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山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理数试题



山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考理数试 题

(满分 150 分,考试时间 120 分) 一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请 将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x ? Z y ? x ? 3 B ?

? x x ? 5? ,则 A ? (CU B) ? A. ? 3, 5? 2.复数 z ? A. 2 B. ? 3,5 ? C.

?

?

?4,5?

D.

?3, 4,5?

3?i 的虚部为 1? i
B.

?2

C. 2i

D. ?2i

3.若焦点在 x 轴上的双曲线

x2 y 2 6 ? ? 1 的离心率为 ,则该双曲线的渐近线方程为 2 2 m
开始

A. y ? ?

2 x 2

B.

y ? ?2 x

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? 2 x

输入 x 否 x=x+1 是

4.按照如图的程序运行,已知输入 x 的值为 2+log23,则输出 y 的值为 A.
1 12

x≥4?

B.

1 8

C.

1 24

D.

3 8

5.已知等比数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1, 公比 q ? 2 ,则

1 y=( )x 2
输出 y

log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 a11 ?
A.50
n

B.35

C.55

D.46
n

结束

6.已知 (1 ? 2 x) 展开式中,奇数项的二项式系数之和为 64,则 (1 ? 2 x) (1 ? x) 展开式中含

x 2 项的系数为
A. 71 B. 70 C.21 D. 49
2 3 主视图

3 3 2 2

7.如图是一几何体的三视图,则该几何体的体积是 A.9 B.10 C.12 D. 18

侧视图

4 俯视图

? y?x ? 8.设 m ? 1 ,当实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 2 x 时,目标函数 ?x ? y ? 1 ?

z ? x ? my 的最大值等于 2,则 m 的值是

A. 2

B.3

C.

3 2

D.

5 2

? x, x ? [?1,0) ? ? 1 9.已知函数 f ( x) ? ? , 若方程 f ( x) ? kx ? k ? 0 有两个实数根,则 ? 1, x ? [0,1) ? f ( x ? 1) ?
k 的取值范围是 1? ? A. ? ?1, ? ? 2? ?
? 1 ? B. ? ? ,0 ? ? 2 ?

C. ? ?1, ?? ?

? 1 ? D. ? ? , ?? ? 2 ? ?

10.已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, SC 为球 O 的直径,且 SC ? OA ,

SC ? OB , ?OAB 为等边三角形,三棱锥 S ? ABC 的体积为
A.3
2

4 3 ,则球 O 的半径为 3

B. 1

C. 2

D. 4

11.抛物线 y ? 12 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,当

?FPM 为等边三角形时,则 ?FPM 的外接圆的方程为 Ks5u
A.. ( x ? 3) ? ( y ? 5 ) ? 5
2 2

B. ( x ? 3) ? ( y ? 4 3 ) ? 48
2 2

C. ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9
2 2

D. ( x ? 3) ? ( y ? 2 7 ) ? 28
2 2

12.已知函数 y ? f (x) 定义域为 (?? , ? ) ,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? ?1 对 称,当 x ? (0, ? ) 时, f ( x) ? ? f ?( ) sin x ? ? ln x , (其中 f ?(x) 是 f (x) 的导函数) ,若

?

2

1 a ? f (30.3 ), b ? f (log ? 3), c ? f (log 3 ) ,则 a, b, c 的大小关系是 9
A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. c ? a ? b 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , (a ? b ) ? a ,则向量 a 与向量 b 的夹角为 14.已知数列{ a n }满足 a1 ? 2, a n ?1 ? 15.设 ? 为第四象限角, tan( ? ?

?

?

?

?

?

?

?



1 ? an (n ? N * ) ,则 a 2014 的值为 1 ? an



?
4

)?

1 ,则 sin? ? cos? ? 2



16.已知数列{ a n }的前 n 项和 s n 满足 an ? 3sn ?sn?1 ? 0( n ? 2, n ? N* ) , a1 ? 值为 .

1 ,则 nan 的最小 3

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上) 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2cos2 x ? 1( x ? R) . 6

?

(1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,三内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 f ( A) ? 的值. 18.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中, PA ? 底面ABCD ,AB ? AD ,AC ? CD ,PA ? AB ? BC ? AC , E 是 PC 的中点. (1)求证: PD ? 平面ABE ; (2)求二面角 A ? PD ? C 的平面角的正弦值.
1 , 2a ? b ? c , bc ? 18 .求 a 2
P

E A C B D

19.(本小题满分 12 分)在一次数学考试中,第 22,23,24 题为选做题,规定每位考生必须且 只须在其中选做一题, 5 名考生选做这三题的任意一题的可能性均为 设 的选择是相互独立的,各学生的选择相互之间没有影响. (1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率; (2)设选做第 23 题的人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.

1 , 每位学生对每题 3

20.(本小题满分 12 分)设椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,离心率为 ,过点 2 2 a b

F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 2 .
(1) 求椭圆方程. (2) 过点 P(0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B ,当 ?OAB 面积最大时,求 AB . 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x (e ? 1) ? ax
2 x 3

(1) 当 a ? ? 时,求 f (x) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时, f (x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A ,直径 BC ? OP ,连接 AB 交 PO 于点 D . C A (Ⅰ)证明: PA ? PD ; (Ⅱ)求证: PA?AC ? AD? . OC O 23.(本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 B D P

1 3

在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程

为 ? sin 2

? x ??2 ? 2 t ? 2 ? ?4)的直线 l 的参数方程为 y ??4 ? 2 t ( t 为参数) , ? ? 2a cos? (a ? 0) ,过点 P (?2, ? ? 2

直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 PA ?PB ? AB ,求 a 的值.
2

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? 1 . (Ⅰ)求使不等式 f ( x) ? 6 成立的 x 的取值范围; (Ⅱ) ?xo ? R , f ( xo ) ? a ,求实数 a 的取值范围.

2014 届 高 三 年 级 第 一 次 四 校 联 考 数 学 试 题 答 案 ( 理 )
1-12 题答案:1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.B 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 60
?

14. ? 3

15. ?

2 10 1 16. ? 5 3

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上) 17.解析.解:(1)f(x)= sin(2x ? = 3 1 ? 2 )+2cos x-1= sin2x- cos2x+cos2x 6 2 2

3 1 ? sin2x+ cos2x= sin(2x + )………………………………………3 分 2 2 6 ? ? ? ? ? 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,(k?Z)得 kπ - ≤x≤kπ + ,(k?Z)…………5 分 2 6 2 3 6 ? ? ∴f(x)的单调递增区间为[kπ - ,kπ + ](k?Z).………………………6 分 3 6 1 ? 1 (2) 由 f(A)= , 得 sin(2A + )= 2 6 2 ? ? ? ? 5? ? ∵ <2A+ <2π + , ∴2A+ = ,∴A= ……………………………8 分 6 6 6 6 6 3 2 2 2 2 由余弦定理得 a =b +c -2bccosA=(b+c) -3bc………………………10 分 又 2a=b+c,bc=18. 2 ∴a =18, ∴a=3 2………………………………………………………………12 分

18.(1)证明: PA ? 底面 ABCD ,? CD ? PA 又 CD ? AC , PA ? AC ? A , 故 CD ? 面 PAC AE ? 面 PAC , 故

CD ? AE ………………………………………… 4 分 又 PA ? AC , E 是 PC 的中点,故 AE ? PC 从而 AE ? 面 PCD ,故 AE ? PD 易知 BA ? PD , 故 PD ? 面 ABE ……………………………… 6分
( 2 ) 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 设 AC ? a , 则 A( 0, 0 , 0) 、

z

y x

? a 3a ? ? 2a ? , 0? , C ? , P(0 , 0 , a) 、 B(a , 0, 0) 、 D ? 0 , ? 2 2 , 0 ? ,从而 ? 3 ? ? ? ?
???? ? a ??? ? 3a ? 2a , 0 ? ,…9 分 PD ? (0 , ,? a ), DC ? ? , ? ?2 ? 6 3 ? ?

?? ? 设 n1 ? ( x , y , z ) 为平面 PDC 的法向量,

? ? ? ?? ??? 2a ? n1 ? PD ? 3 y ? az ? 0 ?? ? ? ? 可以取 n1 ? (1, 3 , 2) 则? ?? ? n? ? ???? ? a x ? 3a y ? 0 ? 1 DC 2 6 ?

……………………11 分

?? ? 又 n2 ? (1, 0 , 0) 为平面 PAD 的法向量,若二面角 A ? PD ? C 的平面角为 ?
1 1 则 cos ? ? ?? ?? ? ? ? 8 n1 ? n2
因此 sin ? ? ……………………11 分

14 。……………………12 分 4

19.解:(1)设事件 A1 表示甲选 22 题, A2 表示甲选 23 题, A3 表示甲选 24 题,

B1 表示乙选 22 题, B2 表示乙选 23 题, B3 表示乙选 24 题,
则甲、乙两人选做同一题事件为 A1 B1 ? A2 B2 ? A3 B3 , 且 A1与B1,A2与B2,A3与B3 相互独立,所以

P? A1 B1 ? A2 B2 ? A3 B3 ? ? P? A1 ?P?B1 ? ? P? A2 ?P?B2 ? ? P? A3 ?P?B3 ? ? 3 ?

1 1 ? 9 3

…………………………………………………………4 分 (2)设 ? 可能取值为 0,1,2,3,4,5. ? ~ B? 5, ?

? 1? ? 3?

?1? ? 2? ? P?? ? k ? ? C5k ? ? ? ? ?3? ? 3?

k

5? k

? C5k

25? k , k ? 0,1,2,3,4,5 35
2 3 4 5

?分布列为
?
P
0 1

32 243 1 5 ? E ?? ? ? np ? 5 ? ? 3 3
20.解:(1)

80 243

80 243

40 243

10 243

1 243

………………………………………12 分

x2 ? y2 ? 1 2

………Ks5u…(4 分)

(2)根据题意可知,直线 l 的斜率存在,故设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) ,

? y ? k x? 2 ? 2 2 消去 y 得关于 x 的方程 (1 ? 2k ) x ? 8kx ? 6 ? 0 (6 分) B?x2 , y2 ? 由方程组 ? x 2 ? y2 ? 1 ? ?2
由直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点,则有 ? ? 0 , 即 64 k ? 24(1 ? 2k ) ? 16 k ? 24 ? 0 得 k ?
2 2 2

2

3 2

8k ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 由根与系数的关系得 ? ?x ? x ? 6 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
故 AB ? x1 ? x 2 ? 1 ? k
2

?

16 k 2 ? 24 1 ? k 2 ………………… (9 分) 2 1 ? 2k 2 1? k 2
, 故 ?O A B 面 积 的

又 因 为 原 点 O 到 直 线 l 的 距 离 d ?

1 16 k 2 ? 24 2 2 ? 2k 2 ? 3 S ? AB ? d ? ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
令t ?

2k 2 ? 3 ? 0 则 2k 2 ? t 2 ? 3

所以 S ?AOB ?

2 2t 2 ? 当且仅当 t ? 2 时等号成立, 2 t ?4 2

即k ? ?

14 3 时, AB ? ……………………………………(12 分) 2 2

21、解: (1)当 a ? ? 时, f ( x) ? x 2 (e x ? 1) ?

1 3

1 3 x 3

f ' ( x) ? 2 x(e x ? 1) ? x 2 e x ? x 2 ? (2 x ? x 2 )(e x ? 1)
令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 ? 2 ? x ? 0 ;令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?2
' '

? f (x) 的单调递增区间为 (?2 , 0) , (0 , ? ?)
f (x) 的单调递减区间为 (?? , ? 2)
2 x 3 2 x

………………………………………4 分

(2) f ( x) ? x (e ? 1) ? ax ? x (e ? 1 ? ax) 令 g ( x) ? e ? 1 ? ax
x '

x ? [0 ,??)
x

g ' ( x) ? e x ? a

当 a ? ?1 时, g ( x) ? e ? a ? 0, g ( x) 在 [0, ? ?) 上为增函数. 而 g (0) ? 0, 从而当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,即 f (x) ? 0 恒成立. 若当 a ? ?1 时,令 g ( x) ? e ? a ? 0 ,得 x ? ln(?a)
' x

当 x ? (0, ln(?a)) 时, g ( x) ? 0, g ( x) 在 (0, ln(?a)) 上是减函数,
'

而 g (0) ? 0, 从而当 x ? (0, ln(?a)) 时, g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? 0 综上可得 a 的取值范围为 [?1,??) . …………………………………………………12 分

22.证明:(1)∵直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A ∴∠PAB=∠ACB…………………………………………2 分 C ∵BC 为圆 O 的直径,∴∠BAC=90° A ∴∠ACB=90°-B D ∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B……………………………4 分 O 又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B ∴PA=PD…………………………………………………5 分 (2)连接 OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO B ∵∠OAC=∠ACO ∴Δ PAD∽Δ OCA………………………………………8 分 PA AD ∴ = ∴PA?AC=AD?OC………………………………………10 分 OC AC 2 2 2 23.解:(1) 由 ρ sin θ =2acosθ (a>0)得 ρ sin θ =2aρ cosθ (a>0) 2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax(a>0)………………………2 分 直线 l 的普通方程为 y=x-2…………………………………4 分 2 (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y =2ax 中, 2 得 t -2 2(4+a)t+8(4+a)=0 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2 则有 t1+t2=2 2(4+a), t1t2=8(4+a)……………………………6 分 2 ∵|PA|?|PB|=|AB| 2 2 ∴t1t2=(t1-t2) , 即(t1+t2) =5t1t2………………………………8 分

P

∴[2 2(4+a)] =40(4+a) a +3a-4=0 Ks5u 解之得:a=1 或 a=-4(舍去) ∴a 的值为 1…………………………………………………10 分 Ks5u 24. 解:(1) 由绝对值的几何意义可知 x 的取值范围为(-2,4) ………5 分 (Ⅱ) ? x0?R,f(x0)<a,即 a>f(x)min ……………………………………7 分 由绝对值的几何意义知:|x-3|+|x+1|可看成数轴上到 3 和-1 对应点的距离和. ∴f(x)min=4 …………………………………………………9 分 ∴a>4 所求 a 的取值范围为(4,+∞) …………………………………………10 分

2

2



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