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(新编)直线与双曲线的位置关系


2013 高二数学选修 2-1 导学案

编号:7

班级:

小组:

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教师评价:

§2.3 双曲线 第 3 课时 直线与双曲线的位置关系
编制人: 审核人 领导签字 学习目标 1. 熟练掌握直线与双曲线的位置关系,提高利用对方程组解的讨论来研究直线与双曲线的位置关系的能 力。 2. 自主学习,合作交流,探究由方程组解的个数确定直线与双曲线的位置关系的方法——判别式法,并 总结其规律。 3. 激情投入,全力以赴,在探究过程中体验数形结合和方程思想在解题中的应用。 重点:用代数的方法(对方程组解的讨论)来研究直线与双曲线的公共点问题。 难点:对直线与双曲线仅有一个公共点时的位置关系的应用探究 。

预习案
使用说明及学法指导 1.认真研读课本中相关基础知识,自主完成预习学案,掌握直线与双曲线的位置关 系的判断及求相交弦问题,提升自己的阅读理解能力。2.限时、认真、独立、规范完成导学案上设置的 问题,不理解的内容先画出来,准备课上小组合作探究,答疑解惑。 Ⅰ.相关知识 1、双曲线的定义是什么?双曲线的标准方程有几种形式? 2、直线与椭圆的位置关系有几种?分别是什么? 3、点与双曲线的位置关系有几种?如何判断? Ⅱ.教材助读 1.你能类比直线与椭圆的位置关系得出直线与双曲线的位置关系吗? 2.直线与双曲线的位置关系和直线与椭圆的位置关系的判断方法有什么不同? Ⅲ.预习自测 1、已知双曲线的中心在原点, 且右 焦点为 F( 7 , 0),直线 y=x-1 与双曲线交于 M, N 两点, 且线段 MN

2 ,则此双曲线的方程为( ) 3 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 A. B. 3 4 4 3 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 C. D. 5 2 2 5 x2 1 ? y 2 ? 1 的交点个数是( 2、直线 L:y= x ? 1 与双曲线 C: 4 2
中点的横坐标为 ? A. 0 B. 1
2



C. 2
2

D.3

3、已知双曲线 C: x ? 的直线 L 共有( A. 1 条 B.
2 2

y ? 1 ,过点 P(1,1)作直线 L,使 L 与 C 有只有一个公共点,则满足上述条件 4
C. 3条 D.4 条

) 2条

4、双曲线 x -y =1 左支上一点 P(a,b)到其渐近线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b 的值为 ?我的疑惑 请将预习中不能解决的问题写下来,供课堂解决。

探究案
沅江三中四环八步导学案 1

2013 高二数学选修 2-1 导学案

编号:7

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Ⅰ.学始于疑——我思考,我收获 1. 直线与双曲线有什么样的位置关系? 2. 如何判断直线与双曲线的位置关系? 3. 如何求直线与双曲线相交所得的弦的长?公式是什么? 学习建议 请用 3 分钟时间认真思考这些问题,并结合预习中自己的疑惑开始下面的探究学习。 Ⅱ.质疑探究 (一) 基础知识探究 探究点 直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线有怎样的位置关系? 2、如何判断直线与双曲线的位置关系? 3、求直线与双曲线相交所得的弦的长? 归纳总结

(二) 知识综合应用探究 探究点一 直线与双曲线位置关系的判断(重点) 例 1 当 k 取何值时,直线 y=kx+1 与双曲线 4x2-y2=1 相交、相切、相离?

拓展提升.当 k 取何值时,直线 y=kx 与双曲线 4x2-y2=16 相交、相切、相离?

规律方法总结 探究点二 双曲线的焦点坐标(重点) 例2 设 A,B 是双曲线 x ?
2

1 2 y ? 1 上两点,点 N(1,2)是线段 AB 的中点。 2

(1)求直线 AB 的方程; (2)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C,D 两点,那么 A,B,C,D 是否共圆?为什么? 思考 1:类比椭圆中点弦问题,你有哪些方法求出直线 AB 的斜率? 思考 2:两条直线互相垂直,斜率之间有什么关系? 思考 3:判断四点共圆的方法有哪些?

拓展提升

已知双曲线 C 的方程为 x ?
2

1 2 y ?1 3

(1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程;
沅江三中四环八步导学案 2

2013 高二数学选修 2-1 导学案

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(2)以点 B(1,1)为中点的弦是否存在?若存在,求出弦所在的直线的方程;若不存在,请说明理由。

探究点三 直线与双曲线位置关系的综合运用(重难点)

例3

已知双曲线 x 2 ? y2
a b
3 2

2

2

? 1(a>0,b>0)的离心率 e=

2 3 ,直线 L 过 A(a,0),B(0,-b)两点,原点 3

O 到 L 的距离是

(1)求双曲线的方程; ? ?? ? ?23 ,求直线 m 的方程。 (2)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M,N 两点,若 ?OM ? . ?ON

思考 1:直线的截距式方程是什么? 思考 2:点到直线的距离公式是什么? 思考 3:双曲线中 a,b,c 的关系是什么?离心率 e 等于什么? 思考 4:向量的数量积的坐标表示是什么?

Ⅲ.我的知识网络图 Ⅳ.当堂检测
2 1、已知双曲线方程为 x 2 ? y ? 1 ,过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L 的条数共有

4

A、4 条

B、3 条

C、2 条

D、1 条

2、已知双曲线 E 的中心为原点, F (3,0) 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中 点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程为

A.

x2 y 2 ? ?1 3 6

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 6 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

我的收获

训练案:
一、基础巩固题——把简单的事做好就叫不简单!
沅江三中四环八步导学案 3

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1.直线 y=k(x-3)与双曲线 A、3 条 B、2 条

x2 y2 ? ? 1 只有一个公共点,则满足条件的直线有( 9 4
C、1 条 D、无数条



2、已知双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F,直线 L 过点 F,若直线 L 与双曲线的左右两支均有交点 , 4
) C. K< ?

则直线 L 的斜率 K 的取值范围是( A. ?

1 1 <K< 2 2

B. ?

1 1 ?K ? 2 2

1 1 或 K> 2 2

D.K ? ?

1 1 或 K? 2 2

3、设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A, B 两点, AB 为 C 的实 轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. ) D.3

2

B. 3

C.2

二、综合应用题——挑战高手,我能行!
x2 5.已知双曲线 ? y 2 ? 1 ,过点 P(0,1) 作斜率 k ? 0 的直线 l 与双曲线恰有一个交点, 2 (1)求直线 l 的方程;(2)若点 M 在直线 l 与 x ? 0, y ? 0 所围成的三角形的三条边上及三角形内运动, 求 z ? ? x ? y 的最小值.

三、拓展探究题——战胜自我,成就自我!
6、★★已知 a=(x,0),b=(1,y),( a+ 3 b) ? ( a(1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2) 若直线 L:y=kx+m(km ? 0)与曲线 C 交于 A,B 两点, 点的坐标为 D (0, , -1) 且有 AD = BD , 试求 m 的取值范围。
3b



沅江三中四环八步导学案

4


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