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三角(3)两角和与差二倍角公式(一)



两角和与差二倍角公式(一)
一、基础知识精讲 (一)两角和与差公式

sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
tan?? ? ? ? ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

(二)倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ? cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
tan 2 ? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

注: 倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律, 可实现函数式的降幂的 变化。 注: (1)两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型:求值题,化简题,证明题。 (2)对公式会“正用”“逆用”“变形使用” , , 。 (3)掌握“角的演变”规律,如 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?, ? ? ?? ? ? ? ? ? (4)将公式和其它知识衔接起来使用。 二、例题应用 (一)公式正用 例 1、求值

?1?sin 555? (=

2? 6 ) 4

?2?cot? ? 5? ? (= ? ?
? 12 ? ? ?

3 ? 2)

例 2(P53) 设 cos?? ?

??

? 1 ?? ? 2 ? ? ? ? , sin? ? ? ? ? , ? ? ? ? ,0 ? ? ? , 求 cos?? ? ? ?. 2 2? 9 ?2 ? 3 2

分析:观察已知角和所求角,可作出 公式求解。 解:因为

? ??
2

? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ,然后利用余弦的倍角 2? ?2 ? ?
?
2 ? ? ,?

?
2

? ? ? ? ,0 ? ? ?

?
2

, 所以

?
4

?? ?

?
4

?

?
2

?? ?

?
2

所以 sin ? ? ?

? ?

??

4 5 5 ?? ? , cos? ? ? ? ? , ?? 2? 9 ?2 ? 3

所以 cos?

?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? 7 5 ? ? cos??? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2? ?2 ? 2 ? ?? 27 ??
239 ?? ? ? ? ?. ? 1 ? ? 729 ? 2 ?

故 cos?? ? ? ? ? 2 cos2 ?

(二),公式逆用 P(53) ( 双基) sin1630sin2230+sin2530sin3130

例3

已知

tan?? ? ? ? ? tan? ? tan ? 3 ? , 且 cos?? ? ? ? ? 0, 求 sin?? ? 3? ? tan? ? tan?? ? ? ? 4

分析:涉及 ? ? ? 与 ? 及 ? 的正切和差与积,通常用正切公式的变形公式。 解:原式=

tan?? ? ? ? ? tan?? ? ? ??1 ? tan? ? tan ? ? 3 ? tan ? ? tan? ? tan?? ? ? ? 4
3 5

又 cos ? ? 0, 所以 ? 为第三象限角,所以 sin ?? ? 3? ? ? ? sin ? ? (三).用用边角关系的公式解三角形 例 4、(P53 例 2) 在三角形 ABC 中,角 A..B.C 对边 a,b,c

a 2 ? b2 sin( A ? B) 证明 : ? 2 sin C c
(四)综合 例 5、(P53 例 3)

? ? ? ? ? ? ? (0, ),sin ? ? sin ? ? sin ?
2 cos ? ? cos ? ? cos ? , 求? ? ?

三、课堂小结 在运用公式时,要注意公式成立的条件,熟练掌握公式的顺用、逆用、变形用,还要注意各 种的做题技巧。 四、作业:



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