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1.4.2



1.4.2 正、余弦函数的图像和性质

1.正弦、余弦函数的图象和性质 y 1 y=sinx
-6π

-4π
-5π -3π

-2π



π

3π 2π 4π



x 6π

>
O
-1

y=sinx (x?R) 定义域 x?R 值域 y?[ - 1, 1 ] y=cosx (x?R) 周期性 T = 2? y y=cosx
?? ? 2

?? ? 2

? ? 1 2

? 2

?? 2

?? 2

x

??? ? 2

?? ? 2

?? ? 2

O

?? 2

?? 2

??? 2

2.周期函数的定义 一般地,对于函数f(x),如果存在一个 非零常数T ,使得当 x 取定义域内的每一 个值时,都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x) 就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函 数的周期。 对于一个周期函数f(x) ,如果在它所有 的周期中存在一个最小的正数,那么这个 最小正数就叫做f(x)的最小正周期。

由sin(x+2kπ )=sinx ; cos(x+2kπ )=cosx (k∈Z) 可知: 函数y=sinx和y=cosx都是周期 函数,2kπ (k∈Z且 k≠0)都是它的 周期,最小正周期是 2π 。

注意:(1)周期T为非零常数。

(2)等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意 一个x都成立。 (3)周期函数f(x)的定义域必为无界数集 (至少一端是无界的) (4)周期函数不一定有最小正周期。
举例:f(x)=1(x∈R),任一非零实数都 是函数f(x)=1的周期,但在正实数中 无最小值,故不存在最小正周期。

y ? A sin(wx ? ??及y ? A cos(wx ? ??
的最小正周期

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? A sin[(? x ? ? ) ? 2? ] ? A sin[? ( x ? 2? ) ? ?] ? f (x ? 2?

?

?

)

? y ? A sin( wx ? ??及y ? A cos( wx ? ?? x ? R 2? 的最小正周期为T ? ?

3.例题讲解

例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx; x∈R (2)y=sin2x,x∈R


2?

1 ? (3) y ? 2sin( x ? ), x ? R 4? 2 6

?

课堂练习: 求下列函数的周期

() 1 y ? sin 3x,x ? R

1 ? (2)y ? 3 sin ( x ? ),x ? R 2 4

练:求证(1) y=cos2x+sin2x的周期为?
证明:f ( x ? ?) ? cos 2( x ? ?) ? sin 2( x ? ??
?? cos(2 x ? 2?) ? sin(2 x ? 2??

?? cos 2 x ? sin 2 x ? f ( x)

? f ( x)的周期为?

1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π

y π

y=sinx

2π 4π 5π 6π x

O

所有的对称中心坐标为(k? , 0)
所有的对称轴方程为x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

?? ? 2

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

所有对称中心坐标(k? ?

?
2

, 0)

所有的对称轴方程为x ? k? (k ? Z )

奇偶性
一般的,如果对于一个定义域关于原点 对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内 的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。 一般的,如果对于一个定义域关于原点 对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的 偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。

1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 正弦、余弦函数的奇偶性 sin(-x)= - sinx (x?R) 定义域关于原点对称 y=sinx (x?R) 是奇函数 cos(-x)= cosx (x?R) y=cosx (x?R)是偶函数

y=sinx (x?R)

正弦函数的单调性
y
1

-3?

5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

x

x
sinx

?

?
2

· · · 0 0

· · ·

? 2

· · ·

?
0

· · ·

3? 2

-1

1

-1

增区间为[?

?

2 2 ? 3? 减区间为[ ? 2k? , ? 2k? ], (k ? Z ) 2 2

? 2 k? ,

?

? 2k? ], ( k ? Z )

余弦函数的单调性 y=cosx (x?R) y
1 3?
? 5? 2

2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

x

x
cosx

??
-1

· · ·?

?
2

· · · 0 1

· · ·

? 2

· · ·

?
-1

0

0

增区间为[?? ? 2k? , 2k? ],(k ? Z ) 减区间为[2k? , ? ? 2k? ],(k ? Z )

单调性 ? ? y=sinx在每一个闭区间[ ? +2kπ, +2kπ] 2 2 (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1; ? 3? 在每一个闭区间[ +2kπ, +2kπ] 2 2 (k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1. y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ] (k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在 每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上都 是减函数,其值从1减小到-1.

例3 求下列函数的最大值和最小值,并 写出取最大值、最小值时自变量x的集合
(1) y=cosx+1,x∈R;

(2)y=-3sin2x,x∈R.

例4 比较下列各组数的大小:
? ? (1) sin(? )与 sin(? ); 18 10
23? 17? (2) cos(? )与 cos(? ). 5 ?

1 ? 例5 求函数 y ? sin( x , ? ) 2 3 x∈[-2π ,2π ]的单调递增区间.

练:求函数y = 2 cos +1 x 的定义域、值域, 并求当x为何值时,y取到最大值,最大值为 多少?
? ? 解:由 cosx≥0 得:- +2kπ≤ x ≤ +2kπ 2 ? 2 ? (k∈Z) ∴函数定义域为[+2kπ, +2kπ]
由 0≤cosx≤1 ∴ 1≤2

2 +1≤3 cos x

2

∴函数值域为[ 1 , 3] 当 cosx=1 即 x=2kπ (k∈Z) 时 , y 取到 最大值 3 .

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 函数 奇偶性
[?

单调性(单调区间)
? ? +2k?, +2k?],k?Z 2 2 ? 3? [ +2k?, +2k?],k?Z 2 2

正弦函数 奇函数

单调递增 单调递减 单调递增 单调递减

余弦函数 偶函数 [ ?? +2k?, 2k?],k?Z [2k?, 2k? + ?], k?Z

求函数的单调区间: 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间: (1) y=2sin(-x ) 解: y=2sin(-x ) = -2sinx ? ? ? [ +2k ? , +2k?],k?Z 上单调递减 函数在 ? 函数在 [
2 ? 2

(2) y=3sin(2x- 4 ) ? ? ? ? 3? 2 k ? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? k ? ? ? x ? k ? ? 解: 8 8 2 4 2 ? ? 3? 3? 7? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? k? ? ? x ? k? ?
2 4

?

2 3? +2k?, 2

+2k?],k?Z上单调递增

所以:单调增区间为 单调减区间为

3? [k? ? , k? ? ] 8 8 3? 7? [k? ? , k? ? ] 8 8

2

?

8

8

课堂小结

? (2) y ? sin x ? cos x的周期为 2
4 4

? ? ? 4 4 证明:f ( x ? ) ? sin ( x ? )? cos(x ? ) 2 2 2

= cos x ? sin x=f ( x)
4 4

? ? f ( x)的周期为 2

4.周期函数应用

例1、已知定义在R上的函数f(x)满 足f(x+2)+f(x)=0,试判断f(x)是否 为周期函数? 结论:定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+a)+f(x)=0或f(x+a) =-f(x) 则f(x)是周期为2a的周期函数.

例2、已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x + 1)=f(x - 1) ,且当x∈[0 , 2] 时, f(x)=x-4,求f(10)的值.

结论:定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+a)-f(x-b)=0或f(x+a) =f(x-b) 则f(x)是周期为a+b的周期函数.

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 9? )sin2x

解: ? 0 ? tan 9? ? 1
8

8

单调减区间为 单调增区间为

[k? ?

?
4

(4) y ? log1 解: 定义域
2

1 1 ? [ cos( x ? )] 2 3 4

4 ? 3? [k? ? , k? ? ] 4 4

, k? ?

?

]

? 1 ? ? 2k? ? ? x ? ? 2k? ? 2 3 4 2 9? 3? ? 6k? ? ? x ? 6k? ? ,k ? Z 4 4 9 ? 3? ? 1 ? 当 2k? ? ? x ? ? 2k? 即 6k? ? ? x ? 6k? ? , k ? Z 为减区间。 4 4 2 3 4 3? 3? x ? ? 为增区间。 当 2k? ? ? ? 2k? ? 即6k? ? ? x ? 6k? ? , k ? Z 3 4 2 4 4

?

练习1、求下列函数的定义域、值域 () 1 y ? ? cos x (2) y ? ?3sin x (3) y ? lg sin x

2、求下列函数的最大值, 并找出最大值时x的集合 () 1 y ? cos 2 x

? (2) y ? sin( x ? ) ? 1 4 2 (3) y ? 2 cos x ? 5sin x ? 4

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(5) y = -| sin(x+ ? 解: 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下:
4
y 1

? )| 4

y=|sinu|
? 2

?2?

?

3? 2

??

?

? 2

O

?

-1 y=- |sinu|

即: 增区间为 u ? [k? ? , k? ], k ? Z 2 减区间为 u ? [k? , k? ? ? ], k ? Z
?

?

y=sinu

3? 2

2?

u

2 3? ? x ? [k? ? , k? ? ], k ? Z y为增函数 4 4 ? ? x ? [k? ? , k? ? ], k ? Z y为减函数 4 4

? (3) y ? | sin x || ? cos x |的周期为 2

? ? ? 证明:f ( x ? ) ? | sin( x ? )|| ? cos (x ? )| 2 2 2 =| cos || x ? sin x |=f ( x) ? ? f ( x)的周期为 。 2



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