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(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题:第二部分第二讲技能巩固训练(北师大版))


1.设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则 z 的模为________. 解析 ∴z= 解法一 ∵z(2-3i)=6+4i,

6+4i 26i = =2i,∴|z|=2. 2-3i 13 由 z(2-3i)=6+4i,得 z= 6+4i . 2-3i

解法二

62+42 ?6+4i? |6+4i| ?= 则|z|=? = 2 =2. ?2-3i? |2-3i| 2 +32 答案 2

2.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了 100 根棉花纤维的长度 (棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据均在区间[5,40]中,其频率分 布直方图如图所示,则在抽测的 100 根中,有________根棉花纤维的长度小于 20 mm.

解析

在频率分布直方图中小于 20 mm 的频率是

0.01×5+0.01×5+0.04×5=0.3, 故小于 20 mm 的棉花纤维的根数是 0.3×100=30. 答案 30

x 3.若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 解析 ∵a≥ x = x2+3x+1 1 1 对任意 x>0 恒成立,设 u=x+x +3,∴只需 1 x+x +3

1 1 1 a≥u恒成立即可.∵x>0,∴u≥5(当且仅当 x=1 时取等号).由 u≥5 知 0<u≤5, 1 ∴a≥5. 答案 ?1 ? ?5,+∞? ? ?

4.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边.若 a=1,b = 3,A+C=2B,则 sin C=________. 解析 在△ABC 中,A+B+C=π,

π 又 A+C=2B,故 B=3. 由正弦定理知 sin A= asin B 1 b =2.

π π 又 a<b,因此 A=6.从而可知 C=2,即 sin C=1. 答案 1

? 1? 5.(1+x+x2)?x- x?6 的展开式中的常数项为________. ? ? 解 析 ? 1? (1 + x + x2) ?x- x? ? ?
6

? 6? 1?0 = (1 + x + x2) ?C0 x ?- ? ? 6 ? x?

1?1 1?2 1?3 5? 2 4? 3 3? +C1 6x ?- x? +C6x ?- x ? +C6x ?- x ? + ? ? ? ? ? ? 1?4 1?5 2? 5 ? 6 0? 1?6? C4 6x ?- x? +C6x?-x ? +C6x ?- x ? ? ? ? ? ? ? ?? 15 6 1 ? ? x2)?x6-6x4+15x2-20+ x2 -x4+x6?, ? ? 15 所以常数项为 1×(-20)+x2· x2 =-5. 答案 -5 = (1 + x +

?2x-y+2≥0, 6.设 x,y 满足约束条件?8x-y-4≤0, ?x≥0,y≥0,
0)的最大值为 8,则 a+b 的最小值为________. 解析

若目标函数 z=abx+y(a>0,b>

如图所示,线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分, A(0,2) ,

?1 ? B?2,0?,C(1,4),当直线 l:y=-abx+z 过点 C 时,z 取最大值 8,即 8=ab+4, ? ? ∴ab=4.

又∵a>0,b>0, ∴a+b≥2 ab=2 4=4. 答案 4

7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为________.

解析

该几何体是上面是底面边长为 2 的四棱锥,下面是底面边长为 1、高为

2 的正四棱柱的组合体,其体积为 1 10 V=1×1×2+3×22×1= 3 . 答案 10 3

8.直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是________. 解析
2 ?x -x+a,x≥0, y=? 2 作出图象,如图所示. ?x +x+a,x<0,

1 此曲线与 y 轴交于(0,a)点,最小值为 a-4,要使 y=1 与其有四个交点, 1 5 只需 a-4<1<a,∴1<a<4. 答案 5? ? ?1,4? ? ?

π? ? 9.已知函数 f(x)=3sin ?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos (2x+φ)+1 的图象的对称 ? ? π? ? 轴完全相同.若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是________. ? ? 解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同,

π? ? ∴ω=2,∴f(x)=3sin ?2x-6?. ? ? π? π π 5 ? 由 x∈?0,2?,得-6≤2x-6≤6π, ? ? 3 ∴-2≤f(x)≤3. 答案 ? 3 ? ?-2,3? ? ?

10.如图,⊙O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 A.若 BD⊥AE,AB=4,BC=2, AD=3,则 DE=________;CE=________.

解析

由圆的割线定理知:AB· AC=AD· AE,

∴AE=8,∴DE=5.连接 EB,∵∠EDB=90° , ∴EB 为直径.∴∠ECB=90° . 由勾股定理,得 EB2=DB2+ED2=AB2-AD2+ED2=16-9+25=32. 在 Rt△ECB 中,EB2=BC2+CE2=4+CE2, ∴CE2=28,∴CE=2 7. 答案 5;2 7

11.已知平面向量 α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1,且 α 与 β-α 的夹角为 120° , 则|α|的取值范围是________.

解析

|β| |α| 记 θ=〈β,β-α〉 ,由正弦定理得sin 60° =sin θ,

∴|α|=sin θ×

2 2 3 = 3 sin θ. 3

2 3 又 0° <θ<120° ,∴0<sin θ≤1.即 0<|α|≤ 3 . 答案 ? 2 3? ?0, ? 3 ? ?

1 12. 已知函数 f(x)满足: f(1)=4, 4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x, y∈R), 则 f(2 010) =________. 解析 1 ∵f(1)=4,令 y=1 得

f(x)=f(x+1)+f(x-1),即 f(x+1)=f(x)-f(x-1),① f(x+2)=f(x+1)-f(x),② 由①②得 f(x+2)=-f(x-1), 即 f(x+3)=-f(x),则 f(x+6)=f(x). ∴该函数周期为 6. ∴f(2 010)=f(6×335+0)=f(0). 令 x=1,y=0 得 4f(1)f(0)=f(1)+f(1), 1 ∴f(0)=2. 1 ∴f(2 010)=2. 答案 1 2

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