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浙江省宁波市象山中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)(普通班) Word版含解析



浙江省宁波市象山中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科) (普通班)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是正确的,将正确答案填写在答题卷相应位置) 1. (5 分)过(1,2) , (2,1)两点的直线的倾斜角是() A. B. C. D.

2. (5 分)若点

(m,1)在不等式 2x+3y﹣5>0 所表示的平面区域内,则 m 的取值范围是 () A.m≥1 B. m≤1 C. m>1 D. m<1

3. (5 分)设 P 是椭圆 () A.12

+

=1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则△ PF1F2 周长为

B.20

C.10

D.16

4. (5 分)经过点 P(2,﹣1) ,且在 y 轴上的截距等于它在 x 轴上的截距的 2 倍的直线 l 的方程是() A.2x+y=2 B. 2x+y=4 C. 2x+y=3 D.2x+y=3 或 x+2y=0

5. (5 分)直线 y=kx﹣k+1(k∈R)与椭圆 A.相交 B.相离

+

=1 的位置关系是() D.由参数 k 确定

C.相切

6. (5 分)直线 l:y= x﹣ 的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是() A.m>1 且 n<1 B.mn<0 C.m>0,且 n<0 D.m<0 且 n<0
0 0

7. (5 分)如图,一个底面半径为 R 的圆柱被与其底面所成角为 θ(0 <θ<90 )的平面所 截,截面是一个椭圆.当 θ 为 30°时,这个椭圆的离心率为()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)实数 x,y 满足不等式组

,则 ω=

的取值范围是()

A.

B.

C.

22. (15 分)如图 1,矩形 ABCD 中,|AB|=6,|BC|=2,E,F,G,H 分别是矩形四条边的 中点, 分别以 HF、 EG 所在直线为 x 轴, y 轴建立平面直角坐标系, 已知 其中 0<λ<1 (1)求证:直线 ER 与 GR′的交点 M 在椭圆 Γ: +y =1 上.
2









(2)如图 2 过点 E 作两条相互垂直的直线分别交椭圆 Γ 于点 P,N(点 P 在 y 轴右侧) .求 △ EPN 面积最大值及此时直线 PE 的方程.

浙江省宁波市象山中学 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷(理科) (普通班)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是正确的,将正确答案填 写在答题卷相应位置) 1. (5 分)过(1,2) , (2,1)两点的直线的倾斜角是()

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

直线的倾斜角. 直线与圆. 由两点的坐标求出直线的斜率,然后利用倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角. 解:∵直线过点(1,2) , (2,1) , ,

∴直线的斜率 k= 设倾斜角为 α(0≤α<π) , 则 tanα=﹣1,∴ .

故选:D. 点评: 本题考查了直线的倾斜角,考查了倾斜角与斜率的关系,是基础题. 2. (5 分)若点(m,1)在不等式 2x+3y﹣5>0 所表示的平面区域内,则 m 的取值范围是 () A.m≥1 B.m≤1 C.m>1 D.m<1 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据二元一次不等式表示平面区域进行求解即可. 解答: 解:若点(m,1)在不等式 2x+3y﹣5>0 所表示的平面区域内, 则满足 2m+3﹣5>0, 解得 m>1. 故选:C 点评: 本题主要考查二元一次不等式表示平面区域,比较基础.

3. (5 分)设 P 是椭圆 () A.12

+

=1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则△ PF1F2 周长为

B.20

C.10

D.16

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆的标准方程求得 a,b,再由隐含条件求得 c,则△ PF1F2 的周长可求. 解答: 解:由椭圆
2 2 2

+

=1,得 a =25,b =16,

2

2

∴c =a ﹣b =25﹣16=9, 则 a=5,c=3. ∴△PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=2×5+2×3=16. 故选:D.

点评: 本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的定义,是基础题. 4. (5 分)经过点 P(2,﹣1) ,且在 y 轴上的截距等于它在 x 轴上的截距的 2 倍的直线 l 的方程是() A.2x+y=2 B. 2x+y=4 C. 2x+y=3 D.2x+y=3 或 x+2y=0 考点: 直线的截距式方程. 专题: 计算题. 分析: 分直线过原点和不过原点两种情况, 过原点时直接写出直线方程, 不过原点时设出 直线方程,把点 P 的坐标代入即可求解. 解答: 解:当直线 l 过原点时,直线方程为 x+2y=0; 当直线 l 不过原点时,由题意可设直线 l 的方程为 因为点 P(2,﹣1)在直线 l 上, 所以 2×2﹣1=2a,a= ,直线方程为 2x+y=3. 综上,满足条件的直线方程为 x+2y=0 或 2x+y=3. 故选 D. 点评: 本题考查了直线的截距式方程,考查了分类讨论的数学思想方法,是基础题. ,即 2x+y=2a,

5. (5 分)直线 y=kx﹣k+1(k∈R)与椭圆 A.相交 B.相离

+

=1 的位置关系是() D.由参数 k 确定

C.相切

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直线 y=kx﹣k+1 恒过点(1,1) ,且在椭圆的内部,由此可得直线 y=kx﹣k+1 与椭 圆 + =1 的位置关系.

解答: 解:直线 y=kx﹣k+1 可化为 y=k(x﹣1)+1, 所以直线恒过点(1,1) , ∵ + <1,

∴(1,1)在椭圆的内部, ∴直线 y=kx﹣k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是相交.

故选:A. 点评: 本题考查直线与椭圆的位置关系,确定直线恒过定点,且在椭圆的内部是关键.

6. (5 分)直线 l:y= x﹣ 的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是() A.m>1 且 n<1 B.mn<0 C.m>0,且 n<0 D.m<0 且 n<0

考点: 直线的斜截式方程. 专题: 简易逻辑. 分析: 将题干条件等价转化成 ,根据必要不充分条件的概念易得结论.

解答: 解:条件 y= x﹣ 的图象同时经过第一、二、四象限等价于,

?

?mn<0,

∴mn<0 是 y= x﹣ 的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件. 故选 B. 点评: 本题考查斜截式直线方程的应用,以及必要不充分条件的概念,属于基础题. 7. (5 分)如图,一个底面半径为 R 的圆柱被与其底面所成角为 θ(0 <θ<90 )的平面所 截,截面是一个椭圆.当 θ 为 30°时,这个椭圆的离心率为()
0 0

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 心率. 解答:

平面与圆柱面的截线. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 利用已知条件,求出题意的长半轴,短半轴,然后求出半焦距,即可求出题意的离 解:因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30°的平面所截,其截口是一个椭圆, = ,

则这个椭圆的短半轴为:R,长半轴为: ∵a =b +c ,∴c=
2 2 2



∴椭圆的离心率为:e= = . 故选:A.

点评: 本题考查椭圆离心率的求法,注意椭圆的几何量与双曲线的几何量(a,b,c)关 系的正确应用,考查计算能力.

8. (5 分)实数 x,y 满足不等式组

,则 ω=

的取值范围是()

A.

B.

C.

点评: 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型, 在解题时, 关键是正确地画 出平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件 的点的坐标,即可求出答案.
2

9. (5 分)已知椭圆 C:

+y =1,点 M1,M2…,M5 为其长轴 AB 的 6 等分点,分别过这

五点作斜率为 k(k≠0)的一组平行线,交椭圆 C 于 P1,P2,…,P10,则直线 AP1,AP2,…, AP10 这 10 条直线的斜率乘积为() A.﹣ B. ﹣ C. D.﹣

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的性质可得 得 , = ,进而得出答案. =﹣ =﹣ . 及其椭圆的对称性可

解答: 解:如图所示, 由椭圆的性质可得 由椭圆的对称性可得 = , =﹣ =﹣ . ,

∴ 同理可得

=﹣ , = = =﹣ . =﹣ .

∴直线 AP1,AP2,…,AP10 这 10 条直线的斜率乘积= 故选:B.

点评: 本题考查了椭圆的性质可得 和计算能力,属于难题.

=﹣

及椭圆的对称性,考查了推理能力

10. (5 分)设 A(0,0) ,B(4,0) ,C(t+4,4) ,D(t,4) (t∈R) .记 N(t)为平行四 边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则 函数 N(t)的值域为() A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12} 考点: 集合的含义. 专题: 集合. 分析: 分别由 t=0,1,2 求出 N(t) ,排除错误选项 A,B,D,从而得到正确选项. 解答: 解:当 t=0 时,?ABCD 的四个顶点是 A(0,0) ,B(4,0) ,C(4,4) ,D(0,4) , 符合条件的点有(1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (3,3) ,共九个,N(t)=9,故选项 D 不正确. 当 t=1 时,?ABCD 的四个顶点是 A(0,0) ,B(4,0) ,C(5,4) ,D(1,4) , 同理知 N(t)=12,故选项 A 不正确. 当 t=2 时,?ABCD 的四个顶点是 A(0,0) ,B(4,0) ,C(6,4) ,D(2,4) , 同理知 N(t)=11,故选项 B 不正确.

故选 C. 点评: 本题考查集合的性质和应用, 解题时要注意排除法的合理运用. 本题中取整点是个 难点,常用的方法是,先定横(或纵)坐标,在定纵(横)坐标,以确定点的个数,如果从 图形上看,就是看直线 x=r(r 是整数)上有几个整点在四边形内. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把正确答案填在答题卷上) 11. (4 分)已知直线 l1: (3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8 平行,则实数 m 的值为 ﹣7. 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 直线的一般式方程与直线的平行关系. 直线与圆. 由两直线平行,得到系数之间所满足的关系,求解即可得到满足条件的 m 的值. 解:∵直线 l1: (3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8 平行, ,解得 m=﹣7.

故答案为:﹣7. 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系, 关键是对条件的记忆与应用, 是 基础题. 12. (4 分)过点 P(1,2)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤9}分为两部分,使这两部 分的面积之差最大,则该直线的方程为 x+2y﹣5=0. 考点: 直线与圆的 位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得,所求直线和 OP 垂直,求出所求直线的斜率,再用点斜式求得所求直 线的方程. 2 2 解答: 解:由于点 P(1,2)在圆 x +y =9 的内部,故所求直线和 OP 垂直时, 直线将圆分成的这两部分的面积之差最大. 由于 OP 的斜率为 2,故所求直线的斜率为﹣ ,再根据所求直线过点 P(1,2) , 可得所求直线的方程为 y﹣2=﹣ (x﹣1) ,即 x+2y﹣5=0,
2 2

故答案为:x+2y﹣5=0. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,用点斜式求直线的方程,属于基础题.

13. (4 分)椭圆

的离心率
2

,右焦点 F(c,0) ,方程 ax +bx﹣
2

2

c=0 的两个根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)与圆 x +y =2 的位置关系是 点在圆内. 考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 计算题. 分析: 由题设知 , ,x1 +x2 =(x1+x2) ﹣
2 2 2 2 2

2x1x2= 关系.

=

.由此可知点 P(x1,x2)与圆 x +y =2 的位置

解答: 解:∵离心率
2

,∴a=2c.

∵方程 ax +bx﹣c=0 的两个根分别为 x1,x2, ∴
2 2


2



∴x1 +x2 =(x1+x2) ﹣2x1x2 = =

=
2 2

<2.

∴点 P(x1,x2)在圆 x +y =2 内. 故答案为:点在圆内. 点评: 本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要要认真审题,仔细解答. 14. (4 分)过点( ,0)引直线 l 与曲线 y= 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点, .

当△ AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于﹣

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 通过曲线方程确定曲线表示单位圆在 x 轴上方的部分(含于 x 轴的交点) ,直线与 曲线有两个交点,且直线不与 x 轴重合,从而确定直线斜率 ﹣1<k<0,用含 k 的式子表示出三角形 AOB 的面积,利用二次函数求最值,确定直线斜 率 k 的值.

解答: 解:由 x +y =1(y≥0) ∴曲线
2 2

,得

表示単位圆在 x 轴上方的部分(含于 x 轴的交点)

由题知,直线斜率存在,设直线 l 的斜率为 k, 若直线与曲线有两个交点,且直线不与 x 轴重合 则﹣1<k<0 ∴直线 l 的方程为: 即 则圆心 O 到直线 l 的距离 直线 l 被半圆所截得的弦长为 |AB|=



=

=

=

令 则 当 S△ AOB 有最大值为 此时, ∴ 又∵﹣1<k<0 ∴ 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,利用数形结合,二次函数求最值等思想进行解答.

15. (4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

的焦距为 2c,以 O 为

圆心,a 为半径作圆 M,若过 为 .

作圆 M 的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率

考点: 专题: 分析: 解答: 角形, 故 解得

椭圆的简单性质. 计算题;压轴题. 抓住△ OAP 是等腰直角三角形,建立 a,c 的关系,问题迎刃而解. 解:设切线 PA、PB 互相垂直,又半径 OA 垂直于 PA,所以△ OAP 是等腰直角三

, , .

故答案为

点评: 本题考查了椭圆的离心率,有助于提高学生分析问题的能力.

16. (4 分)已知变量 x,y 满足约束条件

,若

恒成立,则实数 a 的

取值范围为. 考点: 专题: 分析: 解答: 简单线性规划的应用. 不等式的解法及应用. 利用已知条件考查约束条件表示的可行域,利用目标函数的几何意义求解即可. 解:易知 a≤1,不等式表示的平面区域如图所示,

设 Q(2,0) ,平面区域内动点 P(x,y) ,则



当 P 是 x=a 与 x﹣y=1 交点时,PQ 的斜率最大,为 当 P 是 x=a 与 x+y=1 交点时,PQ 的斜率最小,为 由 且 ,

得 0≤a≤2,又 a≤1,所以 a∈.

故答案为: . 点评: 本题考查线性规划的应用,正确画出可行域是解题的关键,考查转化思想的应用. 17. (4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若直线 y=kx﹣2 上 至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 .
2 2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 2 2 2 2 分析: 由于圆 C 的方程为(x﹣4) +y =1,由题意可知,只需(x﹣4) +y =1 与直线 y=kx ﹣2 有公共点即可. 2 2 2 2 解答: 解:∵圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,整理得: (x﹣4) +y =1,即圆 C 是以(4, 0)为圆心,1 为半径的圆; 又直线 y=kx﹣2 上至少存在一 点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, 2 2 ∴只需圆 C′: (x﹣4) +y =1 与直线 y=kx﹣2 有公共点即可. 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx﹣2 的距离为 d, 则 d= ≤2,即 3k ﹣4k≤0,
2

∴0≤k≤ . ∴k 的最大值是 . 故答案为: . 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,将条件转化为“(x﹣4) +y =4 与直线 y=kx﹣2 有 公共点”是关键,考查学生灵活解决问题的能力,属于中档题.
2 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (14 分)如图所示,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角,过点 P(1,0) 作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,求直 线 AB 的方程.

考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出 OA、OB 所在的直线方程,对 AB 的斜率分类讨论,分别与射线 OA、OB 联立,求出 A、B 点坐标,利用中点坐标公式求出 C 坐标,代入直线 y= x 求出斜率求出, 代入点斜式方程化简即可. 解答: 解:因为射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角, 所以 OA、OB 所在的直线方程分别是:x﹣y=0,x+ y=0, ①当直线 AB 的斜率不存在时,则 AB 的方程为 x=1, 易知 A(1,1) ,B(1, ) ,

所以 AB 的中点 C 显然不在直线 y= x 上,不满足条件; ②当直线 AB 的斜率存在时,记为 k,易知 k≠0 且 k≠1, 则直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) , 分别联立 , ,

解得 A(



) ,B(



) , , ) ,

所以 AB 的中点 C 的坐标是( 因为 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上, 所以 解得 k= , (x﹣1) ,即(3+ = ×



则直线 AB 的方程为:y=

)x﹣2y﹣3﹣

=0,

所以直线 AB 的方程为(3+ )x﹣2y﹣3﹣ =0. 点评: 本题考查了分类讨论思想、中点坐标公式、直线方程的点斜式、一般式,考查了计 算能力,属于中档题.

19. (14 分)已知动点 P(x,y)及两定点 A(﹣3,0)和 B(3,0) ,若

=2, (|PA|、

|PB|分别表示点 P 与点 A、B 的距离) (1)求动点 P 的轨迹 Γ 方程. (2)动点 Q 在直线 y﹣x﹣1=0 上,且 QM、QN 是轨迹 Γ 的两条切线,M、N 是切点,C 是轨迹 Γ 中心,求四边形 OMCN 面积的最小值及此时直线 MN 的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用;轨迹方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)利用已知条件直接列出方程,即可求动点 P 的轨迹 Γ 方程. (2)由(1)知轨迹 Γ 是以 C(5,0)为圆心,半径为 4 的圆,可得|QM|=|QN|,表示出四 边形面积 S,然后求出 Smin=4 .线段 CQ 为直径的圆的方程,以及直线 MN 的方程. 解答: 解: (1)由|PA|=
2 2



,代入

=2,

经化简得轨迹 Γ 方程为(x﹣5) +y =16. (2)由(1)知轨迹 Γ 是以 C(5,0)为圆心,半径为 4 的圆,|QM|=|QN|, 易知四边形面积 S= (|QM|+|QN|)×4=4|QM|,故|QM|最小时,四边形 QMNC 面积最小. |QM|= 故有 Smin=4

. 由
2

此时 CQ 直线:x+y=5

得到 Q(2,3) ,
2

以线段 CQ 为直径的圆的方程为:x ﹣7x+y ﹣3y+10=0. 两圆方程相减得到直线 MN 的方程为:3y﹣2x﹣1=0. 点评: 本题考查直线方程的综合应用,在方程以及圆的方程的求法,考查计算能力.

20. (15 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)经过点 M(1,

) ,其离心率为

,设

直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l 与圆 x +y = 相切,求证:OA⊥OB(O 为坐标原点) .
2 2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: (1) 由离心率及 a =b +c , 得 a 与 b 的关系式, 再将点 M 的坐标代入椭圆方程中, 2 2 求解关于 a,b 的二元二次方程组,即得 a ,b ,从而得椭圆的标准方程;

(2)根据圆心到直线的距离等于圆的半径,得 k 与 m 的等量关系,要证明 OA⊥OB,只需 证明 ? =0 即可,从而将数量积转化为坐标运算,联立直线 l 与椭圆方程,利用韦达定

理消去坐标,得到关于 k,m 的代数式,再利用前面 k 与 m 的等量关系即可达到目的. 解答: 解: (1)由离心率 e= = ,a =b +c ,a =2b ,
2 2 2 2 2 2 2

即有椭圆方程为

+
2

=1,将 M(1,

)代入,得 b =1,a =2,

则所求椭圆方程为

+y =1.
2 2

(2)证明:因为直线 l 与圆 x +y = 相切, 所以 = ,即 m = (1+k ) ,
2 2



,得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣2=0.

2

2

2

设点 A、B 的坐标分别为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 则 x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

所以 y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m =

2

2



所以

?

=x1x2+y1y2=

+

=

=0,

故 OA⊥OB. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质, 主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用, 联立直线 方程,运用韦达定理,同时考查直线和圆相切的条件,属于中档题. 21. (14 分)已知圆 C 的方程为 x +(y﹣4) =4,点 O 是坐标原点.直线 l:y=kx 与圆 C 交于 M,N 两点. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 Q(m,n)是线段 MN 上的点,且 函数. 考点: 直线与圆的位置关系;函数与方程的综合运用. 专题: 直线与圆. .请将 n 表示为 m 的
2 2

分析: (Ⅰ)将直线 l 方程与圆 C 方程联立消去 y 得到关于 x 的一元二次方程, 根据两函 数图象有两个交点,得到根的判别式的值大于 0,列出关于 k 的不等式,求出不等式的解集 即可得到 k 的取值范围; (Ⅱ)由 M、N 在直线 l 上,设点 M、N 坐标分别为(x1,kx1) , (x2,kx2) ,利用两点间的 2 2 2 距离公式表示出|OM| 与|ON| ,以及|OQ| ,代入已知等式中变形,再利用根与系数的关系求 出 x1+x2 与 x1x2,用 k 表示出 m,由 Q 在直线 y=kx 上,将 Q 坐标代入直线 y=kx 中表示出 k,代入得出的关系式中,用 m 表示出 n 即可得出 n 关于 m 的函数解析式,并求出 m 的范 围即可. 2 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)将 y=kx 代入 x +(y﹣4) =4 中,得: (1+k )x ﹣8kx+12=0(*) , 2 2 2 根据题意得:△ =(﹣8k) ﹣4(1+k )×12>0,即 k >3, 则 k 的取值范围为(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞) ; (Ⅱ)由 M、N、Q 在直线 l 上,可设 M、N 坐标分别为(x1,kx1) , (x2,kx2) , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴|OM| =(1+k )x1 ,|ON| =(1+k )x2 ,|OQ| =m +n =(1+k )m , 代入 = + 得: = + ,



=

+

= ,x1x2= ,



由(*)得到 x1+x2=

代入得:

=

,即 m =

2



∵点 Q 在直线 y=kx 上,∴n=km,即 k= ,代入 m =

2

,化简得 5n ﹣3m =36,

2

2

由m =

2

及 k >3,得到 0<m <3,即 m∈(﹣

2

2

,0)∪(0,

) ,

根据题意得点 Q 在圆内,即 n>0, ∴n= = ,

则 n 与 m 的函数关系式为 n=

(m∈(﹣

,0)∪(0,

) ) .

点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:根的判别式,根与系数的关系, 两点间的距离公式,以及函数与方程的综合运用,本题计算量较大,是一道综合性较强的中 档题.

22. (15 分)如图 1,矩形 ABCD 中,|AB|=6,|BC|=2,E,F,G,H 分别是矩形四条边的 中点, 分别以 HF、 EG 所在直线为 x 轴, y 轴建立平面直角坐标系, 已知 其中 0<λ<1 (1)求证:直线 ER 与 GR′的交点 M 在椭圆 Γ: +y =1 上.
2









(2)如图 2 过点 E 作两条相互垂直的直线分别交椭圆 Γ 于点 P,N(点 P 在 y 轴右侧) .求 △ EPN 面积最大值及此时直线 PE 的方程.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)求得 F,C 的坐标,由向量的关系的坐标表示可得 R,R'的坐标,求出直线 ER 和 GR'的方程,求得交点 M,检验即可得证; (2)由题意知直线 PE,NE 的斜率存在且不为 0,PE⊥NE,不妨设直线 PE 的斜率为 k(k >0) ,则直线 PE 的方程为 y=kx﹣1,联立直线方程和椭圆方程,可得 P 的坐标,同样可得 N 的坐标, 由两点的距离公式和面积公式, 化简整理, 结合基本不等式计算即可得到最大值, 进而得到所求直线方程. 解答: (1)证明:由已知,得 F(3,0) ,C(3,1) , 由 =λ , =λ ,其中 0<λ<1

得 R(3λ,0) ,R′(3,1﹣λ) ,又 E(0,﹣1) ,G(0,1) , 则直线 ER 的方程为 y= x﹣1,直线 GR′的方程为 y=﹣ x+1,

联立解得 M(



) ,

因为 ( (

)2+(

)2=
2

+

=1,

所以直线 ER 与 CR′的交点 M 在 Γ:

+y =1 上;

(2)解:由题意知直线 PE,NE 的斜率存在且不为 0,PE⊥NE, 不妨设直线 PE 的斜率为 k(k>0) ,则直线 PE 的方程为 y=kx﹣1,









所以 P(



) ,

用﹣ 代 k 得到 N( 所以|PE|= S△ EPN= |PE|?|NE|= ?

, ,|NE|=

) , , ?

=

=

=

设 u=k+ ,

=



=

当且仅当 k+ =u= , 即 k= , x﹣1.

故 PE 的直线方程为 y=

点评: 本题考查直线的交点的轨迹方程,考查直线和椭圆方程联立,求得交点,考查两点 的距离公式和基本不等式的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题.



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