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第3课 因式分解



近三年浙江中考试题分布
热门考点 1. 因式分解的 概念 2.提取公因式 法分解因式 3.公式法分解 因式

2016年 杭州T13,4分 温州T11,5分 宁波T14,4分 台州T11,5分 丽水T11,4分 绍兴、义乌T11,5分 嘉兴、舟山T11,4分

2015年

2014年 杭州T19,8分 温州

T11,5分 绍兴T11,5分 台州T13,5分 金华、义乌T7,3分

杭州T12,4分 温州T11,4分 宁波T14,4分 台州T6,4分 金华T13,4分 丽水T11,4分 绍兴、义乌T11,5分 嘉兴、舟山T11,5分

考点一 因式分解的概念
考点清单
把一个多项式化成几个整式的积的形式, 叫作因式分 解.因式分解和整式的乘法有互逆关系.

要点点拨
注意因式分解与整式的乘法的区分,避免混淆.因式 分解的对错可以用整式的乘法运算来检验.

判断一种变形是否属于因式分解,关键是看: ①结果是否为几个整式的积;②是否为恒等变形.

特别关注

【典例 1】 (2014· 海南)下列式子从左到右的变形中,属 于因式分解的是 ( ) A. a2+4a-21=a(a+4)-21 B. a2+4a-21=(a-3)(a+7) C. (a-3)(a+7)=a2+4a-21 D. a2+4a-21=(a+2)2-25

【点评】 本题主要考查因式分解的概念,掌握其概念是 解题的关键. 【解析】 因式分解的最后结果应是几个整式的积,可知 只有 B 符合,故选 B. 【答案】 B

考点二 提取公因式法分解因式
考点清单
1.一个多项式中每一项都含有的相同的因式,叫作这个多项式各 项的公因式. 2.如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提取出 来进行因式分解.这种分解因式的方法,叫作提取公因式法. 提取公因式法用公式可以表示为 ma+mb+mc=m(a+b+c), 其分解步骤为: (1)确定应提取的公因式:公因式为各项系数的最大公约数(当系 数是整数时)与各项都含有的相同字母的最低次幂的积. (2)用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个因式. (3)把多项式写成这两个因式的积的形式.

3.提取公因式法常用的变形: n ( b - a ) (n 为偶数) , n a-b=-(b-a),(a-b) = -(b-a)n(n 为奇数).

要点点拨
1.公因式可以是单项式,也可以是多项式,要灵活提取 公因式. 2.一般而言,公因式的正负常和首项系数的正负相同.
特别关注 当某项恰好为公因式时,提取公因式后,该

项应为 1,不可漏掉.

【典例 2】 分解因式: (1)(2016·浙江宁波)x 2-xy= . (2)(2016·安徽模拟)m (a-b)-n (b-a)=



【点评】 本题主要考查用提取公因式法分解因式,准确 提取公因式是解题的关键.
【解析】 (1)原式=x(x-y).

(2)原式=m(a-b)+n(a-b)=(a-b)(m+n).

【答案】 (1)x (x -y) (2)(a-b)(m +n)

考点三 公式法分解因式
考点清单
1.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).
2.完全平方公式:a2± 2ab+b2=(a± b)2.

3.运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法 叫作公式法.

要点点拨
1.用平方差公式分解因式时,关键是将多项式转化为符 合公式特点的形式(即 a2-b2 的形式),公式中的 a,b 可以是单项式,也可以是多项式,注意整体思想的应 用. 2.用完全平方公式分解因式的关键是掌握完全平方公式 的特征,能准确找出完全平方式.

特别关注

一个多项式有公因式时,首先要提取公因式,

再用公式法进行因式分解,而且分解要彻底 .

【典例 3】 分解因式: (1)(2016· 浙江台州)x2-6x+9= (2)(2015· 湖南株洲)x2(x-2)-16(x-2)=

. .

【点评】 本题主要考查用提取公因式法和公式法分解因 式,准确利用公式,并使分解彻底是解题的关键.

【解析】 (1)直接运用完全平方公式,得 x2-6x+9=(x-3)2. (2)原式=(x2-16)(x-2)=(x+4)(x-4)(x-2).

【答案】 (1)(x-3)2

(2)(x+4)(x-4)(x-2)

【典例 4】 (2016· 黑龙江大庆)已知 a+b=3,ab=2,求 代数式 a3b+2a2b2+ab3 的值.

【点评】 本题主要考查用提取公因式法和公式法分解因 式,注意整体思想的应用.

【解析】 原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2, 当 a+b=3,ab=2 时,原式=2× 32=18, 即代数式 a3b+2a2b2+ab3 的值是 18.

本课常以填空题的形式考查,一般都属于基础题.因 式分解的解题步骤建议如下:①若各项有公因式,先提取 公因式; ②再看能否用平方差公式或完全平方公式分解因 式;③若仍无法分解,考虑用十字相乘法或分组分解法来 分解因式;④检查因式分解是否彻底.将分解后的每个因 式化简整理后,把它作为一个新的多项式,再重复以上步 骤进行思考,直至不能再分解为止.常用的变形技巧:当 n 为奇数时,(a-b)n=-(b-a)n;当 n 为偶数时,(a-b)n =(b-a)n.在本课中,要注意整体思想的应用.

【例 1】 (2016· 福建福州)若 x+y=10,xy=1,则 x3y+ xy3 的值是____.
提 示

x2+y2=(x+y)2-2xy.

【解析】 原式=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy]=1× (102- 2× 1)=98.

【答案】 98

【例 2】 分解因式: (1)(2016· 陕西模拟)x3-5x2+6x= (2)(2015· 云南)16-8(x-y)+(x-y)2= (3)(2016· 山东模拟)a3+a2-a-1=

. . .

【解析】 (1)原式=x(x2-5x+6)=x(x-3)(x-2).

(2)原式=42-2× 4(x-y)+(x-y)2=(4-x+y)2.

(3)原式=a2(a+1)-(a+1)=(a+1)(a2-1) =(a+1)2(a-1). 【答案】 (1)x(x-3)(x-2) (2)(4-x+y)2

(3)(a+1)2(a-1)

【例 3】 (2015· 重庆)如果把一个自然数各数位上的数字 从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最 高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样 的自然数称为“和谐数”.例如自然数 12321,从最高 位到个位依次排出的一串数字是:1,2,3,2,1,从 个位到最高位依次排出的一串数字仍是:1,2,3,2, 1,因此 12321 是一个“和谐数”.再如 22,545,3883, 345543,…,都是“和谐数”. (1)请你直接写出 3 个四位“和谐数”.请你猜想任意一 个四位“和谐数”能否被 11 整除,并说明理由. (2)已知一个能被 11 整除的三位“和谐数”, 设其个位上 的数字为 x(1≤x≤4),十位上的数字为 y,求 y 关于 x 的函数表达式.

【解析】 (1)四位“和谐数”:1221,1331,1111 (答案不唯

一).任意一个四位“和谐数”都能被 11 整除.理由如下: 设任意四位“和谐数”的形式为 abcd, 则 a=d,b=c. ∴abcd÷ 11=(1000a+100b+10c+d)÷ 11=(1000a+100b +10b+a)÷ 11=91a+10b,结果为正整数, ∴任意一个四位“和谐数”都能被 11 整除. (2)设能被 11 整除的三位“和谐数”为 xyz,则 x=z. ∴xyz÷ 11=(101x+10y)÷ 11=(99x+11y+2x-y)÷ 11=9x 2x- y +y+ . 11 ∵结果为正整数,1≤x≤4,1≤y≤9,x,y 为自然数, 2x- y ∴ =0,∴y=2x(1≤x≤4,x 为自然数) . 11

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