9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第2部分函数



上海市期末模拟试题分类汇编第 2 部分

函数(包含导数)

一.选择题
1. (上海市 2009 届高三年级十四校联考数学理科卷 13)下列四个函数中,图像如右图所示的只能 是 ( ) A. y ? x ? lg x B. y ? x ? lg x C. y ? ? x ? lg x D. y ? ? x ? lg x 答案:B

2. (上海虹口区 08 学年高三数学第一学期期末试卷 14)已知: f ( x ) 是 R 上的奇函数,且满足
f ( x ? 4) ? f ( x ) ,

当 x ? (0, 2) 时, f ( x ) ? x ? 2 ,则 f (7 ) ? A. 3 答案:B B. ? 3 C. 1 D. ? 1





3. 2009 年上海市普通高等学校春季招生考试 13)已知函数 f ( x ) ? ? (

? 3 x ?1 , x ? 0 , ? log 2 x , x ? 0 .

若 f ? x0 ? ? 3 ,

则 x 0 的取值范围是 (A) x 0 ? 8 . 答案:A

[答] (

) (C) 0 ? x 0 ? 8 . (D) x 0 ? 0 或 0 ? x 0 ? 8 .

(B) x 0 ? 0 或 x 0 ? 8 .

4. 2009 年上海市普通高等学校春季招生考试 15)函数 y ? 1 ? 1 ? x 2 ( ? 1 ? x ? 0 ) 的反函数图像 ( 是 [答] ( )

y
答 案 : C 16 、 (0
1

y
1

y

y

1
?1

?1

O

x

O

1

x

O
?1

x
(C) (D)

O x
?1

(A)

(B)

8 年上海市部分重点中学高三联考)由方程 x | x | ? y | y | ? 1 确定的函数 y ? f ( x ) 在 ( ?? , ? ? ) 上是 --------( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 答案:B 5. (上海市宝山区 2008 学年高三年级第一次质量调研 16)已知图 1 中的图像对应的函数为
y ? f (x) , 则 图 2 中 的 图 像 对 应 的 函 数 在 下 列 给 出 的 四 式 中 , 只 可 能 是



) B. y ? | f ( x ) |
y

A. y ? f (| x |)

C. y ? f ( ? | x |)
y

D. y ? ? f ( ? | x |)

O

x

O

x

图1

图2

答案:C 6. (上 海 市 高 考 模 拟 试 题 1 6 )定义域和值域均为 ?? a, a ?(常数 a ? 0 )的函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 的图像如图所示,给出下列四个命题: (1)方程 f ? g ? x ?? ? 0 有且仅有三个解; (2)方程 g ? f ? x ?? ? 0 有且仅有三个解; (3)方程 f ? f ? x ?? ? 0 有且仅有九个解; (4)方程 g ? g ? x ?? ? 0 有且仅有一个解。 那么,其中正确命题的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 答案: B 7.(上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 16)在一次研究性学习中,老师给出函数

???????????????

f ( x) ?

x 1? x

( x ? R ) ,三位同学甲、乙、丙在研究此函数时给出命题:

甲:函数 f ( x ) 的值域为 ? ? 1,1? ; 乙:若 x1 ? x 2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ;

丙:若规定 f1 ( x ) ? f ( x ), f n ( x ) ? f ( f n ?1 ( x )) ,则 f n ( x ) ?

x 1? n x

对任意 n ? N 恒成立。

?

你认为上述三个命题中不正确的个数有-----------------( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案:B 8. (上海市奉贤区 2008 年高三数学联考 12)下列函数中,奇函数是( (A) y=x2-1 答案:B (B) y=x3+x (C) y=2
x



(D) y=log3x

1(上海市卢湾区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 15 题)已知函数 y ? f ( x ) 的定义域为 D ,
若对于任意的 x 1 , x 2 ? D ( x 1 ? x 2 ) ,都有 f ( 的 ( 凹 ) 函 数 . 由 此 可 得
x1 ? x 2 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

,则称 y ? f ( x ) 为 D 上 的 凹 函 数 为











A. y ? log 2 x

B. y ?

x

C. y ? x

2

D. y ? x

3

1 x 2 (上海市静安区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 13 题)函数 f ( x ) ? ( ) 与函数 g ( x ) ? log 1 x 在 2 2
(0, ?? ) 上的单调性为

(

) B.都是减函数 D.一个是单调函数,另一个不是单调函数

A.都是增函数 C.一个是增函数,另一个是减函数 答案:B

3 (静安区部分中学 08-09 学年度第一学期期中数学卷第 14 题)函数 f ( x ) ? 2 |log 2 x| ? x ? 像为
y

1 的大致图 x



) .

y

y

y

1

1

1

1

O

1

x

O

1

x

O

1

x

O

1

x

(A)

(B)

(C)

(D)

答案:D 4 (浦东新区 2008 学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第 16 题)函数 y ? 1 ? ( x ? 2) 2 图像上存在
不同的三点到原点的距离构成等比 是 …………………………………… 数列,则以下不可能成为公比的数 …… ( )

A.

3 2

B.

1 2

C.

3 3

D. 3

答案:B 3. (上 海 市 高 考 模 拟 试 题 1 4 )函数 f ? x ? ? (A)在 ? ? 1,1? 上单调递增 (C)在 ? ? 1,1? 上单调递减 答案: A 二.填空题 1. 2009 年上海市普通高等学校春季招生考试 1)函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的定义域是 ( 答案: ( 1, ? ? ) . 2. 上 海 市 高 考 模 拟 试 题 ( 是 答案: ?? ? ,1? 4. (上 海 市 高 考 模 拟 试 题 1 5 )2005 年 1 月 6 日《文汇报》载当日我国人口 达到 13 亿, 如图为该报提供的我国人口统 计数据。2000 年第五次全国人口普查后,专 家们估算我国人口数的峰值为 16 亿,如果我 国的人口增长率维持在最近几年的水平,那么, 我国人口数大致在 答案: B 年左右达到峰值。 . 2 ) 函 数 f ? x ? ? log
1 3

x 1? x
2





(B)在 ?? 1,0 ? 上单调递增,在 ?0 ,1? 上单调递减 (D)在 ?? 1,0 ? 上单调递减,在 ?0 ,1? 上单调递增

.

x ? 2?x ? 3? 的 反 函 数 的 定 义 域

5. (上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 14)函数 f ( x ) ? ---------------------------( A. ) B. 直线

1 x

? x 的图像关于

y

轴对称

y ? ? x 对称

C.直线

y ? x 对称

D.坐标原点对称

答案: D

6.(08 年上海市部分重点中学高三联考 5)设函数 f ( x ) ? ? 答案: 3, -5

? x 2 ? 1 ( x ? 0) ?? 2 x ( x ? 0)

,那么 f

?1

(10) ? _________

7. (上海市 2009 届高三年级十四校联考数学文科卷 12)若 a ? 0且 a ? 1, 函数 y ?| a x ? 1 | 与 y ? 2 a 的图象有两个交点,则 a 的取值范围是 。 1 答案: ( 0 , ) 2 8. 2009 年上海市普通高等学校春季招生考试 9) ( 已知对于任意实数 x , 函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ) . 若方程 f ( x ) ? 0 有 2009 个实数解, 则这 2009 个实数解之和为 答案: 0. .

8. (上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 6) 如图, 函数 其中

f ( x ) 的图象是折线段 ABC ,

A (0, , B (2, , C (6, ,则 f ( f ( )) ? 4) 0) 4)
4

1

答案:

3 2

9.(上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 7)已知函数 f ( x ) ? 2 ? m 的反函数为
x

f

?1

? x ? 。若 y ?

f

?1

( x ) 的图像经过(5,2) ,则实数 m 的值

答案:1 10.(上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 8)设 f ( x ) 是定义在 R 上且以 3 为周期的 奇函数,若 f (1) ? 1 , f (2) ? 答案: a ? ? 1或 a ?
2

2a ? 3 a ?1

,则实数 a 的取值范围是



3 11. ( 上 海 市 八 校 2008 学 年 第 一 学 期 高 三 数 学 考 试 试 卷 9 ) 作 为 对 数 运 算 法 则 :

l g a ? b )? (

lg ? a

l b a ? 0, b ? 0 )是不正确的。但对一些特殊值是成立的,例如: g (

lg(2 ? 2) ? lg 2 ? lg 2 。那么,对于所有使 lg( a ? b ) ? lg a ? lg b ( a ? 0, b ? 0 )成立的

a , b 应满足函数 a ? f ( b ) 表达式为
答案: a ?
b b ?1 ( b ? 1)
?

B 12.上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 12) ( 若对任意 x ? A, y ? B , A ? R ( R ,



有唯一确定的 f ( x , y ) 与之对应,则称 f ( x , y ) 为关于 x , y 的二元函数。 定义:满足下列性质的二元函数 f ( x , y ) 为关于实数 x , y 的广义“距离”: (1)非负性: f ( x , y ) ? 0 ,当且仅当 x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x , y ) ? f ( y , x ) ; (3)三角形不等式: f ( x , y ) ? f ( x , z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立. 给 出 三 个 二 元 函 数 : ① f ( x, y ) ? ( x ? y )
f ( x, y ) ? x? y .
2

; ② f ( x, y ) ? x ? y

; ③

请选出所有能够成为关于 x , y 的广义“距离”的序号_______________. 答案: ② 13 .( 上 海 市 长 宁 区 2008 学 年 高 三 年 级 第 一 次 质 量 调 研 6 ) 已 知 函 数
f ( x ) ? ax ? ( b ? 3) x ? 3, x ? [ a ? 2, a ] 是偶函数,则 a ? b ? _____________.
2 2

答案: 4 14. (上海市长宁区 2008 学年高三年级第一次质量调研 2)函数 f ( x ) ? _____________ . 答案: [ ? 1, 2) ? (2, ?? )
a
x x

x?1?

1 2? x

的定义域为

15. (上海市长宁区 2008 学年高三年级第一次质量调研 12) 设函数 f ( x ) ?

1? a

( a ? 0, a ? 1),[ m ]

表示不超过实数 m 的最大整数,则函数 g ( x ) ? [ f ( x ) ? ______________. 答案: { ? 1, 0}

1 2

] ? [ f (? x) ?

1 2

] 的值域为

16. ( 上 海 市 奉 贤 区 2008 年 高 三 数 学 联 考 3 ) 函 数 f ( x ) ? 3 x ? 5,
f
?1

x ? [ 0, 1 ]

的反函数

( x) ?

_________________.

答案: (x ? 5), x ? ? 5, 8 ?
3

1

17. (上海市黄浦区 2008 学年高三年级第一次质量调研 4)方程 log 4 (12 ? 2
x ? ____________. 答案: 1

x ?1

)? x?

1 2

的解

18. (上海市黄浦区 2008 学年高三年级第一次质量调研 11) 函数 y ? f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,
1

当 x ? 0 时, f ( x ) ? x 3 ? 2 ? 1 ,则函数的解析式 f ( x ) ? ________________.(结果用分段函数表
x

示)
? 1 ?x 3 ? x ? 2 ? 1 ( x ? 0) ? 答案: f ( x ) ? ? 0 ( x ? 0) ? 1 ? x 3 ? 2x ? 1 ( x ? 0) ?

19.(上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 2)函数 f ? x ? ? 答案: ? x x ? 4 且 x ? 3?

lg ? 4 ? x ? x?3

的定义域

20.(08 年上海市部分重点中学高三联考 10)设定义在 R 的函数 f ( x ) 同时满足以下条件:① f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 ;② f ( x ) ? f ( x ? 2 ) ; ③当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 2 x ? 1 。则 f ( ) ? f (1) ? f ( ) ? f ( 2 ) ? f ( ) ? _____________
2 2 2 1 3 5

答案:

2 ?1
2

21. (上海虹口区 08 学年高三数学第一学期期末试卷 10) 已知:t 为常数, 函数 y ? | x ? 2 x ? t | 在区间 [0, 3] 上的最大值为 3 ,则实数 t ? _____. 答案:0 或-2 22.(08 年上海市部分重点中学高三联考 11)在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格 点. 若函 y=f(x)的图像恰好经过 k 个格点, 则称函数 y=f(x)为 k 阶格点函数. 已知函数: ①y=2sinx; ②y=cos(x+
? 6

);③ y ? e ? 1 ;④ y ? x .其中为一阶格点函数的序号为
x 2

(注:把你认为

正确论断的序号都填上) 答案:①③

1(嘉定区
f
?1

2008 ~ 2009 第 一 次 质 量 调 研 第 3 题 ) 函 数 f ( x ) ? lo g 2 x ? 1 ( x ? 0 ) 的 反 函 数 是
x ?1

( x ) ? _________________.答案: 2

(x? R)

2(嘉定区 2008~2009 第一次质量调研第 11 题)定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? 2 f ( x ) ,
当 x ? [ 0 , 2 ] 时, f ( x ) ? x ? 2 x ,则当 x ? [ ? 4 , ? 2 ]
2

时,函数 f ( x ) 的最小值为_______________.答案: ?

1 4

3

(上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第 2 题)函数 f ( x ) ?

x x?1

的最大值为___________.

答案:

1 2

4 (上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第 12 题) 函数 f ( x ) ? ?

? x,

x? P

?? x, x ? M

, 其中 P 、 M 为实数集 R 的

现,两个非空子集,又规定 A ? { y | y ? f ( x ), x ? P }, B ? { y | y ? f ( x ), x ? M } ,给出下列三个 判断: ①若 P ? M ? ? ,则 A ? B ? ? ;②若 P ? M ? R ,则 A ? B ? R ; ③若 P ? M ? R ,则 A ? B ? R .其中错误的判断是___________(只需填写序号). 答案:①、②

5 (上海市卢湾区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 1 题)函数 y ? 2 ? x ? 1 ? 3( x ? 1) 的反函数为
____________.答案: y ? 1 ? log 2 ( x ? 3)( ? 3 ? x ? 2) 6 (上海市卢湾区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 2 题)函数 y ? x ?
2 x , x ? [ ? 2, 0) ? (0, 2] 的

单调递减区间为_____________ .答案: [ ? 2 , 0) ? (0, 2 ] 7 (上海市卢湾区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 9 题)已知函数 y ? f ( x ) 既为偶函数, 又是以 6 为 周 期 的 周 期 函 数 , 若 当 x ? [0, 3] 时 , f ( x ) ? ? x ? 2 x ? 4, 则 当 x ? [3, 6] 时 ,
2

f ( x ) ? ____________.答案: ? x ? 10 x ? 20
2

8
答案:C
2
x

9(2008 学 年 度 第 一 学 期 上 海 市 普 陀 区 高 三 年 级 质 量 调 研 第 3 题 ) 已 知 函 数 f ( x ) ?
f
?1

3?2 ?1
x

,则

1 ( )? 4

. 答案:0

10 2008 学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第 4 题) 设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足
f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 3 ,若 f ?1 ? ? 2 ,则 f ? 2009 ? ?

答案:2

11 (2008 学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第 3 题)已知函数 f ( x ) ?
f
?1

2

x

3?2 ?1
x

,则

1 ( )? 4

. 答案:0
2

12

(2008 学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第 10 题) 已知函数 f ( x ) ? x ? x ,若 .答案: ( ?
8 9

1 ? ? f ? log 3 ? ? f ( 2) ,则实数 m 的取值范围是 m ?1? ?

, 8)
x?0 x?0

13 ( 闸 北 区 09 届 高 三 数 学 ( 理 ) 第 3 题 ) 若 f ( x ? 2) ? ?
f(

? tan x , ?

? log 2 ? ? x ? , ?

,则

?
4

? 2)f ? 2) ? ( ?

.答案:2; 则 f ( x ) ? x ? sin x ? 1( x ? R ) ,若 f ( a ) ? 2 , f ( ? a )

14 (闸北区 09 届高三数学 (理) 6 题) 函数 第
的值为 .答案:0;

15 ( 上 海 市 静 安 区 2008 学 年 高 三 年 级 第 一 次 质 量 调 研 第 6 题 ) 若 复 数
z ? [(log 3 x ) ? 2 log 3 x ? 3] ? [(log 3 x ) ? 5 log 3 x ? 6]i 是 纯 虚 数 ( i 为 虚 数 单 位 ) , 则 实 数
2 2

x =_____________.答案:

1 3

16 (上海市静安区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 10 题)已知周期为 2 的偶函数 f ( x ) 的
定义域是实数集 R ,且当 x ? [0, 1] 时,
f ( x ) ? log 2 (2 ? x ) ,则当 x ? [2007, 2009] 时, f ( x ) ? ____________.

? log 2 ( x ? 2006 ), x ? [2007, 2008 ) 答案: f ( x ) ? ? ? log 2 ( 2010 ? x ), x ? [2008, 2009]

17 (静安区部分中学 08-09 学年度第一学期期中数学卷第 9 题) 已知 f ( x ) ? log 1 x 的反函数为
2
?1

f

( x ) ,若 f

?1

(a ) ? f

?1

(b ) ?

1 4

,则 f ( a ? b ) ?

.答案: ? 1

18 (闵行区 2008 学年第一学期高三质量监控理卷第 5 题)函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 的反函数是
f
?1

( x) ?

.

答案: f

?1

( x) ? 2 ? 1
x

19 (闵行区 2008 学年第一学期高三质量监控理卷第 13 题)某人在超市一次性购买了 20 斤大米和
10 斤食用油,大米的价格是 1.9 元/斤,食用油的价格是 15 元/斤,则购买这两种商品的总花费可

以用下列各式计算得到的是
20 10 15 1.9 20 10 1.9 15 ? 1.9 ? 10 ? ? ?. ? 15 ? ? 1.9 ? (D) ? ? ? 20 ? 15 ?

[答](



(A)

.

(B)

.

(C)

? 20

10 ? .

答案:C

20 ( 南 汇 区 2008 学 年 度 第 一 学 期 期 末 理 科 第 3 题 ) 已 知 f ( x ) ? ?
? ? 5 ?? f ? f ? ?? ? ? 2 ??

?x ?1

x ?1

?? x ? 3 x ? 1

,则

=______.答案:

3 2

21 (南汇区 2008 学年度第一学期期末理科第 8 题)函数 f ( x ) ? x ? lg( x ? 2) ? 1 的图象与 x 轴的
交点个数有 个. 答案:2

22 (南汇区 2008 学年度第一学期期末理科第 9 题)若一系列函数的解析式相同,值域相同但定义 域不同,则称这些函数为“孪生函数” ,那么函数解析式为 y ? 2 x ? 1 ,值域为 ?3,19? 的“孪
2

生函数”共有

个. 答案:9
1

23 (南汇区 2008 学年度第一学期期末理科第 11 题) 已知函数 f ( x ) ?

x3 ? x 5

?

1 3

1

, g ( x) ?

x3 ? x 5

?

1 3



分别计算 f (4) ? 5 f (2) g (2) 和 f (9) ? 5 f (3) g (3) 的值, 并概括出涉及函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的对所有不 等于零的实数 x 都成立的一个等式:___________________________________________. 答案: f ( x ) ? 5 f ( x ) g ( x ) ? 0
2

24 (南汇区 2008 学年度第一学期期末考试文科第 8 题)方程
答案:1

1 x

? lg( x ? 1) 解的个数是

.

25 (浦东新区 2008 学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第 2 题)函数 f ( x ) ?
是 .答案: (? 1,1]

1? x 1? x

的定义域

26 (浦东新区 2008 学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第 4 题)若函数 f ( x ) ? x ? 数为 f
?1

1 x

( x ? 0 ) 的反函

( x ) ,则 f

?1

(?2) =

.答案: 2 ? 1

27. ( 浦 东 新 区 2008 学 年 度 第 一 学 期 期 末 质 量 抽 测 卷 数 学 理 科 第 11 题 ) 对 于 函 数
f ( x ) ? mx ? x ? 2 x ? n ( x ? [ ? 2 , ?? ) ) ,若存在闭区间
2

,则实数 m , n 的 [ a , b ] ? [ ? 2 , ?? ) ( a ? b ) ,使得对任意 x ? [ a , b ] ,恒有 f ( x ) = c ( c 为实常数) ? 值依次为 .. .答案: ? 1 和 1
30 4 ?2
x x ?1

28. (浦东新区 2008 学年度第一学期期末质量抽测卷数学文科第 10 题) 函数 y ?
的值域是 .答案: [ 5 , 6 ]

?6

, x ? [ 0 ,1]

29. (浦东新区 2008 学年度第一学期期末质量抽测卷数学文科第 4 题)若函数 f ( x ) ? x ?
函数为 f
?1

1 x

( x ? 0 ) 的反

( x ) ,则 f

?1

(?2) =

.答案: 2 ? 1

30. (上海市青浦区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 6 题)设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,
当 x ? 0 时, f ( x ) ? log 3 (1 ? x ) ,则 f ( ? 2) ? ___________答案: .-1

三.解答题 1. (上海市奉贤区 2008 年高三数学联考 17) (本题满分 14 分.第一小题 6 分,第 2 小题 8 分.)
x?4 ?2

记函数 f(x)=
x?4

x ?1

的定义域为 A,g(x)=log3[(x-m-2)(x-m)]的定义域为 B.
x?2

(1)求 A;(2)若 A ? B,求实数 m 的取值范围. 1.解:(1) x ? 1 -2≥0,得 x ? 1 ≤0,-1<x≤2 即 A= ( -1,2] (2) 由(x-m-2)(x-m)>0,得 B=(-∞,m)∪(m+2,+∞) ∵A ? B ∴m>2 或 m+2≤-1,即 m>2 或 m≤-3 故当 B ? A 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-3]∪(2,+∞). (6 分) (10 分) (14 分)

2. (上海市宝山区 2008 学年高三年级第一次质量调研 19) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题, 第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 已知 a 为实数, f ( x ) ? a ?
2 2 ?1
x

( x ? R ).

(1)求证:对于任意实数 a , y ? f ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 上是增函数;

(2)当 f ( x ) 是奇函数时,若方程 f 2.略;

?1

( x ) ? log 2 ( x ? t ) 总有实数根,求实数 t 的取值范围.

(2)因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? a ?
1? x ( x ) ? l o2 g 1? x 1? x 1? x

2 2 ?1
0

? 0, 即 a ? 1.

f

?1

?( ? x ? 1

1)

由 log 2

? log 2 ( x ? t ) 得 t ? (1 ? x ) ?

2 1? x

?2?2 2?2

当且仅当 1 ? x ?

2 1? x

,即 x ? 1 ?

2 时等号成立,

所以, t 的取值范围是 [2 2 ? 2, ?? ) 3. (上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 19) (本小题满分 14 分)本题共有 2 个小题, 第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场。如图,运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道,运动场除跑道外,其他地方均铺设 草皮。 已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元,草皮每平方米造价为 30 元 (1) 设半圆的半径 OA= r (米),试建立塑胶跑道 面积 S 与 r 的函数关系 S( r ) (2) 由于条件限制 r ? ? 30, 40 ? ,问当 r 取何值时,运动场 造价最低?(精确到元) 3.解: (1)塑胶 跑道面积
2 2 S ? ? ? r ? ( r ? 8) ? ? 8 ? ? ?

10000 ? ? r 2r 100

2

? 2 ? ? ? ? ? ? 4分

?

80000 r

? 8? r ? 64? (0 ? r ?

?

) ? ? ? ? ? ? ? ?6分

(2) 设运动场造价为 y

y ? 150 ? (

80000 r

? 8? r ? 64? ) ? 30 ? (10000 ?

80000 r

? 8? r ? 64? ) ? ? ? ? 10 分

? 300000 ? 120(

80000 r

? 8? r ) ? 7680? ? ? ? ? ? ? 12 分

? r ? ? 30, 40 ? , 函 数 y 是 r的 减 函 数 ? 当 r=40,运 动 场 造 价 最 低 为 636510元 -----14分
4. (上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 20) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题, 第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分. 有一个数据运算装置,如下图所示,输入数据 x 通过这个运算装置就输出一个数据 y ,输入一 组数据,则会输出另一组数据。要使输入的数据介于 20~100 之间(含 20 和 100,且一个都不能少) , 输出的另一组数据后满足下列要求:①新数据在 60~100 之间(含 60 和 100,也一个都不能少) ;② 新数据的大小关系与原数据的大小关系相反,即原数据较大的对应新数据较小。 (1)若该装置的运算规则是一次函数,求出这种关系; (2)若该装置的运算规则是 y ? a ( x ? h ) ( a ? 0) ,求满足上述条件的 a , h 应满足的关系式;
2

(3)请你设计一种满足上述条件新的运算规则(非一次、二次函数) 。

4.解: (1)若该运算装置的运算规则是一次函数, 设

y ? kx ? b ( k ? 0)
?100 ? 20 k ? b ? 60 ? 100 k ? b

根据题意,则 ?

1 ? ?k ? ? 2 解得 ? ? b ? 110 ?

?y??

1 2

x ? 110 -------------------4 分
2

(2) 要使规则 y ? a ( x ? h ) ( a ? 0) 满足以上条件, 则必须有函数 y ? a ( x ? h ) ( a ? 0) 的定义域为 ? 20,100 ? ,
2

值域为 ? 60,100 ? 且 该 函 数 在

? 20,100 ?

上 单 调 递 减 : 故

a, h

应 满 足 条 件

?100 ? a (20 ? h ) 2 ? 2 ? 60 ? a (100 ? h ) ? -------------------8 分 ? h ? 100 ?a ? 0 ?
a?? 1 4(60 ? h ) ( h ? 100) --------10 分

(3) 若设新的运算规则是

1 x y ? a ? ( ) ? b ( a ? 0) --------12 分 2
40 1 20 1 100 ( ) ?( ) 2 2 1 20 1 100 60 ? ( ) ? 100 ? ( ) -----14 分 2 2 1 20 1 100 ( ) ?( ) 2 2
1 100 ? 100 ? ( ) 2 -----16 分 1 100 20 ?( ) 2 2
20

1 20 ? ?100 ? a ? ( 2 ) ? b ? 则? ? 60 ? a ? ( 1 )100 ? b ? ? 2

? ?a ? ? ? 解得 ? ? ?b ? ? ?

故新的运算规则是 y ?

40 1 20 1 100 ( ) ?( ) 2 2

1 x 1 ( ) 60 ? ( 2 ) 2 + (1)

(本题是开放题:若设新的运算规则是 y ? a log 1 x ? b ( a ? 0) 也可以参考评分)等等。
2

5. (上海虹口区 08 学年高三数学第一学期期末试卷 20) (本题满分 18 分)第 1 小题 4 分,第 2 小 题 4 分,第 3 小题 4 分. (1)已知: f ( x ) ?
4 x ? 12 x ? 3
2

2x ? 1
3 2

, x ? [0, 1] ,求函数 f ( x ) 的单调区间和值域;

(2) a ? 1 ,函数 g ( x ) ? x ? 3 a x ? 2 a , x ? [0,1] ,判断函数 g ( x ) 的单调性并予以证明; (3)当 a ? 1 时, 上述(1)、 (2)小题中的函数 f ( x )、 g ( x ) , 若对任意 x 1 ? [0, 1] , 总存在 x 2 ? [0, 1] , 使得 g ( x 2 ) ? f ( x 1 ) 成立,求 a 的取值范围. 5.解:(1) y ? f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 则y?t?
4 t 4 2x ? 1 ? 8 ,设 t ? 2 x ? 1, 1 ? t ? 3

? 8, t ? [1, 3].

任取 t1、 t 2 ? [1, 3], 且 t1 ? t 2 , f ( t1 ) ? f ( t 2 ) ? 当 1 ? t ? 2, 即0 ? x ? 当 2 ? t ? 3, 即
1 2 1 2

( t1 ? t 2 )( t1 t 2 ? 4) t1 t 2



时, f ( x ) 单调递减;

? x ? 1 时, f ( x ) 单调递增.

1 11 ,得 由 f (0 ) ? ? 3, f ( ) ? ? 4, f (1) ? ? 2 3 f ( x ) 的值域为 [ ? 4, ? 3] .

(2)设 x 1、 x 2 ? [0, 1], 且 x 1 ? x 2 , 则 g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) ? ( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 1 x 2 ? x 2 ? 3 a ) ? 0 ,
2 2 2

所以 g ( x ) 单调递减. (3)由 g ( x ) 的值域为: 1 ? 3 a ? 2 a ? g (1) ? g ( x ) ? g (0) ? ? 2 a ,
2

所以满足题设仅需: 1 ? 3 a ? 2 a ? ? 4 ? ? 3 ? ? 2 a ,
2

解得, 1 ? a ?

3 2

.

6. (上海市 2009 届高三年级十四校联考数学理科卷 20) (本题满分 14 分)本题共 2 小题,第 1 小 题 6 分,第 2 小题 8 分 国际上常用恩格尔系数(记作 n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,它的计算 公式为: n ? 家庭类型 n
食品消费支出总额 消费支出总额 ? 100 % ,各种类型家庭的 n 如下表所示:

贫困 n>60%

温饱 50%<n≤60%

小康 40%<n≤50%

富裕 30%<n≤40%

最富裕 n≤30%

根据某市城区家庭抽样调查统计,2003 年初至 2007 年底期间,每户家庭消费支出总额每 年平均增加 720 元,其中食品消费支出总额每年平均增加 120 元。 (1)若 2002 年底该市城区家庭刚达到小康,且该年每户家庭消费支出总额 9600 元,问 2007 年底能否达到富裕?请说明理由。 (2)若 2007 年比 2002 年的消费支出总额增加 36%,其中食品消费支出总额增加 12%,问从哪一 年底起能达到富裕?请说明理由。 6.解: (1)因为 2002 年底刚达到小康,所以 n=50% ????1 分 且 2002 年每户家庭消费支出总额为 9600 元, 故食品消费支出总额为 9600×50%=4800 元 ????2 分 4800 ? 5 ? 120 5400 ? ? 41 % ? 40 % ,即 2007 年底能达到富裕。 则 n 2007 ? 9600 ? 5 ? 720 13200 ????6 分 (2)设 2002 年的消费支出总额为 a 元,则 a ? 5 ? 720 ? a (1 ? 36 %), 从而求得 a ? 10000 元, ????8 分 又设其中食品消费支出总额为 b 元 , 则 b ? 5 ? 120 ? b (1 ? 12 %),

从而求得 b ? 5000 元。 ????10 分 当恩格尔系数为 30 % ? n ? 40 % 时 , 有 30 % ?
5000 ? 120 x 10000 ? 720 x ? 40 % ,

解得 5 .95 ? x ? 20 .8 . ????13 分 则 6 年后即 2008 年底起达到富裕。 ????14 分 7.(08 年上海市部分重点中学高三联考 20) (4+6+4)电信局根据市场客户的不同需求,对某地区的 手机套餐通话费提出两种优惠方案,则两种方案付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图 所示(实线部分) (MN 平行 CD) (1) 若通话时间为两小时,按方案 A,B 各付话费多少元? (2) 方案 B 从 500 分钟以后,每分钟收费多少元? (3) 通话时间在什么范围内,方案 B 比方案 A 优惠? 7.[解]:设通话 x 分钟时,方案 A,B 的通话费分别为 f A ( x ) , f B ( x ) ---------1 分 (1)当 x=120 时
f A ( x ) =116 元 f B ( x ) =168 元-----------3 分

若通话时间为两小时,方案 A 付话费 116 元,方案 B 付话费 168 元------4 分
? 98 ? (2) f A ( x ) ? ? 3 ? x ? 80 ? 10 0 ? x ? 60 60 ? x ?168 ? , fB ( x) ? ? 3 ? x ? 18 ? 10 0 ? x ? 500 500 ? x

----------7 分

当 x ? 500时 f B ( x ? 1) - f B ( x ) =0.3

--------------------------------9 分

方案 B 从 500 分钟以后,每分钟收费 0.3 元-------------------10 分 (3) 当 x ? 500时 f A ( x ) ? f B ( x ) -------------------------------11 分
0 ? x ? 60
f A ( x ) ? f B ( x ) ----------------------12 分

60 ? x ? 500 由 f A ( x ) ? f B ( x ) 得 x ?

880 3

----------13 分

综合:通话时间在 (

880 3

, ? ) 内方案 B 较优惠。----------14 分

8.(08 年上海市部分重点中学高三联考 22) (4+7+7) 定义在 D 上的函数 f ( x ) ,如果满足: 对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 | f ( x ) |? M 成立,则称 f ? x ? 是 D 上的有界函数,其中
M 称为函数 f ? x ? 的上界.

1? m ?2 ?1? ?1? 已知函数 f ? x ? ? 1 ? a ? ? ? ? ? ? ; g ( x ) ? . x 1? m ?2 ?2? ?4? (1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 在 ? ?? , 0 ? 上的值域,并判断函数 f ? x ? 在 ? ?? , 0 ? 上是否为有界
x

x

x

函数,请说明理由; (2)若函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 m ? 0 ,函数 g ? x ? 在 ? 0,1? 上的上界是 T (m ) ,求 T (m ) 的取值范围. 8. [解]: (1)当 a ? 1 时, f ( x ) ? 1 ? ?
?1? ?1? ? ?? ? ?2? ?4?
x x

因为 f ( x ) 在 ? ?? , 0 ? 上递减,所以 f ( x ) ? f (0) ? 3 ,即 f ( x ) 在 ? ?? ,1? 的值域为 ? 3, ?? ? 故不存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x ) |? M 成立 所以函数 f ? x ? 在 ? ?? ,1? 上不是有界函数。 ?????4 分 (没有判断过程,扣 2 分)

(2)由题意知, f ( x ) ? 3 在 ?1, ?? ? 上恒成立。???5 分
? 3 ? f ( x) ? 3 ,
x

?1? ?1? ?1? ? 4 ? ? ? ? a ?? ? ? 2 ? ? ? ?4? ?2? ?4?
x

x

x

x



?1? ?1? x ? 4 ? 2 ? ? ? ? a ? 2 ? 2 ? ? ? 在 ? 0, ?? ? 上恒成立???6 分 ?2? ?2?
x



x x ? ? ?1? ? ?1? ? x x ? a ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ?? 4 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? max ? 2 ? ? min ? ? ? ? ? ?

???7 分

1 1 x 设 2 ? t , h ( t ) ? ? 4 t ? , p ( t ) ? 2 t ? ,由 x ? ? 0, ?? ? 得 t≥1, t t

设 1 ? t1 ? t 2 , h ( t1 ) ? h ( t 2 ) ?
p (t1 ) ? p (t 2 ) ?

? t 2 ? t1 ? ? 4 t1t 2 ? 1?
t1t 2

?0

?t1 ? t 2 ??2 t1 t 2
t1t 2

? 1?

?0

所以 h (t ) 在 ?1, ?? ? 上递减, p (t ) 在 ?1, ?? ? 上递增,???9 分(单调性不证,不扣分)
h (t ) 在 ?1, ?? ? 上的最大值为 h (1) ? ? 5 , p (t ) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 p (1) ? 1

所以实数 a 的取值范围为 ? ? 5,1? 。?????????????11 分 (3) g ( x ) ? ? 1 ? ∵
2 m ?2 ?1
x

, ∴
g ? x ? 在 ? 0,1? 上递减,???12 分

m>0 , x ? ?0 ,1?

第 17 页 共 35 页



g (1) ? g ( x ) ? g ( 0 )



1 ? 2m 1 ? 2m

? g ( x) ?

1? m 1? m

???13 分

①当

1? m 1? m

?

? 2? 1? m ,即 m ? ? 0 , , ???14 分 ? 时, g ( x ) ? ? 2 ? 1 ? 2m 1? m ?

1 ? 2m

此时

T (m ) ?

1? m 1? m

,???16 分

②当

1? m 1? m

?

? 2 ? 1 ? 2m , ?? ? 时, g ( x ) ? ,即 m ? ? , ? 1 ? 2m 1 ? 2m ? 2 ?

1 ? 2m

此时

T (m ) ?

1 ? 2m 1 ? 2m



---------17 分

? 2? ? 1? m ? , ?? ? ; 综上所述,当 m ? ? 0 , ? 时, T (m ) 的取值范围是 ? ? 1? m 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? 1 ? 2m ? , ?? ? 时, T (m ) 的取值范围是 ? , ?? ? ???18 当m ? ? ? ? 1 ? 2m ? ? 2 ?

9.( 2009 年上海市普通高等学校春季招生考试 20)(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 10 分. 设函数 f n ( ? ) ? sin n ? ? ( ? 1 ) n cos n ? ,
0 ?? ?

?
4

,其中 n 为正整数.

(1)判断函数 f 1 ( ? )、 f 3 ( ? ) 的单调性,并就 f 1 ( ? ) 的情形证明你的结论; (2)证明: 2 f 6 ( ? ) ? f 4 ( ? ) ? ? cos 4 ? ? sin 4 ?

?? cos

2

? ? sin 2 ? ;

?

(3)对于任意给定的正整数 n ,求函数 f n ( ? ) 的最大值和最小值. 9.[解] (1) f 1 ( ? )、 f 3 (? ) 在 ? 0 ,
? ?

? ?

上均为单调递增的函数. 4 ? ?

?? 2 分

? ? ? 对于函数 f 1 ( ? ) ? sin ? ? cos ? ,设 ? 1 ? ? 2 , ? 1、 ? 2 ? ? 0 , ,则 4 ? ? ?
f 1 (? 1 ) ? f 1 (? 2 ) ? ? s i n 1 ? s i n 2 ? ?

???c o s 2 ?

? c o s 1 ?, ?

?

si n 1 ? si n 2, ? ?

co s 2 ? co s 1, ? ?

?

f 1 ?? 1 ? ? f 1 ?? 2 ?, ?

函数 f1 (? ) 在 ? 0 ,
?

?

? ?

上单调递增. 4 ? ?

?? 4 分

(2)? 原式左边
? 2 s i n ? ? c o s? ? s i n ? ? c o s?
6 6 4 4

?

? ?

?

第 18 页 共 35 页

? 2 sin ? ? cos?
2 2
2 2

?

?? s i n ? ? s i n ? ? c o s ? ? c o s ? ? ? ? s i n ? ? c o s ? ?
4 2 2 4 4 4

? 1 ? s i n 2? ? c o s 2? .

?? 6 分

又?

原式右边 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

?

2

? cos 2? .
2

? 2 f 6 ( ? ) ? f 4 ( ? ) ? cos ? ? sin ?
4 4

?

?? cos

2

? ? sin 2 ? .

?

?? 8 分

(3)当 n ? 1 时,函数 f 1 (? ) 在 ? 0 ,
?

?

? ?

上单调递增, 4 ? ?

?

?? ? f 1 (? ) 的最大值为 f 1 ? ? ? 0 ,最小值为 f 1 ?0 ? ? ? 1 . ?4?

当 n ? 2 时, f 2 ?? ? ? 1 ,? 函数 f 2 (? ) 的最大、最小值均为 1. 当 n ? 3 时,函数 f 3 (? ) 在 ? 0 ,
?
?

?

? ?

上为单调递增. 4 ? ?

?? ? f 3 (? ) 的最大值为 f 3 ? ? ? 0 ,最小值为 f 3 ?0 ? ? ? 1 . ?4?

当 n ? 4 时,函数 f 4 (? ) ? 1 ?
?

1 2

sin

2

? ? ? 2? 在 ? 0 , 上单调递减, 4 ? ? ?

?? ? 1 f 4 (? ) 的最大值为 f 4 ?0 ? ? 1 ,最小值为 f 4 ? ? ? . ?4? 2

?? 11 分

下面讨论正整数 n ? 5 的情形: 当 n 为奇数时,对任意 ? 1、 ? 2 ? ? 0 , 且 ?1 ? ? 2 , 4 ? ? ?
?

?

? ?

f n (? 1 ) ? f n (? 2 ) ? sin ? 1 ? sin ? 2 ? cos ? 2 ? cos ? 1 ,
n n n n

?

? ?

?

以及 0 ? sin ? 1 ? sin ? 2 ? 1,
? sin ? 1 ? sin ? 2 ,
n n n

0 ? cos ? 2 ? cos ? 1 ? 1 ,
n

cos ? 2 ? cos ? 1 ,从而 f n (? 1 ) ? f n (? 2 ) .

?

? ? ? f n (? ) 在 ? 0 , 上为单调递增,则 4 ? ? ?

?? ? f n (? ) 的最大值为 f n ? ? ? 0 ,最小值为 f 4 ?0 ? ? ? 1 . ?4?

?? 14 分

当 n 为偶数时,一方面有 f n (? ) ? sin n ? ? cos n ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? f n ( 0 ) . 另一方面,由于对任意正整数 l ? 2 ,有
2 f 2 l (? ) ? f 2 l ? 2 (? ) ? c o s

?

2l ? 2

2 ? ? s i n l?2 ?

?? c o s ? ? s i n ? ? ? 0 ,
2 2

第 19 页 共 35 页

?

f n (? ) ?

1 2

f n ? 2 (? ) ? ? ?

1
n ?1

f 2 (? ) ?

1
n ?1

22

22

?? ? ? fn ? ? . ?4?
n

?? ? ?1? ? 函数 f n ( ? ) 的最大值为 f n ( 0 ) ? 1 ,最小值为 f n ? ? ? 2 ? ? ?4? ?2?

.

综上所述,当 n 为奇数时,函数 f n (? ) 的最大值为 0 ,最小值为 ? 1 .
?1? 当 n 为偶数时,函数 f n ( ? ) 的最大值为 1 ,最小值为 2 ? ? ?2?
n

. ?? 18 分

1(嘉定区 2008~2009 第一次质量调研第 20 题) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满
分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x ) ? ax ? | x | ? 2 a ? 1 ( a 为实常数) .
2

(1)若 a ? 1 ,作函数 f ( x ) 的图像; (2)设 f ( x ) 在区间 [1 , 2 ] 上的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h ( x ) ?
f ( x) x

,若函数 h ( x ) 在区间 [1 , 2 ] 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
2

答案:解: (1)当 a ? 1 时, f ( x ) ? x ? | x | ? 1
? ?x ? x ? 1 , x ? 0 ?? .作图(如右所示) ?x 2 ? x ? 1 , x ? 0 ?
2

??(4 分) (2)当 x ? [1 , 2 ] 时, f ( x ) ? ax ? x ? 2 a ? 1 .
2

若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? ? x ? 1 在区间 [1 , 2 ] 上是减函数,
g ( a ) ? f ( 2 ) ? ? 3 .??(5 分)
1 ? 1 1 ? ? 1 , f ( x ) 图像的对称轴是直线 x ? 若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? a ? x ? . ? ? 2a ? 2a ? 4a 2a ? 当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 [1 , 2 ] 上是减函数, g ( a ) ? f ( 2 ) ? 6 a ? 3 .??(6 分)
2

当0 ?

时, f ( x ) 在区间 [1 , 2 ] 上是增函数, 2 2a g ( a ) ? f (1) ? 3 a ? 2 .??(7 分)
1 2a ? 2 ,即 1 4 ?a? 1

1

? 1 ,即 a ?

1

当1 ?

1 ? 1 ? ? 1 ,??(8 分) 时, g ( a ) ? f ? ? ? 2a ? 2 4a ? 2a ?
第 20 页 共 35 页



1

2a 4 g ( a ) ? f ( 2 ) ? 6 a ? 3 .??(9 分)

? 2 ,即 0 ? a ?

1

时, f ( x ) 在区间 [1 , 2 ] 上是减函数,

10

1 ? 6a ? 3 , 当a ? 5 ? 4 ? 1 1 1 ? 综上可得 g ( a ) ? ? 2 a ? .??(10 分) ? 1, 当 ? a ? 4a 4 2 ? 1 1 ? 当a ? -3 -2 -1 O 1 2 3 ?3 a ? 2 , 2 ? 2a ? 1 ? 1 ,在区间 [1 , 2 ] 上任取 x 1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 , (3)当 x ? [1 , 2 ] 时, h ( x ) ? ax ? x
? ? ? ? ? 2a ? 1 2a ? 1 2a ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ax 1 ? ? 1 ? ? ( x 2 ? x1 ) ? a ? 则 h ( x 2 ) ? h ( x1 ) ? ? ax 2 ? ? ? ? ? ? x2 x1 x1 x 2 ? ? ? ? ? ? ? ax x ? ( 2 a ? 1) ? ( x 2 ? x1 ) ? 1 2 .??(12 分) x1 x 2

x

因为 h ( x ) 在区间 [1 , 2 ] 上是增函数,所以 h ( x 2 ) ? h ( x1 ) ? 0 , 因为 x 2 ? x1 ? 0 , x1 x 2 ? 0 ,所以 ax 1 x 2 ? ( 2 a ? 1) ? 0 ,即 ax 1 x 2 ? 2 a ? 1 , 当 a ? 0 时,上面的不等式变为 0 ? ? 1 ,即 a ? 0 时结论成立.??(13 分) 2a ? 1 2a ? 1 ? 1 ,解得 0 ? a ? 1 ,?(14 分) 当 a ? 0 时, x1 x 2 ? ,由 1 ? x1 x 2 ? 4 得, a a 2a ? 1 2a ? 1 1 ? 4 ,解得 ? ? a ? 0 , 当 a ? 0 时, x1 x 2 ? ,由 1 ? x1 x 2 ? 4 得, (15 分) a a 2 ? 1 ? 所以,实数 a 的取值范围为 ? ? ,1? .??(16 分) ? 2 ? 2(上海徐汇等区第一学期期末质量抽查第 21 题) (本题满分 18 分)第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分, 第 3 小题 4 分,第 4 小题 6 分. 在统计学中,我们学习过方差的概念,其计算公式为
1 N

?2 ?

[( x 1 ? ? ) ? ( x 2 ? ? ) ? ? ? ( x n ? ? ) ] ,
2 2 2

并且知道,其中 ? ?

1 N

( x 1 ? x 2 ? ? ? x n ) 为 x 1 、 x 2、 、 x n 的平均值. ?

? 类似地,现定义“绝对差”的概念如下:设有 n 个实数 x 1 、 x 2、 、 x n ,称函数
g ( x ) ? | x ? x 1 | ? | x ? x 2 | ? ? ? | x ? x n | 为此 n 个实数的绝对差.

(1)设有函数 g ( x ) ? | x ? 1 | ? | x ? 1 | ? | x ? 2 | ,试问当 x 为何值时,函数 g ( x ) 取到最小 值,并求最小值; (2)设有函数 g ( x ) ? | x ? x 1 | ? | x ? x 2 | ? ? ? | x ? x 2 |, ( x ? R , x 1 ? x 2 ? ? ? x n ? R ) , 试问:当 x 为何值时,函数 g ( x ) 取到最小值,并求最小值; (3)若对各项绝对值前的系数进行变化,试求函数 f ( x ) ? 3 | x ? 3 | ? 2 | x ? 1 | ? 4 | x ? 5 | ( x ? R ) 的最
第 21 页 共 35 页

值; (4)受(3)的启发,试对(2)作一个推广,给出“加权绝对差”的定义,并讨论该函数的最值(写出 结果即可).
? 2 ? 3 x , x ? ?1 ? ? 4 ? x , ?1 ? x ? 1 答案:解:(1) g ( x ) ? ? ,由单调性可知(或由图像可知) ?2 ? x,1 ? x ? 2 ? 3 x ? 2, x ? 2 ?

当 x=1 时,函数 g ( x ) 取得最小值, g ( x ) m in ? g (1) ? 3;
n?1 n 2 ?1

(2)若 n 为奇数,则当 x ? x n ? 1 时,有 g ( x ) m in ? g ( x n ? 1 ) ?
2

?
i? 2

2

n?1

xi ?
?1

?

xi ,

i ?1

n?1

若 n 为偶数,则当 x ? [ x n , x n ] 时,有 g ( x ) m in ? g ( x n ) ?
2 2 ?1
2

?
i? n 2 ?1

n

xi ?

?x
i ?1

2

i

? ? x ? 27, x ? ? 3 ? ? 5 x ? 11, ? 3 ? x ? 1 (3)由 y ? f ( x ) ? ? ? 9 x ? 13, 1 ? x ? 5 ? x ? 27, x ? 5 ?
? f ( x ) m in ? f ( ? 3) ? ? 26, f ( x ) m ax 不 存 在 .

(4)设 a 1 , a 2 , ? , a n 为实数,定义函数

f ( x )? a | x ? 1

1

x |? 2a | x ?

2

x? |?

? n

a|

xn ?

x| ( ? x

1

R x 2? x , ? ?

n

?

x )R ?

为 n 个实数 x 1 , x 2 , ? x n 的加权绝对值; 以下求该函数的最值:
f ( x ) ? a1 | x ? x1 | ? a 2 | x ? x 2 | ? ? ? a n | x ? x n |

? ? ( a1 ? a 2 ? ? a n ) x ? ( a1 x1 ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n ) x ? x1 ? ? [ a ? ( a 2 ? ? ? a n )] x ? ( ? a 1 x 1 ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n ) x 1 < x ? x 2 ?? 1 ?? ? ? (a ? a ? ? a ) x ? ( a x ? a x ? ? ? a x ) x ? x 2 n 1 1 2 2 n n n ? 1
第 22 页 共 35 页

当 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 0 时,
f ( x ) m ax ? m ax{ f ( x 1 ), f ( x 2 ), ? , f ( x n )}, f ( x ) m in 不 存 在 ;

当 a 1 ? a 2 ? ? ? a n > 0 时,
f ( x ) m in ? m in{ f ( x 1 ), f ( x 2 ), ? , f ( x n )}, f ( x ) m ax 不 存 在 ;

当 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 0 时,
f ( x ) m ax ? m ax{ f ( x 1 ), f ( x 2 ), ? , f ( x n )}, f ( x ) m in ? m in{ f ( x 1 ), f ( x 2 ), ? , f ( x n )}.

(上海市卢湾区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 17 题)(本题满分 15 分)第 1 小题 满分 4 分,第 2 小题满分 11 分

3

设函数 f ( x ) ? x ? | 2 x ? a | ( x ? R , a 为实数).
2

(1)若 f ( x ) 为偶函数,求实数 a 的值;

(2)设 a ? 2 ,求函数 f ( x ) 的最小值.

答案:解:(1)由已知 f ( ? x ) ? f ( x ), 即 | 2 x ? a |? | 2 x ? a |, 解 得 a ? 0 ;
1 ? 2 ? x ? 2 x ? a, x ? 2 a ? (2) f ( x ) ? ? , ? x2 ? 2 x ? a, x ? 1 a ? ? 2

当x ?

1 2

a 时, f ( x ) ? x ? 2 x ? a ? ( x ? 1) ? ( a ? 1) ,
2 2

由 a ? 2 , x?

1 2

a 得 x ? 1 ,从而 x ? ? 1 , ,

故 f (x) 在 x ?

1

a a a 时单调递增, f ( x ) 的最小值为 f ( ) ? ; 2 4 2
2 2

2

当x ?

1 2

a 时, f ( x ) ? x ? 2 x ? a ? ( x ? 1) ? ( a ? 1) ,

故当 1 ? x ?

a 2

时, f ( x ) 单调递增,当 x ? 1 时, f ( x ) 单调递减,

则 f ( x ) 的最小值为 f (1) ? a ? 1 ;
第 23 页 共 35 页



a

2

4

? ( a ? 1) ?

( a ? 2) 4

2

? 0 ,知 f ( x ) 的最小值为 a ? 1 .

4(闸北区 09 届高三数学(理)第 16 题) (本小题满分 17 分) 某企业为打入国际市场,决定
从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表: (单位:万美元) 项 目 类 别 年固 定 成本 每件产 品 成本 每件 产品 销售 价 10 18 每年最 多可 生产的 件数 200 120

A 产品 B 产品

20 40

m 8

其中年固定成本与年生产的件数无关,m 为待定常数,其值由生产 A 产品的原材料价格决 定,预计 m ? [ 6 ,8 ] .另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05 x 万美元的特别关税.假设生产
2

出来的产品都能在当年销售出去. (Ⅰ) 写出该厂分别投资生产 A、 两种产品的年利润 y1 , y 2 与生产相应产品的件数 x 之间的 B 函数关系并指明其定义域; (Ⅱ)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划. 答案:解: (Ⅰ)由年销售量为 x 件,按利润的计算公式,有生产 A、B 两产品的年利润 y1 , y 2 分 别为:
y1 ? 10 ? x ? ? 20 ? mx ? ? ?10 ? m ? x ? 20
2 2

0 ? x ? 200 且 x ? N ?????4 分

y 2 ? 18 ? x ? ? 40 ? 8 x ? ? 0.05 x ? ? 0.05 x ? 10 x ? 40
? y 2 ? ? 0.05 ? x ? 100 ? ? 460, 0 ? x ? 120, x ? N .
2

?????? ?? 4 分

(Ⅱ)? 6 ? m ? 8 , ? 10 ? m ? 0 ,? y 1 ? (10 ? m ) x ? 20 为增函数, ,
又 0 ? x ? 200, x ? N ? x ? 200

时,生产 A 产品有最大利润为

?10 ? m ? ? 200 ? 20 ? 1980 ? 200 m (万美元)???????????????3 分
又 y 2 ? ? 0.05 ? x ? 100 ? ? 460, 0 ? x ? 120, x ? N . ? x ? 100 时,生产 B 产品
2

有最大利润为 460(万美元) 现在我们研究生产哪种产品年利润最大,为此,我们作差比较:
第 24 页 共 35 页

?????? 3 分

( y 1 ) max ? ( y 2 ) max

6 ? ? 0 ,    ? m ? 7 . 6 ? ? (1980 ? 200 m ) ? 460 ? 1520 ? 200 m ? ? 0 ,    m ? 7 . 6 ????2 分 ? ? 0 ,    6 ? m ? 8 7. ?

所以:当 6 ? m ? 7 .6 时,投资生产 A 产品 200 件可获得最大年利润; 当 m ? 7.6 时,生产 A 产品与生产 B 产品均可获得最大年利润; 当 7.6 ? m ? 8 时,投资生产 B 产品 100 件可获得最大年利润.??????1 分

5

(上海市静安区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 19 题) (本题满分 14 分) (理)根据统计资料, 某工艺品厂每日产品废品率 p 与日产量 x (件)之间近似地满足关系式
2 10 ? x ( x ? N , 1 ? x ? 58) (日产品废品率=
日 废 品 (件 )数 日 产 量 (件 )数

p?

).已知每生产一件正品可赢利

2 千元, 而生产一件废品则亏损 1 千元.该车间的日利润 T 按照日正品赢利额减去日废品亏损额 计算.

(1)将该车间日利润 T (千元)表示为日产量 x (件)的函数; (2)当该车间的日产量为多少件时,日利润额最大?最大日利润额是几千元? 答案:解:(1) T ? 2 x (1 ? p ) ? x ? p ?1 ?
14 x ? 2 x 10 ? x
2

( x ? N , 1 ? x ? 8) ;
30 t

(2)令 10 ? x ? t , 则 2 ? t ? 9, t ? N , T ? 2[13 ? ( t ? 因为 t ?
30 t ? 2 30 ,当且仅当 t ? 30 39 t , 即t ?

)] ,

30 时取等号.而 t ? N ,

所以当 t ? 5 或 t ? 6 时, t ?

有最小值 11, t 从而 T 有最大值 4,此时, x ? 4 或5 即车间的生产量定为 4 件(或 5 件)时,该车间可获得最大利润 4 千元. 6 (上海市静安区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 19 题)(文)沪杭高速公路全长 166 千 米.假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于 60 千米/时且不高于 120 千米/时的时 速匀速行驶到杭州.已知该汽车每小时的运输成本 y (以元为单位)由可变部分和固定部分组 成:可变部分与速度 v (千米/时)的平方成正比,比例系数为 0.02 ;固定部分为 220 元. (1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 v (千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小?最小运输成本约为多少元?(结果 保留整数) 220 2 166 ? 166(0.02 v ? ), v ? [60, 120] 答案:解:(1) y ? ( 220 ? 0.02 v ) v v 220 ) ? 2 ? 166 ? 220 ? 0.02 ? 696 (2)? 166(0.02 v ? v

第 25 页 共 35 页

当且仅当 0.02 v ?

220 v

, 即v ?

220 0.02

? 105 ? [60.120] 时取等号,

所以,当汽车以 105km/h 的速度行驶时,全程的运输成本最小,约为 696 元. 7 (上海市静安区 2008 学年高三年级第一次质量调研第 2 题) (本题满分 18 分)第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 已知 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? x | x ? a | ? 1( x ? R ) . (1)当 a ? 1 时,求所有使 f ( x ) ? x 成立的 x 的值; (2)当 a ? (0, 3) 时,求函数 y ? f ( x ) 在闭区间 [1, 2] 上的最小值; (3)试讨论函数 y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? a 的交点个数. 答案:(1) x | x ? 1 | ? 1 ? x 所以 x ? ? 1 或 x ? 1 ;
? x 2 ? ax ? 1, x ? a ? (2) f ( x ) ? ? , 2 ? ? x ? ax ? 1, x ? a ?

1 . 当 0 ? a ? 1 时 , x ? 1 ? a , 这 时 , f ( x ) ? x ? ax ? 1, 对 称 轴
O

2

x?

a 2

?

1 2

? 1,

所以函数 y ? f ( x ) 在区间 [1, 2] 上递增, f ( x ) min ? f (1) ? 2 ? a ; 2 .当 1 ? a ? 2 时, x ? a 时函数 f ( x ) min ? f ( a ) ? 1 ;
O

3 . 当 2 ? a ? 3 时 , x ? 2 ? a , 这 时 , f ( x ) ? ? x ? ax ? 1, 对 称 轴
O

2

x?

a

3 ? (1, ) , 2 2
f (1) ? a , f (2) ? 2 a ? 3, ? ( 2 a ? 3) ? a ? a ? 3 ? 0

所以函数 f ( x ) min ? f ( 2) ? 2 a ? 3 ; (3)因为 a ? 0, 所以 a ?
2

a 2



所以 y1 ? x ? ax ? 1 在 [ a , ?? ) 上递增;
第 26 页 共 35 页

a a 2 y2 ? ? x ? ax ? 1 在 ( ?? , ) 递增,在 [ , a ) 上递减. 2 2

因为 f ( a ) ? 1 ,所以当 a ? 1 时,函数 y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? a 有 2 个交 点;
a a a ? 1 ? 2 ? ?1 ? a , 当且仅当 a ? 2 时,等号成立. 又 f( )? 2 4 2
2

所以,当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? a 有 1 个交点; 当 a ? 1 时,函数 y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? a 有 2 个交点; 当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? a 有 3 个交点; 当 a ? 2 时,函数 y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? a 有 2 个交点; 当 a ? 2 时,函数 y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? a 有 3 个交点. 8 (静安区部分中学 08-09 学年度第一学期期中数学卷第 18 题)(本题满分 14 分)本题共有 2

个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 记 min ? p , q ? ? ?
? p, 当p ? q

? q. 当 p ? q

.若函数 f ( x ) ? min ? 3 ? log 1 x , log 2 x ? ,
?
4

?

? ?

(1)用分段函数形式写出函数 f ( x ) 的解析式;

(2)求 f ( x ) ? 2 的解集.
? 答案: (1) f ( x ) ? min ? 3 ? log ?

1 4

x , log

2

? 3 ? log 1 x , 3 ? log 1 x ? log 2 x ? ? 4 4 x? = ? 3分 log 2 x , 3 ? log 1 x ? log 2 x ? ? 4 ?

解 3 ? log 1 x ? log 2 x 得 x ? 4 .又函数 y 1 ? 3 ? log 1 x 在 ( 0 , ?? ) 内递减, y 2 ? log 2 x 在
4 4

g ( 0 , ?? ) 内 递 增 , 所 以 当 0 ? x ? 4 时 , 3 ? l o g x ? l o 2 x ; 当 x ? 4 时 , 1
4

3?l o gx ? l o 2 x. 4分 g 1
4

第 27 页 共 35 页

所以 f ( x ) ? ? 3 ? log x , 1
? ?
4

? log ?

2

x,

0? x?4 x? 4. 1分

? x ? 4, ?0 ? x ? 4, ? (2) f ( x ) ? 2 等价于: ? ①或 ? 3 ? log ? log 2 x ? 2 ? ?

1 4

x ? 2 ②. 3 分

解得: 0 ? x ? 4或 x ? 4 ,即 f ( x ) ? 2 的解集为 ( 0 , 4 ) ? ( 4 , ?? ) .3 分 9 (静安区部分中学 08-09 学年度第一学期期中数学卷第 21 题)(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 10 分. (理)设函数 y ? f ( x ), x ? R . (1)若函数 y ? f ( x ) 为偶函数并且图像关于直线 x ? a ( a ? 0 ) 对称,求证:函数
y ? f ( x ) 为周期函数.

(2)若函数 y ? f ( x ) 为奇函数并且图像关于直线 x ? a ( a ? 0 ) 对称,求证:函数
y ? f ( x ) 是以 4 a 为周期的函数.

(3)请对(2)中求证的命题进行推广,写出一个真命题,并予以证明. (第(3)题在写出一个真命题、并予以证明中,满分应分别得 5 分) 答案: (理) (1)由图像关于 x ? a 对称得 f ( 2 a ? x ) ? f ( x ) ,即 f ( 2 a ? x ) ? f ( ? x ) , 2分 因为 f ( x ) 为偶函数,所以 f ( ? x ) ? f ( x ) ,从而 f ( 2 a ? x ) ? f ( x ) ,所以 f ( x ) 是以 2 a 为周期的函数. 2 分 (2)若 f ( x ) 为奇函数,则图像关于原点对称, f ( ? x ) ? ? f ( x ) , 2 分 由 条 件 得 f ( 2 a ? x ) ? f ( x ),? f ( 2 a ? x ) ? f ( ? x ) ? ? f ( x ) , 所 以 f ( 4 a ? x ) ? f ( x ) ,
f ( x ) 是以 4 a 为周期的函数. 2 分

(3) (本小题评分说明:下面解答给出的是满分结论,如果是关于点或直线的部分 推广,应视解答程度适当给分,具体标准结合考生答题情况制订细则。但是没有把 握推广的内涵,以至于没有给出推广意义下的真命题,或写出的命题不是真命题。 这类答卷在写出一个真命题、并予以证明中,应得 0 分。 )
第 28 页 共 35 页

推广:若函数 y ? f ( x ) 图像关于点 ( m , n ) 对称且关于直线 x ? a ( a ? 0 ) 对称,则函数
f ( x ) 是以 4 ( m ? a ) 为周期的周期函数.5 分

由 条 件 图 像 关 于 点 (m , n ) 对 称 , 故 2n ? f ( x) ? f (2m ? x) , 又 图 像 关 于 直 线
x ? a (a ? 0) 对 称 , f (2a ? x) ? f ( x) , 所 以 2n ? f (2a ? x) ? f (2m ? x) , 即 2 n ? f ( x ) ? f ( 2 m ? 2 a ? x ) .2 分

当 a ? m 时, f ( x ) ? n 为常值函数,是周期函数. 当
a?m







2n ? f ( x) ? f (2m ? 2a ? x)



2 n ? f ( 2 m ? 2 a ? x ) ? f ( 4 m ? 4 a ? x ) ? 2 n ? ( 2 n ? f ( x )) ? f ( 4 m ? 4 a ? x ) , 因 此 f [4(m ? a ) ? x ] ? f ( x ) ,

所以 f ( x ) 是以 4 ( m ? a ) 为周期的函数.3 分
10 (静安区部分中学 08-09 学年度第一学期期中数学卷第 21 题) (文)设 f ( x ) ?
?2 ?a
x

2

x ?1

?b

(a ,b

为实常数) . (1) 当 a ? b ? 1 时,证明: f ( x ) 不是奇函数; (2) 设 f ( x ) 是奇函数,求 a 与 b 的值; (3) 当 f ( x ) 是奇函数时, 研究是否存在这样的实数集的子集 D , 对任何属于 D 的
x 、c,都有 f ( x ) ? c ? 3c ? 3 成立?若存在试找出所有这样的 D ;若不存在,
2

请说明理由. 答 案 : 文 ) 1 ) 举 出 反 例 即 可 . f ( x) ? ( (
? f ( ? 1) ? 1 2 2 ?1 ?
? 2 ?1
x x ?1

2

?1

, f (1) ?

? 2 ?1 2 ?1
2

??

1 5



1 4

,所以 f ( ? 1) ? ? f (1) , f ( x ) 不是奇函数;4 分
?2 2
?x

(2) f ( x ) 是奇函数时, f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,即

?a ?b

? x ?1

??

?2 ?a
x

2

x ?1

?b

对定义域内任意实

第 29 页 共 35 页

数 x 成立.1 分 化简整理得 ( 2 a ? b ) ? 2 2 x ? ( 2 ab ? 4 ) ? 2 x ? ( 2 a ? b ) ? 0 ,这是关于 x 的恒等式,所以
? 2 a ? b ? 0, ?a ? ?1 ?a ? 1 所以 ? 或? . ? ? 2 ab ? 4 ? 0 ?b ? ? 2 ?b ? 2

经检验都符合题意.3 分

(3) (本小题评分说明:这里给出的是满分结论,对于写出部分解答的考生,应视 答题正确程度适当给分,具体标准结合考生答题情况制订细则) 当 ?
0?

?a ? 1 ?b ? 2
1 2 ?1
x

时 , f ( x) ?
? 1 ,从而 ? 3 2 1 2

? 2 ?1
x

2

x ?1

?2

??
1 2

1 2

?

1 2 ?1
x

, 因 为 2x ? 0 , 所 以 2x ?1 ? 1 ,

? f ( x) ? 3 4 ? 3 4

;2 分

而 c 2 ? 3c ? 3 ? ( c ? ) 2 ?

对任何实数 c 成立;

所以可取 D = R 对任何 x 、c 属于 D ,都有 f ( x ) ? c 2 ? 3c ? 3 成立.3 分 当?
?a ? ?1 ?b ? ? 2

时,f ( x ) ?
1 2

? 2 ?1
x

2

x ?1

?2

??

1 2

?

1 1? 2

x

( x ? 0) , 所以当 x ? 0 时,f ( x ) ? ?

1 2

; x?0 当

时,

f ( x) ?

; 2分

1)因此取 D ? ( 0 , ?? ) ,对任何 x 、c 属于 D ,都有 f ( x ) ? c 2 ? 3c ? 3 成立. 1 分 2)当 c ? 0 时, c 2 ? 3c ? 3 ? 3 ,解不等式 ?
D ? ( ?? , log 2 5 7 1 2 ? 1 1? 2
x

? 3 得: x ? log 2
2

5 7

.所以取

] ,对任何属于 D 的 x 、c,都有 f ( x ) ? c ? 3c ? 3 成立. 2 分

11 (闵行区 2008 学年第一学期高三质量监控理卷第 20 题)
满分各 4 分,第 3 小题满分 8 分.

本题共有 3 个小题,第 1、2 小题

? ? ? ? 2 已知向量 a ? ( x ? 1, p ? 2) , b ? (3, x ) , f ( x ) ? a ? b , p 是实数.

? ? ? (1)若存在唯一实数 x ,使 a ? b 与 c ? (1, 2) 平行,试求 p 的值;

(2)若函数 y ? f ( x ) 是偶函数,试求函数 y ?| f ( x ) ? 15 | 在区间 [ ? 1, 3] 上的值域;
1 2

(3)若函数 f ( x ) 在区间 [ ?

, ?? ) 上是增函数,试讨论方程 f ( x ) ?

x? p?0

第 30 页 共 35 页

解的个数,说明理由.
? ? ? ? 2 2 答案:(1) ? a ? ( x ? 1 , p ? 2) , b ? (3 , x ) ,∴ a ? b ? ( x ? 4, x ? p ? 2) ,

? ? ? 2 又? a ? b 与 c ? (1, 2) 平行,∴ 2( x ? 4) ? x ? p ? 2 ,

即 2x ? x ? p ? 6 ? 0 ,
2

(2 分)

由题意知方程 2 x ? x ? p ? 6 ? 0 有两个相等的实根,
2

∴ ? ? 1 ? 8(6 ? p ) ? 0 ,∴ p ?

47 8



(4 分)

? ? 2 (2) ? f ( x ) ? a ? b ? 3 x ? ( p ? 2) x ? 3 是偶函数,

∴?

p?2 6

? 0 ,∴ p ? ? 2 ,

(2 分)

∴ y ?| f ( x ) ? 15 |?| 3 x ? 12 | 在 [ ? 1, 3] 上的值域是 [0,15] .
2

(4 分)

(3) ? 函数 f ( x ) 在区间 [ ? ∴? 方程 f ( x ) ?
2

1 2

, ?? ) 上是增函数,

p?2 6

??

1 2

,∴ p ? 1 ,
2

(3 分)
x ? p ? 0,
2

x ? p ? 0 即 3 x ? ( p ? 2) x ? 3 ?

可化为 3 x ? ( p ? 2) x ? 3 ? p ? ? x ,记 g ( x ) ? 3 x ? ( p ? 2) x ? 3 ? p , 显然,函数 g ( x ) 与 f ( x ) 有相同的单调性,即函数 g ( x ) 在 [ ? 增函数, 又? 函数 y ? ? x 在 [0, ?? ) 上是减函数,
?p ?1 ∴当 ? ,即 1 ? p ? 3 时,原方程无解; ? g (0) ? 3 ? p ? 0 ?p ?1 当? ,即 p ? 3 时,原方程有且仅有一个解. ? g (0) ? 3 ? p ? 0
第 31 页 共 35 页

1 2

, ?? ) 上也是

(4 分)

(6 分)

(8 分)

12 (闵行区 2008 学年第一学期高三质量监控理卷第 21 题)

本题共有 3 个小题,第 1 小题满

分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 10 分.第 3 小题根据不同 思维层次予以不同评分. 对于函数 y ? f ( x ) ,定义:若存在非零常数 M 、T ,使函数 f ( x ) 对定义域内的任意实数
x, 都满足 f ( x ? T ) ? f ( x ) ? M , 则称函

数 y ? f ( x ) 是准周期函数,常数 T 称为函 数 y ? f ( x) 的 一 个 准 周 期 . 如 : 函 数
f ( x ) ? 2 x ? sin x 是 以 T ? 2? 为 一 个 准

y
5

4
3

2 1
-5 -4 -3 -2 -1 O -1

周期且 M ? 4? 的准周期函数. (1) 试判断 2? 是否是函数 f ( x ) ? sin x 的准周期,说明理由; (2) 证明函数 f ( x ) ? x ? ( ? 1) ( x ? Z ) 是
x

1

2 3

4 5

x

-2
-3

准周期函数,并求出它的一个准周期 和相应的 M 的值; (3)请你给出一个准周期函数(不同于题 设和(2)中函数) ,指出它的一个准周 期和一些性质,并画出它的大致图像 答案: (1) ? f ( x ) ? sin x , ∴ f ( x ? 2? ) ? f ( x ) ? sin( x ? 2? ) ? sin x ? sin x ? sin x ? 0 , ∴ 2? 不是函数 f ( x ) ? sin x 的准周期.

(3 分)

(2) ? f ( x ) ? x ? ( ? 1) ( x ? Z ) ,
x

第 32 页 共 35 页

∴ f ( x ? 2) ? f ( x ) ? [( x ? 2) ? ( ? 1)

x?2

] ? [ x ? ( ? 1) ]
x

? x ? 2 ? ( ? 1) ? x ? ( ? 1) ? 2 (非零常数) ,
x x

(3 分)

∴函数 f ( x ) ? x ? ( ? 1) (x ?Z )是准周期函数, T ? 2 是它的一个准周期,相应的
x

M ?2.

(5 分)

(3)①写出一个不同于题设和(2)中函数, 如 y ? 3 x ? sin x , y ? 2 x ? ( ? 1) , y ? 2 x ? 3 sin x , y ? [ x ] 等 得 1 分
x

y ? kx ? b ( k ? 0) ,

y ? ( kx ? b ) ? A sin(? x ? ? ) ,

y ? ( kx ? b ) ? A cos(? x ? ? ) ,? ,或其它一次函数(正比例函数)与周期函数的线性组

合的具体形式,得 3 分 ②指出所写出函数的一个准周期,得 2 分 ③指出它的一些性质,如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、 ? , (写出一条得 1 分,两条以上得 2 分,可以不证明) 18
14
16
16

18

12 ④画出其大致图像.

得3分

14

14

10

12

12

部分参考图像: 8
6

10

10

8

8

6

6

4
4
4

2

2

2

10

-25 -5

-20

-15

5

-10 -25

10

-5

-20

15
-2

-15

5 -10 20

10

-5

15
-2

20

5

25

10

15

20

-2
18 -4

14
-4

-4

14

16 -6 14 -8 12 -10 10 -12 8
-14

-6

12

-6 12

g?x? = 2?x+1+2?sin 2?x+
8 -10

10 -8

?

? 3

?

? g?x? = x+sin x+ 3
6
-16

? ?

-8

10
-10

g?x? = 0.5 ?x+sin x+
8
-12 -14

? ?
? 3

6

-12

6

-16

4

4

-14
2

第 33 -18 共 35 页 页
4 2

-18

2

13. (南汇区 2008 学年度第一学期期末理科第 19 题)(本题满分 16 分,第 1 小题 4 分, 第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 1? x ? lg 1? x 1? x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域,并判断它的单调性(不用证明) ;
?1 ?1

(2)若 f ( x ) 的反函数为 f

( x ) ,证明方程 f

( x ) ? 0 有解,且有唯一解;

(3)解关于 x 的不等式 f ? x ? x ? 1 ? ? ? 1 。 ? ? 答案:解: (1) f ( x ) 的定义域为 ? ? 1,1 ? , ????????????????2 分

f ( x ) 在定义域 ? ? 1,1 ? 内是增函数。

????????????4 分
?1

(2)令 x ? 0 ,得 f (0) ? 1 。即 x ? 0 是方程 f 设 x1 ? 0 是 f
?1

( x ) ? 0 的一个解??????7 分

( x ) ? 0 的另一解,则由反函数的定义知 f (0) ? x1 ? 0 ,
?1

这与 f (0) ? 1 矛盾,故 f

( x ) ? 0 有且只有一个解。???????10 分

(3)由 f ? x ? x ? 1 ? ? ? 1 ? f ? 0 ? ,且 f ( x ) 为定义在 ? ? 1,1? 上的增函数,得 0 ? x ? x ? 1? ? 1 , ? ? 解 得 ? 1 ? 5 ? x ? ? 1 或 0 ? x ? ? 1 ? 5 , 这 也 即 为 不 等 式 f ? x ? x ? 1? ? ? 1 的 ? ?
2

2

解。??????????????????16 分 14. (浦东新区 2008 学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第 20 题) (满分 16 分)本题共有 3 小 题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分. 已知函数 f ? x ? ?
x ? 1 ? ax ,其中 a ? 0 .
2

(1)若 2 f (1) ? f ( ? 1) ,求 a 的值; (2)证明:当且仅当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 [ 0, ?? ) 上为单调函数;
第 34 页 共 35 页

(3)若函数 f ( x ) 在区间 [1, ?? ) 上是增函数,求 a 的取值范围. 答案:[解](1)由 2 f (1) ? f ( ? 1) ,可得: 2 2 ? 2 a ?
2 ? a ,a ?
2 3

…………4 分

(2)任取 0 ? x1 ? x 2
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
x1 ? x 2
2 2

x1 ? 1 ? ax 1 ?
2

x 2 ? 1 ? ax 2 ?
2

x1 ? 1 ?
2

x 2 ? 1 ? a ( x1 ? x 2 )
2

=

x ?1 ?
2 1

x ?1
2 2
2

? a ( x1 ? x 2 ) = ( x1 ? x 2 )(
2

x1 ? x 2 x ?1 ?
2 1

x2 ? 1
2
2 1

? a ) ……………6 分
? 1 …8 分

因为 0 ? x1 ?

x1 ? 1 , 0 ? x 2 ?

x 2 ? 1 ,所以 0 ?

x1 ? x 2 x ?1 ? x1 ? x 2 x2 ? 1
2

若 a ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 , f ( x ) 在 [ 0, ?? ) 单调递减
若函数 f ( x ) 在 x ? [ 0 , ?? ) 为单调函数,则要使得
x1 ? 1 ?
2 2

………………10 分
x2 ? 1 ? a 对于一切满足

条件的 x1 、 x 2 恒为正或恒为负,又 a ? 0 ,所以必须恒为负,所以 a ? 1 ………12 分 综上所述,当且仅当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在 x ? [ 0 , ?? ) 为单调减函数. (3)任取 1 ? x1 ? x 2 ,
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x1 ? x 2 )(
x1 ? x 2 x1 ? 1 ?
2

x2 ? 1
2

? a ) ,因为 f ( x ) 单调递增, x1 ? x 2 x1 ? 1 ?
2

所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,又 x1 ? x 2 ? 0 ,那么
2 2 x1 ? x 2 x1 ? 1 ?
2

x2 ? 1
2

? a ? 0 恒成立 14 分

?

x2 ? 1
2

? 1,

所以 0 ? a ?

2 2

………16 分

第 35 页 共 35 页



更多相关文章:
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第4部分三角函数
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第4部分三角函数_数学_高中教育_教育专区。08...试卷 15)下面有五个命题: ①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 2 ? ...
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第4部分三角函数
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第4部分三角函数08-09上海高考数学模拟试题分类...2 31 1 答案: 2 8 4.(上海市八校 2008 学年第一学期高三数学考试试卷 11...
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第7部分立体几何
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第7部分立体几何_数学_高中教育_教育专区。09...可用反三角函数值 表示为 ? ? ___.答案: arcsin 2 5 6 (上海市卢湾区 ...
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第1部分集合与简易逻辑
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第1部分集合与简易逻辑 给上海高考的童鞋们给...4 届高三数学( 存在反函数” 闸北区 09 届高三数学(理)第 11 题) 函数 f...
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第1部分集合与简易逻辑
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第1部分集合与简易逻辑_管理学_高等教育_教育.... ?3 ? 答案: 答案:B 4 闸北区 09 届高三数学(理)第 11 题) 函数 f...
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第5部分不等式及答案
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第5部分不等式及答案 上海各区2010年高考数学...若指数函数 f ( x ) = a x ( x ∈ R ) 的部分对 应值如右表: 则...
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第1部分集合与简易逻辑
09上海市期末模拟试题分类汇编 第一部分: 集合与简易逻辑 一、 选择题 2 .... ?3 ? 答案:B 4 闸北区 09高三数学(理)第 11 题) “函数 f (x...
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第7部分立体几何
08-09上海高考数学模拟试题分类汇编第7部分立体几何 08-09上海高考数学模拟试题分类...设 BP = x , MN = y ,则函数 y = f ( x) 的图像大致是( D1 A1 ...
2010年上海市各区高三二模数学试题分类汇编(第2部分 函数)
2010年上海市各区高三二模数学试题分类汇编(第2部分 函数)。2010年上海市各区二模...执业医师实践技能考试模拟试题文档贡献者 b00111511 贡献于2010-09-19 1...
更多相关标签:
2016高考试题分类汇编    2016中考试题分类汇编    高考试题分类汇编    高考物理试题分类汇编    中考语文试题分类汇编    中考物理试题分类汇编    高考化学试题分类汇编    中考数学试题分类汇编    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图