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对数函数1



y

x
o

学习要求
?对数函数的定义 ?对数函数的图象和性质 ?比较两个对数值的大小

一、复习:
1.对数的概念: 如果ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数,记 作logaN=x(a>0,a≠1).

2.指数函数的定义:
函数 y=ax (

a>0,且a≠1) 叫做指数函数,其中 x是自变量,函数的定义域是 R.

回忆学习指数函数时用的实例
某种细胞分裂时,由一个分裂成2个,由2个分成 4个….一个这样的细胞分裂x次以后.得到的细胞个 数y与分裂次数x的函数关系式可表示为( y=2x ) 如果把这个函数表示成对数的形式应为 ( x=log2y ) 即细胞分裂的次数x也是细胞个数y的函数 如果用x表示自变量,y表示函数,那么这个 函数应为(y=log2x ).

对数函数的定义:
一般地

函数 y=logax(a>0,且a≠ 1 ) 叫做对数函数.其中x是自变量,函数 的定义域是( 0 , +∞).

对数函数图像的作法:
作对数图像的三个步骤: 一、列表(根据给定的自变量分别计算 出应变量的值) 二、描点(根据列表中的坐标分别在坐 标系中标出其对应点) 三、连线(将所描的点用平滑的曲线连 接起来)

点击进入几何画板

作y=log2x图像

列 表 描 点 连 线

x y=log2x

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

y
y = log a x

o

1

x
y ? l og1 x
a

= -log a x y = log a x 与 y = log1 x 的图象关于 ________ 对称. x轴
a

函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称

对数函数的图象与性质:
函数 底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 ) a>1
y 1

0<a<1

图象 定义域 值域 定点 值分布

o

1

x

o

x

(0,+∞)

(0,+∞)

R (1,0)
当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0

R (1,0)
当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

单调性 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在( 0 , + ∞ )上是减函数 趋势 底数越大,图象越靠近x轴 底数越小,图象越靠近x 轴

讲解范例 例1.求下列函数的定义域: (1)y = log a x 2

解:由x ? 0,得x ? 0. 2 所以函数y ? loga x 的定义域是 x | x ? 0?. ?
2

(2) y = log a ( 4-x )

定义域:(-∞, 4 )

(3) y = log a ( 9-x 2 ) 定义域: (-3, 3 ) (4) y = log x ( 4-x ) 定义域:( 0 , 1 )∪( 1 , 4 )
?4 ? x ? 0 ? 由? x ? 0 ? ? x ?1 ?
?x ? 4 ? ? x ? 0 ? 0 ? x ? 1, 或1 ? x ? 4. ?x ? 1 ?

(5) 求函数 y ? log 0.5 (4x ? 3) 的定义域.
解:要使函数有意义,必有
4x-3>0, 4x>3, 即 4x-3≤1.

log0.5(4x-3)≥0.

解得

3 ? x ? 1. 4
3 ? x?1 4

所以所求函数的定义域为{x|

}.

例2.比较下列各组数中两个值的大小: (1) log23.4 , log28.5; ⑵ log0.31.8, log0.32.7; ⑶ loga5.1 , loga5.9 (a>0,a≠1 ).
解⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2>1, 所以它在(0,+∞)上是增函数.因为3.4<8.5, 于是log23.4<log28.5;

⑵因为函数y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数, 且1.8<2.7,所以log 0.31.8>log 0.32.7.

⑶ loga5.1 , loga5.9 ( a>0 , a≠1 )
分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大 于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1 哪个大,因此需要对底数a进行讨论: 解:①当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函 数,于是log a5.1<log a5.9; ②当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是 减函数,于是log a5.1>log a5.9.
注: 例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况 对底数进行讨论来比较两个对数的大小.

练习1:

比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 ⑵ log0.56 < log108 log0.54 < ⑶ log0.10.5 > log0.10.6 ⑷ log1.51.6 > log1.51.4

练习2:

已知下列不等式,比较正数m,n 的大小:
(1) log 3 m < log 3 n

(2) log 0.3 m > log 0.3 n
(3) log a m < loga n (0<a<1)

(4) log a m > log a n (a>1)
答案: (1) m < n (3) m > n (2) m < n (4) m > n

例2.比较下列各组中两个值的大小: (4) log 67 , log 7 6 ; (5) log 3π , log 2 0.8 .
分析 : (1) log aa=1 (2) log a1=0

(1)解:∵ log67>log66=1, (2)解:∵ log3π>log31=0, 注:比较两个对数的大小时,可 log20.8<log21=0, log76<log77=1, 在两个对数中间插入一个已知 ∴ log3π> ∴ 数(如1或0等),间接比较这两个 log20.8. log67>log76; 对数的大小.

(6)log750

log67

log54

log40.5

例3.已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0 时, f(x)=log3x,求f(x).

解:当x=0时,f(0) = 0;
当 x<0 时,-x >0,

又f(x) 为奇函数,
∴ f(x)=-f(-x) =-log3(-x).
x ? 0, ?log 3 x, ? 故f ( x ) ? ? 0, x ? 0, ? ? log ( ?x ), x ? 0. 3 ?





y = log a x ( a>0 且 a≠1 )





定义域 值 域

单调性 过定点 趋 势 取值范围

R+ R 增函数 (1,0)
底数越大,图象越靠近 x 轴

R+ R 减函数 (1,0)
底数越小,图象越靠近 x 轴

0<x<1时,y<0 x>1时,y>0

0<x<1时,y>0 x>1时,y<0

1.对数函数定义: y = log a x ( a>0 且 a ≠1 ). 2.对数函数的图象与性质:
函数
底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 )
a>1
y 1

0<a<1

图象 定义域
值域 定点 值分布

o

1

x

o

x

(0,+∞)
R ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时,y = 0

当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0
在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数

当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0
底数越小,图象越靠近 x 轴 在( 0 , + ∞ )上是减函数

趋 势 底数越大,图象越靠近 x 轴 单调性



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