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盐城中学2013高考数学二轮复习:专题一《函数与导数》



【专题一】函数与导数
【考情分析】
1.函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主 线,选择、填空、解答三种题型每年都有,函数题的身影频现,而且常考常新.以基本函数 为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势.函数的图象也是高考命题的热点之 一.近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了. 2.对于函数部分考查的

重点为:函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性 和函数的图象;指数函数、对数函数的概念、图象和性质;应用函数知识解决一些实际问题; 导数的基本公式,复合函数的求导法则;可导函数的单调性与其导数的关系,求一些实际问 题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.

【知识交汇】
1.函数的性质与图象 函数的性质是高考考查的重点内容.根据函数单调性和奇偶性的定义,能判断函数的奇 偶性,以及函数在某一区间的单调性,从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,掌握 求函数最大值和最小值的常用方法.函数的图象是函数性质的直观载体,能够利用函数的图 象归纳函数的性质.对于抽象函数一类,也要尽量画出函数的大致图象,利用数形结合讨论 函数的性质. 例 1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡 了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达 了终点??用 S1、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图与故事情节相吻合 的是( )

A

B

C

D

答案:B 解析:在选项 B 中,乌龟到达终点时,兔子在同一时间的路程比乌龟短. 点评:函数图象是近年高考的热点的试题,考查函数图象的实际应用,考查学生解决问 题、分析问题的能力,在复习时应引起重视.

-1-

例 2.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x ) ,且在区间[0,2]上是增函 数 , 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8 ,8 ? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x 2 , x 3 , x 4 则 ,
x1 ? x 2? x ? x ?4 _________ . 3

答案:-8 解析:因为定义在 R 上的奇函 数,满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,所以
f ( x ? 4 ) ? f (? x ),所以, 由 f ( x )

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

为奇函数,所以函数图象关于直线
x ? 2 对称且 f (0) ? 0 ,由 f ( x ? 4) ? ? f ( x ) 知 f ( x ? 8) ? f ( x ) ,所以函数是以 8 为周期的

周期函数,又因为 f ( x ) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f ( x ) 在区间[-2,0]上也是增函数.如图 所 示 , 那 么 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8 ,8 ? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , 不 妨 设
x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4
x1 ? x2 ? x3 ?



由 对 称 性 知
?4 ? 8 ? ?

x1 ? x 2 ? ? 12



x3 ? x 4 ? 4



所 以

14 ? x 2



点评:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方 程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

2.函数与解方程、不等式的综合问题
函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分,通过建立函数模型来解决有关他们 的综合问题是高考的考查方向之一,解决该类问题要善于运用转化的思想方法,将问题进行 不断转化,构建模型来解决问题. 例 2.x 为何值时,不等式 log
m

x

2

? log

m

?3 x ? 2 ? 成立.

?x ? 0 ?x 2 ? 0 ? ? 2 ? ? 1? x ? 2 解析:当 m ? 1 时, ? 3 x ? 2 ? 0 ? ? x ? 3 . ? 2 ? ?x ? 3x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?

?x ? 0 ?x2 ? 0 ? ? 2 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ?x ? ? ? x ? 1或 x ? 2 ? 当 0 ? m ? 1 时, . 3 3 ? 2 ? x ? 3x ? 2 ? ? x ? 1或 x ? 2 ?

-2-

故 m ? 1 时, 1 ? x ? 2 .
0 ? m ? 1 时,

2 3

? x ? 1或 x ? 2 为所求.

点评:该题考查了对数不等式的解法,其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不 等式, 需要注意转化之后 x 的范围发生了变化, 因此最后要检验, 或者转化时将限制条件联立. 3.函数的实际应用 函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题.函数描述了自然 界中量的依存关系,是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画,用联系和变化的 观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系.掌握有关函数知识是运用函数思想的 前提,考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力,运用函数思想解决有关数学问题的 意识是运用函数思想的关键. 例 3.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房. 经测算, 如果将楼房建为 x ? 10) 则每平方米的 平均建筑费用为 560+48x (x 层, (单位:元) .为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 解析:设楼房每平方米的平均综合费为 y 元,依题意得:
y ? (5 6 0 ? 4 8 x ) ? 2160 ? 10000 2000 x ? 560 ? 48 x ? 10800 x
2

购地总费用 建筑总面积



10800 x

( x ? 1 0, x ? N ) .
*

则 y? ? 48 ?

10800 x
2

,令 y ? ? 0 ,即 4 8 ?

? 0 ,解得 x ? 1 5 .

当 x ? 1 5 时, y ? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, y ? ? 0 , 因此,当 x ? 1 5 时, y 取得最小值, y m in ? 2000 元. 答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层. 点评:这是一题应用题,利用函数与导数的知识来解决问题.利用导数,求函数的单调 性、求函数值域或最值是一种常用的方法. 4.导数与单调性、极(最)值问题. 导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性,极值、最值时,具有其 独特的优越性,要理解导数的几何意义,熟练导数的运算公式,善于借助导数解决有关的问 题. 例 4.已知函数 f ( x ) ?
1 3 a x ? b x ? x ? 3 ,其中 a ? 0 .
3 2

(1)当 a, b 满足什么条件时, f ( x ) 取得极值? (2)已知 a ? 0 ,且 f ( x ) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

-3-

解析: (1)由已知得 f '( x ) ? ax ? 2 bx ? 1 ,令 f ' ( x ) ? 0 ,得 ax 2 ? 2 bx ? 1 ? 0 ,
2

f ( x ) 要取得极值,方程 ax ? 2 bx ? 1 ? 0 必须有解,
2

所以△ ? 4 b 2 ? 4 a ? 0 ,即 b 2 ? a ,
? 2b ? 4b ? 4 a
2

此时方程 ax 2 ? 2 bx ? 1 ? 0 的根为:
? 2b ? 4b ? 4 a
2

x1 ?

?

?b ?

b ?a
2

2a

a
w.w.w.k.s .5. u. c.o.m

, x2 ?

?

?b ?

b ?a
2



2a

a

所以 f '( x ) ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) 当 a ? 0 时, x f’(x) f (x) (-∞,x1) + 增函数

x1 0 极大值

(x1,x2) - 减函数

x2 0 极小值

(x2,+∞) + 增函数

所以 f ( x ) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x F’(x) f (x) (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

所以 f ( x ) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a, b 满足 b ? a 时, f ( x ) 取得极值.
2

(2)要使 f ( x ) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x ) ? ax ? 2 bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成
2

立. 即b ? ?
ax 2 ? 1 2x ax 2 1 2x , x ? (0,1] 恒成立,所以 b ? ( ? ax 2 ? 1 2x ) m ax ,

设 g (x) ? ?

?

, g '( x ) ? ?
1 a

a 2

?

1 2x
2

a(x ?
2

1

? 2x

2

) a ,

令 g '( x ) ? 0 得 x ?

或x ? ?

1 a

(舍去),

当 a ? 1 时, 0 ?

1 a

? 1 ,当 x ? (0,

1 a

) 时 g '( x ) ? 0 , g ( x ) ? ?

ax 2

?

1 2x

单调增函数;

当x?(

1 a

,1] 时 g '( x ) ? 0 , g ( x ) ? ?

ax 2

?

1 2x

单调减函数,

-4-

所以当 x ?

1 a

时, g ( x ) 取得最大,最大值为 g (

1 a

)?? a.

所以 b ? ? a . 当 0 ? a ? 1 时,
ax 2

1 a

? 1 ,此时 g '( x ) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,
1 2x

所以 g ( x ) ? ?

?

在区间 (0,1] 上单调递增,
a ?1 2 a ?1 2

当 x ? 1 时 g ( x ) 最大,最大值为 g (1) ? ?

,所以 b ? ?

a ?1 2



综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;当 0 ? a ? 1 时, b ? ?



点评:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数 在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函 数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.

【思想方法】
【例 1】若 x 1 是方程 lg x ? x ? 3 的解, x 2 是 10 x ? x ? 3 的解,则 x 1 ? x 2 的值为( A.
3 2



B.

2 3

C. 3

D.
x

1 3 3 2

【解析】作出 y1 ? lg x , y 2 ? 3 ? x , y 3 ? 10 的图象, y 2 ? 3 ? x , y ? x 交点横坐标为 而 x1 ? x 2 ? 2 ? 【答案】C
3 2 ? 3.



【点评】该题考查了指数函数、对数函数的图象及性质.综合了函数的图象、方程的解 及曲线的交点等问题.指数函数、对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中以它们为载 体的函数综合题既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方 法的理解与运用. 【例 2】若函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 .

x 【解析】 设函数 y ? a ( a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a , 则函数 f(x)=a x -x-a(a>0 且 a ? 1)

x 有两个零点, 就是函数 y ? a ( a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点, 不符合, a ? 1 时, 当 因为函数 y ? a ( a ? 1) 的图象过点(0,
x

1),而直线 y ? x ? a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取

-5-

值范围是 a ? 1 . 【答案】 a ? 1 【点评】本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.体现了对分类讨论思想的考查, 分类讨论时,要注意该分类时才分类,讨论务必要全面. 【例 3】已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ?? ) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值
3 1

范围是( (A) (
1 3

) ,
2 3



(B) [

1 3



2 3



(C)(

1 2



2 3



(D) [
1 3

1 2



2 3



【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|), ∴得 f(|2x-1|)<f( 性,得|2x-1|< 【答案】B
1 3

),再根据 f(x)的单调

,解得

1 3

<x<

2 3



【点评】该题的关键是将含有函数符号的不等式转化为普通的不等式,体现的对转化思 想的考查,同时还综合考查了函数的性质,而该题的转化的依据就是函数的奇偶性和单调 性.考题中通过这种形式来考查函数的性质与方程、不等式等的综合不但是一个热点,而且 成了一个固定的必考题型.

【专题演练】
1.函数 y ? log 2
2?x 2? x

的图象(

) B.关于主线 y ? ? x 对称 D.关于直线 y ? x 对称

A. 关于原点对称 C. 关于 y 轴对称

2. 定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 的部分图象如右图所示, 则在 ? ? 2 , 0 ? 上,下列函数中与 f ? x ? 的单调性不同的是 ( )
2

A. y ? x ? 1

B. y ? | x | ? 1 D. y ? ?
?e x , x ? o ? ?e ?
?x

? 2 x ? 1, x ? 0 C. y ? ? 3 ? x ? 1, x ? 0

,x ? 0

3.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x ) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ) B. f (80) ? f (11) ? f ( ? 25)

A. f ( ? 25) ? f (11) ? f (80)

-6-

C. f (11) ? f (80) ? f ( ? 25)

D. f ( ? 25) ? f (80) ? f (11)

? log 2 (1 ? x ), x ? 0 4. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? ,则 f(2009)的值 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2 ), x ? 0




2

5. 已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x ) ? 2 f (2 ? x ) ? x ? 8 x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x ) 在点
(1, f (1)) 处的切线方程是


2

6.已知函数 f ( x ) ?

1 3

x ? a x ? b x , 且 f '( ? 1) ? 0
3

(I)试用含 a 的代数式表示 b ; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; ( Ⅲ ) 令 a ? ? 1 , 设 函 数 f ( x ) 在 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点
M ( x1 , f ( x1 )), N ( x 2 , f ( x 2 )) ,证明:线段 M N 与曲线 f ( x ) 存在异于 M 、 N 的公共点.

7. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 bx ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5 x ? 10 .
3 2

(I)求函数 f ( x ) 的解析式; (II)设函数 g ( x ) ? f ( x ) ?
1 3 m x ,若 g ( x ) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数

g ( x ) 取得极值时对应的自变量 x 的值.

【参考答案】
1.答案:A 解析:由于定义域为(-2,2)关于原点对称,又 f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图象关于 原点对称,选 A. 2.答案:C 解析: 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反, 故可知求在 ? ? 2, 0 ? 上单调递减, 注意到要与 f ? x ? 的单调性不同,故所求的函数在 ? ? 2, 0 ? 上应单调递增.而函数
y ? x ?1
2

在 ? ?? ,1? 上 递 减 ; 函 数 y ? x ? 1 在 ? ? ? , 0 ? 时 单 调 递 减 ; 函 数
-7-

? 2 x ? 1, x ? 0 在( ?? , 0] 上单调递减,理由如下 y'=3x2>0(x<0),故函数单调递增, y?? 3 ? x ? 1, x ? 0
?e x , x ? 0 ?x ? 显然符合题意;而函数 y ? ? ,有 y'=- e <0(x<0),故其在( ?? , 0] 上单调递 ?x ?e , x ? 0 ?

减,不符合题意,综上选 C. 3. 答案:D 解析:因为 f ( x ) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x ) ,所以 f ( x ? 8) ? f ( x ) ,所以函数是以 8 为周 期的周期函数,则 f ( ? 25 ) ? f ( ? 1) , f (80 ) ? f ( 0 ) , f (11 ) ? f ( 3 ) ,又因为 f ( x ) 在 R 上是奇函数,
f (0) ? 0 , 得 f (80 ) ? f ( 0 ) ? 0 , f ( ? 25 ) ? f ( ? 1) ? ? f (1) , 而 由

得 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) f (11 ) ? f ( 3) ? ? f ( ? 3) ? ? f (1 ? 4 ) ? f (1) ,又因为 f ( x ) 在区间 [0,2]上是增函数,所以 f (1) ? f ( 0 ) ? 0 ,所以 ? f (1) ? 0 ,即 f ( ?25) ? f (80) 故选 D. 4.答案:1 解析:由已知得 f ( ? 1) ? log 2 2 ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f ( ? 1) ? ? 1 ,
f (2) ? f (1) ? f (0) ? ? 1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ? 1 ? ( ? 1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? ( ? 1) ? 1 , f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,

?(f) 11



所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现. ,所以 f(2009)= f(5)=1. 5.答案: y ? 2 x ? 1 解析:由 f ( x ) ? 2 f (2 ? x ) ? x ? 8 x ? 8 得:
2

f (2 ? x ) ? 2 f ( x ) ? (2 ? x ) ? 8(2 ? x ) ? 8 ,
2

即 2 f ( x ) ? f (2 ? x ) ? x ? 4 x ? 4 ,∴ f ( x ) ? x ∴ f ( x ) ? 2 x ,
2 2 /

∴切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 . 6.解析: (I)依题意,得 f '( x ) ? x ? 2 ax ? b ,
2

由 f '( ? 1) ? 1 ? 2 a ? b ? 0 得 b ? 2 a ? 1 . (Ⅱ)由(I)得 f ( x ) ?
1 3 x ? a x ? ( 2 a ? 1) x ,
3 2

-8-

故 f '( x ) ? x ? 2 ax ? 2 a ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 2 a ? 1) ,
2

令 f '( x ) ? 0 ,则 x ? ? 1 或 x ? 1 ? 2 a , ①当 a ? 1 时, 1 ? 2 a ? ? 1 , 当 x 变化时, f '( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表:
x
f '( x ) f ( x) ( ?? ,1 ? 2 a ) ( ? 2 a , ? 1) (?1 ? ? )

+ 单调递增

单调递减

+ 单调递增

由此得, 函数 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?? ,1 ? 2 a ) 和 ( ? 1, ?? ) , 单调减区间为 (1 ? 2 a , ? 1) . ②由 a ? 1 时, 1 ? 2 a ? ? 1 ,此时, f '( x ) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ? 1 处 f '( x ) ? 0 ,故 函数 f ( x ) 的单调区间为 R; ③ 当 a ? 1 时 , 1 ? 2a ? ? 1, 同 理 可 得 函 数 f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 ( ?? , ? 1) 和
(1 ? 2 a , ?? ) ,单调减区间为 ( ? 1,1 ? 2 a ) .

综上: 当 a ? 1 时 , 函 数 f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 ( ?? ,1 ? 2 a ) 和 ( ? 1, ?? ) , 单 调 减 区 间 为
(1 ? 2 a , ? 1) ;

当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时 , 函 数 f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 ( ?? , ? 1) 和 (1 ? 2 a , ?? ) , 单 调 减 区 间 为
( ? 1,1 ? 2 a )

( Ⅲ ) 当 a ? ?1 时 , 得 f ( x) ?
x1 ? ? 1, x 2 ? 3 .

1 3x

x ? x ? 3 x , 由 f ' ( x )? x ? 2 x ? 3 ? , 得 0
3 2

2

由(Ⅱ)得 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?? , ? 1) 和 (3, ?? ) ,单调减区间为 ( ? 1, 3) ,所以函数
5 f ( x ) 在 x1 ? ? 1, x 2 ? 3 处取得极值,故 M ( ? 1, ), N (3, ? 9 ) , 3 8 所以直线 M N 的方程为 y ? ? x ? 1 , 3
-9-

1 3 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 由? 得 x3 ? 3x2 ? x ? 3 ? 0 8 ? y ? ? x ?1 ? 3 ?

解得 x1 ? ? 1, x 2 ? 1. x 3 ? 3 ,
? x1 ? ? 1 ? x 2 ? 1 ? x3 ? 3 ? ? , ?? 5 ? 11 ? y1 ? , ? y 2 ? ? , ? y3 ? ? 9 ? 3 ? 3 ?

所以线段 M N 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点 (1, ?

11 3

).

7.解析: (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4 b ? c ? 3 ? 0 ??①
2 又 f ?( x ) ? 3 x ? 4 bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8 b ? c ? 5 得 8 b ? c ? 7 ? 0 ??②

联立①②,解得 b ? ? 1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x ) ? x ? 2 x ? x ? 2 .
3 2

(II)因为 g ( x ) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

1 3

mx



令 g ?( x ) ? 3 x ? 4 x ? 1 ?
2

1 3

m ?0


1 3 m ? 0 有实数解,

2 当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3 x ? 4 x ? 1 ?

由 ? ? 4(1 ? m ) ? 0 ,得 m ? 1 . ①当 m ? 1 时, g ?( x ) ? 0 有实数 x ? 无极值; ②
x1 ? 1 3

2 3

,在 x ?

2 3

左右两侧均有 g ?( x ) ? 0 ,故函数 g ( x )


(2 ?

m ?1


1 3


(2 ?

g ?( x ? )

有0











1 ? m ), x 2 ?

1 ? m ), g ?( x ), g ( x ) 情况如下表:

x
g ?( x ) g ( x)

( ? ? , x1 )

x1

( x1 , x 2 )

x2

( x2 ? ? )

+ ↗

0 极大值



0 极小值

+ ↗

- 10 -

所以在 m ? ( ?? ,1) 时,函数 g ( x ) 有极值; 当x ?
1 3 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x ) 有极大值;当 x ? 1 3 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x ) 有极小值.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 11 -



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