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2013届高考文科数学第一轮复习测试题22



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命题要点:函数的零点与方程的根?′11年3考,′10年2考?. A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) ). D.(1,2) 满分:60 分)

1 解析 依题意知 f(-2)= -6<0, 4 1 f(-1)=2-3<0,f(0)=1>0, f(1)>0,f(2)>0,f(-1)· f(0)<0, 因此在区间(-1,0)上一定有零点. 答案 B 2.(★)方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是( A.1 C.3 ). B.2 D.4

解析 (数形结合法)∵a>0, 2+1>1.而 y=|x2-2x|的图象如图, ∴a ∴y=|x2-2x| 的图象与 y=a2+1 的图象总有两个交点.∴方程有两解.

答案 B 【点评】 本题采用数形结合法解题,画出对应函数的图象,观察函数的交点情 况确定解的个数. 3.已知函数 f(x)在区间(a,b)上单调,且 f(a)· f(b)<0,则函数 f(x)在区间(a,b) 上 ( A.至少有三个零点 C.没有零点 B.可能有两个零点 D.必有唯一的零点
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).

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解析 ∵函数 f(x)在(a,b)上单调,其图象与 x 轴至多有一个交点,又∵f(a)· f(b) <0,∴必有一个交点,即函数 f(x)在(a,b)内必有唯一的零点. 答案 D ?1? 4.(2012· 华南师大附中月考)已知函数 f(x)=?3?x-log2x,若实数 x0 是函数 f(x)的 ? ? 零点,且 0<x1<x0,则 f(x1)的值( A.恒为正值 B.等于 0 ). C.恒为负值 D.不大于 0

?1? 解析 根据指数函数与对数函数的单调性可以推知函数 f(x)=?3?x-log2x,在(0, ? ? +∞)上单调递减,函数 f(x)在(0,+∞)上至多有一个零点,若有零点的话,零 点左侧的函数值恒为正,右侧的函数值恒为负.对于 0<x1<x0,f(x1)的值恒为正 值. 答案 A 5.若 x0 是方程 lg x+x=2 的解,则 x0 属于区间( A.(0,1) C.(1.25,1.75) 解析 令 f(x)=lg x+x-2,知 f(2)=lg 2>0, ?7? 49×49 50×50 2 500 ∵?4?4= 256 < 256 = 256 <10, ? ? 7 7 1 7 ?7? ∴lg ?4?4<lg 10,即 4lg4<1,lg4<4,lg4<0.25. ? ? 7 1 ∴f(1.75)=lg 4-4<0,∴f(x)在(1.75,2)上有零点, ∴方程 lg x+x=2 的解 x0∈(1.75,2),故选 D. 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 东北师大附中模拟)函数 f(x)=-x2+x-lg x 的零点个数为________. 解析 方程变形为 lg x=-x2+x, 记 g(x)=lg x,h(x)=-x2+x, 在同一直角坐标系下画出函数 g(x)=lg x 与 h(x)=-x2+x 的图象, 结合图象可知 这两个函数的图象仅有唯一公共点,函数 f(x)的零点个数为 1. 答案 1
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). B.(1,1.25) D.(1.75,2)

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7.(2011· 厦门模拟)函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内, 则 n=________. 解析 求函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点, 可以大致估算两个相邻自然数的函数值, 如 f(2)=-1+ln 2,由于 ln 2<ln e=1,所以 f(2)<0,f(3)=2+ln 3,由于 ln 3 >1,所以 f(3)>0,所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内,故 n=2. 答案 2 8.已知函数 f(x)=x2+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内,则实数 k 的取值范围是 ________. 解析 因为 Δ=(1-k)2+4k=(1+k)2≥0 对一切 k∈R 恒成立,又 k=-1 时,f(x) 的零点 x=-1?(2,3),故要使函数 f(x)=x2+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内,则 必有 f(2)· f(3)<0,即 2<k<3. 答案 (2,3) 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)若函数 f(x)=ax2-x-1 有且仅有一个零点,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=0 时,函数 f(x)=-x-1 为一次函数,则-1 是函数的零点,即函 数仅有一个零点. (2)当 a≠0 时,函数 f(x)=ax2-x-1 为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二 1 次方程 ax2-x-1=0 有两个相等实根.∴Δ=1+4a=0,解得 a=-4. 1 综上,当 a=0 或 a=-4时,函数仅有一个零点. 10.(12 分)关于 x 的方程 mx2+2(m+3)x+2m+14=0 有两实根,且一个大于 4, 一个小于 4,求实数 m 的取值范围. 解 令 f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14, ?m>0, ?m<0, 依题意得? 或? ?f?4?<0 ?f?4?>0, ?m>0, ?m<0, 即? 或? ?26m+38<0 ?26m+38>0. 19 解得-13<m<0,

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? 19 ? 即实数 m 的取值范围是?-13,0?. ? ?

B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.若函数 f(x)在(1,2)内有一个零点,要使零点的近似值的精确度为 0.01,则需对 区间(1,2)至少二等分( A.5 次 B.6 次 ). C.7 次 D.8 次 满分:40 分)

解析 设对区间(1,2)至少二等分 n 次,由于区间长为 1,第 1 次二等分后区间长 1 1 1 为2,第 2 次二等分后区间长为22,第 3 次二等分后区间长为23,…,第 n 次二 1 1 等分后区间长为2n, 依题意得2n<0.01, ∴n>log2100.由于 6<log2100<7, ∴n≥7, 即 n=7 为所求. 答案 C 2.(2011· 安阳模拟)设函数 f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中,函数 f(x)不存 在零点的是( A.[-4,-2] C.[0,2] ). B.[-2,0] D.[2,4]

解析 f(0)=4sin 1>0,f(2)=4sin 5-2,由于 π<5<2π,所以 sin 5<0,故 f(2) <0,故函数 f(x)在[0,2]上存在零点;由于 f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数 f(x) 在[-1,0]上存在零点,也在[-2,0]上存在零点;令 x= 5π-2 ?5π-2? ? ? 4 ∈(2,4),则 f? 4 ?

5π 5π-2 =4sin 2 - 4 >0,而 f(2)<0,所以函数在[2,4]上存在零点,故函数在[-4, -2]上不存在零点. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 设函数 y=ax(a>0, a≠1)和函数 y=x+a, 且 则函数 f(x)=ax-x-a(a>0,
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且 a≠1)有两个零点, 就是函数 y=ax(a>0, a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点, 且 由图象可知当 0<a<1 时两函数只有一个交点,不符合;如图所示,当 a>1 时, 因为函数 y=ax(a>1)的图象过点(0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1) 的上方,所以一定有两个交点,所以实数 a 的取值范围是 a>1.

答案 (1,+∞) 4. (2011· 常州模拟)若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3, 则不等式 af(- 2x)>0 的解集是________. 解析 ∵f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2,3. ∴-2,3 是方程 x2+ax+b=0 的两根, ?-2+3=-a, ?a=-1, 由根与系数的关系知? ∴? ?-2×3=b, ?b=-6, ∴f(x)=x2-x-6. ∵不等式 af(-2x)>0, 即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0,
? ? 3 ? ? ? 解集为?x?-2 <x<1?. ? ? ? ? ?

答案

? ? 3 ? ?x?- ? ? ? 2

<x<1?
? ?

? ?

三、解答题(共 22 分) 5.(★)(10 分)(2011· 岳阳期末)已知函数 f(x)=4x+m·x+1 有且仅有一个零点,求 2 m 的取值范围,并求出该零点. 思路分析 由题意可知, 方程 4x+m·x+1=0 仅有一个实根, 2 再利用换元法求解. 解 ∵f(x)=4x+m·x+1 有且仅有一个零点, 2 即方程(2x)2+m·x+1=0 仅有一个实根. 2 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0 时,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去),
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∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ>0 时,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有两正或两负根, 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的,函数问题可以转化为方程问题 来解决, 方程问题也可以转化为函数问题来解决,本题就是函数的零点的问题转 化为方程根的问题. 6.(12 分)(1)m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4. ①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解 (1)①f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点?方程 f(x)=0 有两个相等实 根?Δ=0,即 4m2-4(3m+4)=0,即 m2-3m-4=0,∴m=4 或 m=-1. ②法一 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2,

则 x1+x2=-2m,x1·2=3m+4. x

?Δ=4m -4?3m+4?>0 由题意,在??x1+1??x2+1?>0 ??x1+1?+?x2+1?>0 ?m -3m-4>0 ?3m+4-2m+1>0 ?-2m+2>0
2

2

?

?m>4或m<-1, ??m>-5, ?m<1, ?m -3m-4>0, 即?m<1, ?1-2m+3m+4>0.
2

∴-5<m<-1.故 m 的取值范围为(-5,-1).

法二

?Δ>0, 由题意,知?-m>-1, ?f?-1?>0,

∴-5<m<-1.∴m 的取值范围为(-5,-1). (2)令 f(x)=0,得|4x-x2|+a=0, 即|4x-x2|=-a. 令 g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.
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作出 g(x)、h(x)的图象. 由图象可知,当 0<-a<4,即-4<a<0 时,g(x)与 h(x)的图象有 4 个交点,即 f(x)有 4 个零点.故 a 的取值范围为(-4,0).

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