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陕西省西安市第六十六中学2011届高三高考数学基础知识训练(2)



备考 2011 高考数学基础知识训练(2) 班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______ 一、填空题(每题 5 分,共 70 分)
x 1.已知集合 M ? ? x | x ? 1? , N ? ? x | 2 ? 1? ,则 M ? N =

. . . .

1, 2.已知数集 ?0, lg

x ? 中有三个元素,那么 x 的取值范围为

2 3.已知集合 A ? ?3 , m ?, B ? { ? 1, 3 , 2 m ? 1}, 若 A ? B ,则实数 m 的值为

4. i 是虚数单位,若 5. 函数 y ? 6.幂函数 y

1 ? 7i 2?i
2

? a ? b i ( a , b ? R ) ,则 a ? b 的值是___

3 ? 2x ? x
? f (x)

的递增区间为
? 1 ) 8

. ,则满足 . ②?n ? R, n ? n ;
2

的图象经过点 ( ? 2 ,

f (x)

=27 的 x 的值是



7. 函数 y ? lo g x (3 ? x ) 的定义域为
2 8.下列四个命题:① ? n ? R , n ≥ n ;

2 ③ ?n ? R , ?m ? R , m ? n ;

④ ?n ? R , ?m ? R , m ? n ? m .

其中真命题的序号是___ 9. 若函数 y ?
x

. . .

1 2

x ? x?
2

3 2

的定义域和值域都为 [1, b ] ,则 b 的值为
1 2 ,k ? 1 2 ), 则整数 k ?

10. 设方程 2 ? x ? 4的根为 x 0 , 若 x 0 ? ( k ?

11. 某市出租车收费标准如下: 起步价为 8 元, 起步里程为 3km (不超过 3km 按起步价付费) ; 超过 3km 但不超过 8km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8km 时,超过部分按每 千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元;现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元, 则此次出租车行驶了_____km. 12.
lg 8 ? lg 125 ? lg 2 ? lg 5 lg 10 ? lg 0 . 1

=

.

13.已知下列两个命题:
p : ? x ? [0, ? ? ) ,不等式 a x ≥
x ? 1 恒成立;

q :1 是关于 x 的不等式 ( x ? a )( x ? a ? 1) ? 0 的一个解.

若两个命题中有且只有一个是真命题,则实数 a 的取值范围是___
2

. .

14. 如果函数 f ( x ) 满足 f ( n ) ? f ( n ) ? 2, n ? 2, 且 f ( 2 ) ? 1, 那么 f ( 2 5 6 ) ?

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤) 15. (14 分)记函数
f (x) ? 2 ? x ? 3 x ?1

的定义域为 A , g ( x ) ? lg [( x ? a ? 1)( 2 a ? x )], ? a ? 1 ?

的定义域为 B .若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.

16. (14 分)设函数 f ( x ) ? tx

2

? 2 t x ? t ? 1 , (t ? R , t ? 0 ) .
2

(I)求 f ( x ) 的最小值 s ( t ) ; (II)若 s ( t ) ? ? 2 t ? m 对 t ? (0 , 2 ) 时恒成立,求实数 m 的取值范围.

17. (14 分)设二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 在区间 ? ? 2, 2 ? 上的最大值、最小值分别是 M 、
2

m ,集合 A ? ? x | f ( x ) ? x ? .

(1)若 A ? {1, 2} ,且 f (0 ) ? 2 ,求 M 和 m 的值; (2)若 A ? {1} ,且 a ? 1 ,记 g ( a ) ? M ? m ,求 g ( a ) 的最小值.

18. (16 分)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件, (其中 x ? N ) ,
*

需另投入成本为 C ? x ? ,当年产量不足 80 千件时, C ? x ? ? 小于 80 千件时, C ? x ? ? 5 1 x ?
10000 x

1 3

x ? 1 0 x (万元);当年产量不
2

? 1 4 5 0 (万元).通过市场分析,若每件售价为 500 元

时,该厂年内生产的商品能全部售完.

(1)写出年利润 L (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式. (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

19. (16 分)已知函数 f ( x ) ? x

?2 m ? m ? 3

2

( m ? Z ) 为偶函数,且 f (3) ? f (5).

(1)求 m 的值,并确定 f ( x ) 的解析式; (2)若 g ( x ) ? log a [ f ( x ) ? ax ] ,( a ? 0 且 a ? 1) 在 [ 2 , 3 ] 上为增函数,求实数 a 的取值 范围.

20. (16 分)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ? x ( ax ? 3 ) ,其中 a 为常数.
2

(1)若 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; (2)若函数 f ( x ) 在区间 ( ? 1, 0 ) 上是增函数,求 a 的取值范围; (3)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? f ? ( x ), x ? [ 0 , 2 ] ,在 x ? 0 处取得最大值,求正数 a 的取值 范围.

参考答案:
x 1.解: N ? ? x | 2 ? 1? 即为 N ? ? x | x ? 0 ? ,∴ M ? N = ? x | 0 ? x ? 1? .

答案: ? x | 0 ? x ? 1? .
? x ? 0, ? 2.解:由集合中元素的确定性、互异性知 ? lg x ? 0 , 解得 x 的取值范围为 ? lg x ? 1, ?

? 0,? ? 1, )? 10 , 1 ( 10 ( ?

. ?)

答案: ? 0,? ? 1, ) (10 , ? ) . 1 ( 10 ? ?

2 3.解:∵ A ? B ,∴A 中元素都是 B 的元素,即 m ? 2 m ? 1 ,解得 m ? 1 .

答案:1. 4.2 5. 解:由 3 ? 2 x ? x ? 0 结合二次函数图像得 ? 3 ? x ? 1 ,观察图像知道增区间为 [ ? 3, ? 1].
2

答案: [ ? 3, ? 1] .

15.解:

A ? { x x ? ? 1 或 x ≥ 1} B ? { x 2 a ? x ? a ? 1}

………………3 分 ………………6 分

? A? B ? A

?B ? A

………………8 分 即a
≤ ?2

要使 B ? A ,则 a ? 1 ≤ ? 1 或 2 a ≥ 1
? a 的取值范围是: a ≤ ? 2 或
1 2




1 2



a ?1

a ?1

………………14 分

17.解: (1) A ? { x | ax

2

? ( b ? 1) x ? c ? 0 } ,? A ? {1, 2 } 且 f (0 ) ? 2

? ? f (0) ? c ? 2 ? a ?1 ? b ?1 ? ? ? ?? ? 1 ? 2 ? ?b ? ? 2 ; a ? ? c? 2 c ? ? ? 1? 2 ? a ?
? f (x) ? x
2

……………4 分

? M ? f ( ? 2 ) ? 10 ? 2x ? 2 ? ? ? m ? f (1 ) ? 1

…………………6 分

? ? ? ( b ? 1 ) 2 ? 4 ac ? 0 ?b ? 1 ? 2 a ? ? ? (2)由题意可得: ? .…………8 分 b ?1 ? ?1 ? c ? a ? 2a ?
f ( x ) ? ax
2

? (1 ? 2 a ) x ? a ( a ? 1) ,对称轴为 x ?

2a ? 1 2a

?1?

1 2a

?[

1 2

,1 )

……10 分

? g ( a ) ? M ? m ? f ( ? 2 ) ? f (1 ?

1 2a

) ? 9a ?

1 4a

?1.

……………12 分
31 4

? g ( a ) 在 [1, ?? ) 上单调递增.故此时, g ( a ) min ? g (1 ) ?

.

………14 分

18.解: (1)当 0 ? x ? 8 0, x ? N * 时,
L ?x? ? 500 ? 1000 x 10000
*

?

1 3

x ? 10 x ? 250 ? ?
2

1 3

x ? 40 x ? 250
2

…………3 分

当 x ? 8 0 , x ? N 时,
L ?x? ? 500 ? 1000 x 10000 10000 x 10000 ? ? ? 1450 ? 250 ? 1200 ? ? x ? ? ………6 分 x ? ?

? 51x ?

? 1 2 * ? x ? 4 0 x ? 2 5 0, ? 0 ? x ? 8 0, x ? N ? ? 3 ? ? L ?x? ? ? 10000 ? * ?1 2 0 0 ? ? x ? ? ? , ? x ? 8 0, x ? N ? ? x ? ? ?

………………8 分

(2)当 0 ? x ? 8 0, x ? N * 时, L ? x ? ? ?
?

1 3

? x ? 60 ?

2

? 950 .

当 x ? 6 0 时, L ? x ? 取得最大值 L ? 6 0 ? ? 9 5 0 (万元)
*

………11 分

当 x ? 8 0 , x ? N 时,
10000 x
?当x ? 10000 x

L ( x ) ? 1200 ? ( x ?

) ? 1200 ? 2

x?

10000 x

? 1200 ? 200 ? 1000 …14 分

, 即 x ? 1 0 0 时, L ? x ? 取得最大值 1000 万元,

即生产量为 100 千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大. …16 分 19.解: (1)由 f (3) ? f (5), 知 3
?2 m ? m ? 3
2

?5

?2 m ? m ? 3

2

,

3 ?2 m 2 ? m ? 3 3 2 ?( ) ? 1, 即 ? 2 m ? m ? 3 ? 0 ,? ? 1 ? m ? 5 2

……………3 分

又 m ? Z ,? m ? 0,1 当 m ? 0时 , f ( x ) ? x 当 m ? 1时 , f ( x ) ? x
?2 m ? m ? 3
2

……………3 分

? x 为奇函数,不合题意,舍去;
3

?2 m ? m ? 3

2

? x 为偶函数,满足题设.
2 2

……5 分

故 m ? 1, f ? x ? ? x . (2) g ( x ) ? lo g a ( x ? a x ). 令 u ( x ) ? x ? a x ,
2
2

…………6 分

若 0 ? a ? 1, 则 y ? lo g a u 在其定义域内单调递减, 要使 g ( x ) 在 [ 2, 3] 上单调递增,则需 u ( x ) ? x ? a x 在 [ 2, 3] 上递减,且 u ( x ) ? 0 ,
2

a ? ? ? 3 ?? , 2 ?u (3) ? 9 ? 3 a ? 0 ?

即a ? ?

…11 分

若 a ? 1, 则 y ? lo g a u 在其定义域内单调递增, 要使 g ( x ) 在 [ 2, 3] 上单调递增,则需 u ( x ) ? x ? a x 在 [ 2, 3] 上递增,且 u ( x ) ? 0 ,
2

a ? ? ? 2 ?? ,即 1 ? a ? 2 2 ?u (2) ? 4 ? 2 a ? 0 ?

综上所述:实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 . 20.解: (1) f ( x ) ? ax ? 3 x , f ? ( x ) ? 3 ax
3 2 2

………16 分

? 6 x ? 3 x ( ax ? 2 ).

? x ? 1是 f ( x ) 的一个极值点,? f ? (1) ? 0 ,? a ? 2
2

…………4 分

(2)①当 a ? 0 时, f ( x ) ? ? 3 x 在区间(-1,0)上是增函数,? a ? 0 符合题意; ②当 a ? 0时 , f ? ( x ) ? 3 ax ( x ?
2 a ), 令 f ? ( x ) ? 0 得 : x 1 ? 0 , x 2 ? 2 a



当 a ? 0 时,对任意 x ? ( ? 1, 0 ), f ? ( x ) ? 0 ,? a ? 0 符合题意; 当 a ? 0 时,当 x ? (
2 a , 0 )时 f ? ( x ) ? 0 ,? 2 a ? ? 1,? ? 2 ? a ? 0 符合题意;

综上所述: a ? ? 2 .

………8 分

另解:? 函数 f ( x ) 在区间 ( ? 1, 0 ) 上是增函数,? f ? ( x ) ? 0 在 x ? ( ? 1, 0 ) 上恒成立. 即 3 ax
2

? 6x ? 0 ,a ?
3

2 x
2

?

2 x

? ?2

a ? ?2 .

(3) a ? 0 , g ( x ) ? ax ? ( 3 a ? 3 ) x ? 6 x , x ? [ 0 , 2 ].
g ? ( x ) ? 3 ax
2

? 2 ( 3 a ? 3 ) x ? 6 ? 3[ ax
2

2

? 2 ( a ? 1) x ? 2 ],
2

令 g ? ( x ) ? 0 , 即 ax

? 2 ( a ? 1) x ? 2 ? 0 (*), 显然有 ? ? 4 a
2 a

? 4 ? 0.

设方程(*)的两个根为 x 1 , x 2 ,由 (*) 式得 x 1 x 2 ? ?

? 0 ,不妨设 x 1 ? 0 ? x 2 .

当 0 ? x 2 ? 2 时, g ( x 2 ) 为极小值,所以 g ( x ) 在[0,2]上的最大值只能为 g ( 0 ) 或 g ( 2 ) ; 当 x 2 ? 2 时, 由于 g ( x ) 在[0,2]上是单调递减函数,所以最大值为 g ( 0 ) , 所以在[0,2]上的最大值只能为 g ( 0 ) 或 g ( 2 ) , 又已知 g ( x ) 在 x ? 0 处取得最大值,所以 g ( 0 ) ? g ( 2 ),

即 0 ? 20 a ? 24 , 解得 a ?

6 5

, 又因为 a ? 0 , 所以 a ? ( 0 ,

6 5

].

………………16 分

(有另外的解法,可酌情给分)



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