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数学理卷·2014届广东省佛山一中高三10月段考(2013.10)



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一、选择题: (本大共 8 小题 ,每小题 5 分,满分 40 分) 1.已知集合 M ? { y | y ? x ? 2}, 集合N ? {x | y ? x ? 2}, 则有 (
2 2



A. M ? N

B. M ? (C R N ) ? ? C. N ? (C

R M ) ? ? D. N ? M

2.已知命题p:在△ABC中,“ C ? B ”是“ sin C ? sin B ”的充分不必要条件;命题q: “ a ? b ”是“ ac 2 ? bc 2 ”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( ) A.p真q假 B.p假q真 C.“ p ? q ”为假 D.“ p ? q ”为真 3.已知向量 a ? (4,3) , b ? (?1,2) ,若向量 a ? k b 与 a ? b 垂直,则 k 的值为( A. )

23 3

B.7

C. ?

11 5

D. ?

23 3

1 x ? x 2 的定义域为 ( ) x ?1 A. (0,??) B. (1,??) C. (0,1) D. (0,1) ? (1,??) ? 5.函数 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ,给出下列四个命题,其中命题正确的有: ) ( 4

4.数 f ( x) ? ln

①函数 f ( x) 在区间 ?

? ? ? 5? ? ②直线 x ? 是函数 f ( x) 的图象的一条对称轴; , ? 上是减函数; 8 ?2 8 ?
2 sin 2 x 的图象向左平移
D.①②③

③函数 f ( x) 的图象可以由函数 y ? A.①③ B.①② C.②③

?
4

而得到。

6.化简三角式

2 cos 55 ? ? 3 sin 5 ? ?( ) cos 5 ?
B .1 C .2 D .

A .

3 2

3

7.在平行四边形 ABCD 中, BD ? 3ED , AE 的延长线与 CD 交于点 F .若 AC ? a ,

????

??? ? ??? ? BD ? b ,则 AF ? (
A.

) B.

1 1 a? b 4 2

3 1 a? b 4 4

C.

1 1 a? b 2 4

D.

1 3 a? b 4 4

? x 2 ? 1????????????? x ? 0 ? 8.已知函数 f ( x) ? ? 在点(1,2)处的切线与 f ( x) 的图像有三个公共 2 ? ? x ? 4 x ? a??? x ? 0 ?
点,则 a 的取值范围是(
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A . [?8, ?4 ? 2 5) D. (?4 ? 2 5,?? 8] 二、填空题(本大共 6 小题 ,每小题 5 分,满分 30 分) 9.已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长,则这段圆弧所对圆心角的弧度 数为____________ 10.已知函数 f ( x) 是定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的奇函数,在 (0, ??) 上单调递减,且 B . (?4 ? 2 5, ?4 ? 2 5) C . (?4 ? 2 5,?8]

1 f ( ) ? f (? 3 ) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 的根的个数为_________ 2

11.已知 A ? a | a ? (3,1) ? m(1,0), m ? R , B ? b | b ? n(?1,1) ? (2,3), n ? R , 则 A ? B ? __________ 12.已知 tan(? ? ? ) ?

?

?

?

?

2 1 ? , tan( ? ? ? ) ? , 那么 tan(? ? ) 的值是__________ 54 4 4
2

13.计算 ( 4 ? x ? x )dx 的值为________________.
2 -2

?

2

14.在四边形 ABCD 中, AD ? 12, CD ? 5, AB ? 10, DA ? DC ? AC , AB 在 AC 方向 上的投影为 8,求 ?BAD 的正弦值为________ 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
? ? ?

15. (本 小题满分 12 分)已知向量 a =(2,2) ,向量 b 与向量 a 的夹角为 -2,
?

? ? 3? ,且 a · b = 4

(1)求向量 b ; (2)若 t ? (1,0)且 b ? t , c ? (cos A,2 cos 2
?

?

?

? ?

C ) ,其中 A、C 是△ABC 的内角,若三角 2
?

形的三内角 A、B、C 依次成等差数列,试求| b + c |的取值范围.

16.













12





某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意” 、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票 1 中的任何一类票的概率都为 ,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张 3 “同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率; (2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.
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17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f (x) 的定义域; (2)若 f (? ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 . 2 cos x

?
4

)?

3 2 ,求 cos ? 的值. 5

(3)在(2)条件下,若?是第四象限角,求 cos(?-2?)+cos(2?-

? )的值。 2

18. (本小题满分 14 分)三棱锥 P ? ABC ,底面 ABC 为边长为 2 3 的正三角形,平面

PBC ? 平面 ABC , PB ? PC ? 2 , D 为 AP 上一点, AD ? 2 DP , O 为底面三角形中
心. (Ⅰ)求证 DO ∥面 PBC ; (Ⅱ)求证: BD ? AC ; (Ⅲ)设 M 为 PC 中点,求二面角 M ? BD ? O 的余弦值.

19. (本小题满分 1 4 分)对于函数 y ? f ( x) ( x ? D , D 为函数的定义域) ,若同时满足 下列条件:① f ( x) 在定义域内单调递增或单调递减;②存在区间 [a, b] ? D ,使 f ( x) 在 [a, b] 上的值域是 [a, b] .那么把 y ? f ( x) ( x ? D ) 称为闭函数. (1)求闭函数 y ? ? x 符合条件②的区间 [a, b] ;
3

(2)判断函数 f ( x) ? (3)若 f ( x) ? k ?
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3 1 x ? ( x ? (0, ??)) 是否为闭函数?并说明理由. 4 x

x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围.
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20. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x 3 ? tx ? (I)试讨论 函数 f (x) 在区间[0,1]上的单调性; (II)求最小的实数 h ,使得对任意 x ? ?0,1?及任意实数 t , f ( x) ?

t ?1 ,t ? R . 2

t ?1 ? h ? 0 恒成立. 2

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佛山一中 2013 学年度上学期高三级 10 月段考(答案)
一、 选择题: 二、填空题:9. 3 10.2 11. ?(?4,?3)? 12.

座位号
43 66
13. 2? ?

16 3

14.

56 65

??? ???? ???? ? ???? ???? ??? ? ? | DA ? DC |?| AC | ,? ?ADC ? 90? ,在 Rt ?ADC 中, | AD |? 12 , | CD |? 5 ,? BD ? 13 , 14
12 5 ??? ? ??? ? ???? sin ?DAC ? 13 , 13 ,? AB 在 AC 方向上的投影为 8,? | AB | cos ?CAB ? 8 , 4 ??? ? cos ?CAB ? | AB |? 10 ? 5 ,? ?CAB ? (0, ? ) , cos ?DAC ?

?

sin ?CAB ?

4 56 sin ?BAD ? sin(?DAC ? ?CAB) ? 5? 65

三、解答题: 15.

16.(12 分) 7 2?1? 2?2? 3?1?3 解析 (1)该公司决定对该项目投资的概率为P=C3? ? ? ?+C3? ? = ????4分 ?3? ?3? ?3? 27 (2)该公司放弃对该项目投资且投 票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形: “同意”票张
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“中立”票张

“反对”票张

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数 事件A 事件B 事件C 事件D 0 1 1 0 数 0 0 1 1 数 3 2 1 2

。。。6分 P(A)=C
3 3 3

?1? 3= 1 ,P(B)=C 1 ?1? 3= 1 ,P(C)=C 1 C 1 ?1? 3= 2 , ?3? 3 ? ? 3 2 ? ? 27 9 9 ? ? ?3? ?3?

P(D)=C

1 3

?1? ?3? ? ?

1 = . 9

。。。。10分

∵A、B、C、D互斥, 13 ∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= . 。。。。。。。。12分 27

z
P D M

x

A

C O E B

y

18(14 分)证明:(Ⅰ)连 结 AO 交 BC 于点 E ,连结 PE . 。。1 分 。 ? O 为正三角形 ABC 的中心,∴ AO ? 2OE , 且 E 为 BC 中点.又 AD ? 2 DP , ∴ DO ∥ PE , 。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。2 ? DO ? 平面 PBC , PE ? 平面 PBC ∴ DO ∥面 PBC 。。。。。。。。。。。4 分 。。。。。。。。。。 (Ⅱ)? PB ? PC ,且 E 为 BC 中点, ∴ PE ? BC , 又平面 PBC ? 平面 ABC ,
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∴ PE ? 平面 ABC , 。。。。。。5 分 。。。。。 由(Ⅰ)知, DO ∥ PE , ∴ DO ? 平面 PBC , ∴ DO ? AC 。。。。。。 分 。。。。。。6 连结 BO ,则 AC ? BO ,又 DO ? BO ? O , ∴ AC ? 平面 DOB ,∴ AC ? BD 。。。。。 分 。。。。。8

3 1 3x 2 ? 4 3 1 (2)? f ( x) ? x ? ? f ' ( x) ? ? 2 ? ? 4 x 4 x x2
5分

3( x ?

2 3 2 3 )( x ? ) 3 3 。。 。 x2

可见在 x ? (0,??) 时, f ' ( x) ? 0 和 f ' ( x) ? 0 都不恒成立,。。。 分 。。。。6 可得 f ( x) 在 (0, ??) 不是增函数也不是减函数,所以 f ( x) 不是闭函数.。。。。7 分 。。。。

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(3)? f ( x) ? k ? 。。。。。。8 x ? 2 在定义域 [-2,??) 上递增 。。。。。。 分

设函数符合条件②的区间为 [a, b] ,则

?a ? k ? a ? 2 ? ,故 a , b 是方程 x ? k ? x ? 2 的两个实根,。。9 分 。。 ? ?b ? k ? b ? 2 ?

v' ( x) ?


1 2 x?2

?1

得x ? ?

7 ,代入 v( x) ? 4

x ? 2 得 y ? 1 ,即切点为 ? ? 7 , 1 ? ? ? 2 ? 4 2?

此时 ? k ?

1 7 9 。。。。。 。。。。。12 分 ? (? ) ? 2 4 4

当 u ( x) ? x ? k ( x ? ?2) 过点 - 2,0) ? k ? 2 。。 时 。。13 分 ( 由图可知 2 ? ? k ?

9 9 ,所以 k 的取值范围是 (? , ?2] 。 。14 分 4 4

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20. 解: (1)∵函数


,∴f (x)=3x ﹣t.。 分 。。1



2

1°若 t≤0,则 f (x)≥0 在[0,1]上恒成立,∴f(x)在[0,1]上 单调递增;。。 分 。。。2 2 ′ 2°若 t≥3 时,∵3x ≤3,∴f (x)≤0 在[0,1] 上恒成立,∴f(x)在[0,1]上单调递减; 。3 分 3°若 0<t<3,则 当 当 (2) 时, 时,f (x)<0,∴f(x)在 时,f (x)>0,∴f(x)在 ?
′ ′

,令 f (x)=0,解得 上单调递减;





上单调递增.。。 分 。。。6 , 因此, 只需求出当 x∈[0, t∈R 1],

的最小值即可.。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。7 ,x∈[0,1],

【方法一】 :令 g(x)=f(x)+
′ ′

而 g (x)=f (x) ,由(1)的结论可知: 当 t≤0 或 t≥3 时,则 g(x)在[0,1]上单调, 故 g(x)min=min{g(0) ,g(1)}=min{ 当 0<t<3 时,则 =﹣ , . }=0.

∴h(t)=

.。。。。。10 分 。。。。。

下面求当 t∈R 时,关于 t 的函数 h(t)的最小值. 当 t∈(0,1)时,h(t)= 当 1<t<3 时,h(t)= 调递增. 又 h(t)在 t=1 处连续,故 h(t)在 t∈(0,3)上的最小值是 h(1)=﹣ 综上可知:当 t∈[0,1]且 t∈R 时, 值为﹣m= . 。。。。。。 。。。。。。14 分 的最小值为 .。12 分 。 ,即得 h 的最小 在(0,1)上单调递减; , >0,∴h(t)在(1,3)上单

【方法二】 :对于给定的 x∈[0,1],求关于 t 的函数(t∈R) ,

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g(t)=f(x)+ =﹣xt+ +x =
3

的最

小值.。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。9

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