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第三章 直线与方程 3.2.1



§3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程
【课时目标】 1.掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素.2.会求直线的点斜式方 程与斜截式方程.3.了解斜截式与一次函数的关系.

1.直线的点斜式方程和斜截式方程 名称 已知条件 点 P( x0 , y0 ) 和斜率 k

示意图

方程 ________

________

使用范围 斜率 存在

点斜式

斜截式

斜率 k 和在 y 轴上的截距 b

________

存在 斜率

2.对于直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , (1) l1 // l2 ? ________________________; (2) l1 ? l2 ? ________________.

一、选择题 1.方程 y ? k ( x ? 2) 表示( A.通过点 (?2, 0) 的所有直线 B.通过点 (2, 0) 的所有直线

)

C.通过点 (2, 0) 且不垂直于 x 轴的所有直线 D.通过点 (2, 0) 且除去 x 轴的所有直线 2.已知直线的倾斜角为 60 ,在 y 轴上的截距为 ?2 ,则此直线方程为(
?

)

A. y ? 3x ? 2 C. y ? ? 3x ? 2 A. k ? 0, b ? 0 C. k ? 0, b ? 0

B. y ? ? 3x ? 2 D. y ? 3x ? 2 ) B. k ? 0, b ? 0 D. k ? 0, b ? 0 )

3.直线 y ? kx ? b 通过第一、三、四象限,则有(

4.直线 y ? ax ? b 和 y ? bx ? a 在同一坐标系中的图形可能是(

5.集合 A ? {直线的斜截式方程} , B ? {一次函数的解析式} ,则集合 A, B 间的关系

是(

) A. A ? B B. B ? A C. A ? B D.以上都不对 6.直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0 当 k 变化时,所有的直线恒过定点( A. (1,3) C. (3,1) 二、填空题 B. (?1, ?3) D. (?3, ?1)

)

7.将直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 ,再向右平移 1 个单位长度,所得到的直线为 ______________. 8 .已知一条直线经过点 P(1, 2) 且与直线 y ? 2 x ? 3 平行,则该直线的点斜式方程是 ________. 9.下列四个结论:
?

y?2 与方程 y ? 2 ? k ( x ? 1) 可表示同一直线; x ?1 ? ②直线 l 过点 P( x1 , y1 ) ,倾斜角为 90 ,则其方程是 x ? x1 ; ③直线 l 过点 P( x1 , y1 ) ,斜率为 0 ,则其方程是 y ? y1 ;
①方程 k ? ④所有的直线都有点斜式和斜截式方程. 正确的为________(填序号). 三、解答题 10.写出下列直线的点斜式方程. (1)经过点 A(2,5) ,且与直线 y ? 2 x ? 7 平行; (2)经过点 C (?1, ?1) ,且与 x 轴平行.

11.已知 ?ABC 的三个顶点坐标分别是 A(?5,0), B(3, ?3), C (0, 2) ,求 BC 边上的高所 在的直线方程.

能力提升

12.已知直线 l 的斜率为

1 ,且和两坐标轴围成三角形的面积为 3 ,求 l 的方程. 6

13.等腰 ?ABC 的顶点 A(?1, 2) , AC 的斜率为 3 ,点 B(?3, 2) ,求直线 AC , BC 及

? A 的平分线所在直线方程.

1.已知直线 l 经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程.用点斜式求直 线方程时, 必须保证该直线斜率存在. 而过点 P(x0, y0),斜率不存在的直线方程为 x=x0.直 线的斜截式方程 y=kx+b 是点斜式的特例. 2.求直线方程时常常使用待定系数法,即根据直线满足的一个条件,设出其点斜式方 程或斜截式方程,再根据另一条件确定待定常数的值,从而达到求出直线方程的目的.但在 求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形.

§ 3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 答案
知识梳理 1.y-y0=k(x-x0) y=kx+b 2.(1)k1=k2 且 b1≠b2 (2)k1k2=-1 作业设计 1.C [易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于 x 轴.] 2.D [直线的倾斜角为 60° ,则其斜率为 3, 利用斜截式直接写方程.]

3.B 4.D 5.B [一次函数 y=kx+b(k≠0); 直线的斜截式方程 y=kx+b 中 k 可以是 0,所以 B?A.] 6.C [直线 kx-y+1-3k=0 变形为 y-1=k(x-3), 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1).] 1 1 7.y=- x+ 3 3 1 解析 直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° 所得到的直线方程为 y=- x,再将该直线向 3 1 1 1 右平移 1 个单位得到的直线方程为 y=- (x-1),即 y=- x+ . 3 3 3 8.y-2=2(x-1) 9.②③ 10.解 (1)由题意知,直线的斜率为 2, 所以其点斜式方程为 y-5=2(x-2). (2)由题意知,直线的斜率 k=tan 0° =0, 所以直线的点斜式方程为 y-(-1)=0,即 y=-1. 11.解 设 BC 边上的高为 AD,则 BC⊥AD, 2+3 3 ∴kAD· kBC=-1,∴ · k =-1,解得 kAD= . 5 0-3 AD 3 ∴BC 边上的高所在的直线方程为 y-0= (x+5), 5 3 即 y= x+3. 5 1 12.解 设直线 l 的方程为 y= x+b, 6 则 x=0 时,y=b;y=0 时,x=-6b. 1 由已知可得 · |b|· |6b|=3, 2 2 即 6|b| =6,∴b=± 1. 1 1 故所求直线方程为 y= x+1 或 y= x-1. 6 6 13.解 直线 AC 的方程:y= 3x+2+ 3. ∵AB∥x 轴,AC 的倾斜角为 60° , ∴BC 的倾斜角为 30° 或 120° . 3 当 α=30° 时,BC 方程为 y= x+2+ 3,∠A 平分线倾斜角为 120° , 3 ∴所在直线方程为 y=- 3x+2- 3. 当 α=120° 时,BC 方程为 y=- 3x+2-3 3,∠A 平分线倾斜角为 30° , 3 3 ∴所在直线方程为 y= x+2+ . 3 3



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