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人教A版数学必修二教案:§4.1.2圆的一般方程



§4.1.2 圆的一般方程
一、教材分析
2 2 D 2 F ) +(y+ )2= D ? E ? 4 F 后只需讨论 2 2 4 D E D2+E2-4F>0、D2+E2-4F=0、D2+E2-4F<0.与圆的标准方程比较可知 D2+E2-4F>0 时,表示以(- ,- )为圆 2 2 1 D E 2 2 心, ,y=- , 即只表示一个点 D 2 ? E

2 ? 4F 为半径的圆;当 D +E -4F=0 时 , 方程只有实数解 x=2 2 2 D E (- ,- );当 D2+E2-4F<0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 2 2

教材通过将二元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方后化为(x+

从而得出圆的一般方程的特点: (1)x2 和 y2 的系数相同,不等于 0; (2)没有 x· y 这样的二次项; (3)D2+E2-4F >0.其中(1)和(2)是二元一次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有 三条同时满足才是充要条件. 同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 含有三个待定系数 a、b、r 一样,圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 中也含有三个待定系数 D、E、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得 圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好呢?应根据具体问题确定. 圆的标准方程的特点是明确指出了圆心的坐标和圆的半径,因此,对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的 半径或需利用圆心坐标列方程的问题,一般采用圆的标准方程.如果已知条件和圆心坐标、圆的半径都无直 接关系,通常采用圆的一般方程;有时两种方程形式都可用时也常采用圆的一般方程的形式,这是因为它可 避免解三元二次方程组. 圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定 圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪 些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点 ,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方 程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要 画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练 地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.

二、教学目标
1.知识与技能 (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的 圆心半径,掌握方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件. (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程,能用待定系数法求圆的方程. (3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力. 2.过程与方法 通过对方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析解决问题的实际 能力. 3.情感态度与价值观 渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索.

三、教学重点与难点
教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数 D、E、F. 教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.

四、课时安排
1 课时

五、教学设计

(一)导入新课 思路 1.① 说出圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程. ② 学生练习:将以 C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的标准方程展开并整理得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. ③ 指出:如果 D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一 种非标准方程形式. ④ 能不能说方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题: 圆的一般方程. 思路 2.问题:求过三点 A (0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦, 用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢?带着这个问题我们来共 同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程. (二)推进新课、新知探究、提出问题 ① 前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法? ② 这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢? ③ 给出式子 x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含 x 和 y 的一次项的式子. ④ 把式子(x-a)2+(y-b)2=r2 与 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方后的式子比较,得出 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的 条件. ⑤ 对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点? 讨论结果:① 以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习 一般式.大家知道,我们认识一般的东西 ,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公 式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的. ② 我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试!我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整 理得到,也是从特殊到一般. ③ 把式子 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得(x+

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) +(y+ )2= . 2 2 4

④ (x-a)2+(y-b)2=r2 中,r>0 时表示圆,r=0 时表示点(a,b),r<0 时不表示任何图形. 因此式子(x+

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) +(y+ )2= . 2 2 4

D E 1 ,- )为圆心, D 2 ? E 2 ? 4F 为半径的圆; 2 2 2 D E D E (ⅱ )当 D2+E2-4F=0 时,方程只有实数解 x=- ,y=- ,即只表示一个点(- ,- ); 2 2 2 2
(ⅰ )当 D2+E2-4F>0 时,表示以((ⅲ )当 D2+E2-4F<0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 综 上 所 述 , 方 程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表 示 的 曲 线 不 一 定 是 圆 , 由 此 得 到 圆 的 方 程 都 能 写 成 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式,但方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的曲线不一定是圆,只有当 D2+E2-4F>0 时,它表示 的曲线才是圆.因此 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 D2+E2-4F>0. 我们把形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的方程称为圆的一般方程. ⑤ 圆的一般方程形式上的特点: 2 x 和 y2 的系数相同,不等于 0.没有 xy 这样的二次项. 圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. 与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标 与半径大小,几何特征较明显. (三)应用示例

思路 1 例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0; (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. 解:(1)由 4x2+4y2-4x+12y+9=0,得 D=-1,E=3,F= 而 D2+E2-4F=1+9-9=1>0, 所以方程 4x2+4y2-4x+12y+9=0 表示圆的方程,其圆心坐标为( (2)由 4x2+4y2-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=

9 , 4 1 3 1 ,- ),半径为 ; 2 2 2

11 2 2 ,D +E -4F=1+9-11=-1<0, 4

所以方程 4x2+4y2-4x+12y+11=0 不表示圆的方程. 点评:对于形如 Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 的方程判断其方程是否表示圆,要化为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式, 再利用条件 D2+E2-4F 与 0 的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断. 变式训练 求下列圆的半径和圆心坐标: (1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0. 解:(1)把 x2+y2-8x+6y=0 配方,得(x-4)2+(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为 5; (2)x2+y2+2by=0 配方,得 x2+(y+b)2=b2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|. 例 2 求过三点 O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标. 解:方法一:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,由 O、M1、M2 在圆上,则有

? F ? 0. ? ? D ? E ? F ? 2 ? 0, ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0. ?
解得 D=-8,E=6,F=0, 故所求圆的方程为 x2+y2-8x+6y=0,即(x-4)2+(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为 5.

1 1 5 3 , ),M1M2 的中点 F( , ), 2 2 2 2 1 1 再写出 OM1 的垂直平分线 PE 的直线方程 y- =-(x- ), 2 2 3 5 AB 的垂直平分线 PF 的直线方程 y- =-3(x- ), 2 2
方法二:先求出 OM1 的中点 E( 联立① ② 得?

① ②

? x ? y ? 1, ? x ? 4, 得? 则点 P 的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5 为半径. ?3x ? y ? 9, ? y ? ?3.

方法三:设所求圆的圆心坐标为 P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|, 即 x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得 P(4,-3),OP=5 为半径. 方法四:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是 方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于 a、b、r 的方程组,即

?(1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 , ? 2 2 2 ?a ? b ? r , ?(4 ? a) 2 ? (2 ? b) 2 ? r 2 . ?

?a ? 4, ? 解此方程组得 ?b ? ?3, 所以所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为 5. ? r ? 5. ?
点评:请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求 圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程;如果已知条件和圆心坐 标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程. 例 3 已知点 P(10,0),Q 为圆 x2+y2=16 上一动点.当 Q 在圆上运动时,求 PQ 的中点 M 的轨迹方程. 活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见 中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.

图1 解法一:如图 1,作 MN∥ OQ 交 x 轴于 N, 则 N 为 OP 的中点,即 N(5,0). 因为|MN|=

1 |OQ|=2(定长). 2

所以所求点 M 的轨迹方程为(x-5)2+y2=4. 点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许 多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问 题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点 M 的运动情况, 探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设 M(x,y)为所求轨迹上任意一点 Q(x0,y0).

? 10 ? x0 x? , ? ? ? ? x0 ? 2 x ? 10. 2 因为 M 是 PQ 的中点,所以 ? 即? ? y ? 0 ? y0 , ? ? y 0 ? 2 y. ? 2 ?
又因为 Q(x0,y0)在圆 x2+y2=16 上,所以 x02+y02=16.将(*)代入得 (2x-10)2+(2y)2=16. 故所求的轨迹方程为(x-5)2+y2=4. 点评:相关点法步骤:① 设被动点 M(x,y),主动点 Q(x0,y0). ② 求出点 M 与点 Q 坐标间的关系 ?

(*)

? ? x ? f1 ( x0 , y 0 ), ? ? y ? f 2 ( x0 , y 0 ).

(Ⅰ )

③ 从(Ⅰ )中解出 ?

? ? x0 ? g1 ( x, y ), ? ? y 0 ? g 2 ( x, y ).

(Ⅱ )

④ 将(Ⅱ )代入主动点 Q 的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程. 这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用. 变式训练 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆(x+1)2+y2=4 上运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

解:设点 M 的坐标是(x,y), 点 A 的坐标是(x0,y0). 由于点 B 的坐标是(4,3)且 M 是线段 AB 的中点,所以 x=

x0 ? 4 y ?3 ,y= 0 .于是有 x0=2x-4,y0=2y-3. 2 2

因为点 A 在圆(x+1)2+y2=4 上运动,所以点 A 的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4.② 把① 代入② ,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x所以点 M 的轨迹是以(

3 2 3 ) +(y- )2=1. 2 2

3 3 , )为圆心,半径长为 1 的圆. 2 2

思路 2 例 1 求圆心在直线 l: x+y=0 上,且过两圆 C1:x +y -2x+10y-24=0 和 C2:x2+y2+2x+2y-8=0 的交点的圆的方程. 活动:学生审题,教师引导,强调应注意的问题,根据题目特点分析解题思路,确定解题方法.由于两圆的交 点可求,圆心在一直线上,所以应先求交点再设圆的标准方程.
2 2
2 2 ? ? x ? y ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 0, 解:解两圆方程组成的方程组 ? 2 得两圆交点为(0,2),(-4,0). 2 ? ? x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0.

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线 l 上,所以得方程组

?(?4 ? a) 2 ? b 2 ? r 2 , ? 2 2 2 ?a ? ( 2 ? b ) ? r , ?a ? b ? 0. ?
解得 a=-3,b=3,r= 10 .故所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10. 点评:由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方 程. 例 2 已知圆在 x 轴上的截距分别为 1 和 3,在 y 轴上的截距为-1,求该圆的方程. 解法一:利用圆的一般方程. 设 所 求 的 圆 的 方 程 为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由 已 知 , 该 圆 经 过 点 (1,0),(3,0) 和 (0,-1), 则 有

?1 ? D ? F ? 0, ? 2 2 2 ?3 ? 3D ? F ? 0, ,解之得 D=-4,E=4,F=3.故所求圆的方程为 x +y -4x+4y+3=0. ?( ?1) 2 ? E ? F ? 0. ?
解法二:利用圆的标准方程. 由题意该圆经过 P(1,0),Q(3,0),R(-1,0), 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心 C(a,b)在 PQ 的垂直平分线上,故 a=2.
2 2 因为|PC|=|RC|,所以 (a ? 1) ? b ?

a 2 ? (b ? 1) 2 .将 a=2 代入,得 b=-2,所以 C(2,-2).

而 r=|PC|= 5 ,故所求圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=5. 例 3 试求圆 C:x2+y2-x+2y=0 关于直线 l:x-y+1=0 对称的曲线 C′的方程. 活动:学生先思考,然后解答,教师引导学生抓住本质的东西,即圆的圆心坐标变化、半径不变,另外可利 用相关点法来求. 解法一:设 P′(x,y)为所求曲线 C′上任意一点,P′关于 l 的对称点为 P(x0,y0),则 P(x0,y0)在圆 C 上.

? x ? x0 y ? y 0 ? ? 1 ? 0, ? ? 2 ? x 0 ? y ? 1, ? 2 由题意可得 ? 解得 ? ? ? y 0 ? x ? 1. ? y ? y 0 ? 1 ? ?1, ? ? x ? x0
因为 P(x0,y0)在圆 C 上,所以 x02+y02-x0+2y0=0.将(*)代入 得(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0, 化简得 x2+y2+4x-3y+5=0,即为 C′的方程.

(*)

解法二:(特殊对称)圆 C 关于直线 l 的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心 C′,即求( 直线 l:x-y+1=0 的对称点 C′(-2,

1 ,-1)关于 2

3 3 5 ),因此所求圆 C′的方程为(x+2)2+(y- )2= . 2 2 4

点评:比较解法一与解法二看出,利用几何性质解题往往较简单. (四)知能训练 课本练习 1、2、3. (五)拓展提升 问题:已知圆 x2+y2-x-8y+m=0 与直线 x+2y-6=0 相交于 P、Q 两点,定点 R(1,1),若 PR⊥ QR,求实数 m 的值. 解:设 P(x1,y1)、Q(x2,y2), 由?
2 2 ? ? x ? y ? x ? 8 y ? m ? 0, 消去 y 得 5x2+4m-60=0. ? ? x ? 2 y ? 6 ? 0.



由题意,方程① 有两个不等的实数根,所以 60-4m>0,m<15.

? x1 ? x2 ? 0, ? 由韦达定理 ? 4 ? x1 x 2 ? m ? 12. 5 ?
因为 PR⊥ QR,所以 kPRkQR=-1.所以 即 x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0. 因为 y1=3-

y1 ? 1 y 2 ? 1 =-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0, ? x1 ? 1 x 2 ? 1


x1 x x x x x x x 3 ,y2=3 ? 2 ,所以 y1y2=(3- 1 )(3 ? 2 )=9- (x1+x2)+ 1 2 =9+ 1 2 , 2 2 2 4 4 2 2
5 5 4 x1x2+5=0,即 ( m-12)+5=0. 4 4 5

y1+y2=6,代入② 得

所以 m=10,适合 m<15.所以实数 m 的值为 10. (六)课堂小结 1.任何一个圆的方程都可以写成 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式,但方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的曲线不一 定是圆,只有 D2+E2-4F>0 时,方程表示圆心为(-

D E 1 ,- ),半径为 r= 2 2 2

D 2 ? E 2 ? 4F 的圆.

2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式:若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程;若条 件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程. 3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程

的方法. (七)作业 习题 4.1 A 组 1、6,B 组 1、2、3.



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