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9。直线与圆、圆和圆


本节课复习内容:
§8.5 圆与直线、圆与圆的位置关系

复习目标:
1、理解并掌握圆与直线的位置关系, 会判断直线与圆直线的位置关系; 2、掌握圆与圆的位置关系, 会判断圆与圆直线的位置关系; 3、 能根据以上知识求解相关问题。

一、直线和圆的三种位置关系
? 直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交。 ? 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切。 ? 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。



判断方法1、

求出圆心O到直线L的距离 d 与⊙O的
半径 r 的大小比较:

直线L和⊙O相交 直线L和⊙O相切 直线L和⊙O相离

d<r d﹦r d>r

. r d
O

L

O .

O .

r d

L

d

r L

判断方法2、由判别式来判断。
方法是: 由? x ? y ? r
2 2 2

得一个一元二次方程 ? ? Ax ? By ? C ? 0

再求判别式⊿=b2-4ac 当⊿ >0时,圆与直线有两个交点,直线L和⊙O相交
当⊿=0时,圆与直线只有一个交点,直线L和⊙O相切 当⊿<0时,圆与直线没有交点,直线L和⊙O相离

例1:已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,
当b为何值时,圆与直线有两个交点、 只有一个交点、没有交点?
解法一: 由方程: x2+y2=2得圆心为C(0,0),半径为r= 2
圆心C(0,0)到直线x-y+b=0的距离为

b d? 2

y 2

b ?2 ?r? 2 (1) 当d<r, 2 即-2<b<2时,圆与直线有两个交点

b

o

x

(2) 当d=r,

b 2

?r?

2

b ?2
-2

即b=-2或b=2时,圆与直线只有一个交点 (3) 当d>r, b ? 2

即b<-2或b>2时,圆与直线没有交点

解法二:
2 2 x ? y ?2 ? 2 2 由? 解得 : 2 x ? 2bx ? b ? 2 ? 0 ?y ? x ? b

? ? (2b) ? 4 ? 2(b ? 2) ? 4(?b ? 4)
2 2 2

当⊿ >0时,-b2+4>0 即-2<b<2时,圆与直线有两个交点 当⊿=0时,-b2+4=0 即b=-2或b=2时,圆与直线只有一个交点 当⊿<0时, -b2+4<0 即b<-2或b>2时,圆与直线没有交点

例2 已知圆的方程为x2+y2=r2 ,
求过圆上一点M (xo,yo)的切线方程。 y
解:OM是切线的法向量, OM=(x0,y0),
设P(x,y)为切线上一动点,则点法式方程,得 x0(x-x0)+y0(y-y0)=0 x0x+y0y-(x02+y02)=0 因点M(x0,y0)在圆上, 所以 xo2+yo2=r2 x0x+y0y-r2=0 所以切线方程 xox + yoy = r2
o x

M

同理:已知圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一 点 P(xo,yo),则过点P的圆的切线方程为:
(x- a) (xo- a) + (y - b) (yo- b) = r2

二、圆和圆的五种位置关系
圆C1 : ( x ? a1 ) ? ( y ? b1 ) ? r1 圆C2 : ( x ? a2 ) ? ( y ? b2 ) ? r2
2 2 2 2 2 2

d ? C1C 2 ? (a1 ? a 2 ) ? (b1 ? b2 ) 且 r1 ? r2
2 2

(1) 外离 ? d ? r1 ? r2 (2) 外切 ? d ? r1 ? r2 (3) 相交 ? r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 (4) 内切 ? d ? r1 ? r2 (5) 内含 ? d ? r1 ? r2

练习

1.过圆x2+y2=13上一点A ( - 2, - 3 )的切线方程是

.

2.过圆 x2+y2 - 6x- 4y = 0上一点 A( 1, 5 )的切线方程 是 3. 从点A ( 2, 3 )向圆(x-1)2+(y-1)2=1引切线,则切线方程 是 .
4.判断下列直线和圆、圆与圆的位置关系:

.

(1) 2x + 3y +13 = 0 和 x2 + y2 = 25 (2) (x - 3)2 + (y + 4)2 = 9 和 x2 + y2 = 25
5.在圆x2+y2=4上与4x+3y-12=0距离最短的点是 ?8 6? ?8 6? ? 8 6? ? 8 6? A. ? , ? B. ? ,? ? C. ? ? , ? D. ? ? ,? ? ?5 5? ?5 5? ? 5 5? ? 5 5? 6.若方程 a2x2+(a+2)y2 +2ax + a = 0 表示圆,则 a 的值是

A

-1

B

2
2

C -1或2
2

D

1

y 7. 若P( x, y )在圆( x ? 3) ? ( y ? 3 ) ? 6上运动, 则 的最大值为 ___ x

练习的答案:
1.过圆x2+y2=13上一点A ( - 2, - 3 )的切线方程是2x+3y+13=0. 2.过圆 x2+y2 - 6x- 4y = 0上一点 A( 1, 5 )的切线方程 是 2x-3y+13=0 . 3. 从点A ( 2, 3 )向圆(x-1)2+(y-1)2=1引切线,则切线方程 3x-4y+6=0 或 x = 2 是 . 4.判断下列直线和圆、圆与圆的位置关系:

(1) 2x + 3y +13 = 0 和 x2 + y2 = 25
?d ? 2 ? 0 ? 3 ? 0 ? 13 2 2 ? 32 ? 13 ? 25

?d ? r

直线和圆相交

(2) (x - 3)2 + (y + 4)2
? d ? (3 ? 0) 2 ? (?4 ? 0) 2 ? 5

= 9 和 x2 + y2 = 25

? d ? 5 ? 3 ? 5 ? r1 ? r2 且d ? 5 ? 5 ? 3 ? r1 ? r2

两圆相交

5.在圆x2+y2=4上与4x+3y-12=0距离最短的点是
A. ?8 6? ? , ? ?5 5? B. ?8 6? ? ,? ? ?5 5? C. ? 8 6? ?? , ? ? 5 5? D. ? 8 6? ? ? ,? ? ? 5 5?

A A

6.若方程 a2x2+(a+2)y2 +2ax + a = 0 表示圆,则 a 的值是
?a 2 ? a ? 2 ? 解 : 由题意可得 : ?? 2a ? 2 a ? 4 ? ?0 ? ? ? 2 2 a ?? a ?

A

-1

B

2

C -1或2

D

1

由a 2 ? a ? 2解得a ? ?1或a ? 2(舍去)
2 2

7.

若P( x, y )在圆( x ? 3) ? ( y ? 3 ) ? 6上运动,

y 2 ? 3 ____ 则 的最大值为 __________ x

小结:

1、直线和圆的三种位置关系
公共点 d与r的大小关系

直线和圆的位置关系

直线L和⊙O相交 直线L和⊙O相切 直线L和⊙O相离
圆C1 : ( x ? a1 ) ? ( y ? b1 ) ? r1
2 2 2

2 1 0
2

d<r d﹦r d>r
2 2

2、圆和圆的五种位置关系
圆C2 : ( x ? a2 ) ? ( y ? b2 ) ? r2
d ? C1C 2 ? (a1 ? a 2 ) 2 ? (b1 ? b2 ) 2 且 r1 ? r2

(1) 外离 ? d ? r1 ? r2 (2) 外切 ? d ? r1 ? r2 (3) 相交 ? r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 (5) 内含 ? d ? r1 ? r2 (4) 内切 ? d ? r1 ? r2

课本第217页例题1、2、3、4 课外练习:课本第218页同步训练


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