… + n a n = 2 n + 5 2 2 2 1 解: n = 1时, a 1 = 2 × 1 + 5,∴a 1 = 14 2 1 1 1 n ≥ 2 时, a 1 + 2 a 2 + …… + n ?1 a n ?1 = 2 n ? 1 + 5 2 2 2 1 < 1 > ? < 2 > 得: n a n = 2 2 ∴a n = 2 n +1

<1>

<2>

?14 ( n = 1) ∴a n = ? n +1 ( n ≥ 2) ?2
[练习]

数列{a n }满足S n + S n +1 =

5 a n +1 ,a 1 = 4 ,求a n 3

(注意到a n +1 = S n +1 ? S n 代入得:

S n +1 =4 Sn

又S1 = 4 ,∴{S n }是等比数列,S n = 4 n n ≥ 2 时,a n = S n ? S n ?1 = …… = 3· 4 n ?1
(2)叠乘法

例如:数列 {a n }中,a 1 = 3,

a n +1 n = ,求a n an n +1

解:

a2 a a a 1 2 1 n ?1 · 3 …… n = · …… ,∴ n = a1 a2 a n ?1 2 3 n a1 n

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又a 1 = 3,∴a n = 3 n

(3)等差型递推公式

由a n ? a n ?1 = f ( n) ,a 1 = a 0 ,求a n ,用迭加法
n ≥ 2 时,a 2 ? a 1 = f (2) ? ? a 3 ? a 2 = f (3) ? ?两边相加,得: …… …… ? a n ? a n ?1 = f ( n ) ? ? a n ? a 1 = f (2) + f (3) + …… + f ( n) ∴a n = a 0 + f (2) + f (3) + …… + f ( n)
[练习]

数列{a n },a 1 = 1,a n = 3 n ?1 + a n ?1 ( n ≥ 2),求a n (a n = 1 n 3 ?1 ) 2

(

)

(4)等比型递推公式

a n = ca n ?1 + d c、d为常数,c ≠ 0,c ≠ 1,d ≠ 0 可转化为等比数列,设a n + x = c(a n ?1 + x)

(

)

? a n = ca n ?1 + (c ? 1)x
令 (c ? 1) x = d,∴x = d c ?1

d ? d ? ∴ ?a n + ,c为公比的等比数列 ?是首项为a 1 + c ? 1? c ?1 ? ∴a n + d d ? ? n ?1 = ? a1 + ? ·c c ?1 ? c ? 1?

d ? n ?1 d ? ∴a n = ? a 1 + ?c ? ? c ? 1? c ?1
[练习]

数列{a n }满足a 1 = 9 , 3a n +1 + a n = 4 ,求a n ? 4? (a n = 8? ? ? ? 3?
(5)倒数法
n ?1

+ 1)

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例如:a 1 = 1,a n +1 = 1 a n +1 = 2a n ,求a n an + 2

由已知得: 1 a n +1

an + 2 1 1 = + 2a n 2 an



?

1 1 = an 2

?1? 1 1 ∴ ? ?为等差数列, = 1,公差为 2 a1 ?a n ?
∴ 1 1 1 = 1 + ( n ? 1)· = ( n + 1) an 2 2
2 n +1

∴a n =

47. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗? 例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。

如:{a n }是公差为d的等差数列,求 ∑

1 k =1 a k a k +1

n

解: 由

1 1 1? 1 1 ? = = ? ? ? (d ≠ 0) a k ·a k +1 a k (a k + d ) d ? a k a k +1 ?

n 1 1? 1 1 ? ∴∑ =∑ ? ? ? a k +1 ? k =1 a k a k +1 k =1 d ? a k n

= =
[练习]

? 1 1 ?? 1 1? ? 1 1? 1 ?? ?? ?? ? ? + ? ? ? + …… + ? ? d ?? a 1 a 2 ? ? a 2 a 3 ? ? a n a n +1 ? ? 1? 1 1 ? ? ? ? d ? a 1 a n +1 ?

求和:1 +

1 1 1 + + …… + 1+ 2 1+ 2 + 3 1 + 2 + 3 + …… + n 1 ) n +1

(a n = …… = ……,S n = 2 ?
(2)错位相减法:

若 {a n }为等差数列,{b n }为等比数列,求数列 {a n b n }(差比数列)前n项 和,可由S n ? qS n 求S n ,其中q为{b n }的公比。

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如:S n = 1 + 2 x + 3x 2 + 4 x 3 + …… + nx n ?1 <1>
<2>

x·S n = x + 2 x 2 + 3x 3 + 4 x 4 + …… + ( n ? 1)x n ?1 + nx n < 1 > ? < 2 > :(1 ? x)S n = 1 + x + x 2 + …… + x n ?1 ? nx n

x ≠ 1时,S n

(1 ? x ) ? nx =
n

n

(1 ? x)2

1? x
n(n + 1) 2

x = 1时,S n = 1 + 2 + 3 + …… + n =

(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

S n = a 1 + a 2 + …… + a n ?1 + a n ? ? ?相加 S n = a n + a n ?1 + …… + a 2 + a 1 ? ? 2S n = (a 1 + a n ) + (a 2 + a n ?1 ) + …… + (a 1 + a n )……
[练习]

已知f ( x) =

x2 ? 1? ? 1? ? 1? ,则f (1) + f (2) + f ? ? + f (3) + f ? ? + f (4) + f ? ? = 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1+ x
? 1? ? ? ? x?
2

x ? 1? (由f ( x) + f ? ? = + ? x? 1 + x2

2

? 1? 1+ ? ? ? x?

2

=

x2 1 + =1 2 1+ x 1 + x2

? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ∴原式 = f (1) + ? f (2) + f ? ? ? + ? f (3) + f ? ? ? + ? f (4) + f ? ? ? ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? 4? ? ?
= 1 1 +1+1+1 = 3 ) 2 2

48. 你知道储蓄、贷款问题吗? △零存整取储蓄(单利)本利和计算模型: 若每期存入本金 p 元,每期利率为 r,n 期后,本利和为:

n( n + 1) ? ? S n = p(1 + r ) + p(1 + 2 r ) + …… + p(1 + nr ) = p ?n + r ? ……等差问题 2 ? ?
△若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款 种类) 若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还 款日,如此下去,第 n 次还清。如果每期利率为 r(按复利),那么每期应还 x 元,满足

p(1 + r ) n = x(1 + r )

n ?1

+ x(1 + r )

n?2

+ …… + x(1 + r ) + x

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?1 ? (1 + r ) n ? (1 + r ) n ? 1 = x? ?=x r ? 1 ? (1 + r ) ? ? ?

∴x =

(1 + r ) n ? 1

pr (1 + r )

n

p——贷款数,r——利率,n——还款期数 49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。

(1)分类计数原理:N = m1 + m 2 + …… + m n (m i 为各类办法中的方法数) 分步计数原理:N = m1 ·m 2 ……m n (m i 为各步骤中的方法数)
(2)排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一

列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为A m . n

A m = n( n ? 1)( n ? 2)……( n ? m + 1) = n

n! ( m ≤ n) (n ? m)!

规定:0! = 1
(3)组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个不

同元素中取出m个元素的一个组合,所有组合个数记为C m . n

Cm = n

A m n( n ? 1)……( n ? m + 1) n! n = = m m! m!( n ? m)! Am

规定:C 0 = 1 n

( 4 )组合数性质:
n C m = C n ? m ,C m + C m?1 = C m+1 ,C 0 + C1 + …… + C n = 2 n n n n n n n n

50. 解排列与组合问题的规律是: 相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相 同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。 如:学号为 1,2,3,4 的四名学生的考试成绩

x i ∈ 89 , 90, 91, 92 , 93 , (i = 1, 2 , 3, 4) 且满足x 1 < x 2 ≤ x 3 < x 4 ,
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( A. 24 B. 15 解析:可分成两类: C. 12 D. 10 )

{

}

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(1)中间两个分数不相等,

4 有C 5 = 5(种)

(2)中间两个分数相等

x1 < x 2 = x 3 < x 4
相同两数分别取 90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有 3,4,3 种,∴有 10 种。 ∴共有 5+10=15(种)情况 51. 二项式定理

(a + b) n = C 0 a n + C1 a n ?1 b + C 2 a n ? 2 b 2 + … + C rn a n ? r b r + … + C n b n n n n n

二项展开式的通项公式:Tr +1 = C rn a n ? r b r ( r = 0,1……n)
C rn 为二项式系数(区别于该项的系数)
性质:

(1)对称性:C rn = C n ? r r = 0,1, 2 ,……,n n ( 2 )系数和:C 0 + C1 + … + C n = 2 n n n n C1 + C 3 + C 5 + … = C 0 + C 2 + C 4 + … = 2 n ?1 n n n n n n

(

)

(3)最值:n 为偶数时,n+1 为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第

?n ? 2 ? + 1? 项,二项式系数为C n ;n为奇数时, ( n + 1) 为偶数,中间两项的二项式 ?2 ?
n +1 n +1 系数最大即第 项及第 + 1项,其二项式系数为C n 2 = C n 2 2 2
n ?1 n +1

n

如:在二项式( x ? 1) 的展开式中,系数最小的项系数为
11

(用数字

表示)

(∵n=11
∴共有12 项,中间两项系数的绝对值最大,且为第 12 = 6或第 7 项 2

r 由C11 x 11? r ( ?1) r ,∴取r = 5即第 6项系数为负值为最小: 6 5 ? C11 = ? C 11 = ?426

又如:(1 ? 2 x)

2004

= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + …… + a 2004 x 2004 ( x ∈ R ),则

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(a 0 + a 1 ) + (a 0 + a 2 ) + (a 0 + a 3 ) + …… + (a 0 + a 2004 ) =
(令x = 0,得:a 0 = 1 令x = 1,得:a 0 + a 2 + …… + a 2004 = 1

(用数字作答)

∴原式 = 2003a 0 + a 0 + a 1 + …… + a 2004 = 2003 × 1 + 1 = 2004 )
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?

(

)

(1)必然事件?,P(?) = 1,不可能事件φ,P(φ) = 0

( 2 )包含关系:A ? B,“A发生必导致B发生”称B包含A。

A

B

( 3)事件的和(并):A + B或A U B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和(并)。

( 4 )事件的积(交):A·B或A I B“A与B同时发生”叫做A与B的积。

(5)互斥事件(互不相容事件):“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。

A·B = φ

(6)对立事件(互逆事件):

“A不发生”叫做A发生的对立(逆)事件,A
A U A = ?,A I A = φ

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(7)独立事件:A 发生与否对 B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立,A与B ,A与B,A与 B 也相互独立。
53. 对某一事件概率的求法: 分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即

P (A ) =

A包含的等可能结果 m = 一次试验的等可能结果的总数 n

( 2 )若A、B互斥,则P(A + B) = P(A ) + P( B)

( 3)若A、B相互独立,则P A·B = P(A )·P( B)

(

)

( 4 )P ( A ) = 1 ? P ( A )
(5)如果在一次试验中 A 发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生

k次的概率:Pn ( k ) = C k p k (1 ? p) n

n?k

如:设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率。 (1)从中任取 2 件都是次品;

? C2 2? ? P1 = 24 = ? C10 15? ?
(2)从中任取 5 件恰有 2 件次品;

? C 2 C 3 10 ? ? P2 = 4 5 6 = ? 21? C10 ?
(3)从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品; 解析: 解析:有放回地抽取 3 次(每次抽 1 件),∴n=103 而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”

∴ m = C 2 · 4 2 61 + 4 3 3 C 2 ·4 2 ·6 + 4 3 44 ∴P3 = 3 = 3 125 10
(4)从中依次取 5 件恰有 2 件次品。 解析: 解析:∵一件一件抽取(有顺序)
5 2 ∴n = A 10 ,m = C 2 A 5 A 3 4 6

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∴P4 =
2 C 2 A 5 A 3 10 4 6 = 5 21 A 10

分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。 54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从 总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个; 分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到 的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体 的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法:

(1)算数据极差( x max ? x min );
(2)决定组距和组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)画频率直方图。

其中,频率 = 小长方形的面积 = 组距×
样本平均值:x =

频率 组距

1 x 1 + x 2 + …… + x n n 1 2 2 2 样本方差:S 2 = ( x 1 ? x ) + (x 2 ? x ) + …… + ( x n ? x ) n

(

)

[

]

如:从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的 概率为____________。



4 2 C10 C 5 ) 6 C 15

56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。

( 2 )向量的模——有向线段的长度,| a |
( 3)单位向量| a 0 | = 1, a 0 =
→ → →



a


| a|

( 4 )零向量 0 ,| 0| = 0
?长度相等 → → (5)相等的向量 ? ? a=b ?方向相同





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在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。


b ∥ a ( b ≠ 0 ) ? 存在唯一实数λ,使 b = λ a











(7)向量的加、减法如图:

→ → → OA + OB = OC → → → OA ? OB = BA
(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)
→ → →

e 1 , e 2 是平面内的两个不共线向量, a 为该平面任一向量,则存在唯一
→ → → → →

实数对λ 1 、λ 2 ,使得 a = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 , e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底。 (9)向量的坐标表示



i , j 是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得
→ → → →





a = x i + y j ,称 ( x,y) 为向量 a 的坐标,记作: a = ( x,y),即为向量的坐标 设 a = ( x 1 ,y 1 ), b = ( x 2 ,y 2 ) 则 a ± b = ( x 1 ,y 1 ) ± ( y 1 ,y 2 ) = ( x 1 ± y 1 ,x 2 ± y 2 ) λ a = λ ( x 1 ,y 1 ) = ( λx 1 ,λy 1 )
→ → → → →

表示。

若A( x 1 ,y 1 ),B( x 2 ,y 2 )

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→ 则 AB = ( x 2 ? x 1 ,y 2 ? y 1 ) → | AB| =


(x 2 ? x1 ) 2 + (y 2 ? y1 )2 ,A、B两点间距离公式
→ → → → →

57. 平面向量的数量积

(1) a · b =| a | ·| b|cosθ叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)。
θ为向量 a 与 b 的夹角,θ ∈[0,π ]
→ →

v b
O

B

θ
D

v a
A

数量积的几何意义:


a · b 等于| a | 与 b 在 a 的方向上的射影| b|cosθ的乘积。
→ → → →









(2)数量积的运算法则

①a·b = b·a
→ → → →

②( a + b) c = a · c + b · c
→ →







③ a · b = ( x 1 ,y 1 ) · ( x 2 ,y 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2

注意:数量积不满足结合律 ( a · b ) · c ≠ a · ( b · c )
( 3)重要性质:设 a = ( x 1 ,y 1 ), b = ( x 2 ,y 2 )
→ →













① a ⊥ b ? a · b = 0 ? x 1 ·x 2 + y 1 ·y 2 = 0 ② a ∥ b ? a · b =| a | · | b | 或 a · b = ?| a | · | b | ? a = λ b ( b ≠ 0,λ惟一确定)
? x1 y 2 ? x 2 y1 = 0
2 2 ③ a =| a |2 = x 1 + y 1 ,| a · b| ≤| a | ·| b|



































→2













④ cos θ =
[练习]

a·b

→ →

| a | ·| b|



=

x1x 2 + y1 y 2
2 2 x1 + y1 · x 2 + y 2 2 2

→ → → → → → (1)已知正方形ABCD,边长为1, AB = a , BC = b , AC = c ,则

| a + b+ c|=







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答案: 2 2

( 2 )若向量 a = ( x,1), b = (4 ,x),当x =
答案:2
→ →





时 a 与 b 共线且方向相同
→ →





( 3)已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 60 o ,那么| a + 3 b| =
答案: 13 58. 线段的定比分点

设P1 ( x 1 ,y 1 ),P2 ( x 2 ,y 2 ),分点P( x,y),设P1 、P2 是直线 l 上两点,P点在
→ → l 上且不同于P1 、P2 ,若存在一实数 λ,使 P1 P = λ PP2 ,则 λ 叫做P分有向线段 → P1 P2 所成的比(λ > 0,P在线段P1 P2 内,λ < 0,P在P1 P2 外),且 x 1 + λx 2 x1 + x 2 ? ? ?x = 1 + λ ?x = ? ? 2 ,P为P1 P2 中点时, ? ? ?y = y 1 + y 2 ? y = y 1 + λy 2 ? ? 1+ λ 2 ? ?

如:?ABC,A( x 1 ,y 1 ),B( x 2 ,y 2 ),C( x 3 ,y 3 )
y + y2 + y3 ? ? x + x2 + x3 则?ABC重心G的坐标是 ? 1 , 1 ? ? ? 3 3
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗? 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗? 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:

线∥线 ← → 线∥面 ← → 面∥面 ? ? 判定 性质 ? ??→ 线⊥线 ← → 线⊥面 ← → 面⊥面 ←??? ? ? 线∥线 ← → 线⊥面 ← → 面∥面 ? ?
线面平行的判定:

a∥b,b ? 面α,a ? α ? a∥面α
a b

α
线面平行的性质:

α∥面α,α ? 面β,α I β = b ? a∥b

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三垂线定理(及逆定理):

PA⊥面α,AO为PO在α内射影,a ? 面α,则 a⊥OA ? a⊥PO;a⊥PO ? a⊥AO
P

α
O a
线面垂直:

a⊥b,a⊥c,b,c ? α,b I c = O ? a⊥α
a

α 面面垂直:

b

O c

a⊥面α,a ? 面β ? β⊥α 面α⊥面β,α I β = l,a ? α,a⊥l ? a⊥β

α

a

l
β

a⊥面α,b⊥面α ? a∥b
面α⊥a,面β⊥a ? α∥β a b

α
60. 三类角的定义及求法 (1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°

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(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°

θ= 0 o 时,b∥α或b ? α

( 3)二面角:二面角α ? l ? β的平面角θ, 0 o < θ ≤ 180 o

(三垂线定理法:A∈α作或证 AB⊥β于 B,作 BO⊥棱于 O,连 AO,则 AO⊥棱 l,∴∠AOB 为所 求。) 三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。 [练习] (1)如图,OA 为α的斜线 OB 为其在α内射影,OC 为α内过 O 点任一直线。

证明: cos γ = cos θ· cos β

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A

α O γ θ β C D B

(θ为线面成角,∠AOC = γ,∠BOC = β)
(2)如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC1 所成的为 30°。 ①求 BD1 和底面 ABCD 所成的角; ②求异面直线 BD1 和 AD 所成的角; ③求二面角 C1—BD1—B1 的大小。 D1 A1 B1 H G D A B C C1

3 6 (① arcsin ;② 60 o ;③ arcsin ) 4 3
(3)如图 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面 ABCD,且 PD=AD,求面 PAB 与面 PCD 所成的 锐二面角的大小。 P F

D

C

A

E

B

(∵AB∥DC,P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点,作 PF∥AB,则 PF 为面 PCD 与面 PAB 的交线……) 61. 空间有几种距离?如何求距离? 点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,或者用等积 转化法)。 如:正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,则: (1)点 C 到面 AB1C1 的距离为___________;

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(2)点 B 到面 ACB1 的距离为____________; (3)直线 A1D1 到面 AB1C1 的距离为____________; (4)面 AB1C 与面 A1DC1 的距离为____________; (5)点 B 到直线 A1C1 的距离为_____________。 D A B C

D1 A1 B1

C1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质? 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:

Rt?SOB,Rt?SOE,Rt?BOE和Rt?SBE
它们各包含哪些元素?

S 正棱锥侧 = V锥 =

1 C·h' (C——底面周长,h' 为斜高) 2

1 底面积×高 3

63. 球有哪些性质?

(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面r = R 2 ? d 2
(2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角! (3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。

( 4 )S 球 = 4 πR 2 ,V球 =

4 πR 3 3

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(5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径 R 与内切球半径 r 之比为 R:r=3: 1。

如:一正四面体的棱长均为 2 ,四个顶点都在同一球面上,则此球的表面
积为( )

A. 3π

B. 4 π

C. 3 3π

D. 6π

答案:A 64. 熟记下列公式了吗?

(1)l 直线的倾斜角α ∈[0,π ),k = tan α =

y 2 ? y1 ? π ? ? α ≠ ,x 1 ≠ x 2 ? ? x 2 ? x1 ? 2


P1 ( x 1 ,y 1 ),P2 ( x 2 ,y 2 )是l 上两点,直线l 的方向向量 a = (1,k )
(2)直线方程:

点斜式:y ? y 0 = k( x ? x 0 ) (k存在)

斜截式:y = kx + b
截距式: x y + =1 a b

一般式:Ax + By + C = 0 (A、B不同时为零)
( 3)点P( x 0 ,y 0 )到直线l :Ax + By + C = 0的距离 d =
( 4 )l1 到l2 的到角公式: tan θ = k 2 ? k1 1 ? k1k 2

Ax 0 + By 0 + C A 2 + B2

l1 与l2 的夹角公式: tan θ =

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

65. 如何判断两直线平行、垂直?

A 1 B 2 = A 2 B1 ? ? ? l1 ∥l2 A 1C 2 ≠ A 2 C1 ?

k 1 = k 2 ? l1 ∥l 2 (反之不一定成立) A 1A 2 + B1 B 2 = 0 ? l1 ⊥l2
k 1 ·k 2 = ?1 ? l1 ⊥l2
66. 怎样判断直线 l 与圆 C 的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。

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67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?

联立方程组 ? 关于x(或y)的一元二次方程 ? “?” ? > 0 ? 相交;? = 0 ? 相切;? < 0 ? 相离
68. 分清圆锥曲线的定义

?椭圆 ? PF1 + PF2 = 2a, 2a > 2c = F1 F2 ? ? 第一定义 ?双曲线 ? PF1 ? PF2 = 2a, 2a < 2c = F1 F2 ? ?抛物线 ? PF = PK ?
第二定义:e = PF PK = c a

0 < e < 1 ? 椭圆;e > 1 ? 双曲线;e = 1 ? 抛物线
y b O F1 F2 a x

a2 x= c

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) a 2 b2

(a

2

= b2 + c2

)

x2 y2 ? = 1 (a > 0,b > 0) a2 b2

(c

2

= a 2 + b2

)
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e>1 P F k e=1 0<e<1

x2 y2 x2 y2 69. 与双曲线 2 ? 2 = 1有相同焦点的双曲线系为 2 ? 2 = λ (λ ≠ 0) a b a b
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?△≥0 的限制。 (求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0 下进行。)

弦长公式 P1 P2 =

(1 + k )[(x
2

1

+ x 2 ) ? 4x1 x 2
2

]

1? 2 ? = ?1 + 2 ? (y1 + y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ? k ?
71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗? 如: y

[

]
P(x0,y0)

K

F1

O

F2

x

l x2 y2 ? =1 a2 b2

PF2

? a2 ? = e, PF2 = e? x 0 ? ? = ex 0 ? a PK c? ?

PF1 = ex 0 + a
y A P2

O P1

F

x

B

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y 2 = 2 px( p > 0)
通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如:椭圆mx 2 + ny 2 = 1 与直线 y = 1 ? x 交于M、N两点,原点与MN中点连
线的斜率为 2 m ,则 的值为 2 n

答案:

m 2 = n 2

73. 如何求解“对称”问题? (1)证明曲线 C:F(x,y)=0 关于点 M(a,b)成中心对称,设 A(x,y)为曲线 C 上任意一点, 设 A'(x',y')为 A 关于点 M 的对称点。

(由a =

x + x' y + y' ,b = ? x ' = 2 a ? x, y ' = 2 b ? y) 2 2

只要证明A ' (2a ? x, 2 b ? y)也在曲线C上,即f ( x') = y'
?AA ' ⊥l ( 2 )点A、A ' 关于直线l 对称 ? ? ?AA ' 中点在 l 上 ?k AA ' ·k l = ?1 ?? ?AA ' 中点坐标满足 l 方程
?x = r cos θ 74. 圆x 2 + y 2 = r 2 的参数方程为 ? (θ为参数) ?y = r sin θ 椭圆 ?x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1的参数方程为 ? (θ为参数) 2 a b ?y = b sin θ

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。 (直接法、定义法、转移法、参数法) 76. 对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求出目标函 数的最值。

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