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小专题复习课(一)



小专题复习课(一)
集合、常用逻辑用语、函数、导数

热点聚焦 热点一:

考情播报 1.以集合的运算为主要考查对象,常与函数、不 等式、方程等知识交汇命题 2.试题以选择题、填空题为主,考查学生的双基, 属基础题

集合的概
念及运算

1.涉及知识面较广,常与函数、不等式、

三角函
热点二: 数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一 起考查 2.充要条件是高考考查的重点,主要以选择题的 形式呈现,有一定难度,属中档题

充要条件

热点聚焦

考情播报
1.函数的图象与性质在高考命题中每年均有创新,

试题有两种考查方式:一是考查函数解析式与函数
图象的对应关系;二是从函数的单调性、奇偶性、 热点三: 函数的图 象与性质 最值(值域)、周期性、对称性入手或是直接确定

函数的性质或是利用函数的性质求参数的值、取
值范围、比较大小等,常与基本初等函数的图象和 性质交汇命题,综合性较强 2.多以选择题、填空题形式出现,考查学生数形结 合思想,有时也出现在解答题中,与导数等知识交

汇命题,属中档题

热点聚焦

考情播报 1.常以分式、对数式、三角函数为载体,考查 确定函数零点的个数、存在区间或应用零点存

热点四:

在的情况求参数的值(取值范围);一般地,试题

函数零点的 的设计不是单纯的某一基本初等函数,而是由
确定与应用 两个基本初等函数构成的函数 2.试题以选择题、填空题为主,突出考查学生 应用函数知识解决问题的能力,属低中档题

热点聚焦

考情播报 1.该类试题以实际生活为背景,通过巧妙设计 和整合命制考题,试题常与函数解析式的求法、

热点五: 问题中的 应用

函数最值、不等式、导数、解析几何、空间 主要考向 2.试题以解答题形式为主,主要考查学生分析

函数在实际 几何体等知识交汇.近几年高考多以求最值为

问题并能用数学知识解决实际问题的能力,属
中高档题

热点聚焦

考情播报

1.试题常以高次式、分式、根式、指数式、
热点六: 对数式函数为载体,要么求函数的单调区间, 要么根据单调性求参数的取值范围,要么直接 求极(最)值,要么利用极(最)值求参数的值或 取值范围,常与方程、不等式(恒成立、证明)

利用导数研
究函数的 单调性、极 值、最值 问题

及实际应用问题综合,形成知识的交汇问题
2.试题多以解答题的形式出现,考查学生综合 运用导数的相关知识解决问题的能力以及运

算能力,属于中档题

热点 一

集合的概念及运算

1.(2013·威海模拟)集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,4, 5},T={2,3,4},则S∩( ?U T)=( (A){1,4,5} (C){4} (B){1,5} (D){1,2,3,4,5} )

【解析】选B.因为集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5}, T={2,3,4},所以 ?U T={1,5,6},S∩( ?U T)={1,5}.

2.(2013·芜湖模拟)已知集合M={a,0},N={x|x2-3x<0, x∈Z},若M∩N≠?,则a等于( (A)1 (B)2 (C)1或2 ) (D)8

【解析】选C.≧M={a,0},N={x∈Z|0<x<3}={1,2},又 ≧M∩N≠?,?a=1或a=2.

3.(2013·天津模拟)已知集合A={x|x2-3x-10≤0}, B={x|m+1 ≤x≤2m-1},若A∪B=A,则实数m的取值范围为______. 【解析】≧A∪B=A,?B?A, A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, 当B=?时,m+1>2m-1, 即m<2,此时B?A成立; 当B≠?时,m+1≤2m-1,即m≥2,

??2 ? m ? 1, 由B?A,得 ? ?2m ? 1 ? 5,

解得-3≤m≤3, 又≧m≥2,?2≤m≤3.综上知m≤3. 答案:m≤3

热点 二 充要条件
1.已知a∈R,则“a>2”是“a2>2a”成立的( )

(A)充分不必要条件
(C)充要条件

(B)必要不充分条件
(D)既不充分也不必要条件

【解析】选A.a>2可推出a2>2a;a2>2a可以推出a>2或a<0,不一
定推出a>2.“a>2”是“a2>2a”成立的充分不必要条件.

2.(2013·莆田模拟)关于命题p:A∩?=?,命题q:A∪?=A,下 列说法正确的是( (A)(﹁p)∨q为假 (C)(﹁p)∨(﹁q)为假 ) (B)(﹁p)∧(﹁q)为真 (D)(﹁p)∧q为真

【解析】选C.因p真,q真,由逻辑关系可知,﹁p假,﹁q假, 即(﹁p)∨(﹁q)为假,选C.

3.(2013·韶关模拟)若命题p:?x∈R,函数f(x)=2cos2x+
3 sin 2x≤3,则(

) sin 2x0≤3 3 sin 2x0>3 3 sin 2x0≤3 3 sin 2x0>3 3

(A)p是假命题;﹁p:?x0∈R,f(x)=2cos2x0+ (B)p是假命题;﹁p:?x0∈R,f(x)=2cos2x0+ (C)p是真命题;﹁p:?x0∈R,f(x)=2cos2x0+ (D)p是真命题;﹁p:?x0∈R,f(x)=2cos2x0+

【解析】选D.f(x)=2cos2x+ 3 sin 2x=1+cos 2x+ 3 sin 2x =1+2sin(2x+ ? )≤3,p是真命题;﹁p:?x0∈R,
6

f(x0)=2cos2x0+ 3 sin 2x0>3.

热点 三

函数的图象与性质
x ,x∈(-π ,0)∪(0,π )的图象 sin x

1.(2013·潍坊模拟)函数y=

可能是下列图象中的(

)

【解析】选C.y=

x 是偶函数,故排除A,又x∈(0,π)时, sin x

x>sin x,即

x >1,排除B,D,故选C. sin x

2.(2013·宁德模拟)定义在R上的函数f(x)在(-∞,2)上是增 函数,且f(x+2)的图象关于y轴对称,则( (A)f(-1)<f(3) (C)f(-1)=f(3) (B)f(0)>f(3) (D)f(0)=f(3) )

【解析】选A.函数f(x+2)的图象关于y轴对称,则f(x)关于直
线x=2对称,函数f(x)在(-≦,2)上是增函数,所以在(2,+≦) 上是减函数,所以f(-1)=f(5)<f(4)<f(3),选A.

3.(2013·池州模拟)设函数y=f(x)是定义在R上以1为周期的函 数,若g(x)=f(x)-2x在区间[2,3]上的值域为[-2,6],则 函数g(x)在[-12,12]上的值域为( )

(A)[-2,6]
(C)[-22,32]

(B)[-20,34]
(D)[-24,28]

【解析】选B.由题可设g(x)min=f(a)-2a=-2,g(x)max=f(b)
-2b=6,a,b∈[2,3].

由周期性可知,x∈[-12,-11],a-14∈[-12,-11],g(x)
∈[26,34],同理x∈[-11,-10],a-13∈[-11,-10],

g(x)∈[24,32],?,x∈[11,12],a+9∈[11,12],
g(x)∈[-20,-12],故函数g(x)在[-12,12]上的值域为 [-20,34].

热点 四

函数零点的确定与应用
2

1.已知函数f(x)=( 1 )x-sin x,则f(x)在[0,2π ]上的零点 个数为( (A)1 ) (B)2 (C)3
2

(D)4
1 x ) =sin x,在同一坐标系中 2

【解析】选B.由( 1 )x-sin x=0?(
1 2

作出h(x)=( )x,g(x)=sin x在[0,2π]上的图象,可以看出
交点个数为2.

2.(2013·锦州模拟)若函数f(x)=ex+2x-6(e≈2.718)的零 点属于区间(n,n+1)(n∈Z),则n=_______. 【解析】易知f(x)为增函数,f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0, 从而可知函数f(x)的零点位于区间(1,2)内,故n=1. 答案:1

?2 , x ? 2, ? 3.(2013·镇江模拟)已知函数f(x)= ? x ?? x ? 1?3 , x ? 2, ?

若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围 是_______. 【解析】方程f(x)=k有两个不同的实根,则y=f(x)与y=k有两 个不同交点.作出y=f(x)的图象,可知k∈(0,1).

答案:(0,1)

热点 五 函数在实际问题中的应用 1.某企业去年销售收入1 000万元,年成本为生产成本500万元 与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广 告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知 该企业去年共纳税120万元,则税率p%为( (A)10% (B)12% (C)25% (D)40% )

【解析】选C.利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超 出年销售收入2%的部分为200-1 000×2%=180(万元),纳

税180·p%万元,共纳税300·p%+180·p%=120(万元),
p%=
1 =25%. 4

2.(2013·湛江模拟)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个 时间段进行分时计价,该地区的电网销售电价表如表: 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表

高峰月用电量 (单位: 千瓦时)
50及以下的 部分 超过50至200 的部分 超过200 的部分

高峰电价 (单位:元/千 瓦时)
0.568 0.598

低谷月用电量 (单位: 千瓦时)
50及以下 的部分 超过50至200 的部分 超过200 的部分

低谷电价 (单位:元/千 瓦时)
0.288 0.318

0.668

0.388

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时,低谷时间段
用电量为100千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电 费为_______元(用数字作答). 【解析】高峰时段电费 a=50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元), 低谷时段电费 b=50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元),

故该家庭本月应付的电费为a+b=148.4(元).
答案:148.4

3.(2013·海口模拟)某医药研究所开 发的一种新药,如果成年人按规定的 剂量服用,据监测:服药后每毫升血 液中的含药量y(微克)与时间t(小时) 之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t). (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,

治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间是多长?

0 ? t ? 1, ?kt, ? 【解析】(1)设y= ? 1 t-a ( ) , t ? 1, ? ? 2

当t=1时,由y=4得k=4,
0 ? t ? 1, ?4t, 由 ( 1 )1-a =4得a=3.所以y= ? ? 1 t-3 ( ) ,t>1. 2 ? ? 2 ? t ? 1, 0 ? t ? 1 , ? ? (2)由y≥0.25得 ? 解得 或 ? 1 t-3 ?4t ? 0.25 ?( ) ? 0.25, ? 2 1
16

≤t≤5.

因此服药一次后治疗有效的时间是5-

1 79 = (小时). 16 16

热点 六

利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题

1.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈ [-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是( (A)-13 (B)-15 (C)10 (D)15 )

【解析】选A.求导得f′(x)=-3x2+2ax, 由函数f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0, 即-3×4+2a×2=0,?a=3. 由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x, 易知f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,?当 m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4. 又f′(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1, ?当n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9. 故f(m)+f′(n)的最小值为-13.

2.(2013·绥化模拟)已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0) 对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0成立(其中 f′(x)是f(x)的导函数),若a=(30.3)·f(30.3), b=(logπ 3)·
1 f(logπ 3),c=(log 3 1 ) ? f(log 3 ),则a,b,c的大小关系是( 9 9

)

(A)a>b>c (C)c>b>a

(B)c>a>b (D)a>c>b

【解析】选C.函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(x)关

于(0,0)中心对称,为奇函数,当x∈(-≦,0)时,f(x)+
xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),所以xf(x)为

减函数,30.3>logπ3> log 3 1 ,
9

所以c>b>a.

3.(2013·烟台模拟)已知函数 f ? x ? ? x ,g ? x ? ? ? 2 ? x ? e . ex e2
x

(1)求函数f(x)的极值.

(2)求证:当x>1时,f(x)>g(x).
(3)如果x1<x2,且f(x1)=f(x2),求证:f(x1)>f(2-x2).

【解析】(1) ? f ? x ? ? x ,? f ? ? x ? ? 1 ? x . x x
e e

令f′(x)=0,解得x=1. x f′(x) f(x) (-≦,1) + ↗ 1 0
1 极大值 e

(1,+≦) – ↘

?当x=1时,f(x)取得极大值f(1)= .

1 e

x x ?2 ? x?e (2)令F(x)=f(x)-g(x)= x ? ,则 2 e e 2 2x x 1 ? x e ? e ? ? e 1 ? x ? ?. ? ? 1 ? x F′(x)= ? ? ex e2 ex ?2

当x>1时,1-x<0,2x>2,从而e2-e2x<0, ?F′(x)>0,F(x)在(1,+≦)是增函数. ?F(x)>F(1)= 1 ? 1 ? 0,
e e

故当x>1时,f(x)>g(x).

(3)≧f(x)在(-≦,1)内是增函数,在(1,+≦)内是减函数. ?当x1≠x2,且f(x1)=f(x2)时, x1,x2不可能在同一单调区间内.?x1<1<x2, 由(2)的结论知x>1时,F(x)=f(x)-g(x)>0, ?f(x2)>g(x2). ≧f(x1)=f(x2),?f(x1)>g(x2). 又g(x2)=f(2-x2),?f(x1)>f(2-x2).



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