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利用类比法学习立体几何



利用类比法学习立体几何 推理与证明已作为新的课程标准内容成为高中数学的选学必考内容,进一步 强调了利用归纳与类比等进行合情推理与演绎推理。波利亚在论及类比法时,认 为类比推理可以在三个方面发挥作用,①.可以提出新问题与获得新发现 ;②,可以 在求解问题中得到应用;③.可以用来对猜想进行检验。在学习立体几何时,若将平 面几何的知识类比于立体几何学习,则会起到事半功倍,系统记忆与触类

旁通的作 用。 1.如圆中垂径定律与球的截面性质相类似 圆中,垂直于弦的直径,平分弦且平分弦所对的两条弧。圆心到弦的距离为 d, 圆半径为 r,弦长为 2l.,则 l=。球中,球心与球的截面圆的圆心的连线垂直于截面, 球心到截面的距离为 d,球半径为 R ,截面半径为 r 。则 r= 2.直角三角形与直角三棱锥性质类比 直角三角形是平面几何中的基本图形,它有许多性质贯穿于初中几何全部,而 直角三棱锥(三个侧面两两互相垂直的三棱锥,也称墙角模型)则可以作为立体几 何的基本图形, 它们之间有许多性质类似 , 可间称为 ;(线对面,长度对面积 , 面积对 体积)。 直角三角形的性质 直角三棱锥的性质 其面积等于两直角边的乘积的一半 其体积等于三条侧棱的积的 1/6 两直角边的平方和等于斜边的平方(即勾股定理) 三个侧面面积的平方和等 于底面面积的平方(03 高考题) 外接圆半径的平方等于两直角边平方和的 1/4 条侧棱长的平方和的 1/4 外接球半径的平方等于三 内切圆的半径等于三角形面积的二倍除以周长 内切球的半径等于三棱锥 体积的三倍除以表面积 两直角边与斜边所成角的余弦的平方和等于 1 余弦的平方和等于 1 三个侧面与底面所成角的 斜边上任一点到两直角距离的平方和等于这点到直角顶点的平方 任一点到三个侧面的距离的平方和等于这点到直角顶点的平方 底面上 上述类比性质, 结构对称 , 证明方法及思路相似 ,在此证明直角三棱锥三个侧 面与底面所成角的余弦的平方和等于 1。 已知直角三棱锥 V-ABC 中, SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC, 三个侧面面积分别为 要 S1,S2,S3,底面 ABC 面积为 S, 三个侧面与底面所成角为 α,β,γ 如图 证明,如上图 ,作 SO⊥面 ABC 于 O,连结 OA,OB,OC ,则易证 SC ⊥面 SAB , 由 cosα=S 射/S 原 得:cosα=SAOB/S1 =S1/S, cosβ=SBOC/S2 = S2/S, cosγ=SAOC/S3=S3/S ∴ cos2α+cos2β+cos2=(SAOB+SBOC+SAOC))/S=1 练习: 1 、在平面上 ,“ 等边三角形内任意一点到三边距离和 ”, 类比猜想 , 在空间中 ——π 2、半径为 r 的圆的面积 S(r)=πr2,周长 C(r)=2πr,若将 r 看作(0,+∞)上的变量, 则(πr2)’=2πr……①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长 函数。对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式 子:○2 ②式可以用语言叙:。 3、有对称中心的曲线叫有心曲线,如椭圆,双曲线都是有心曲线.过有心圆锥 曲线中心的弦有心圆锥曲线的直径,定理;过圆 x2+y2=r2(r>0)上异于直径两端点 的任意一点,与一条直径的两个端点连线,则着两条连线所在直线斜率之积为-1, (1)写出定理在椭圆 x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)中的推广命题,并加以证明 (2)写出定理在双曲线中的推广 ,上述结论在一般有心圆锥曲线


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