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2016-2017学年高二(上)期末数学复习试卷二(文科)



2016 年秋季高二上学期期末数学复习试卷二(文科)
(考试时间 120 分钟 ,满分 150 分) ★祝考试顺利★ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的.) P 1.已知命题 :所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是正数,则下列命题中为真命 题的是( A ) A. B.p∧q C. D

. (¬p)∨(¬q) (¬p)∧(¬q) (¬p)∨q 2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石, 验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( B ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 2 2 3. “mn<0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线”的(B) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.用秦九韶算法求多项式 f ( x) ? 5x7 ? 4 x6 ? 7 x5 ?11x4 ? 3x3 ? 20x2 ?17 x , 当 x ? 2 时,

v3 的值为( A )
A.27 B.88 C.212 D.314

5.如图是我校英语演讲比赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数 的茎叶图 (其中 m 为数字 0-9 中的一个) , 去掉一个最高分和一个最低分后, 甲、乙两名选手得分的平均数分别为 a1 , a2 ,则一定有( A. a1 ? a2 B. C )

a1 ? a2

C. a2 ? a1

D. a1 , a2 的大小与 m 的值有关

…, 2, 6. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为( B ) A.11 B.12 C.13 D.14 7.如图,设 D 是图中边长为 1 的正方形区域,E 是分别以 B、D 为圆心,1 为半 径的圆的公共部分,向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的概率为( D )

? ?1 4 ? ?2 C. 4
A.

B.

? ?1 2 ? ?2 D. 2


8. 执行如图所示的程序框图, 若输出的值为 4, 则 p 的取值范围是 (D

7 5 ? p? 8 16 7 15 C. ? p ? 8 16
A.

B. p ? D.

5 16

3 7 ? p? 4 8
1

9. 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均和圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切, 2 a b

且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( B ) A.

x2 y 2 ? ?1 4 5

B.

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 5 4 3 6 6 3

10.已知函数 y ? xf ?( x) 的图象如右图所示(其中 f '( x) 是函数 f ( x ) 的导函数),下面四个图 象中 y ? f ( x) 的图象大致是(C )

y
2 2 1

y
4

y
4 2

y

y
1

O
-2
-1

x
1 2 -2 -1

1

O
1 2

x
-2

2 1
-1 O

1

x

x
1 2

-2

-2

-2

-2

-1

O

2

x -2

-1 -1

O

A

B

C

D

11.已知 f ( x) 为定义在 (??,??) 上的可导函数,且 f ( x) ? f ?( x) 对于 x ? R 恒成立,且 e 为自然对数的底,则( A )

A. f (1) ? ef (0), f (2016) ? e2016 f (0) B. f (1) ? ef (0), f (2016) ? e2016 f (0) C. f (1) ? ef (0), f (2016) ? e2016 f (0) D. f (1) ? ef (0), f (2016) ? e2016 f (0)
x2 y 2 ? 12. 已知 F1,F2 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 点 P 在椭圆上, 且 ?F1 PF2 ? 2 a b
记线段 PF1 与轴的交点为 Q,O 为坐标原点,若△F1OQ 与四边形 OF2PQ 的面积之比 为 1: 2,则该椭圆的离心率等于( C ) A. 2 ? 3 B. 2 3 ? 3 C. 3 ? 1 D. 4 ? 2 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的 位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 ) 13. 已知数据 的平均数为 3,标准差为 4,则数据 的平均数和方差分别为_14,400__ 14.已知抛物线 C:y =2x,O 为原点, ?OAB 为抛物线内接正三角形,则 ?OAB 的面积等
2

于__12 3 ______. 15. 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6点—8点之间把报纸送到你家,你每天离 家去工作的时间在早上 7 点— 9 点之间,你离家前不能看到报纸(称事件 A )的概率是 0.125 16.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可导, 则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数, 记 f″(x)=(f′(x))′.若 f″(x)<0 在 D 上恒成立, 则称 f(x)
2

π 在 D 上为凸函数.以下四个函数在(0, )上是凸函数的是___①_②_④___.(把你认为正确 2 的序号都 填上) ①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=lnx-2x;③f(x)=xex.④f(x)=-x3+2x-1; 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 17. (本题满分 10 分) 命题 p: 关于 x 的不等式 x +2ax+8>0 对于一切 x∈R 恒成立, 命题 q: 2 ? x∈[1,2],x ﹣2a≥0,若 p∨q 为真,p∧q 为假.求实数 a 的取值范围. 17.解:设 g(x)=x +2ax+4,由于关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对于一切 x∈R 恒成立, 所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点, 故△ =4a ﹣32<0,∴﹣ 2 2 <a< 2 2 若 q 为真命题,2a≤x 有解,即 a≤2 由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p、q 一真一假①若 p 真 q 假,则 ?
2 2 2 2

? ??2 2 ? a ? 2 2 ? ?a ? 2

∴2<a< 2 2 ;②若 p 假 q 真,则 ?

?a ? ?2 2或a ? 2 2 ? ∴a≤﹣ 2 2 ; ? ?a ? 2

综上可知,所求实数 a 的取值范围是{a|2<a< 2 2 或 a≤﹣ 2 2 } 18. (本小题满分 10 分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体 质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施,某校对高二(2)班同学按照“国家 学生体质健康数据测试”项目按百分制进行了测试,并对 50 分以上的成绩进行统计,其频 率分布直方图如图所示,若 90~100 分数段的人数为 2 人. (1)请求出 70~80 分数段的人数; (2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、?、 第五组) 中任意选出两人, 形成搭档小组. 若选出的两人成绩差大于 20, 则称这两人为“搭 档组”,试求选出的两人为“搭档组”的概率.

解: (Ⅰ) 由频率分布直方图可知: 50~60 (分) 的频率为 0.1, 60~70 (分) 的频率为 0.25, 80~90(分)的频率为 0.15,90~100 分的频率为 0.05;? ∴70~80(分)的频率为 1﹣0.1﹣0.25﹣0.15﹣0.05=0.45,? ∵90~100 分数段的人数为 2 人,频率为 0.05;∴参加测试的总人数为
3

人.?

∴70~80(分)数段的人数为 40×0.45=18.? (Ⅱ)∵参加测试的总人数为 人,

∴50~60(分)数段的人数为 40×0.1=4 人.? 设第一组 50~60(分)数段的同学为 A1,A2,A3,A4;第五组 90~100 分数段的同学为 B1, B2,? 则从中选出两人的选法有: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,A4) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,A3) , (A2,A4) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,A4) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A4,B1) , (A4,B2) , (B1, B2)共 15 种;? 其中两人成绩差大于 20 的选法有: (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3, B2) , (A4,B1) , (A4,B2)共 8 种;? 则选出的两人为“搭档组”的概率为 P= 19. (本题满分 12 分) 已知动点 M 与两个定点 O(0,0) ,A(3,0)的距离之比为 . (1)求动点 M 的轨迹方程; (2)若点 P 在动点 M 的曲线上.求|PO| +|PA| 的取值范围. 解: (Ⅰ)设动点 M(x,y) , ∵动点 M 与两个定点 O(0,0) ,A(3,0)的距离之比为 ,
2 2 2 2





,化简,得(x+1) +y =4.
2 2

∴动点 M 的轨迹方程是(x+1) +y =4. 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)∵点 P 在动点 M 的曲线上.∴|PO| +|PA| =x +y +(x﹣3) +y =﹣10x+15,∵﹣3≤x≤1,∴5≤﹣10x+15≤45, ∴|PO| +|PA| 的取值范围是[5,45]. 20. (本题满分 12 分).已知抛物线 C:y=2x2,直线 y=kx+2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N. (1)写出抛物线的焦点坐标及准线方程; (2)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与直线 AB 平行; ??? ? ??? ? (3)是否存在实数 k 使 NA ? NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由. (1)解:将 y=2x2 化为 (2)证明:如图,设 A( kx﹣2=0,由韦达定理得 ∴ ,则焦点坐标是(0, ) ,准线方程是 y=﹣ , ) ,B( ,x1x2=﹣1, . ,
4
2 2

) ,把 y=kx+2 代入 y=2x2 得 2x2﹣

= ,∴N 点的坐标为

设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为

将 y=2x2 代入上式得 ∵直线 l 与抛物线 C 相切,∴ (3)解:假设存在实数 k,使

, ,∴m=k.即 l∥AB. =0,则 NA⊥NB, .

又∵M 是 AB 的中点,∴|MN|= |AB|.由(1)知 ∵MN⊥x 轴,∴|MN|=|yM﹣yN|= |AB|= ∴ = = .又 . .
??? ? ??? ? ,解得 k=±2.即存在 k=±2,使 NA ? NB ? 0 .

21. (本题满分 13 分)已知函数 f ?x ? ?

2 ? a ln x ? 2(a ? 0) x

(1)若曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1))处的切线与直线 y=x+2 垂直,求函数 y=f(x)的单调区间; (2)若对于任意 x ? ?0,???都有f ?x ? ? 2(a ? 1) 成立,试求 a 的取值范围; (3)记 g(x)=f(x)+x-b(b∈R).当 a=1 时,函数 g(x)在区间 [e ?1 , e] 上有两个零点,求实数 b 的 取值范围。 解: (1)直线 y=x+2 的斜率为 1, 函数 f(x)的定义域为 ?0,???

2 a 2 a ? ,所以 f ' ?1? ? ? 2 ? ? ?1 ,所以 a=1 2 x 1 x 1 2 x ?2 ' ' 所以 f ?x ? ? ? ln x ? 2, f ?x ? ? 由 f ?x ? ? 0 解得 x>2 ; 由 f 2 x x
' 因为 f (x ) ? ?

'

?x ? ? 0 解得

0<x<2

所以 f(x)得单调增区间是 ?2,??? ,单调减区间是 ?0,2?

2 a ax ? 2 2 2 ' ' ? ? 由 f ?x ? ? 0 解得 x ? ; 由 f ?x ? ? 0 解得 0 ? x ? 2 2 x a a x x 2 2 所以 f(x)在区间 ( ,?? ) 上单调递增,在区间 (0, ) 上单调递减 a a 2 2 所以当 x ? 时,函数 f(x)取得最小值 y min ? f ( ) a a 2 因为对于任意 x ? ?0,???都有f ?x ? ? 2(a ? 1) 成立,所以 f ( ) ? 2(a ? 1) 即可 a
' (2) f (x ) ? ?



2 2 2 2 2 ? a ln ? 2 ? 2(a ? 1) ,由 a ln ? a 解得 0 ? a ? 所以 a 得取值范围是 (0, ) 2 a a e e a

5

(3)依题意得 g ( x) ?

x 2 ?x ?2 2 ? ln x ? 2 ? x ? b ,则 g ' (x ) ? x x2

由 g ' ?x ? ? 0 解得 x>1,由 g ' ?x ? ? 0 解得 0<x<1 所以函数 g(x)在区间 e ?1 , e 上有两个零点,

?

?

? g (e ?1 ) ? 0 ? 所以 ? g (e ) ? 0 ? g (1) ? 0 ?

解得 1 ? b ?

2 2 ? e ? 1所以 b 得取值范围是 (1, ? e ? 1] e e
该椭

22. (本题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心为坐标原点,焦点在 y 轴上,离心率 e=

圆 C 过点 F(1, ) ,过 F 作倾斜角互补的两直线 FM,FN 分别与椭圆 C 交于 M,N 两 点(F 与 M,N 均不重合) . (1)求椭圆 C 的方程; ( 2 )求证:直线 MN 的斜率为定值; (3)求三角形

? FMN 面积的最大值.
,∴

解: (1)由题设知:e=

,∵c =a ﹣b ,∴

2

2

2

,即 a =2b ,

2

2

设所求的椭圆 C 的方程为

.又过点 F(1,



∴b =2,a =4.∴所求的椭圆 C 的方程为 (2)由(1)知 F(1, ) ,设 kFM=k(k>0) , ∵直线 FM 与 FN 的倾斜角互补,∴kFN=﹣k, ∴直线 FM: ,直线 FN:

2

2







,得

(*) ,

∵ 是 FM 与椭圆的交点, ∴1 为(*)的一个根,另一个根为 xM, ∴ ,∴ = ,



,同理

,∴ (3)设 MN 与 y 轴交点为(0,b) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 又 ,∴MN 的方程为 .



6



, 得

. 由



得 b <8,∵

2







=

=

.∵

,∴OF∥MN, ,

∴F 到 MN 的距离即为 O 到 MN 的距离 b=


2

= .



当 b =4 时,三角形 FMN 面积的最大值为

7



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