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2.1椭圆(2)


第2章

椭圆、双曲线、抛物线

2.1

椭圆

创 设 情 境 兴 趣 引 入

前面我们根据椭圆的定义,选取适当的坐标系,得到 了椭圆的标准方程.下面将通过对方程
x2 y 2 ? 2 ? 1    ? b ? 0 ? ?a 2 a b

的研究,来认识椭圆的性质.

1.范围 从方程中可以看到: x2 y2 ≤ 1, 2 ≤ 1, 2 a b 即 -a≤x≤a,-b≤y≤b. 这说明椭圆位于四条直线 x ? ?a, x ? a, y ? ?b, y ? b所围 成的矩形内(如图).

动 脑 思 考 探 索 新 知

2.对称性 在椭圆的标准方程中,将y换成-y,方程依然成立.这说 明当点P(x,y)在椭圆上时,其关于x轴的对称点 P ( x, ? y)也 1 在椭圆上,因此椭圆关于x轴对称(如图).

动 脑 思 考 探 索 新 知

2.对称性 同理,将x换成-x,方程依然成立.这说明当点P(x,y) 在椭圆上时,其关于y轴的对称点 P2 (? x,y) 也在椭圆上,将

动 脑 思 考 探 索 新 知

x换成-x,y换成-y,方程依然成立.这说明当点P(x,y) 在椭圆上时,其关于坐标原点的对称点 P (? x, y) 也在椭圆 ? 3 上(如图).

2.对称性 由此可知,椭圆既关于x轴对称,又关于y轴对称,还关于 坐标原点对称.x轴与y轴都叫做椭圆的对称轴,坐标原点叫

动 脑 思 考 探 索 新 知

做椭圆的对称中心(简称中心).

3.顶点 在方程中,令y = 0,得x = ±a,说明椭圆与x轴有两个交点 A1 (?a, 和A2 (a, ;同样,令x = 0,得y = ±b,说明椭圆与x 0) 0)

动 脑 思 考 探 索 新 知

? ) 轴有两个交点 B1 (0, b)和 B2 (0,b(如图).
椭圆与它的对称轴的交点叫椭圆的顶点.因此A1、A2、B1、B2 x2 y 2 四个点是椭圆 2 ? 2 ? 1的四个顶点.线段 A1 A2,B1B2分别叫 a b 椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b.a和b分别表示椭 圆的半长轴长和半短轴长.

4.离心率
2c c ? 叫做椭圆的离心率,记 椭圆的焦距与长轴长的比 2a a 作e.即

动 脑 思 考 探 索 新 知

c e? . a
因为a>c>0,所以0<e<1.当e增大逐渐接近1的时候, c逐渐接近a,从而 b ? a2 ? c2 越小,因此椭圆越扁;反之,

当e减小逐渐接近0的时候,c逐渐接近0,从而b ? a2 ? c2 逐
渐接近a,此时椭圆逐渐接近于圆.

2 2 例3 求椭圆 9 x ? 25 y ? 225 的长轴长、短轴长、离

心率、焦点和顶点的坐标,并用“描点法”画出它的图形.

解 将所给的方程化为标准方程,得

巩 固 知 识 典 型 例 题

x2 y 2 ? ? 1. 25 9
这是焦点在x轴上的椭圆的标准方程,并且a = 5,b = 3. 因为

c ? a2 ? b2 ? 25 ? 9 ? 4,

c 4 所以长轴长2a = 10,短轴长2b = 6,离心率 e ? ? , a 5 焦点坐标为F1 (?4,,F2 (4,, 0) 0)
顶点坐标为 A1 (?5,、A2 (5,、B1 (0, 3)、B1 (0, 3). 0) 0) ? ? 可以先画出椭圆在第一象限及其边界内的图形,然后再 利用椭圆的对称性,画出全部图形.

2 2 例3 求椭圆 9 x ? 25 y ? 225 的长轴长、短轴长、离

心率、焦点和顶点的坐标,并用“描点法”画出它的图形.

在第一象限及其边界内椭圆方程可以变形为

巩 固 知 识 典 型 例 题

3 y? 25 ? x 2. 5
在区间[0,5]内,选出几个x的值,计算出对应的y值. 列表: x y 0 3 1 2.94 2 2.275 3 2.4 4 1.8 5 0

以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标,在直角坐 标系中依次描出相应的点(x,y),用光滑的曲线顺次联结各点 得到椭圆在第一象限及其边界内的图形.然后利用椭圆的对称 性,画出全部图形(如图).

2 2 例3 求椭圆 9 x ? 25 y ? 225 的长轴长、短轴长、离

心率、焦点和顶点的坐标,并用“描点法”画出它的图形.

在第一象限及其边界内椭圆方程可以变形为

巩 固 知 识 典 型 例 题

3 y? 25 ? x 2. 5
在区间[0,5]内,选出几个x的值,计算出对应的y值. 列表: x y 0 3 1 2.94 2 2.275 3 2.4 4 1.8 5 0

以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标,在直角坐 标系中依次描出相应的点(x,y),用光滑的曲线顺次联结各点 得到椭圆在第一象限及其边界内的图形.然后利用椭圆的对称 性,画出全部图形(如图).

例4 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点P(-3,0) 、Q(0,-2);

巩 固 知 识 典 型 例 题

1 (2)长轴长为18,离心率为 . 3
解 (1)由于点P、Q在坐标轴上,并且以坐标轴为对称 轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,故点P、Q分别是 椭圆长轴和短轴的一个端点.于是 a = 3, b = 2. 由于椭圆的长轴在x轴上,故椭圆的焦点在x轴上.因此 所求的椭圆标准方程为
x2 y 2 ? ? 1. 9 4

例4 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点P(-3,0) 、Q(0,-2);

巩 固 知 识 典 型 例 题

1 (2)长轴长为18,离心率为 . 3
解 (1)由于点P、Q在坐标轴上,并且以坐标轴为对称 轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,故点P、Q分别是 椭圆长轴和短轴的一个端点.于是 a = 3, b = 2. 由于椭圆的长轴在x轴上,故椭圆的焦点在x轴上.因此 所求的椭圆标准方程为
x2 y 2 ? ? 1. 9 4

例4 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点P(-3,0) 、Q(0,-2);

巩 固 知 识 典 型 例 题

要注意椭圆的焦 点与长轴始终在同 一个轴上.求椭圆 c 1 的标准方程时,如 (2)因为 2a ? 18,e ? ? , a 3 果不能确定焦点的 位置,要针对不同 所以 a = 9, c = 3. 的情况,给出两种 于是 b2 ? a 2 ? c2 ? 81 ? 9 ? 72. 标准方程. 椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上.因此,所求的

1 (2)长轴长为18,离心率为 . 3

椭圆方程为
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1. ? ?1或 72 81 81 72

巩 固 知 识 典 型 例 题

例5 已知一个椭圆形的油桶盖,其长轴的两端到一个焦 点的距离分别为 40cm和10cm(如 图).求椭圆的 标准方程与两个 焦点的坐标. 解 由已知得
A1F2 ? AO ? OF2 ? a ? c 1 F2 A2 ? OA2 ? OF2 ? a ? c

?a ? c ? 40 于是有 ? ? a ? c ? 10

解得

a = 25, c = 15. 因此 b2 ? a 2 ? c 2 ? 252 ? 152 ? 400. x2 y2 ? ? 1. 故椭圆的标准方程为 625 400 焦点坐标为F1 (?15,,F2 (15,. 0) 0)

求适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1)a = 4,b = 1,焦点在x轴上;

运 用 知 识 强 化 练 习

(2) a ? 4,c ? 15 ,焦点在y轴上.

x2 (1)  ? y 2 ? 1; 16 y2 (2)  ? x 2 ? 1. 16

什么叫做椭圆的离心率?

理 论 升 华 整 体 建 构

椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,记作e
e? c a

学习效果

自 我 反 思 目 标 检 测

学习行为 学习方法

求e = 0.8,c = 4的椭圆的标准方程.

自 我 反 思 目 标 检 测

x2 ? 25 x2 ? 9

y2 ? 1; 9 y2 ? 1. 25

读书部分:阅读教材相关章节

继 续 探 索 活 动 探 究

书面作业:教材习题2.1(必做) 学习指导2.1(选做) 实践调查:用本课所学知识解决 生活中的实际问题


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