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2015高考一轮复习人教A数学第三章三角函数与解三角形人教A数学第三章第二节


第二节
备考 考什么

同角三角函数的基本关系与诱导公式
领航 怎么考

1.理解同角三角函数的基本关系 sin x 式:sin2x+cos2x=1,cos x=tan 1. 利用同角三角函数的基本关 系及诱导公式求值或化简三角 x. 函数式是考查重点. 2.能利用单位圆中的三角函数线 2. 主要以选择题、填空题的形 π 推导出 2 ±α ,π ±α 的正弦、 式考查. 余弦、正切的诱导公式.

[主干知识梳理] 一、同角三角函数的基本关系式

sin α +cos α =1(α∈R) . 1.平方关系: ________________________ sin α π α= (α≠kπ + 2 ,k∈Z) . 2.商数关系:Tan _________________________________ cos α

2

2

kπ 对于角“ 2 ±α ”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符 kπ 号看象限”,意思是说 2 ±α ,k∈Z 的三角函数值等于“当 k 为奇 数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不变,然后 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号.”

[基础自测自评] 1.sin 585°的值为( 2 A.- 2 3 C.- 2
【解析】

) 2 B. 2 3 D. 2

sin 585°=sin(360°+225°)

=sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45° 2 =- 2 .

【答案】 A

π 2. (教材习题改编)已知 sin (π +θ)=- 3cos(2π -θ), |θ|< 2 , 则 θ 等于( π A.- 6 π C. 6 ) π B.- 3 π D. 3

【解析】

因 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ)

∴-sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3. π π ∵|θ|< 2 ,∴θ= 3 .

【答案】 D

3.若 tan α =2,则 A.0 C.1

2sin α -cos α 的值为( sin α +2cos α 3 B.4 5 D.4

)

【解析】

2sin α-cos α 2tan α-1 2?2-1 3 = = =4. sin α+2cos α tan α+2 2+2

【答案】 B

4.(2013· 广西调研)若f(cos x)=cos 3x,则f(sin 30°)的值为________. 【解析】 ∵f(cos x)=cos 3x, ∴f(sin 30°)=f(cos 60°) =cos (3?60°)=cos 180°=-1. 【答案】 -1

? 3π ? 1 ? ? 5. (教材习题改编)如果 sin(π +A)=2, 那么 cos? - A ?的值是________. ? 2 ?

【解析】

1 1 ∵sin(π+A)=2,∴-sin A=2. 1 A=2.

?3 ? ? ∴cos?2π-A? ?=-sin ? ?

【答案】

1 2

考向一

同角三角函数的基本关系 π 1 已知- 2 <x<0,sin x+cos x=5.

(1)求 sin x-cos x 的值; (2)求 tan x 的值.

1 [听课记录] (1)由 sin x+cos x=5, 1 平方得 sin2x+2sin xcos x+cos2x=25, 24 即 2sin xcos x=-25, 49 ∵(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=25. π 又∵- 2 <x<0,∴sin x<0,cos x>0,sin x-cos x<0, 7 故 sin x-cos x=-5.

7 (2)由(1)得 sin x-cos x=-5, 1 ? sin x + cos x = ? 5 3 4 故由? ,得 sin x=-5,cos x=5, 7 sin x - cos x =- ? ? 5 3 -5 sin x 3 ∴tan x=cos x= 4 =-4. 5

sin α +3cos α (2013· 潍坊模拟)已知 =5,则 sin2α -sin 3cos α -sin α α cos α 的值是( 2 A.5 C.-2 [听课记录] 由 即 tan α=2. 所以 sin2α-sin αcos α sin2α-sin αcos α tan2α-tan α 2 = = =5. sin2α+cos2α tan2α+1 ) 2 B.-5 D.2 sin α+3cos α tan α+3 =5,得 =5, 3cos α-sin α 3-tan α

[答案] A

[巧练模拟] 3 1. (2013· 河南联考)已知 tan α = 3, π <α<2π , 则 sin α -cos α 的值是( ) 1+ 3 B. 2 1+ 5 D. 2 3π ∵tan α= 3且π<α< 2 , 1- 3 A. 2 1- 5 C. 2

【解析】

∴sin α<0,cos α<0, 3 ? sin α =- ?sin α= 3cos α ? 2 由? 2 得 , ? 2 1 sin α + cos α = 1 ? ? ?cos α=-2 ∴sin α-cos α= 【答案】 A 1- 3 2 .

2.(2013· 长沙模拟)若角 α 的终边落在第三象限,则 2sin α 的值为( 1-cos2α A.3 C.1 ) B.-3 D.-1

cos α + 1-sin2α

【解析】 由角 α 的终边落在第三象限得 sin α<0,cos

α<0, 故原式=
-2=-3.

cos α 2sin α cos α 2sin α + = + =-1 |cos α| |sin α| -cos α -sin α

【答案】 B

考向二

诱导公式 1 (2013· 安阳模拟)已知 α∈(-π ,0),tan(3π+α)=aloga3(a

>0,且 a≠1),则 10 A. 10 10 B.- 10 3 10 C. 10 3 10 D.- 10

?3 cos? ?2π ?

? +α? ?的值为( ?

)

1 [听课记录] 由题意可知 tan(3π+α)=3,
?π ? ?3 ? 1 ? ? ? ∴tan α=3,cos?2π+α?=cos? -α? ?=sin α. ? ? ?2 ? 10 ∵α∈(-π,0),∴sin α=- 10 .

[答案] B

[巧练模拟] 3.(2013· 滨州模拟)sin 600°+tan 240°的值等于( 3 A.- 2 1 C. 3-2 3 B. 2 1 D. 3+2 )

【解析】 sin 600°+tan 240°=sin(720°-120°)+tan(180°+ 3 3 60°)=-sin 120°+tan 60°=- 2 + 3= 2 . 【答案】 B

4.(2013· 聊城模拟)已知 f(x)=asin(π x+α)+bcos(π x+β)+4(a,b,α, β 为非零实数),f(2 011)=5,则 f(2 012)=( A.3 C.1 B.5 D.不能确定 )

【解析】

f(2 011)=asin(2 011π+α)+bcos(2 011π+β)+4

=asin(π+α)+bcos(π+β)+4 =-asin α-bcos β+4=5. ∴asin α+bcos β=-1. ∴f(2 012)=asin(2 012π+α)+bcos(2 012π+β)+4 =asin α+bcos β+4=-1+4=3.

【答案】 A

考向三

三角形中的诱导公式 在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2sin(π -B), 3cos A=

- 2cos(π -B),求△ABC 的三个内角. ① ?sin A= 2sin B [听课记录] 由已知得? ? 3cos A= 2cos B ② 2 2 ①2+②2 得 2cos2A=1,即 cos A= 2 或 cos A=- 2 . 2 3 (1)当 cos A= 2 时,cos B= 2 , π π 又 A、B 是三角形的内角,∴A= 4 ,B= 6 , 7 ∴C=π-(A+B)=12π.

2 3 (2)当 cos A=- 2 时,cos B=- 2 . 又 A、B 是三角形的内角, 3 5 ∴A=4π,B=6π,不合题意. π π 7 综上知,A= 4 ,B= 6 ,C=12π.

[巧练模拟] 1 5.△ABC 中,cos A=3,则 sin(B+C)=________.

【解析】

∵△ABC 中,A+B+C=π, 2 2 1-cos2A= 3 .

∴sin(B+C)=sin(π-A)=sin A=

【答案】

2 2 3

6.在锐角△ABC 中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.

【证明】

∵△ABC 是锐角三角形,

π π π ∴A+B> 2 ,即 2 >A> 2 -B>0,
?π ? ? A>sin? -B? ?,即 ?2 ?

∴sin

sin A>cos B;

同理 sin B>cos C;sin C>cos A,

∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.

易错矫正(七)

由于“平方”产生增解而致误 3-1 2 ,

(2013· 九江调研)已知 θ∈(0,π ),sin θ +cos θ = 则 tan θ 的值为( 3 A.- 3或- 3 C.- 3 【失误展板】 ) 3 B.- 3 3 D.- 2

【错解】

由 sin

θ+cos θ=

3-1 2 两边平方得:

3 1+2sin θ·cos θ=1- 2 , 3 即 sin θ·cos θ=- 4 , ∴sin θ·cos θ= 3 =- 4 , 3 解之得 tan θ=- 3或 tan θ=- 3 . 3-1 【错因】 由 sin θ+cos θ= 2 两边平方扩大了 θ 的取值 范围引起增解. sin θ·cos θ tan θ = sin2θ+cos2θ 1+tan2θ

【正确解答】 3-1 3 法一: 由 sin θ +cos θ = 2 两边平方得 sin θ ? cos θ =- 4 , sin θ ?cos θ tan θ 3 由 sin θ ?cos θ = 2 = =- 4 , 2 2 sin θ +cos θ 1+tan θ 3 解得 tan θ =- 3或 tan θ =- 3 , 1 由于 θ∈(0,π ),0<sin θ +cos θ =2( 3-1)<1, ?π ? ? ∴θ ∈? ,π ? ?,|sin θ |>|cos θ |. ?2 ? ?π 3 ? ? ∴|tan θ |>1,即 θ∈? , π ? . 4 ? ?2 ? 3 ∴tan θ <-1,∴tan θ =- 3 ,舍去. 故 tan θ =- 3.

3-1 2 , 3 两边平方得 sin θ ?cos θ =- 4 , 法二:由 sin θ +cos θ = ∴(sin
? =? ? ?

3 4+2 3 θ -cos θ )2=1-2sin θ ?cos θ =1+ 2 = 4

1 ∵θ ∈(0,π ),sin θ +cos θ =2( 3-1)<1, ?π ? ? ∴θ ∈? ,π ? ?. ?2 ? ∴sin θ -cos θ >0.

3+1? ?2 . 2 ? ?

∴sin θ -cos θ =

3+1 2 .

?sin ? 由? ? ?sin

3-1 θ +cos θ = 2 , θ -cos θ = 3+1 2 ,

3 1 得 sin θ = 2 ,cos θ =-2.∴tan θ =- 3.

【答案】 C


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