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2015一轮复习课时精品提升作业之函数及其表示方法Word版含答案


课时提升作业(四)
一、填空题 1.(2013·宿迁模拟)函数 f ? x ? ?
lg x 1? x2

的定义域为___________.

? x 2 ? 1, x ? 1, 2.(2012·江西高考改编)设函数 f ? x ? ? ? 则 ?2 , x ? 1, ? ?x

f(f(3))=_________. 3.设 f ? x ? ? ? ?
? x ? 2, x ? 10, ? ?f ? f ? x ? 6 ? ? , x ? 10,

则 f(5)=__________.

4.已知函数 f ? x ? ? ?

?x, x ? 0, 若 f(a)+f(1)=0,则实数 a=__________. ?x ? 1, x ? 0,

5.满足 f(xy)=f(x)+f(y)+1 的函数 f(x)的解析式可以是 ____________. 6.已知 g(x)=1-2x,f ? g ? x ? ? ? 7.函数 f ? x ? ?
1 1? x2 (x≠0),那么 f( ) 等于____________. 2 2 x

cx 3 (x ? ? ) 满足 f(f(x))=x,则常数 c=___________. 2x ? 3 2

8.已知函数 y=f(x+1)的定义域是[-2,3] ,则 y=f(2x-1)的定义域是 ___________. 9.(能力挑战题)已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,且当 x∈ (0,+∞)时,有 f ? x ? ? , 则当 x∈(-∞,-2)时,f(x)=____________. 10.已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其函 数对应法则如表:
1 x

-1-

则方程 g(f(x))=x 的解集为___________. 11.二次函数的图象经过三点 A( , ),B(-1,3),C(2,3),则这个二次函 数的解析式为____________. 12.(2013·苏州模拟)定义在[1,+∞)上的函数 f(x)满足:① f(2x)=2f(x); ②当 x∈[2,4]时,f(x)=1-|x-3|.则集合{x|f(x)=f(36)}中的最小 元素是 __________. 二、解答题 13.如果对 ? x,y,都有 f(x+y)=f(x)·f(y),且 f(1)=2, (1)求 f(2),f(3),f(4)的值. (2)求
f ? 2? f ? 4? f ? 6? f ? 2 010 ? f ? 2 012 ? f ? 2 014 ? 的值. ? ? ??? ? ? f ?1? f ? 3? f ?5? f ? 2 009 ? f ? 2 011? f ? 2 013?
1 3 2 4

14.(2013·扬州模拟)已知函数 y=f(x),若存在 x0,使 f(x0)=x0,则 x0 称为函数 y=f(x)的一个不动点,设 f ? x ? ? (1)求函数 y=f(x)的不动点. (2)对于(1)中的两个不动点 a,b(a>b),求使 常数 k 的值。
f ?x? ? a x ?a 恒成立的 ?k f ?x? ? b x ?b
?2x ? 3 . 2x ? 7

-2-

答案解析
1.【解析】由 ?
? x>0,
2 ?1 ? x >0.

解得 0<x<1.

∴函数 f(x)的定义域为(0,1). 答案:(0,1)
f ? f ? 3? ? ? f( ) ? 2.【解析】 f ? 3? ? , 2 3 2 3 13 . 9

答案:

13 9

3.【解析】f(5)=f(f(11))=f(9)=f(f(15))=f(13)=11. 答案:11 【方法技巧】求函数值的类型及解法 (1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则. (2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨 论. (3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要 用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解. (4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适 当赋值,从而求得待求函数值. 4.【解析】f(1)=1,则 f(a)=-1, 由 a+1=-1,得 a=-2. 答案:-2 5.【解析】令 y=0,则 f(0)=f(x)+f(0)+1,
-3-

∴f(x)=-1. 答案:f(x)=-1
1 2 1 ? ( ) 1 1 1 1 1 4 6.【解析】令 g ? x ? ? , 则 1 ? 2x ? , x ? , f( ) ? f(g( )) ? ? 15. 1 2 2 4 2 4 ( )2 4

答案:15 7.【解析】 f ? f ? x ? ? ? 答案:-3 8.【解析】由-2≤x≤3,得-1≤x+1≤4, 由-1≤2x-1≤4,得 0 ? x ? , 故函数 y=f(2x-1)的定义域为[0, 答案: [0,
5 ] 2 5 2 5 ]. 2

cf ? x ? 3x cx ? , 得 c=-3. ? x, ∴ f ? x ? ? c ? 2x 2x ? 3 2f ? x ? ? 3

【误区警示】本题易因对定义域的理解不到位而误认为 x+1 的范围是 [-2,3] ,从而导致结果错误. 9.【思路点拨】函数 y=f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,则有 f(x)=f(-x-2). 【解析】设 x<-2,则-x-2>0,由函数 y=f(x)的图象关于 x=-1 对称, 得 f ? x ? ? f ? ?x ? 2 ? ? 答案: ?
1 x?2 1 1 , . 所以 f ? x ? ? ? ?x ? 2 x?2

10.【解析】当 x=1 时,f(x)=2,g(f(x))=2,不合题意; 当 x=2 时,f(x)=3,g(f(x))=1,不合题意; 当 x=3 时,f(x)=1,g(f(x))=3,符合要求,故方程 g(f(x))=x 的解集为 {3}. 答案:{3}
-4-

11.【解析】方法一:设 y-3=a(x+1)(x-2), 把 A( , )代入得 a=1, ∴二次函数的解析式为 y=x2-x+1. 方法二:设二次函数解析式为 y=ax2+bx+c,则有
1 2 1 ?3 ? 4 ? a( 2 ) ? b ? 2 ? c, ?a ? 1, ? 2 ? ? ?3 ? a ? ?1? ? b ? ? ?1? ? c, 解得 ? b ? ?1, ?c ? 1. ? 2 ? ?3 ? a ? 2 ? b ? 2 ? c, ? ?
1 3 2 4

∴二次函数的解析式为 y=x2-x+1. 答案:y=x2-x+1 12.【解析】易得 f(36)=2f(18)=4f(9)=8f( ) =16f( )=16× =4, 由条件可知,f(x)在[2,4] , [4,8] , [8,16] ,…上的最大值依次 为 1,2,4,…,即最大值构成一个以 2 为公比的等比数列.结合图象 不难发现 f(x)=4 时,x 的最小值为 12. 答案:12 13. 【解析】(1)∵对 ? x,y,f(x+y)=f(x)·f(y), 且 f(1)=2, ∴f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4, f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=23=8, f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=24=16. (2)由(1)知
f ? 2? f ? 4? f ? 6? f ? 2 014 ? ? 2, ? 2, ? 2,?, ? 2. f ?1? f ? 3? f ? 5? f ? 2 013?
-5-

9 2

9 4

1 4

故原式=2×1 007=2 014. 14.【解析】(1)设函数 y=f(x)的不动点为 x0, 则
1 ?2x 0 ? 3 解得 x 0 ? ? 或 x0=3. ? x 0, 2 2x 0 ? 7

(2)由(1)可得 a=3, b ? ? .
?2x ? 3 ?3 ?8x ? 24 x ?3 ∴ 2x ? 7 ? ?8 , ?2x ? 3 1 1 1 ? ?x ? x? 2x ? 7 2 2 2

1 2

可知使

f ?x? ? a x ?a 恒成立的常数 k=8. ?k f ?x? ? b x ?b

-6-


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