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求函数解析式的常用方法 难题 提高 ( 含练习,含有答案)



求函数解析式的六种常用方法
一、换元法 已知复合函数 f [g(x)]的解析式,求原函数 f(x)的解析式.令 g(x)= t ,求 f(t) 的解析式,再把 t 换为 x 即可. 例 1 已知 f(

x2 ?1 1 x ?1 )= ? ,求 f(x)的解析式. x2 x x

x ?1 1 = t ,则 x= (t≠1) , x t ?1 1 2 ( ) ?1 1 2 t ?1 ∴f(t)= = 1+ (t ? 1) +(t-1)= t2-t+1 ? 1 2 1 ( ) t ?1 t ?1
解: 设 故 f(x)=x2-x+1 (x≠1). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例 2 已知 f( x +1)= x+2 x ,求 f(x)的解析式.
2 2 解: f( x +1)= ( x ) +2 x +1-1= ( x ? 1) -1,

2 ∴ f( x +1)= ( x ? 1) -1 ( x +1≥1) ,将 x +1 视为自变量 x,则有

f(x)= x2-1 (x≥1). 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错. 练习:1)已知 f(x+

1 1 3 )= x + 3 ,求 f(x)。 x x 1 8 2 2)已知 f(x+ )= 8x + 2 +1,求 f(x)。 x x 1 1 3) 已知 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 , 求 f ( x) . x x
4) f(sinx)= 2sin x - cos(2x),求 f(x)函数解析式。
2

三、待定系数法 例 3 已知二次函数 f(x)满足 f(0)=0,f(x+1)= f(x)+2x+8,求 f(x)的解析 式. 解:设二次函数 f(x)= ax2+bx+c,则 f(0)= c= 0 f(x+1)= a ( x ? 1) +b(x+1)= ax2+(2a+b)x+a+b
2

① ②

由 f(x+1)= f(x)+2x+8 与①、② 得

?2 a ? b ? b ? 2 ? ?a ? b ? 8

解得 ?

?a ? 1, ?b ? 7.

故 f(x)= x2+7x.

评注: 已知函数类型,常用待定系数法求函数解析式.

练习:1)已知,f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x)的表达式 2)已知,f(x)是二次函数,且满足 f(x+1)+f(x-1)=2x2 -4x+4,求 f(x)的表达 式 3) f (x)是 x 的二次函数, g(x) = 2 x ·f (x), g(x + 1)-g(x) = 2 x ? 1 · 2 , 且 x

求函数 f (x)和 g(x)的解析式. 解:设 f (x) = ax 2 + bx + c (a≠0),则 g(x) = 2 x · 2 + bx + c). (ax

由 g(x + 1)-g(x) = 2 x ? 1 · 2 得: x 2 x ? 1 · (x + 1) 2 + b(x + 1) + c]-2 x · 2 + bx + c) = 2 x ? 1 · 2 , [a (ax x 即 ax 2 + (4a + b)x + (2a + 2b + c) = 2x 2 .这是关于 x 的恒等式,比较系数, 得
?a ? 2 , ? ? ? 4a ? b ? 0 , ? 2a ? 2b ? c ? 0 . ? ?a ? 2 , ? ?b ??8 , ? c ? 12 . ?

∴ f (x) = 2x 2 -8x + 12 ,g(x) = 2 x ? 1 · 2 -4x + 6). (x 4) 已知 f ( x) 是二次函数,若 f (0) ? 0, 且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 试求 f ( x) 的表 达式。 解析:设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 由 f (0) ? 0, 得 c=0 由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 得
a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? ax 2 ? bx ? c ? x ? 1

(a ? 0)

整理得
ax 2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? c ? ax 2 ? (b ? c) x ? c ? 1



1 ? ?a ? 2 ? 2a ? b ? b ? 1 ? 1 ? ? ? a ? b ? c ? c ? 1 ? ?b ? 2 ?c ? 0 ? ? ?c ? 0 ? ? 1 1 ? f ( x) ? x 2 ? x 2 2

四、消去法(构造方程)

1 )= x (x≠0) ,求 f(x)函数解析式. x 1 1 分析:欲求 f(x) ,必须消去已知中的 f( ) ,若用 去代替已知中 x,便可得到另一 x x
例 4 设函数 f(x)满足 f(x)+2 f( 个方程,联立方程组求解即可.

1 )= x (x≠0) ① x 1 1 1 由 代入得 2f(x)+f( )= (x≠0) ② x x x 2 x 解 ①② 构成的方程组,得 f(x)= - (x≠0). 3x 3 1 练习: 1)设函数 f(x)满足 2f(x)+ f( )= 3x (x≠0) ,求 f(x)函数解析式. x
解:∵ f(x)+2 f( 2)f(x)+2f(-x)=x+1,求 f(x)函数解析式

1 2x f (x)-3 f ( ) = x 2 + 1,求函数 f (x) 的解析式. x 1 1 1 1 1 解:用 替换①式中的 x,得 2 f ( )-3 f (x) = 2 + 1,即 2 f ( )- x x x x x 1 3x f (x) = + x ②, x 1 3 2 2 3)①、②两个方程联立,消去 f ( )得: f (x) =- - x- - x 5 5 5x 3 5x 2

设 f (x)满足

五、特殊值法 例5 设是定义在 R 上的函数,且满足 f(0)=1,并且对任意的实数 x,y, 有 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) ,求 f(x)函数解析式. 分析:要 f(0)=1,x,y 是任意的实数及 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) ,得到 f(x)函数解析式,只有令 x = y. 解: 令 x = y ,由 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) 得 f(0)= f(x)- x(2x-x+1) ,整理得 f(x)= x2+x+1.

六、对称性法 即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式,求另一区间上的解析式. 例 6 已知是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x-x2,求 f(x)函数解析式. 解:∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴y=f(x)的图象关于原点对称. 当 x≥0 时,f(x)=2x-x2 的顶点(1,1) ,它关于原点对称点(-1,—1) ,

?2 x ? x 2 因此当 x<0 时,y= ( x ? 1) -1= x +2x.故 f(x)= ? 2 ?x ? 2x
2

2

x≥0, x<0.

评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.



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