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2.3等差数列的前n项和公式(第1课时)2012.5.11



2.3等差数列的前n 2.3等差数列的前n项和 等差数列的前

泰姬陵坐落于印 度距首都新德里200 度距首都新德里200 多公里外的北方邦的 阿格拉市, 阿格拉市,是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙 杰罕为纪念其爱妃所 她宏伟壮观, 建,她宏伟壮观,纯 白大理石砌建而成的 主体建筑令人心醉神 陵寝以宝石镶嵌, 迷,陵寝以宝石镶嵌, 图案细致,绚丽夺目、 图案细致,绚丽夺目、 美丽无比,令人叫绝. 美丽无比,令人叫绝. 成为世界八大奇迹之 一.

传说陵寝中有一个三角形图案, 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大 小的圆宝石镶饰而成,共有100 100层 小的圆宝石镶饰而成 , 共有 100 层 ( 见左 奢靡之程度,可见一斑。 图),奢靡之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗? 你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

问题呈现

问题1 问题1:
一个堆放铅笔的V形架的最 一个堆放铅笔的 形架的最 下面一层放一支铅笔, 下面一层放一支铅笔,往 上每一层都比它下面一层 多放一支, 多放一支,最上面一层放 100支.这个 形架上共放着 这个V形架上共放着 支 这个 多少支铅笔? 多少支铅笔? 问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=?” ?

德国古代著名数学家高斯10 德国古代著名数学家高斯 岁的时候很快就解决了这个问题: 岁的时候很快就解决了这个问题 : 1+2+3+…+ 100=?你知道高斯 + + + ? 是怎样算出来的吗? 是怎样算出来的吗?

高斯( 高斯(Gauss,1777— 1855),德国著名数学 ),德国著名数学 ), 家,他研究的内容涉及 数学的各个领域, 数学的各个领域,是历 史上最伟大的数学家之 被誉为“ 一,被誉为“数学王 子”.

问题2: 问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=? 求和 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n

S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1 n( n + 1) ∴ 2 S = n ( n + 1) ∴ S = 2
上述求解过程带给我们什么启示? 上述求解过程带给我们什么启示? (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示; 所求的和可以用首项、末项及项数来表示; 所求的和可以用首项 (2)等差数列中任意的第 项与倒数第 项的和都 等差数列中任意的第k项与倒数第 等差数列中任意的第 项与倒数第k项的和都 等于首项与末项的和。 等于首项与末项的和。

问题3 的首项为a 公差为d, 问题3:设等差数列 {an} 的首项为 1,公差为 ,如 何求等差数列的前n项和 项和S 何求等差数列的前 项和 n= a1 +a2+a3+…+an?

解: 1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an S=a S=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1
因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 两式左右分别相加,得 两式左右分别相加,

倒序相加
变式: 变式:能否用 ,n,d表示 表示S a1,n,d表示Sn?

2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
n(a1 + an ) an=a1+(n-1)d n(n ? 1) ∴ Sn = Sn = na1 + d 2 2

如何求等差数列{an }的前n项和Sn ? 问题4:
Sn = a1 + (a1 + d ) + L + [a1 + n ? 1)d ] ( Sn = an + (an ? d ) + L + [an ? (n ? 1)d ]

2 S n = n(a1 + an )
an = a1 + (n ? 1)d

n(a1 + an ) 公式1 S n = 2
n(n ? 1) 公式 2 Sn = na1 + d 2

求和公式 等差数列的前n项和的公式: 等差数列的前 项和的公式: 项和的公式 n(a1 + an ) Sn = 2
an = a1 + (n ? 1)d

n(n ? 1) S n = na1 + d 2

公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 项和公式. 列前 n 项和公式

a1 n an

n(a1 + an ) Sn = 2

根据下列条件, 例1:根据下列条件,求相应的等差数列 根据下列条件

{an }



(1) a 1 = 5 , a n = 95 , n = 10 ;
∴ S 10

( 2 ) a 1 = 100 , d = ? 2 , n = 50 ;
S 50

10 × ( 5 + 95 ) = = 500 . 2

n(a1 + an ) Sn = 2
n(n ?1) Sn = na1 + d 2

Sn

50 50 ? 1) ( = 50 × 100 + × ( ? 2 ) = 2550 2

( 3 ) a 1 = 14 . 5 , d = 0 . 7 , a n = 32 .
32 ? 14.5 + 1 = 26, ∴ n= 0. 7

S 26

26 × (14 . 5 + 32 ) an = =1604 n5? 1)d a +(. . = 2

例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在 2000年11月14日教育部下发了《 日教育部下发了 中小学实施“校校通”工程的通知》 中小学实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标: 2001年起用10年 年起用10 了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年 的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。 的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测 2001年该市用于 校校通”工程的经费为500 年该市用于“ 500万 算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万 为了保证工程的顺利实施, 元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金 都比上一年增加50万元。那么, 2001年起的未来 50万元 年起的未来10 都比上一年增加50万元。那么,从2001年起的未来10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 由题意,该市在“ 求什么, 解:由题意,该市在“校校通”工程中每年投入 分析: 找关键句; 求什么,如何求; 分析:①找关键句;②校校通” 如何求; 的资金构成等差数列{a , 的资金构成等差数列 n},且a1=500,d=50,n=10. 该市在未来10年内的总投入为 年内的总投入为: 故,该市在未来 年内的总投入为:
10 × (10 ? 1) S10 = 10 × 500 + × 50 = 7250 ( 万元 ) 2



例3 求集合 M = m | m = 7n, n ∈ N + , 且m < 100 的元素个数,并求这些元素的和. 的元素个数,并求这些元素的和

{

}

100 解:Q 7 n < 100 ∴ n < 7
所以集合M中的元素共有 个 所以集合 中的元素共有14个. 中的元素共有

2 = 14 7

将它们从小到大列出, 将它们从小到大列出,得

7 , 2×7, 3×7, 4×7,


L,

14 × 7,
n(a1 + an ) Sn = 2

7,14,21,28,…,98 , , , , , 这个数列是成等差数列, 这个数列是成等差数列,记为 {an }

Q a1 = 7, a14 = 98, n = 14
14 × (7 + 98) ∴ S14 = = 735. 2

共有14个元素 答:集合M共有 个元素,它们的和等于 集合 共有 个元素,它们的和等于735.

项的和是310, 例4、已知一个等差数列的前 项的和是 、已知一个等差数列的前10项的和是 , 项的和是1220,由此可以确定求其前 项 前20项的和是 项的和是 ,由此可以确定求其前n项 和的公式吗? 和的公式吗?
解:由于S10=310,S20=1220,将它们代 由于 , , 入公式 n(n ? 1) 可得

2 ? ? 10a1 + 45d = 310 于是,a1 = 4 ? ? ?d = 6 20a1 + 190d = 1220 ?

S n = na1 +

d

所以

n(n ? 1) 2 Sn = n × 4 + × 6=3n + n 2

项的和是310, 例4、已知一个等差数列的前 项的和是 , 、已知一个等差数列的前10项的和是 项的和是1220,由此可以确定求其前 项和 前20项的和是 项的和是 ,由此可以确定求其前n项和 的公式吗? 的公式吗?
1 0 ( a1 + a1 0 ) 另解: 1 0 = = 3 1 0 ? a1 + a1 0 = 6 2 ① S 2 2 0 ( a1 + a 2 0 ) S 20 = = 1 2 2 0 ? a1 + a 2 0 = 1 2 2 ② 2

两式相减得

( n ? 1) n S n = a1 n + d = 3n 2 + n 2

∴d = 6

a20 ? a10 = 60 ∴10d = 60

a1 = 4

两个等差数列2, , 两个等差数列 ,6, 10,…,190和2,8, , , 和 , , 14,…200,由这两个等差 , 由这两个等差 数列的公共项按从小到大 的顺序组成一个新数列,求 的顺序组成一个新数列 求 这个新数列的各项之和. 这个新数列的各项之和

解法:通项公式分别是an=2+(n-1)·4 bn=2+(n-1)·6 观察:
2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,… 2,8,14,20,26,32,38,77,50,39,43,47,51,…

因此,这两个数列相同项组成一个首项c1=2, 公差 d=12的等差数列{cn} 因为,相同的项不大于190和200中的较小者, 1 所以, cn=2+(n-1)·12≤190 得 n≤16 又 n∈N* 3 故这两个数列中相同的项共有16个。从而这个 16 ×15 新数列的各项之和为

S = 16 × 2 +

2

×12 = 1472

练习1 练习1、计算 提示: 提示: (1) 5+6+7+…+79+80 3230 n=76 (2) 1+3+5+ +(2n-1) n2 1+3+5+…+ 法二: 法二: 3)1-2+3-4+5-6+ +(2n-1)-2n -n 2+3-4+5-6+…+ n(
1 ( 2 ) 解:+ 3 + 5 + …+ ( 2n ? 1) = 2 n ? 2n 2 = =n 2 ( 3 ) 解:原式=1 + 3 + 5 + …+ ( 2n ? 1) ? ( 2+4+6+…+2n ) n ?1 + ( 2 n ? 1) ? n ( 2 + 2 n ) ?? 2 = ? = n ? n ( n + 1) = ? n

n ?1 + ( 2 n ? 1) ? ? ?

2

2

练习2.已知等差数列 的前n项和为 练习 已知等差数列{an}的前 项和为 n, 已知等差数列 的前 项和为S 若a4+a5=18,则S8等于(D 等于( ) , A.18 B.36 C.54 D.72

课堂小结

( 1.等差数列前n项和的公式; 两个) 等差数列前n项和的公式; 两个)

n(a1 + an ) Sn = 2

n(n ? 1) S n = na1 + d 2

2.等差数列前n项和公式的推导方法— 等差数列前n项和公式的推导方法 —倒序相加法; 倒序相加法; 倒序相加法 3.公式的应用(知三求一) 3.公式的应用(知三求一)。 公式的应用

课后作业
1.教材P52 A组1(3)(4),2,3,4,5,6 2. 在等差数列 n}中, 在等差数列{a 中 (1)已知 2+a5+a12+a15=36,求a16; )已知a 求 (2)已知 6=20, 求S11. )已知a
3.在等差数列 n}中, 在等差数列{a 中 在等差数列 (1)若a1+a2=p,a3+a4=q.求其前 项的和 6; 若 项的和S , .求其前6项的和 (2)若a2+a4=p,a3+a5=q.求其前 项的和 6. 若 项的和S , .求其前6项的和

2.(1)18(2)220 3. (1) 2p+2q (2)3(p+q)/2



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