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9.2 直线、平面平行的判定及其性质



§9.2
要点梳理

直线、 平面平行的判定及其性质 基础知识 自主学习

平行 相交 1.直线 a 和平面 α 的位置关系有______、_____、

在平面内 ________,其中____与______统称直线在平面外. 平行 相交
2.直线和平面平行的判定 (1)定义:___________

__________________ 直线和平面没有公共点,则称直

线平行于平面 _______________;
(2)判定定理:a?α,b?α,且 a∥b? a∥α ; (3)其他判定方法:α∥β,a?α? α∥β .

3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a?β, α∩β=l? a∥l .

平行、相交 4.两个平面的位置关系有______________.
5.两个平面平行的判定 (1)定义:___________________________ 两个平面没有公共点,就称 __________________; 这两个平面平行 (2)判定定理:a?α,b?α,a∩b=M,a∥β, b∥β? α∥β ; (3)推论:a∩b=M,a,b?α,a′∩b′=M′, a′,b′?β,a∥a′,b∥b′? α∥β .

6.两个平面平行的性质定理 (1)α∥β,a?α? α∥β ; (2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b? a∥b . 7.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α? a∥b ; (2)a⊥α,a⊥β? α∥β .

[难点正本

难点清源]

1.直线与平面的位置关系有三种:直线在平面 内、直线与平面相交、直线与平面平行,后 面两种又统称为直线在平面外. 2.证明线面平行是高考中常见的问题,常用的 方法就是证明这条线与平面内的某条直线 平行.但一定要说明一条直线在平面外, 一条 直线在平面内.

3.在判定和证明直线与平面的位置关系时,除 熟练运用判定定理和性质定理外,切不可丢 弃定义,因为定义既可作判定定理使用,亦 可作性质定理使用. 4.辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能 利用线面平行的判定定理及性质定理,往往 需要作辅助线(面).

基础自测 1.给出下列四个命题: ①若一条直线与一个平面内的一条直线平 行,则这条直线与这个平面平行; ②若一条直线与一个平面内的两条直线平 行,则这条直线与这个平面平行; ③若平面外的一条直线和这个平面内的一 条直线平行,那么这条直线和这个平面平 行; ④若两条平行直线中的一条与一个平面平 行,则另一条也与这个平面平行. 其中正确命题的个数是 个.

解析

命题①错,需说明这条直线在平面外.

命题②错,需说明这条直线在平面外. 命题③正确,由线面平行的判定定理可知. 命题④错,需说明另一条直线在平面外. 答案 1

2.已知不重合的直线 a,b 和平面 α, ①若 a∥α,b?α,则 a∥b; ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a∥b,b?α,则 a∥α; ④若 a∥b,a∥α,则 b∥α 或 b?α, 上面命题中正确的是 ④ (填序号).
解析 ①若 a∥α,b?α,则 a,b 平行或异面;

②若 a∥α,b∥α,则 a,b 平行、相交、异面 都有可能;③若 a∥b,b?α,则 a∥α 或 a?α.

3.对于平面 α 和共面的直线 m、 下列命题中 n, 假命题是 ①③ (填序号). ①若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; ②若 m?α,n∥α,则 m∥n; ③若 m、n 与 α 所成的角相等,则 m∥n.
解析 由于 m?α, n∥α 得到 m 与 n 无公共点,

m、n 又是共面直线,所以 m∥n,故②正确.① 中,可能 n?α;③中 m、n 可能相交.

4.考察下列三个命题,在“

”处都缺少

同一个条件,补上这个条件使其构成真命题 (其中 l、m 为直线,α、β 为平面),则此条 件为 ①
l?α m?α l∥m

. ? ? ??l∥α; ② ? ? l∥m ? ? m∥α ??l∥α; ? ?


解析

l⊥β ? ? α⊥β ??l∥α. ? ?
①体现的是线面平行的判定定理,缺的

条件是“l 为平面 α 外的直线”即“l?α”,它同样 也适合②③.

5.一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的位置 关系是( D ) A.l∥α C.l 与 α 相交但不垂直
解析

B.l⊥α D.l∥α 或 l?α

l∥α 时, 直线 l 上任意点到 α 的距离都相

等.l?α 时, 直线 l 上所有的点到 α 的距离都是 0; l⊥α 时,直线 l 上有两个点到 α 距离相等;l 与 α 斜交时,也只能有两点到 α 距离相等.

题型分类
题型一

深度剖析

直线与平面平行的判定与性质

例 1 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相 交于 AB,在 AE、BD 上各有一点 P、Q,且 AP=DQ.求证:PQ∥平面 BCE. 证明直线与平面平行可以利用直线 思维启迪:

与平面平行的判定定理,也可利用面面平行的 性质.

证明

方法一如图所示.

作 PM∥AB 交 BE 于 M, 作 QN∥AB 交 BC 于 N, 连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB, ∴AE=BD.又 AP=DQ,∴PE=QB, PM PE QB QN 又 PM∥AB∥QN,∴ = = , = AB AE BD DC BQ PM QN ,∴ = , BD AB DC ∴PM 綊 QN, 即四边形 PMNQ 为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又 MN?平面 BCE,PQ?平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.

方法二

如图,连接 AQ,并延长交 BC 延长

线于 K,连接 EK, ∵AE=BD,AP=DQ, AP DQ ∴PE=BQ,∴PE=BQ , DQ AQ 又 AD∥BK,∴ BQ =QK, AP AQ ∴PE=QK,∴PQ∥EK. 又 PQ?平面 BCE,EK?平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.

方 法 三 如 图 , 在 平 面 ABEF 内 , 过 点 P 作 PM∥BE, AB 于点 M, 交 连接 QM. ∴PM∥平面 BCE, 又∵平面 ABEF∩平面 BCE=BE, AP AM ∴PM∥BE,∴ = , PE MB 又 AE=BD, AP=DQ, ∴PE=BQ, AP DQ AM DQ ∴ = ,∴ = , PE BQ MB QB ∴MQ∥AD,又 AD∥BC, ∴MQ∥BC, ∴MQ∥平面 BCE, PM∩MQ=M, 又 ∴平面 PMQ∥平面 BCE,又 PQ?平面 PMQ. ∴PQ∥平面 BCE.

探究提高

判断或证明线面平行的常用方法

有:(1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a ?α ,b?α , a∥b?a∥α );(3)利用面面平行的性质定理 (α ∥β ,a?α ?a∥β );(4)利用面面平行 的性质(α ∥β ,a ?β ,a∥α ?a∥β ).

变式训练 1 如图, PA⊥平面 ABCD, 四边形 ABCD 是矩形,E、F 分别 是 AB、PD 的中点,求证:AF∥ 平面 PCE.

证明 取 PC 的中点 M, 连结 ME、MF,则 FM∥CD 且 FM 1 = CD. 2 1 又∵AE∥CD 且 AE= CD, 2 ∴FM // AE,即四边形 AFME 是平行四边形. ∴AF∥ME,又∵AF?平面 PCE,EM?平面 PCE,∴AF∥平面 PCE.

题型二

平面与平面平行的判定与性质

例 2 如图所示,三棱柱 ABC —A1B1C1,D 是 BC 上一点, 且 A1B∥平面 AC1D,D1 是 B1C1 的中点,求证:平面 A1BD1∥平面 AC1D.
思维启迪:由面面平行的判定定理知只需证 BD1、 1B 平行于平面 ADC1, A 已知 A1B∥平面 AC1D, 则只需证 BD1∥平面 ADC1.

证明:连结 A1C 交 AC1 于点 E, ∵四边形 A1ACC1 是平行四边形, ∴E 是 A1C 的中点,连接 ED, ∵A1B∥平面 AC1D, 平 面 A1BC∩ 平 面 AC1D = ED , ∴A1B∥ED, ∵E 是 A1C 的中点,∴D 是 BC 的中点. 又∵D1 是 B1C1 的中点, ∴BD1∥C1D,又∵C1D?平面 AC1D, BD1?平面 AC1D, ∴BD1∥平面 AC1D,又 A1B∩BD1=B, ∴平面 A1BD1∥平面 AC1D.

探究提高

证明面面平行的方法有:

(1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有 两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这 两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面 面平行”的相互转化.

变式训练 2 如图, 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, E,F,G,H 分别是 AB,AC, A1B1,A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

证明

(1)∵GH 是 △A1B1C1 的 中 位 线 ,

∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E、 分别为 AB、 的中点, F AC ∴EF∥BC, ∵EF?平面 BCHG,BC?平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G // EB, ∴四边形 A1EBG 是平行四边形, ∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB?平面 BCHG. ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG.

题型三 线面、面面平行的综合应用 例 3 如图所示,平面 α∥平面 β,点 A∈α, C∈α,点 B∈β,D∈β,点 E、 F 分别在线段 AB、CD 上,且 AE∶EB=CF∶FD. 求证:EF∥β,EF∥α.
证明 ①当 AB,CD 在同一平面内时, 由 α∥β,α∩平面 ABDC=AC, β∩平面 ABDC=BD, ∴AC∥BD, ∵AE∶EB=CF∶FD, ∴EF∥BD, 又 EF?β,BD?β,∴EF∥β.

②当 AB 与 CD 异面时, 设平面 ACD∩β=DH,且 DH=AC. ∵α∥β,α∩平面 ACDH=AC, ∴AC∥DH, ∴四边形 ACDH 是平行四边形. 在 AH 上取一点 G,使 AG∶GH=CF∶FD, 又∵AE∶EB=CF∶FD, ∴GF∥HD,EG∥BH, 又 EG∩GF=G,∴平面 EFG∥平面 β. ∵EF?平面 EFG,∴EF∥β. 综上,EF∥β. ∵α∥β,EF∥β 且 EF?α,∴EF∥α.

探究提高

面面平行的性质定理的应用问题,

往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与 性质的综合应用.解题时,要准确地找到解题 的切入点,灵活地运用相关定理来解决问题, 注意三种平行关系之间的相互转化.

变式训练 3 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1,底面 为 正 三 角 形 ,侧 棱 A1A⊥ 底 面 ABC,点 E、F 分别是棱 CC1、 BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上 的动点,EC=2FB. 当点 M 在何位置时,BM∥平面 AEF? 解 方法一 如图, AE 的中点 O, 取 连接 OF, 过点 O 作 OM⊥AC 于点 M. ∵侧棱 A1A⊥底面 ABC, ∴侧面 A1ACC1⊥底面 ABC, ∴OM⊥底面 ABC.

1 又∵EC=2FB,∴OM∥FB // EC, 2 ∴四边形 OMBF 为矩形,∴BM∥OF, 又∵OF?面 AEF,BM?面 AEF. 故 BM∥平面 AEF,此时点 M 为 AC 的中点.

方法二

如图,取 EC 的中点 P,AC 的中点 Q,

连接 PQ、PB、BQ, ∴PQ∥AE.∵EC=2FB, ∴PE // BF,PB∥EF, ∴PQ∥平面 AEF,PB∥平面 AEF. 又 PQ∩PB=P,∴平面 PBQ∥平面 AEF, 又∵BQ?面 PQB,∴BQ∥平面 AEF. 故点 Q 即为所求的点 M, 此时点 M 为 AC 的中点.

答题模板 9.立体几何中的探索性问题 试题:(12 分)如图所示,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE, AE=EB=BC,F 为 CE 上的点, 且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设 M 在线段 AB 上, 且满足 AM=2MB, 试在 线段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE.

审题视角

(1)通过线面垂直证明线线垂直.(2)

这是一道探索性问题,先确定点 N 的位置,再 进行证明.要注意解题的方向性, 通过寻找到的 条件,证明 MN∥平面 DAE 成立.
规范解答 (1)证明 ∵AD⊥平面 ABE, AD∥BC, ∴BC⊥ 平面 ABE, 则 AE⊥BC.[2 分] 又 ∵BF⊥ 平 面 ∴AE⊥BF, ∴AE⊥平面 BCE, 又 BE?平面 BCE,∴AE⊥BE.[5 分] ACE ,

(2)解

在△ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE

于 G 点,在△BEC 中过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点,连接 MN,则由比例关系易得 CN= 1 CE. [8 分] 3 ∵MG∥AE,MG?平面 ADE,AE?平面 ADE, ∴MG∥平面 ADE. 同理,GN∥平面 ADE.又∵GN∩MG=G, ∴平面 MGN∥平面 ADE.[10 分] 又 MN?平面 MGN,∴MN∥平面 ADE. ∴N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点. [12 分]

答题模板 对于探索类问题,书写步骤的格式有两种: 一种是:第一步,探求出点的位置. 第二步,证明符合要求. 第三步,给出明确答案. 第四步,反思回顾.查看关键点,易错点和答题 规范. 另一种是: 从结论出发,“要使什么成立”,“只 须使什么成立”,寻求使结论成立的充分条件, 类似于分析法.

批阅笔记

(1)书写格式混乱,不条理,反映思

路不清晰.(2)对于这类探索性问题找不到切入 口,入手难.(3)本题要确定点 N,使得 MN∥平 面 DAE,我们往往是利用平行确定出点 N,然 后再去证明结论成立.

思想方法
方法与技巧 1.平行问题的转化关系

感悟提高

2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的 性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α, a⊥β?α∥β.

失误与防范 1. 在推证线面平行时,一定要强调直线不在平 面内,否则,会出现错误. 2. (B)可以考虑向量的工具性作用,能用向量解 决的尽可能应用向量解决,可使问题简化.

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