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四川省绵阳市2016届高三第三次诊断性考试数学(文)试题 扫描版含答案



四川省绵阳市高中 2013 级第三次诊断性考试 数学(文史类)

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绵阳市高 2013 级第三次诊断性考试 数学(文史类)参考解答及评分标准

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BADAD CBDBD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.2 14.11.5 12. ?

120 119

13.-4≤b≤4 或 b=2 5

15.①③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解: (I)第四组的人数为×50=16, 中位数为 40+÷0.04=47.5.?????????4 分 (II)据题意,第一组有 0.004×10×50=2 人,第五组有 0.008×10×50=4 人, 记第一组同学成绩为 A,B,第五组成绩为 a,b,c,d, 则可能构成的基本事件有(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(A,B),(a,b),(a,

c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共 15 种,

??????????????????????8 分

其中至少有一名是第一组的有 (A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),(A,B),共 9 种, ???????????10 分

∴ 概率 P=

9 3 ? . 15 5

??????????????????????12 分

17.解: (I)设{an}的公差为 d,则由题知

?(a1 ? 2d )( a1 ? 4d ) ? 3(a1 ? 6d ), ?d ? 0, ?d ? 1, ? 解得 ? (舍去)或 ? ? 3? 2 3a1 ? d ? 9, ?a1 ? 3, ?a1 ? 2, ? 2 ?
∴ an=2+(n-1)×1=n+1. ?????????????????????5 分 (II)∵

1 1 1 1 ? ? ? , a n a n ?1 (n ? 1)( n ? 2) n ? 1 n ? 2

∴ Tn=

1 1 1 + +?+ a1a2 a2 a3 a n a n ?1
=( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( = =

1 2

1 3

1 3

1 5

1 1 ? ) n ?1 n ? 2

1 1 ? 2 n?2
n ,????????????????????????10 分 2(n ? 2)

-3-



Tn 1 n n 1 1 ≤ = , ? ? ? 2 2 a n ?1 2(n ? 2) 2(n ? 4n ? 4) 2(n ? 4 ? 4 ) 4 16 2( 4 ? 2 n ? ) n n

当且仅当 n ?

4 ,即 n=2 时“=”成立, n
Tn 1 取得最大值 .????????????????12 分 a n ?1 16

即当 n=2 时,

18.解: (I)在△ABC 中,由正弦定理有,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 代入 b=acosC+csinA 中,即得 2RsinB=2RsinAcosC+2RsinCsinA, ∴ sinB=sinAcosC+sinCsinA.???????????????????3 分 ∵ sinB=sin=sin(A+C), ∴ sin(A+C)=sinAcosC+sinCsinA, 即 sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA, 整理得,cosAsinC=sinCsinA, ∵ sinC≠0, ∴ cosA=sinA, ∴ A=

?
4

. ???????????????????????????5 分

(II)在△ABC 中,sinB= 1 ? cos 2 B ? 由

4 , 5

AC 5 AC BC 即 ,解得 AC= 4 2 ,????????????7 分 ? ? 4 sin B sin A 2 5 2

又∵ cosC=cos=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB =2 2

2 3 2 4 2 ? + ? = , 2 5 2 5 10
2

∴ AB =AC +BC -2AC·BC·cosC=32+25-2× 4 2 ×5×

2 =49, 10

∴ AB=7, ??????????????????????????10 分 于是由 BD ?
2 2

1 BA 可得 BD=1, 7
2

∴ CD =BC +BD -2BC·BD·cosB=25+1-2×5×1×

3 =20, 5

∴ CD= 2 5 .?????????????????????????12 分 19. (I)证明:∵ PQ//BC//B1C1,B1C1 ? 面 A1B1C1,PQ ? 面 A1B1C1, ∴ PQ//面 A1B1C1.???????????????????????2 分

-4-

∵ 面 A1PQ∩面 A1B1C1=l, ∴ PQ//l,???????????????????????????3 分 ∴ l//B1C1. ??????????????????????????6 分 (II)解:P 为 AB 的中点时,平面 A1PQ⊥面 PQC1B1.证明如下: 作 PQ 的中点 M,B1C1 的中点 N,连接 A1M,MN,A1N, ∵ PQ//BC, ∴ AP=AQ,进而 A1Q=A1P, ∴ A1M⊥PQ, ∵ 平面 A1PQ⊥面 PQC1B1, 平面 A1PQ∩面 PQC1B1=PQ, ∴ A1M⊥面 PQC1B1,而 MN ? 面 PQC1B1, ∴ A1M⊥MN,即△A1MN 为直角三角形. 连接 AM 并延长交 BC 于 G,显然 G 是 BC 的中点, 设 AP=x,则 PB=2-x,则由 A1 A Q M P C1 N B1 C G B

3 AM x AM AP x, ? ,解得 AM= ,可得 ? 2 AG AB 3 2
2

在 Rt△AA1M 中,A1M =AA1 +AM = 同理 MG=AG-AM= 3 ?
2

2

2

3 3 2 ? x . 4 4

3 x, 2
2 2

在 Rt△MGN 中,MN =MG +GN =( 3 ? ∴ 在 Rt△A1MN 中,A1N =A1M +MN , 即 3=
2 2 2

3 2 3 2 15 3 x ) +( ) = ? 3x ? x 2 . 2 2 4 4

3 3 3 2 15 ? x + ? 3x ? x 2 , 4 4 4 4

解得 x=1,即 AP=1,此时 P 为 AB 的中点.??12 分 20.解: (I)设焦点 F(c,0),则 由题意有 ( ) 2 ?
2 2 2

c 2 2 2 ? ,从而 a =2c , a 2

c a

1 1 1 2 ? 1 ,即 ? 2 ? 1 ,解得 b =2, 2 2 b b
2 2 2 2

又由 a =b +c ,于是 2c +2=c ,解得 c =2,a =4, ∴ 椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 . ??????????????????4 分 4 2

(II)依题意可知 BC⊥AC,且∠BCO=∠ACO=45?, 于是直线 BC 的斜率为 kBC=1,直线 AC 的斜率为 kAC=-1, ??????6 分 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(0,y0),

-5-

则 k AC ?

y1 ? y0 y ? y0 ? ?1 , k BC ? 2 ? 1, x2 x1

∴ x1=y0-y1=-k(x1+1)+y0,x2=y2-y0=k(x2+1)-y0, 相加得 x1+x2=k(x2-x1). ?????????????????????8 分

? y ? kx ? 1, 2 2 联立 ? 2 消去 y,整理得(1+2k )x +4kx-2=0, 2 ? x ? 2 y ? 4,
∴ x1+x2= ?

4k 2 ,x1x2= ? .???????????????10 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2 2

把 x1+x2=k(x2-x1)两边同时平方,可得(x1+x2) =k , 代入可得( ?

4k 2 2 ) =k , 2 1 ? 2k
2

化简可得 4k +1=2,或 k =0, 解得 k= ?

2

1 ,或 k=0, 2 1 ,或 k=0.?????????????13 分 2 1 ? ln x , x2

即存在满足条件的 k 值,k= ?

21.解: (I)∵ f ( ) ? ?e , f ?( x) ? ∴ 切线斜率为 k= f ?( ) ? 2e 2 , 故所求的切线方程为 y+e=2e (x(II) g ?( x) ?
2

1 e

1 e

1 2 ),即 y=2e x-3e.?????????3 分 e

m 1 ? , 2 x2

当 m≥0 时, g ?( x) >0 恒成立,无单调递减区间; 当 m<0 时,由 g ?( x) <0 可解得 x<- ?

2 2 或 x> ? , m m 2 2 )和( ? ,+∞). ??????7 分 m m

∴ g(x)的单调递减区间为(-∞,- ?

(Ⅲ)原命题转化为 f(x)-g(x)<0 在(0,+∞)上恒成立, 即 lnx-

1 2 mx -(m-1)x+1<0 在(0,+∞)上恒成立, (*) 2 1 2 mx -(m-1)x+1,即 hmax(x)<0. ???????????8 分 2

令 h(x)= lnx∵ h?( x) ?

1 (mx ? 1)( x ? 1) , ? mx ? (m ?1) ? ? x x

∴ 当 m≤0 时, h?( x) >0,此时 h(x)在(0,+∞)上单调递增,
-6-

而 h(1)= ?

3m +2>0,故命题(*)不成立; 2

当 m>0 时,由 h?( x) >0 解得 0<x< ∴ 此时 h(x)在(0, ∴ hmax(x)=h(

1 1 ,由 h?( x) <0 解得 x> , m m

1 1 )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减, m m

1 1 )=-lnm+ ,??????????????????11 分 2m m

令 φ (m)=-lnm+

1 , 2m 1 在(0,+∞)上均是减函数, 2m

由函数 y=-lnm 与函数 y=

知函数 φ (m) 在(0,+∞)上是减函数. ∵ 当 m=1 时,则 φ (1)=

1 >0, 2 1 1 1 <-ln e + =- <0, 4 4 4

当 m=2 时,φ (2)=-ln2+ ∴ 当 m≥2 时,φ (m)<0,

即整数 m 的最小值为 2. ????????????????????14 分

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