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2016-2017学年高中人教A版数学必修4


模块综合测试卷 班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题:本大题共 12 题,每题 5 分,共 60 分.在下列各题的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1.-3290° 角是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案:D 解析:-3290° =-360° ×10+310° ∵310° 是第四象限角 ∴-3290° 是第四象限角 2.在单位圆中,一条弦 AB 的长度为 3,则该弦 AB 所对的弧长 l 为( ) 2 3 A. π B. π 3 4 5 C. π D.π 6 答案:A 解析:设该弦 AB 所对的圆心角为 α,由已知 R=1, AB α 2 3 α π 2 2 ∴sin = = ,∴ = ,∴α= π,∴l=αR= π. 2 R 2 2 3 3 3 π 3.下列函数中周期为 的偶函数是( ) 2 A.y=sin4x B.y=cos22x-sin22x C.y=tan2x D.y=cos2x 答案:B 2π π 2π π 解析:A 中函数的周期 T= = ,是奇函数.B 可化为 y=cos4x,其周期为 T= = , 4 2 4 2 π 2π 是偶函数.C 中 T= ,是奇函数,D 中 T= =π,是偶函数.故选 B. 2 2 4.已知向量 a,b 不共线,实数 x,y 满足(3x-4y)a+(2x-3y)· b=6a+3b,则 x-y 的 值为( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 答案:A ?3x-4y=6, ?x=6, ? ? 解析:由原式可得? 解得? ∴x-y=3. ? ? ?2x-3y=3, ?y=3. → → → 5.在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形 ABCD 是( ) A.长方形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 答案:D → → → → → 解析:AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2BC, → → 且|AD|≠|BC| ∴四边形 ABCD 是梯形.

π π? 6.已知向量 a=(1,0),b=(cosθ,sinθ),θ∈? ?-2,2?,则|a+b|的取值范围是( A.[0, 2] B.[0,2] C.[1,2] D.[ 2,2] 答案:D

)

π π? 解析:|a+b|2=a2+b2+2a· b=2+2cosθ,因为 θ∈? ?-2,2?,所以 2+2cosθ∈[2,4],所 以|a+b|的取值范围是[ 2,2]. π ? 4 ?π ? 7.已知 cosα=- ,且 α∈? ) ?2,π?,则 tan?4-α?=( 5 1 A.- B.7 7 1 C. D.-7 7 答案:B π ? 4 3 3 解析:∵α∈? ?2,π?,cosα=-5,∴sinα=5,tanα=-4, ?-3? 1 - ? 4? π ? tan? ?4-α?= ? 3?=7. 1+?-4? π x- ?的部分图象是( 8.函数 f(x)=2sin? ) ? 2?

答案:C π? 解析:∵f(x)=2sin? ?x-2?, π? ?π ? ∴f(π-x)=2sin? ?π-x-2?=2sin?2-x? =f(x), π ∴f(x)的图象关于直线 x= 对称.排除 A、B、D. 2 π ? 9.y=2cos? ) ?4-2x?的单调减区间是( π 5 ? A.? ?kπ+8,kπ+8π?(k∈Z) 3 π ? B.? ?-8π+kπ,8+kπ?(k∈Z) π 5 ? C.? ?8+2kπ,8π+2kπ?(k∈Z) 3 π ? D.? ?-8π+2kπ,8+2kπ?(k∈Z) 答案:A π π? π ? ? 解析:y=2cos? ?4-2x?=2cos?2x-4?.由 2kπ≤2x-4≤π+2kπ,(k∈Z) π? π 5 得 +kπ≤x≤ π+kπ(k∈Z)时,y=2cos? ?2x-4?单调递减.故选 A. 8 8 π 5π 10. 已知 ω>0,0<φ<π, 直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称 4 4 轴,则 φ 的值为( )

π π A. B. 4 3 π 3π C. D. 2 4 答案:A π 5π 5π π T T 解析: 因为直线 x= 和 x= 是函数图象中相邻的两条对称轴, 所以 - = , 即 =π, 4 4 4 4 2 2 2π π T=2π.又 T= =2π, 所以 ω=1, 所以 f(x)=sin(x+φ). 因为直线 x= 是函数图象的对称轴, ω 4 π π π π 所以 +φ= +kπ,k∈Z,所以 φ= +kπ,k∈Z.因为 0<φ<π,所以 φ= ,检验知,此时直 4 2 4 4 5π 线 x= 也为对称轴.故选 A. 4 11.若向量 a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为( ) A. 2-1 B.2- 2 C. 2 D.2 答案:C 解析:|a+b|= 2?x2+2x+2?≥ 2. π π β β π π 1 3 +α?= ,cos? - ?= ,则 cos?α+ ?=( 12.若 0<α< ,- <β<0,cos? ) 4 4 2 ? ? 3 ? ? 3 ? 2? 2 2 3 3 A. B.- 3 3 5 3 6 C. D.- 9 9 答案:C π π β β α+ ?-? - ?, 解析:∵α+ =? 4? ?4 2? 2 ? β π π β π π β π π β 1 3 α+ ?=cos??α+ ?-? - ??=cos?α+ ?cos? - ?+sin?α+ ?sin? + ?= × ∴cos? ? 2? ?? 4? ?4 2?? ? 4? ?4 2? ? 4? ?4 2? 3 3 3+4 3 5 3 2 2 6 + × = = . 3 3 9 9 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. π 13.已知|a|=4,a 与 b 的夹角为 ,则 a 在 b 方向上的投影为__________. 6 答案:2 3 π 解析:由投影公式计算:|a|cos =2 3. 6 14.函数 y=2sinxcosx-1,x∈R 的值域是______. 答案:[-2,0] 解析:y=2sinxcosx-1=sin2x-1,∵x∈R, ∴sin2x∈[-1,1],∴y∈[-2,0]. π? 15.已知函数 f(x)=3sin? ?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相 π 0, ?,则 f(x)的取值范围是________. 同.若 x∈? ? 2? 3 ? 答案:? ?-2,3? π? 解析:由 f(x)与 g(x)的图像的对称轴完全相同,易知:ω=2,因为 x∈? ?0,2?,所以 2x π 5π π π 3 π - , ?,则 f(x)的最小值为 3sin?- ?=- ,最大值为 3sin =3, - ∈? 6 6 6 ? ? ? 6 ? 2 2 3 ? 所以 f(x)的取值范围是? ?-2,3?.

16.下列判断正确的是________.(填写所有正确判断序号) 1 4 ①若 sinx+siny= ,则 siny-cos2x 的最大值是 3 3 π π 3π +2x?的单调增区间是?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z) ②函数 y=sin? 8 8? ?4 ? ? 1+sinx-cosx ③函数 f(x)= 是奇函数 1+sinx+cosx x 1 ④函数 y=tan - 的最小正周期是 π 2 sinx 答案:①④ 2 4 解析:①siny-cos2x=sin2x-sinx- ,∴sinx=-1 时,最大值为 . 3 3 π π π 3π π ②2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,∴kπ- ≤x≤kπ+ . 2 4 2 8 8 ③定义域不关于原点对称. x 1 1 ④y=tan - =- ,∴T=π. 2 sinx tanx 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. π ? cos? ?2+α?sin?-π-α? 17.(10 分)已知角 α 终边上一点 P(-4,3),求 的值. 11π ? ?9π -α sin +α? cos? ? 2 ? ?2 ? y 3 解:∵tanα= =- x 4 π ? cos? ?2+α?sin?-π-α? -sinα· sinα 3 ∴ = =tanα=- . 11π ? ?9π 4 cosα ? -sinα· cos? ? 2 -α?sin? 2 +α? 18.(12 分)已知向量 m=(sinA,cosA),n=(1,-2),且 m· n=0. (1)求 tanA 的值; (2)求函数 f(x)=cos2x+tanA· sinx(x∈R)的值域. 解:(1)∵m· n=0, ∴sinA-2cosA=0. sinA ∴tanA= =2. cosA (2)f(x)=cos2x+tanAsinx=cos2x+2sinx 1?2 3 =1-2sin2x+2sinx=-2? ?sinx-2? +2. ∵-1≤sinx≤1 1 3 ∴sinx= 时,f(x)取最大值 , 2 2 sinx=-1 时,f(x)取最小值-3, 3 -3, ?. ∴f(x)的值域为? 2? ? 19.(12 分)已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; 5 (2)若|b|= ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ. 2 解:(1)设 c=(x,y). ∵|c|=2 5,∴ x2+y2=2 5,即 x2+y2=20.① ∵c∥a,a=(1,2) ∵2x-y=0,即 y=2x,②

? ? ?x=2 ?x=-2 联立①②得? 或? ?y=4 ?y=-4, ? ? ∴c=(2,4)或(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), ∴(a+2b)· (2a-b)=0, ∴2|a|2+3a· b-2|b|2=0. 5 5 ∵|a|2=5,|b|2= ,代入上式得 a· b=- , 4 2 5 - 2 a· b ∴cosθ= = =-1. |a|· |b| 5 5× 2 又∵θ∈[0,π], ∴θ=π. π x- ?-sin2x. 20.(12 分)已知函数 f(x)=cos2? ? 6? π ? (1)求 f? ?12?的值; π? (2)若对于任意的 x∈? ?0,2?,都有 f(x)≤c,求实数 c 的取值范围. π? π? π 3 2? 2π 解:(1)f? ?12?=cos ?-12?-sin 12=cos6= 2 . π?? 1 1 (2)f(x)= ? 1+cos? ?2x-3??-2(1-cos2x) 2? 1 ?2x-π?+cos2x? = ? cos 3? ? 2? ? 1? 3 3 ?= 3sin?2x+π?. = 3? ? 2? 2 sin2x+2cos2x? 2 π? π ?π 4π? 因为 x∈? ?0,2?,所以 2x+3∈?3, 3 ?, π π π 3 所以当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 . 3 2 12 2 π? 3 所以对任意 x∈? ?0,2?,f(x)≤c 等价于 2 ≤c. π? ? 3 ? 故当对任意 x∈? ?0,2?,f(x)≤c 时,c 的取值范围是? 2 ,+∞?. π? 3 5 ? π? 3 ?π π? 21.(12 分)已知 sinα+cosα= ,α∈? ?0,4?,sin?β-4?=5,β∈?4,2?. 5 (1)求 sin2α 和 tan2α 的值; (2)求 cos(α+2β)的值. 9 9 4 解:(1)由题意得(sinα+cosα)2= ,即 1+sin2α= ,∴sin2α= . 5 5 5 π 3 2 ? 又 2α∈? ?0,2?,∴cos2α= 1-sin 2α=5, sin2α 4 ∴tan2α= = . cos2α 3 π π? π ? π? (2)∵β∈? ?4,2?,β-4∈?0,4?, π 4 β- ? = , ∴cos? ? 4? 5 π? ? π? ? π? 24 于是 sin2? ?β-4?=2sin?β-4?cos?β-4?=25.

π? 24 又 sin2? ?β-4?=-cos2β,∴cos2β=-25. π ? 1+cos2α 4 7 ,π ,∴sin2β= ,又 cos2α= 又 2β∈? = , ?2 ? 25 2 5 π 2 1? ?? ∴cosα= ,∴sinα= ?α∈? ?0,4??. 5 5 2 5 ? 24? 5 7 11 5 ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β= ×?-25?- × =- . 5 5 25 25

A? ?2π ? 22.(12 分)如图,点 P? ?0, 2 ?是函数 y=Asin? 3 x+φ?(其中 A>0,φ∈[0,π))的图象与 y 轴的交点,点 Q,点 R 是它与 x 轴的两个交点. (1)求 φ 的值; (2)若 PQ⊥PR,求 A 的值. A? 1 解:(1)∵函数经过点 P? ?0, 2 ?,∴sinφ=2, π 又∵φ∈[0,π),且点 P 在递增区间上,∴φ= . 6 2π π ? (2)由(1)可知 y=Asin? ? 3 +6?. 2π π? 令 y=0,得 sin? ? 3 x+6?=0, 2π π 1 5 ∴ x+ =kπ,(k∈Z),∴可得 x=- , , 3 6 4 4 1 5 ? ? ? ∴Q? ?-4,0?,R?4,0?. A? A? → ?5 A? → ? 1 又∵P? ?0, 2 ?,∴PQ=?-4,-2 ?,PR=?4,- 2 ?. 5 1 5 → → ∵PQ⊥PR,∴PQ· PR=- + A2=0,解得 A= . 16 4 2


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